Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

ĐHNN Hà nội

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC – XỬ LÝ TÍN
HIỆU SỐ
Chương 1: Tín hiệu & hệ thống rời rạc
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống
trong miền phức Z
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống
trong miền tần số liên tục
Chương 4: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống
trong miền tần số rời rạc
Chương 5: Tổng hợp bộ lọc số FIR
Chương 6: Tổng hợp bộ lọc số IIR

Khoa
CNTT


Chương 1: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC

FITA- HUA

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
1.2 TÍN HIỆU RÒI RẠC
1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN
1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH
1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG
1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU


1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

FITA- HUA

1.1.1 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI TÍN HiỆU
Khái niệm tín hiệu
 Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin
 Tín hiệu được biểu diễn một hàm theo một hay nhiều
biến số độc lập.
 Ví dụ về tín hiệu:
 Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất
không khí theo thời gian
 Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian
và thời gian
 Tín hiệu điện là sự thay đổi điện áp, dòng điện theo thời
gian


Phân loại tín hiệu
FITA- HUA

Tín hiệu

Tín hiệu liên
tục

Tượng
tự

Tín hiệu rời rạc

Lượng

tử

Tín hiệu
số

Tín hiệu lấy
mẫu


Phân loại tín hiệu
FITA- HUA

 Tín hiệu liên tục: biểu diễn toán học có biến là liên tục
 Tín hiệu rời rạc: hàm biểu diễn có biến rời rạc
Tín hiệu
tương
tự
(analog)

Tín hiệu
rời rạc Tín hiệu Tín hiệu
lượng tử
số
(lấy
mẫu)

Hàm

Liên tục

Liên tục

Rời rạc

Rời rạc

Biến

Liên tục

Rời rạc

Liên tục

Rời rạc


Phân loại tín hiệu
FITA- HUA

xa(t)

xa(nTs)

t
0

n
0 Ts 2Ts …

Tín hiệu rời rạc

Tín hiệu tương tự
xq(t)
9q
8q
7q
6q
5q
4q
3q
2q
q

xd(n)

t

0

Tín hiệu lượng tử

9q
8q
7q
6q
5q
4q
3q
2q

q

0 Ts 2Ts …

n

Tín hiệu số


1.1.2 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI HỆ THỐNG
FITA- HUA

Khái niệm hệ thống
 Hệ thống đặc trưng toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi tín
hiệu vào x thành tín hiệu ra y

x

T

y

Hệ thống
 Các hệ thống xử lý tín hiệu:
 Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và ra là tương tự
 Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và ra là rời rạc
 Hệ thống số: Tín hiệu vào và ra là tín hiệu số


FITA- HUA

Phân loại các hệ thống xử lý tín
hiệu rời rạc

• Ví dụ:

T là toán tử trễ :
Khi đó ta có : T[x(n)] = x(n-k) = y(n)


Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc
FITA- HUA

x(n)

T

y(n)

Hệ thống
 Hệ thống tuyến tính & phi tuyến
 Hệ tuyến tính: T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)]
 Hệ phi tuyến: không thoả tính chất trên
 Hệ thống bất biến & thay đổi theo thời gian
 Hệ bất biến theo thời guan: nếu tín hiệu vào dịch đi k
đơn vị x(n-k) thì tín hiệu ra cũng dịch đi k đơn vị y(n-k)
 Hệ thay đổi theo thời gian: không thoả tính chất trên


Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc

FITA- HUA

 Hệ thống nhân quả & không nhân quả
 Hệ nhân quả: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở
thời điểm quá khứ và hiện tại
 Hệ không nhân quả: không thoả tính chất trên
 Hệ thống ổn định & không ổn định
 Hệ thống ổn định: nếu tín hiệu vào bị chặn |x(n)| < ∞
thì tín hiệu ra cũng bị chặn |y(n)| < ∞
 Hệ thống không ổn định: không thoả tính chất trên


1.3 TÍN HIỆU RỜI RẠC
FITA- HUA

1.3.1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC
 Tín hiệu rời rạc được biểu diễn bằng một dãy các giá trị
với phần tử thứ n được ký hiệu x(n).
Tín hiệu liên tục
xa(t)

Lấy mẫu
t = nTs

Tín hiệu rời rạc
xs(nTs)  x(n) T =1
s

Với Ts – chu kỳ lấy mẫu và n – số nguyên
 Tín hiệu rời rạc có thể biểu diễn bằng một trong các

dạng: hàm số, dãy số & đồ thị.


FITA- HUA

( 0 . 5 )n :

 Hàm số:

0≤ n≤ 3
0:
¿
x ( n )= ¿{¿¿¿
¿

n còn lại

 Dãy số:

{

1 1 1
x (n )= 1 , , ,
↑ 2 4 8

}

 - Gốc thời gian n=0

x(n)

 Đồ thị:
1
0.5
0.25
0.125

n
0

1

2

3

4


1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN
FITA- HUA

 Dãy xung đơn vị:
1 :

n còn lại

 Dãy nhảy bậc đơn vị:
¿
u ( n ) = ¿{¿¿¿

¿

 Dãy chữ nhật:

-2 -1 0 1 2

u(n)
n
-2 -1 0

1

2

3

rectN(n)

N-1≥ n≥ 0
0 :n

N

n

1

1:
n≥ 0
0 : n< 0

rect

1

n= 0
0 :

¿
δ ( n ) = ¿{¿¿¿
¿

1 :

(n)

¿
( n )= ¿{¿¿¿
¿

1

n

còn lại

-2 -1 0

1

N-1 N


1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN
FITA- HUA

r(n)

 Dãy dốc đơn vị:

3

n:
n≥ 0
0 : n< 0

2

¿
r ( n ) = ¿{¿¿¿
¿

1

n

-2 -1 0

1

2

3

 Dãy sin:

s( n)= sin( ω 0 n )

s(n)
1

0=2/8
0 1 2
-1

3 4

n


1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN
FITA- HUA

 Dãy hàm mũ thực:
a

n

:
n≥ 0

0 : n< 0

¿
e ( n )= ¿{¿¿¿
¿


1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU

FITA- HUA

Cho 2 dãy:

{

}

{

x 1 ( n)= 1, 2 ,3 ; x 2 (n )= 2, 3 , 4
↑

↑

}

a. Cộng 2 dãy:
Cộng các mẫu 2 dãy với nhau
tương ứng với chỉ số n

{ }

x 1( n)+ x 2( n)= 3,5 ,7
↑

b. Nhân 2 dãy:
Nhân các mẫu 2 dãy với nhau
tương ứng với chỉ số n

{ }

x 1(n)x 2 (n)= 2,6 ,12
↑


1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU

FITA- HUA

Cho dãy:

{

x (n )= 1, 2 , 3
↑

}

c. Dịch: x(n) ->x(n-no)
n0>0 – dịch sang phải

{ }

{ }

x(n− 1)= 1 ,2,3 ;x(n+ 1)= 1,2,3
↑

n0<0 – dịch sang trái

↑

d. Gập tín hiệu: x(n) ->x(-n)
Lấy đối xứng
qua trục tung

x(n)= 1,2 ,3 ⇒x(− n)= 3,2 ,1

{ }
↑

{ }
↑


1.2.4 NĂNG LƯỢNG VÀ CÔNG SUẤT TÍN HiỆU

FITA- HUA

a. Năng lượng dãy x(n):

∞

E x=

∑

x( n)

2

Nếu ∞>Ex>0 thì x(n) gọi
là tín hiệu năng lượng

n= − ∞

Ở đây | | là modul
b. Công suất trung bình dãy x(n):
N

1
2
P x= Lim
x(n)
∑
N →∞ ( 2N+ 1 ) n= − N
Nếu ∞>Px>0 thì x(n) gọi
là tín hiệu công suất


FITA- HUA

Ví dụ 1.2.1: Cho x ( n )= rect 10 ( n ) ; y( n)= u( n )
Các tín hiệu trên tín hiệu nào là công suất, năng lượng?
∞

E x=

∑
n= − ∞

2

9

x( n) = ∑ rect 10 ( n) 2= 10
n= 0

9

10
1
2 = Lim
=0
P x= Lim
rect 10 (n )
∑
N →∞ (2N+ 1 )
N →∞ ( 2N+ 1 ) n= 0
∞

E y=

∑
n= − ∞

y( n)

2

∞

2

= ∑ u(n) = ∞
n= 0
N

N+ 1 1
1
2
=
P y = Lim
u( n) = Lim
∑
N →∞ (2N+ 1 ) 2
N →∞ ( 2N+ 1) n= 0


1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BiẾN
FITA- HUA

1.3.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG
a. Biểu diễn tín hiệu theo các xung đơn vị

x ( n )= {1,2, 3 ,4,5}

Ví dụ 1.3.1: Biểu diễn dãy

↑

theo các xung đơn vị

x(n)= 1δ(n+ 2 )+ 2δ( n+ 1 )+ 3δ(n )+ 4δ( n− 1)
+ 5δ(n− 2 )
x(n)= x(− 2)δ(n+ 2)+ x(− 1)δ (n+ 1)+ x(0)δ(n)
+ x(1)δ( n− 1)+ x( 2)δ(n− 2)
∞

Tổng quát:

x(n )=

∑
k= − ∞

x(k )δ (n− k )


FITA- HUA

b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến
x(n)

y(n)=T[x(n)]

T

(n)

h(n)=T[(n)]

Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng khi tín hiệu vào
là dãy xung đơn vị, ký hiệu h(n)
∞

Với

x(n)=

∑
k= − ∞
∞

y(n)= T [ x(n) ]= T

[

∑

k= − ∞

x(k )δ (n− k )

]

x(k )δ(n− k) =

∞

y(n)=

∑
k= − ∞

, suy ra:

x(k )h( n− k )= x( n) h( n)

∞

∑

x( k )T [δ (n− k )]

k= − ∞

Phép tích chập 2
dãy x(n) và h(n)

b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến
FITA- HUA

x(n)

y(n)= x(n) * h(n)

h(n)

 h(n) đặc trưng hòan tòan cho hệ thống trong miền n
c. Cách tìm tích chập
∞

y(n)= x(n) h(n)=

∑

x( k)h(n− k )

k= − ∞
• Đổi biến số n ->k: x(k) & h(k)

• Gập h(k) qua trục tung, được h(-k)
• Dịch h(-k) đi n đơn vị: sang phải nếu n>0, sang trái
nếu n<0 được h(n-k)
• Nhân các mẫu 2 dãy x(k) và h(n-k) và cộng lại


FITA- HUA

Ví dụ 1.3.2: Cho 2 dãy x ( n )= {2 , 3,4}và h ( n)= {1, 2 , 3}Ư
↑
↑
Hãy tìm y(n) = x(n)*h(n)
 Đổi biến số n->k:

x ( k )= {2 , 3,4} và h( k )= {1, 2 , 3}Ư
↑

↑

 Gập h(k) qua trục tung: h (− k )= {3, 2 ,1}Ư
↑

 Xác định h(n-k):
x(k)

h(-k)

3

3

n
-1

h(1-k)

0 1

2 3

3

n
-2 -1 0 1 2

-1

h(3-k)

h(2-k)

3

n

n
0 1 2

3 4

0 1 2 3

h(-1-k)

3

3

n

0 1

2 3 4

n
-3 -2 -1 0 1


h (1− k )= {3 , 2,1}Ư

FITA- HUA

↑

h ( 2− k )= {0 , 3,2,1}Ư
↑

n>0 dịch
sang phải

h (3− k )= {0 , 0,3,2,1} Ư
Ư

↑

h (− 1− k )= {3,2, 1 }Ư
↑

h (− 2− k )= {3,2,1, 0 }Ư
Ư

↑

n<0 dịch
sang trái

 Nhân các mẫu 2 dãy x(k) & h(n-k) và cộng lại được y(n)
Ư
y ( 0)= ∑ x ( k ) h ( 0− k )= 7Ư
k

y (1 )= ∑ x ( k ) h( 1− k )= 16 Ư
k

y ( 2)= ∑ x ( k ) h ( 2− k )= 17 Ư
k

y ( 3)= ∑ x (k ) h( 3− k )= 12
k

y (− 1 )= ∑ x( k ) h(− 1− k )= 2
k

y (− 2)= ∑ x ( k ) h(− 1− k )= 0
k
Ư

y (n )= {2, 7 , 16 ,17 ,12}Ơ

↑


FITA- HUA

d. Các tính chất của tích chập

 Giao hoán:

y(n) = x(n)*h(n)=h (n)*x(n)

 Kết hợp:

y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]
= [x(n)*h1(n)]*h2(n)

 Phân phối:

y(n) = x(n)*[h1(n) +h2(n)]
= x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)