Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Digital signal processing) - Chương 6: Các hàm truyền

Xử lý số tín hiệu
Chương 6: Các hàm truyền


1. Các dạng mô tả tương đương của
bộ lọc số
Đáp ứng
xung h(n)

Phương trình
sai phân I/O

Phương trình
chập vào/ra

Hàm truyền
H(z)

PP thiết kế
bộ lọc
Các tiêu
chuẩn
thiết kế

Đáp ứng tần
số H(ω)

Thực hiện
sơ đồ khối

Xử lý khối

Sơ đồ
cực/zero

Xử lý mẫu


2. Các hàm truyền
5 2z 1
H ( z)
1 0.8 z 1

Ví dụ: xét hàm truyền sau:
 Từ H(z) suy ra được:
1. Đáp ứng xung h(n)
2. Phương trình sai phân I/O thỏa bởi h(n)
3. Phương trình chập I/O
4. Thực hiện sơ đồ khối
5. Sơ đồ cực/ zero
6. Đáp ứng tần số H(ω)


2. Các hàm truyền
Các dạng tương đương toán học của hàm truyền có thể
dẫn đến các phương trình sai phân I/O khác nhau và
các sơ đồ khối khác nhau cùng thuật toán xử lý mẫu
tương ứng
5 2z 1
Ví dụ: Với hàm truyền H ( z )
1 0.8 z 1

Có thể viết dưới dạng:
a. Dạng 1


b.

Dạng 2

5 2z 1
H ( z)
1 0.8 z 1

7.5
2.5
1 0.8 z

5 2z 1
H ( z)
1 0.8 z 1

(5 2 z 1 )W ( z )

1


3. Đáp ứng hình sine
A.

Đáp ứng trạng thái ổn định
- Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn

x ( n) e j

0n

Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách:
(1) Chập trong miền thời gian
-

y ( n)
(2)

h ( m) x ( n m)

H(

j
)
e
0

0n

Phương pháp miền tần số
Phổ tín hiệu vào:
X( ) = 2 ( - 0) + (các phiên bản)


3. Đáp ứng hình sine
Phổ tín hiệu ra: (phiên bản thứ nhất)

Y( ) = H( )X( ) = 2 H( 0) ( DTFT ngược:
y ( n)

1
2

Y ( )e j n d

H(

j
)
e
0

Tổng quát: H( ) là số phức

H
e

j

0n

0

H

H
H

0

0

e
e

j

j arg H

0n

0

j arg H

0

0

)

0n


3. Đáp ứng hình sine


Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số
tuyến tính & bộ lọc tuyến tính:

A1e

j 1n

A2 e

j

2n

H

     A1 H

                                        A2 H


e

1
2

và

1

2

kết hợp

j ( 1n arg H (

e

j(

2n

1 ))

arg H (

Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành các
thành phần sine rồi tính ngõ ra.

2 ))


3. Đáp ứng hình sine


Độ trễ pha (Phase Delay):

arg H

d


   

   arg H

Độ trễ nhóm (Group Delay):

d
arg H ω  
d

dg
=>

e

j n

H

H

e

j

n d

.d

3. Đáp ứng hình sine


Bộ lọc có pha tuyến tính: d( )=D (constant)
D tuyến tính theo
 pha arg H
 Các thành phần tần số đều có độ trễ D như nhau:

e

j n

H

H

e

j (n D)


3. Đáp ứng hình sine
B.


Đáp ứng quá độ
Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0

x ( n) e

j

0n

u ( n)

với ROC: z


Z

ej

0

X z

1

1
1 ej 0z

1

Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z):

H z

1 p1 z

1

N z
1 p2 z 1 ... 1 pM z

1


3. Đáp ứng hình sine


Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)

Y z


1 ej 0z

1

N z
1 p1 z 1 1 p2 z 1 ... 1 pM z

1

Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân số
từng phần:

Y z

H 0
1 ej 0z

với ROC: |z|>1

1

B1
1 p1 z

1

BM

1 pM z

1


3. Đáp ứng hình sine


Biến đổi ngược:

y ( n)




H

0

e

j

0n

Giả sử bộ lọc ổn định:
n
i

p

n

y ( n)

n
1 1

Bp
pi

n
M

 BM p   ,  n  0

1 , i 1, M

0    , i  1, M
n

H

0

e

j

0n


3. Đáp ứng hình sine






pin

n

0
Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số

Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ tiến về
0 chậm nhất.
max pi .
Ký hiệu:
i
Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó
neff

với là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1%

neff

ln
ln

ln
ln

1
1


3. Đáp ứng hình sine


Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n).
j 0n
u (n) với
Trường hợp đặc biệt của e

y ( n)

yn

H 0
n

n
1 1

Bp

B2 p

n
2

... BM p ,   n

H 0

H 0

H z

h( n)

z 1
n 0

= 0 (z = 1)
n
M

H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc.
Độ lợi DC:

0

0


3. Đáp ứng hình sine


Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n).
j 0n
u (n) với 0 = (z = -1)
Trường hợp đặc biệt của e

y ( n)

H

yn

n

e

j n

n
1 1

Bp

H

1

B2 p

n
2

... BM p ,   n

n

Độ lợi AC:

H

H z

z

( 1) n h(n)

1
n 0

n
M

0


3. Đáp ứng hình sine
Ví dụ
1. Xác định đáp ứng quá độ đầy đủ của bộ lọc nhân quả
với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số 0, cho

H z
2.

5 2z 1
1 0.8 z 1

Xác định đáp ứng DC và AC của bộ lọc trên. Tính hằng
số thời gian hiệu quả neff để đạt đến = 1%


3. Đáp ứng hình sine


-

Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm

trên vòng tròn đơn vị.
Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị
*
1

Bộ lọc sẽ có cực liên hợp: p

e

j

ej

p1

Giả sử các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị

-

Đáp ứng quá độ

H

y ( n)

n

0

ej

H

0n

B1e j
0

ej

0n

1n

.

1

-

y ( n)

1

B1*e
B1e j

1n

j 1n

B2 p2n ...

B1*e

j 1n


3. Đáp ứng hình sine


Nếu

0

1

ổn định. Ví dụ:

Y ( z)

thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra không
0

1

e

j

1

e

j

0

p1

N ( z)
(1 p1 z 1 ) 2 (1 p2 z 1 )...(1 pM z 1 )

B1
B1'
        
1 p1 z 1 (1 p1 z 1 ) 2
1
Z
n
(
n
1
)
a
u ( n)
Biết: (1 az 1 ) 2

B2
1 p2 z

1

...

1



y ( n)

B1e j

1n

B1' (n 1)e j

1n

B2 p2n ...


4. Thiết kế cực – zero
1.

Các bộ lọc bậc nhất
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc bậc 1 có hàm truyền dạng
G (1 bz 1 )
H ( z)
1 az 1
với 0< a,b <1

|H( )|

ej
|H(0)|

-b

a

1

|H( )|
0


4. Thiết kế cực – zero
H
H

0

G (1 b)
H z 1
1 a
G (1 b)
H z
1
1 a
H ( ) (1 b)(1 a)

H (0) (1 a )(1 b)

Cần 2 phương trình thiết kế để xác định a và b.


4. Thiết kế cực – zero
Ví dụ : thiết kế bộ lọc có H( )/H(0) = 1/21 và neff = 20 mẫu
để đạt = 1%

a

1 / neff

1 / 20

(0.01)

(1 b)(1 0.8)
(1 b)(1 0.8)

1
21

0.8
b

0 .4

1
1

0
.
4
z
H(z) G
1 0.8 z 1


4. Thiết kế cực – zero
2. Các bộ cộng hưởng
Thiết kế một bộ lọc cộng hưởng bậc hai đơn giản, đáp ứng
có một đỉnh đơn hẹp tại tần số 0
|H( )|2
1

1/2

0

0

/2


4. Thiết kế cực – zero
- Để tạo 1 đỉnh tại = 0, đặt 1 cực p
j 0
*
p
R

.
e
và cực liên hợp

R.e j 0 , 0 < R < 1

G
1 R.e j 0 z 1 1 R.e
G
         
1 a1 z 1 a2 z 2
H ( z)

p
R

1

0

-

j

0

z

1

0

p*

a1

2 R cos

0 ,           a2

R2


4. Thiết kế cực – zero
-

-

Đáp ứng tần số:
H
1 R.e j 0 e

j

Chuẩn hóa bộ lọc: H

G
1 R.e

j

0

e

j

1

0

G

H

0

G

1 R.e

j

0

e

j

0

1 R.e

(1 R ) 1 2 R cos(2

j

0

e

2
)
R
0

j

0

1


4. Thiết kế cực – zero
-

Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng tại ½ cực đại của đáp
ứng biên độ bình phương
2

H

-

-

Tính theo dB:

1
H
2

H
20 log10
H

Giải ra 2 nghiệm

1

và

2

=>

1
2

2

0

10 log10
0

=

2

-

1

1
2

3dB