SKKN Toán 5 đạt giải cấp Tỉnh

A. Đăt vấn đề
I. Lời mở đầu
Quá trình dạy học Toán trong chơng trình Tiểu học đợc chia thành hai giai
đoạn : giai đoạn các lớp 1, 2, 3 và giai đoạn các lớp 4, 5. ở giai đoạn lớp 1, 2, 3 có
thể coi là giai đoạn học tập cơ bản còn giai đoạn lớp 4, 5 có thể coi là giai đoạn học
tập sâu( so với giai đoạn trớc). ở lớp 1, 2, 3 học sinh chủ yếu chỉ nhận biết khái niệm
ban đầu, đơn giản qua các ví dụ cụ thể với sự hỗ trợ của các vật thực hoặc mô hình,
tranh ảnh, ... do đó chủ yếu chỉ nhận biết cái toàn thể, cái riêng lẻ, cha làm rõ
các mối quan hệ, các tính chất của sự vật, hiện tợng. Giai đoạn lớp 4, 5 học sinh vẫn
học tập các kiến thức và kĩ năng cơ bản của môn toán nhng ở mức sâu hơn, khái quát
hơn, tờng minh hơn . Nhiều nội dung toán học có thể coi là trừu tợng, khái quát đối
với học sinh ở giai đoạn lớp 1, 2, 3 thì đến lớp 4, 5 lại trở nên cụ thể, trực quan và đ-
ợc dùng làm chỗ dựa ( cơ sở) để học các nội dung mới. Một minh chứng cụ thể cho
điều này là nội dung Hình học ở Tiểu học: Chẳng hạn ở lớp 1, 2, 3 học sinh chỉ nhận
biết về hình tam giác, hình tròn dựa vào biểu tợng. Sang lớp 4, 5 học sinh nhận biết
hình tam giác, hình tròn, ... dựa vào đặc điểm của hình( các yếu tố cạnh, góc, đỉnh
của hình tam giác; các yếu tố nh tâm bán kính, đờng kính của hình tròn). Chính vì
điều này mà yêu cầu về kiến thức, kĩ năng, phơng pháp dạy ở mỗi giai đoạn cũng có
sự khác nhau.
Bản thân tôi là một giáo viên nhiều năm đợc phân công dạy lớp 4, 5. Bên cạnh
đó tôi còn đợc phân công mảng bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán. Khi dạy, tôi rất
quan tâm và đầu t cho phần Hình học vì đây là một nội dung khó đối với học sinh.
Nội dung của Hình học ở tiểu học rất đa dạng và xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Ví
dụ : điểm, đoạn thẳng... ở lớp 1; hình vuông , hình chữ nhật... ở lớp 2; chu vi, diện
tích, ...ở lớp 3; hình bình hành, hình thoi ở lớp 4; diện tích xung quanh, thể tích, ...ở
lớp 5 . Dạng bài tập về đếm hình cũng là một nội dung đợc chơng trình đề cập đến
suốt từ lớp 1 đến lớp 5.
Ngay từ lớp 1, học sinh đ đã ợc học các bài toán về đếm hình nhng ở
dạng đơn giản, sang lớp 2, 3, 4 lợng bài tập về dạng này ngày càng tăng
và yêu cầu về ,mức độ mỗi ngày một khó hơn. Chính vì thế đếm hình trở
nên gần gũi và quen thuộc đối với các em. Đếm hình giúp cho các em có

một cách suy nghĩ, một phơng pháp tơng tự , năng lực khái quát khi
tập quan sát giải quyết vấn đề trớc một bài toán ( một tình huống) có
trong thực tế.
Nói đến đếm hình tởng nh đơn giản nhng khi dạy đếm hình, tôi
thấy mình còn gặp nhiều khó khăn về phơng pháp dạy .Song với trách
nhiệm của một giáo viên, tôi đ có đã ợc sự đầu t nhất định trong việc
nghiên cứu, tìm tòi để đa ra một phơng pháp dạy phù hợp giúp cho quá
trình dạy bồi dỡng học sinh giỏi của mình đạt hiệu quả.Trong khuôn
khổ bài viết tôi xin đợc nêu ra một số kinh nghiệm về Rèn kĩ năng
giải các bài toán về đếm hình cho học sinh giỏi lớp 4, 5. Rất mong
bạn đọc góp ý để giúp tôi có thêm kinh nghiệm vận dụng vào quá trình
dạy học đợc tốt hơn.

II.Thực trạng về việc dạy- học dạng bài đếm hình
1.Thực trạng
a. Thực trạng dạy của giáo viên
Những năm học trớc, khi dạy bồi dỡng học sinh giỏi Toán phần
Hình học (dạng bài về đếm hình), do cha có kinh nghiệm nên tôi thờng
gặp đâu dạy đấy, không dạy theo một hệ thống phơng pháp hay một
quy tắc nào. Hơn nữa là sự chủ quan của bản thân vì tôi cho rằng đếm
hình là dễ đối với học sinh, chỉ dùng phơng pháp đếm thủ công học
sinh cũng có thể đếm đợc nên khi dạy tôi thờng bỏ qua một số giai đoạn
thực sự cần thiết giúp cho các em có kĩ năng làm bài .Chẳng hạn: khi
dạy học sinh đếm số hình vuông hoặc hình chữ nhật trong một hình cho
trớc tôi thờng cho học sinh dựa vào trực giác( quan sát hình bằng mắt)
để đếm từng hình sau đó rút ra kết luận về số hình mà đề bài yêu cầu
chứ không hình thành và khắc sâu cho học sinh một quy tắc hay một kĩ
năng đếm nào cả. Dẫn đến học sinh nắm bài một cách hời hợt, kết quả
bài làm thấp.
b. Thực trạng học của học sinh:

Do những lí do từ phía giáo viên nên khi dạy dạng toán này cho học sinh tôi
nhận thấy một thực tế : các em thờng rất lúng túng trong khâu làm bài nh: Không
biết đếm loại hình nào trớc, loại hình nào sau; không biết dựa vào cơ sở nào để đếm.
Đa số các em gặp đâu đếm đó, cũng có em đã biết phân loại hình để đếm nhng số
này rất ít. Nói chung kĩ năng đếm hình của các em còn hạn chế . Còn về khâu trình
bày lời giải các em cũng bộc lộ nhiều điểm yếu nh : Không biết trình bày lời giải
hoặc trình bày lời giải cộc lốc theo câu hỏi mà đề bài đã hỏi . Chẳng hạn: ở hình vẽ
có a hình tam giác; hoặc ở hình vẽ có b hình tứ giác; số hình tam giác có trong hình
là...Chính vì thế mà kết quả nắm kiến thức và vận dụng vào bài làm của học sinh
những năm học trớc là rất khiêm tốn.
2. Kết quả của thực trạng trên
Điều tra thực trạng tôi đã phân loại hai thực trạng nh sau:
Đánh giá kĩ năng làm bài của học sinh Tỉ lệ phần trăm
Đếm đủ số hình theo yêu cầu của đề bài
45,4 %
Đếm đủ số hình bé mà bỏ sót hình lớn
27,3 %
Đếm hình bi lặp lại
18,2 %
Cha biết vận dụng hoặc còn lúng túng
9,1 %
Để khắc phục tình trạng trên tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và đa ra cho mình một
phơng pháp dạy phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh, nâng cao hiệu quả
dạy học.
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện
1.Giải pháp thứ nhất: Tìm hiểu và phân tích nguyên nhân
Sau khi điều tra tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có 3 lí do dẫn đến chất lợng bài
làm thấp đó là:
- Nguyên nhân thứ nhất: Giáo viên hớng dẫn học sinh lĩnh hội

kiến thức không có hệ thống gặp đâu dạy đấy vì vậy học sinh nắm bài
hời hợt.
- Nguyên nhân thứ hai: Trong quá trình dạy, giáo viên cha biết cách giúp học
sinh ghi nhớ về phơng pháp giải từng dạng bài.
- Nguyên nhân thứ ba là : Một số học sinh cha nắm vững đặc
điểm, bản chất của một số hình đ học.ã
2. Giải pháp thứ hai: Nghiên cứu tài liệu sách tham khảo kết
hợp với những kinh nghiệm của bản thân để xây dựng cho mình một
phơng pháp dạy phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh.Cụ thể
các phơng pháp áp dụng là: Gợi mở vấn đáp, luyện tập thực hành...
3. Giải pháp thứ ba: Xây dựng hệ thống bài tập theo từng mức độ
và từng giai đoạn nhận thức của học sinh.hệ thống bài tập gồm:
- Bài tập củng cố.
- Bài tập nâng cao.
- Bài tập mở rộng và vận dụng thực tế
4. Giải pháp thứ t: Lên kế hoạch và tổ chức thực hiện kế hoạch,
có đánh giá rút kinh nghiệm
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện:
Khi dạy dạng toán về đếm hình tôi thờng làm theo một quy trình
nh sau.
1. Củng cố cho học sinh cách đếm hình bằng phơng pháp thông thờng đã
học ở lớp dới
Nh chúng ta đã biết, ở lớp 1, 2, 3 học sinh đã làm quen với các bài toán về
đếm hình nh: Đếm số hình tam giác, đếm số hình vuông, hình chữ nhật, đếm số đoạn
thẳng... nhng các bài toán này thờng ở dạng đơn giản mà bằng cách đếm thủ công
học sinh cũng có thể đếm đợc. Lên lớp 4,5 có nhiều bài toán nếu dùng cách đếm ấy
chắc chắn học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy mục đích của việc củng cố này
là giúp học sinh khắc sâu những kiến thức đã học trớc đó và tiếp sau đó khi học
những bài toán cùng dạng nhng mức độ khó hơn, yêu cầu cao hơn thì học sinh thấy
đợc sự khó khăn khi dùng cách đếm cũ ( đã học ) từ đó mà giáo viên gợi mở đợc vấn

đề giúp các em tìm ra cách làm mới có hiệu quả .
a. Những ví dụ minh ho ạ
* Ví dụ 1: Hình dới có bao nhiêu đoạn thẳng?

- Bớc 1:Phân tích
Trớc hết giáo viên cần củng cố cho học sinh hiểu rõ về điều kiện để có một đoạn
thẳng là :
+ Có hai đầu mút, hai đầu mút chính là hai điểm .
A C D
E
B
H
+ Nếu chọn một trong các điểm của hình là đầu mút thứ nhất thì điểm còn lại
làm đầu mút thứ hai.
+ Kể từ trái sang phải : Ta chọn lần lợt từng điểm làm đầu mút thứ nhất của
đoạn thẳng thì các điểm còn lại làm đầu mút thứ hai, thứ ba,...
-Bớc 2: Hớng dẫn giải bài toán :

Bài giải
- Cách1:
+ Có 5 đoạn thẳng nhận A làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 4 đoạn thẳng nhận C làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 3 đoạn thẳng nhận D làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 2 đoạn thẳng nhận E làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
+ Có 1 đoạn thẳng nhận B làm đầu mút thứ nhất của mỗi đoạn thẳng
Vậy số đoạn thẳng có trong hình là
5 +4 + 3 + 2 + 1 = 15 ( đoạn thẳng)
Đáp số : 15 đoạn thẳng
Cách 2:
+ Có 5 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng chỉ có 1 đoạn thẳng nhỏ

( AC; CD; DE; EH ; HB)
+ Có 4 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 2 đoạn thẳng nhỏ
( AD; CE; DH;EB)
+ Có3 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 3 đoạn thẳng nhỏ
(AE; CH; DB)
+ Có 2 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 4 đoạn thẳng nhỏ
(AH; CB)
+ Có 1 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng gồm 5 đoạn thẳng nhỏ
(AB)
Vậy số đoạn thẳng có trong hình là:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15( đoạn thẳng)
Đáp số : 15 đoạn thẳng
Sau phần này tôi lu ý học sinh: Có thể đếm theo cách quen thuộc đã gặp :
đếm số đoạn thẳng nhỏ trớc rồi đếm các đoạn thẳng lớn hơn sau đó cộng tổng các
đoạn thẳng lại.
* Ví dụ 2: ở hình bên
có bao nhiêu tam giác


-Bớc 1: Phân tích
Ta thấy tất cả các tam giác đều có chung đỉnh A nên cứ lấy điểm A kết hợp
với hai điểm còn lại nằm trên đoạn thẳng BC ta lại đợc một tam giác .Vậy số lợng
các tam giác phụ thuộc vào hai điểm còn lại, hai điểm đó tạo thành đoạn thẳng nằm
A
B H
K
C
2
1
3

trên BC ( Số đoạn thẳng đó nằm trên đoạn thẳng lớn BC gồm các đoạn thẳng:
BH,HK, KC, KB, HC, BC )
Ngoài ra nếu ta đánh số thứ tự nh hình vẽ ta có thể thấy các tam giác gồm một
tam giác nhỏ ; hai tam giác nhỏ; ba tam giác nhỏ vì vậy ta có thể đếm hình dựa vào
số thứ tự có trong hình đó
- Bớc 2: Hớng dẫn giải bài toán
Bài giải
+ Cách 1: Ta thấy tất cả các tam giác đều có chung đỉnh A và đáy tam giác đó
là đoạn thẳng nằm trên đoạn BC vậy ta liệt kê đợc 6 tam giác theo tên đỉnh của nó
là: ABH, AHK, AKC, AKB, AHC, ABC
+ Cách 2: Nếu đánh số thứ tự và liệt kê các tam giác ta đợc 6 tam
giác theo số thứ tự đ ghi trong hình là: : Hình 1, Hình 2, Hình 3,ã
Hình( 1+2); Hình( 2+3); Hình( 1+2+3)
*Để tránh việc áp đặt học sinh, sau phần này tôi lu ý các em:
Không chỉ có hai cách đếm nêu trên mà còn có các cách đếm khác nữa
các em có thể tham khảo thêm hoặc tìm tòi nghiên cứu để tìm thêm một
số cách đếm khác nâng cao kĩ năng làm bài cho mình.

* Ví dụ 3:
Hình bên có bao nhiêu hình chữ nhật?

Bài giải
Cách 1: Nếu đặt tên cho các điểm trong
hình ta liệt kê đợc 6 hình chữ nhật có tên
là: ABNM; MNPQ; QPCD; ABPQ; MNCD; ABCD.
Cách 2: Nếu đánh số cho các hình ta sẽ tìm đợc 6 hình chữ nhật đó là: Hình1;
Hình 2; Hình3; Hình( 1+2); Hình(2+3); Hình(1+2+3)
b. Rút ra những điểm cần lu ý sau 3 ví dụ trên:
- Cách đếm thứ nhất không theo một quy luật nào nên cách đếm này thờng
chỉ phù hợp với những bài toán có số lợng hình yêu cầu đếm ít ( nh ba ví dụ trên).

Còn nếu có những bài toán mà đỉnh của các tam giác nh trong ví dụ 1 nhiều lên
hoặc số điểm nằm trên đờng thẳng của ví dụ 1 tăng lên thì chắc chắn học sinh sẽ
đếm thiếu hoặc đếm bị lặp lại.
- Cách đếm thứ hai có tốt hơn vì việc đánh số thứ tự hình đơn, hình ghép
đôi, hình ghép ba thì khi đếm sẽ không bỏ sót hình nhng cũng sẽ vất vả hơn khi
phải liệt kê quá nhiều tam giác( trờng hợp số đỉnh trong ví dụ 2 nhiều lên hoặc số
điểm trên đờng thẳng tăng lên.)
2. Vận dụng đếm hình bằng phơng pháp thông thờng với những bài toán
có tính chất nâng cao.
1
2
3
A B
Q PP
M N
D
CP
Với những cách đếm hình nêu trên , tôi tiếp tục ra cho học sinh những bài toán
tơng tự nhng với số lợng hình cần đếm tăng lên. Mục đích của việc dạy các bài toán
này là giúp học sinh thấy đợc cái thuận lợi và khó khăn khi vận dụng từng cách đếm
vào bài làm của mình để từ đó tìm tòi phát hiện ra cách đếm thuận lợi nhất cho các
bài toán dạng này
a. Những ví dụ minh hoạ
* Ví dụ 1: Hình bên có bao nhiêu tam giác?
- Bớc1: Phân tích
ở hình vẽ có những tam giác mà chỉ gồm một tam giác nhỏ, có những tam
giác gồm 4 tam giác nhỏ gộp lại. ở đây không có hình tam giác nào mà mỗi hình
gồm 2 hoặc ba tam giác.Vậy dựa vào những căn cứ nêu trên ta có thể đếm theo từng
loại tam giác : Tam giác có một tam giác nhỏ, tam giác có 3 tam giác nhỏ,...
- Bớc 2: Hớng dẫn giải bài toán:

Bài giải
+Có 9 hình tam giác mà mỗi hình chỉ gồm 1 tam giác nhỏ
+Có 3 hình tam giác mà mỗi hình chỉ gồm 4 tam giác nhỏ
+Có 1 hình tam giác mà mỗi hình gồm 9 tam giác nhỏ
Vậy số hình tam giác đếm đợc là: 9 + 3 + 1= 13( hình)
Đáp số : 13 hình
* Ví dụ 2. ở hình vẽ bên (Các hình chữ nhật nhỏ có cùng chiều dài và chiều
rộng). Đếm số hình chữ nhật có trong hình vẽ đó? Có những loại hình chữ nhật
nào
- Bớc 1: Phân tích.
Nếu ta coi chiều dài của mỗi hình chữ nhật bé là a, chiều rộng của mỗi hình
chữ nhật bé là b. Ta có
+ Loại hình chữ nhật có chiều dài là a,chiều rộng là b.
+ Loại hình chữ nhật có chiều dài là a x 2; a x 3... chiều rộng là b
...v v
Dựa vào đặc điểm đó ta sẽ đếm đợc số hình chữ nhật theo từng loại
-Bớc 2: Hớng dẫn Giải bài toán
Bài giải
+ Có 9 hình chữ nhật có chiều dài là a ;chiều rộng là b
+ Có 6 hình chữ nhật có chiều dài là a x 2 ; chiều rộng là b;
+ Có 3 hình chữ nhật có chiều dài là a x 3; chiều rộng là b;
+ Có 6 hình chữ nhật có chiều dài là a; chiều rộng là b x 2;
+ Có 4 hình chữ nhật có chiều dài là a x 2; chiều rộng là b x 2;
+ Có 2 hình chữ nhật có chiều dài là a x 3 ;chiều rộng là b x 2 ;
+ Có 3 hình chữ nhật có chiều dài là a ;chiều rộng là b x 3;
+ Có 2 hình chữ nhật có chiều dài là a x 2 ;chiều rộng là b x 3;
+ Có 1 hình chữ nhật có chiều dài là a x 3; chiều rộng là b x 3;
Số hình vẽ đã cho trong hình chữ nhật là
9 + 6 + 3 + 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 36 (hình)
( Lu ý hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b , thì cũng chính là hình chữ

nhật có chiều rộng là b và chiều dài là a.Tơng tự hình chữ nhật có chiều dài là bx2 và
a x2... )
Đáp số: 36 hình

* Ví dụ 3. Mỗi hình vuông nhỏ trong hình có cạnh 1 cm
a. ở hình vẽ có bao nhiêu hình chữ nhật .
b. Tính tổng chu vi và tổng của tất cả các hình vuông , hình chữ nhật
- Bớc 1: Phân tích.
+ Yêu cầu ở câu a là đếm số hình chữ nhật trong hình có nghĩa là ngoài việc
đếm số hình chữ nhật ta còn phải tính cả hình vuông (vì hình vuông là hình chữ
nhật đặc biệt có chiều dài bằng chiều rộng)
+ Yêu cầu ở câu b đã yêu cầu tính riêng số hình vuông thì ta chỉ xét những
hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng .
Chính vì thể trong cách đếm hình cần chỉ rõ hai loại hình chữ nhật: có chiều dài
bằng chiều rộng và hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng
- Bớc 2: Hớng dẫn giải bài toán.
Bài giải
a. Đếm số hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng( Hình chữ nhật đặc biệt
thông thờng ta gọi là hình vuông) ta đợc:
+ Số hình vuông có cạnh 1 cm là 12 hình
+ Số hình vuông có cạnh 2 cm là 6 hình
+ Số hình vuông có cạnh 3 cm là 2 hình
Đếm số hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng ta có:
+ 17 hình chữ nhật chiều rộng 1 cm chiều dài 2 cm