Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương

B¸GI ODÖCV
I H¯C TH I NGUY N

OT O

L×U PH×ÌNG TH O

V M˘ UN COHEN-MACAULAY SUY R¸NG CH NH T C V M¸T S¨
QUß T CH KH˘NG COHEN-MACAULAY
TR N V NH NOETHER

LU N

ÀA PH×ÌNG

NTI NS TO NH¯C

TH INGUY N-N M2019


B¸GI ODÖCV
I H¯C TH I NGUY N

OT O

L×U PH×ÌNG TH O

V M˘ UN COHEN-MACAULAY SUY R¸NG CH NH T C V M¸T S¨
QUß T CH KH˘NG COHEN-MACAULAY
TR N V NH NOETHER

ÀA PH×ÌNG

Chuy¶n ng nh: ⁄i sŁ v Lþ thuy‚t sŁ
M¢ sŁ: 9 46 01 04

LU N

NTI NS TO NH¯C

NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C:
GS. TS. L¶ Thà Thanh Nh n
TS. Trƒn Nguy¶n An

TH INGUY N-N M2019


Tâm t›t
Cho (R; m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, M l R-mæ un hœu
h⁄n sinh câ chi•u Krull dim M = d: Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa
M, kþ hi»u nCM(M), l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ p cıa R sao cho M p khæng l
Cohen-Macaulay. Khi R l th÷ìng cıa mºt v nh Gorenstein àa
ph÷ìng, M câ mæ un ch‰nh t›c K M : Ta nâi M l Cohen-Macaulay ch‰nh
t›c (t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c) n‚u mæ un ch‰nh
t›c KM cıa M l Cohen-Macaulay (t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rºng).

Lu“n ¡n nghi¶n cøu v• mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh
t›c v mºt sŁ quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay: quÿ t‰ch khæng
Cohen-Macaulay

nCM(M);

quÿ

t‰ch

khæng

Cohen-Macaulay

nCM(KM ); v quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s cıa M;
kþ hi»u l nCM>s(M): Trong lu“n ¡n, chóng tæi °c tr÷ng c§u tróc cıa mæ
un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c. Chóng tæi l m rª mŁi quan h»
giœa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c K M v
quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa M: Chóng tæi công nghi¶n cøu
t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa mæ un Łi çng i•u àa
ph÷ìng Artin qua chuy”n phflng, tł â ÷a ra cæng thøc t‰nh chi•u cıa
quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s:
Lu“n ¡n ÷æc chia th nh 4 ch÷ìng. Ch÷ìng 1 nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n
thøc cì sð v• mæ un Cohen-Macaulay, mæ un Cohen-Macaulay suy
rºng, mæ un Artin, mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t.
Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m h» tham sŁ ch‰nh
t›c, ch¿ ra mŁi quan h» giœa h» tham sŁ ch‰nh t›c v h» tham sŁ chu'n


2

tc. Chúng tổi thit lp c trững ca mổ un Cohen-Macaulay suy rng ch
nh tc thổng qua hằ tham s chnh tc v cÊi tin cĂc kt quÊ trữợc Ơy
v cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay suy rng chnh tc.
Trong Chữỡng 3, chúng tổi ữa ra mi liản hằ gia chiu ca qu t

ch khổng Cohen-Macaulay ca mổ un M v chiu ca qu tch
khổng Cohen-Macaulay ca mổ un chnh tc K M : c biằt hỡn, chúng
tổi ch ra rng, ngo i mi quan hằ bao h m nCM(K M ) nCM(M) th hai
qu tch n y hu nhữ l c lp vợi nhau.
Trong Chữỡng 4, chúng tổi l m rê sỹ thay i ca tp i ảan nguyản
t gn kt, chiu v s bi ca mổ un i ỗng iu a phữỡng Artin qua
chuyn phflng : Rp ! RbP; trong õ P 2 Spec(Rb) v p = P \ R: Sò dửng
kt quÊ n y, chúng tổi ữa ra cổng thức tnh chiu ca qu tch
khổng Cohen-Macaulay theo chiu > s:


Lới cam

oan

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trnh nghiản cứu ca tổi. CĂc kt quÊ
vit chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữổc sỹ nhĐt tr ca ỗng tĂc giÊ trữợc khi
ữa v o lun Ăn. CĂc kt quÊ nảu trong lun Ăn l trung thỹc v chữa tng ữổc
cổng b trong bĐt ký mt cổng trnh n o khĂc.

TĂc giÊ

Lữu Phữỡng ThÊo


Lới cÊm ỡn
Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn vổ hn tợi cổ giĂo knh yảu ca tổi GS. TS. Lả Th Thanh Nh n. Cổ Â tn tnh ch bÊo, hữợng dÔn tổi t
nhng ng y u tiản tp l m nghiản cứu khoa hồc. Vợi tĐt cÊ nim am mả
nghiản cứu khoa hồc v tƠm huyt ca ngữới thy, cổ Â truyn thử cho tổi
khổng ch v tri thức toĂn hồc m cặn v phữỡng phĂp nghiản cứu, cĂch

phĂt hiằn v giÊi quyt vĐn . Cổ l tĐm gữỡng sĂng cho lợp hồc trặ chúng
tổi phĐn Đu noi theo v nhng nỉ lỹc vữổt qua khõ khôn t tợi th nh
cổng.
Tổi cụng xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi thy giĂo hữợng dÔn thứ
hai ca tổi - TS. Trn Nguyản An. Thy  luổn quan tƠm, ng viản, kh
ch lằ v hỉ trổ tổi trong sut quĂ trnh hồc tp, nghiản cứu.
Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn GS. TSKH. Nguyn Tỹ Cữớng. Thy l
ngữới u tiản giÊng dy cho tổi nhng kin thức v i s giao hoĂn t
nhng ng y tổi cặn l hồc viản cao hồc. Cho tợi nay, khi tổi hồc
nghiản cứu sinh, thy vÔn luổn quan tƠm, giúp ù v ng viản tổi trong
sut quĂ trnh hồc tp.
Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban giĂm hiằu, Phặng o to Sau i hồc,
Khoa ToĂn Tin, Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản  to mồi iu
kiằn thun lổi cho tổi hồc tp.
Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban giĂm hiằu trữớng i hồc Sữ phm - i
hồc ThĂi Nguyản  cho tổi cỡ hi ữổc i hồc tp v nghiản cứu. c biằt,
tổi xin b y tọ lặng bit ỡn n Ban ch nhiằm Khoa ToĂn, cĂc thy cổ giĂo
v ỗng nghiằp trong T Hnh hồc - i s, Khoa ToĂn, Trữớng i hồc Sữ
phm  quan tƠm ng viản v giúp ù nhiu mt trong thới


5

gian tổi l m nghiản cứu sinh.
Tổi xin cÊm ỡn ch Nguyn Th Kiu Nga, em Trn ỉ Minh ChƠu
cũng cĂc anh ch em trong nhõm seminar i s i hồc ThĂi Nguyản Â
luổn ỗng h nh cũng tổi, ng viản, khch lằ, chia sã vợi tổi trong hồc
tp cụng nhữ trong cuc sng.
Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi nhng ngữới thƠn trong gia
nh ca mnh, c biằt l B mà, Chỗng v hai Con trai yảu quỵ, Â luổn

ng viản, chia sã khõ khôn v luổn mong mọi tổi th nh cổng. õ l nguỗn
ng viản rĐt lợn, giúp tổi vữổt qua khõ khôn tổi cõ th ho n th nh lun
Ăn n y.

TĂc giÊ

Lữu Phữỡng ThÊo


6

Möc löc
Mð ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ch÷ìng 1. Ki‚n thøc chu'n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1. Mæ
un Cohen-Macaulay v Cohen-Macaulay suy rºng . . . . . . . . 18 1.2. Mæ un
Artin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. Mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 Ch÷ìng 2. Mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c . . . 28 2.1. H»
tham sŁ ch‰nh t›c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ch÷ìng 3. Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh
t›c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1. Mºt sŁ t‰nh ch§t qua chuy”n phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c . . . . . . . 51
Ch÷ìng 4. Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin qua chuy”n phflng v quÿ t‰ch
khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s. . . . . . . . . 58 4.1. I ¶an nguy¶n tŁ
g›n k‚t cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng qua chuy”n
phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Chi•u v bºi qua chuy”n phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s qua chuy”n phflng

70
K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


7

M

u

Cho (R; m) l mt v nh giao hoĂn Noether a phữỡng vợi m l i ảan
cỹc i duy nhĐt, M l R-mổ un hu hn sinh cõ chiu Krull dim M = d.
Ta luổn cõ mi liản hằ gia hai bĐt bin sƠu v chiu ca M ữổc cho
bi cổng thức depth M dim M. Nu depth M = dim M th M ữổc
gồi l mổ un Cohen-Macaulay. Khi R l R-mổ un Cohen-Macaulay, th
ta nõi R l v nh Cohen-Macaulay. Lợp mổ un Cohen-Macaulay v cĂc m
rng ca chúng  thu hút sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiu nh toĂn hồc
trản th giợi. CĐu trúc ca nhng lợp mổ un n y  ữổc c trững qua hu
ht lỵ thuyt quen bit ca i s giao hoĂn (s bi, i ỗng iu a phữỡng, a
phữỡng hõa, y hõa,...). CĂc mổ un n y xuĐt hiằn trong nhiu lắnh vỹc
khĂc nhau ca ToĂn hồc nhữ i s ỗng iu, Lỵ thuyt bĐt bin, T hổp v
Hnh hồc i s.
Lun Ăn liản quan n hai hữợng m rng lợp mổ un CohenMacaulay sau Ơy. M rng thứ nhĐt l dỹa theo hiằu s I(x; M) gia d i
(M=xM) v s bi e(x; M) vợi x l hằ tham s ca M: Chú ỵ rng

M l Cohen-Macaulay nu v ch nu I(x; M) = 0 vợi mt (hoc vợi mồi) hằ

tham s x. T õ, mt giÊ thuyt ữổc t ra bi D. A. Buchsbaum [11]
nôm 1965 nhữ sau: I(x; M) := (M=xM) e(x; M) l mt hng s khổng phử
thuc v o hằ tham s x ca M. CƠu trÊ lới ph nh cho giÊ thuyt
ữổc W. Vogel v J. Stuckrad [51] ữa ra nôm 1973, v hồ Â nghiản cứu
lợp v nh v mổ un thọa mÂn iu kiằn ca giÊ thuyt, ữổc gồi l v nh
v mổ un Buchsbaum [42]. Nôm 1978, N. T. Cữớng, P. Schenzel v N. V.

Trung [48] Â giợi thiằu mt m rng ca lợp mổ un Buchsbaum, õ l lợp
mổ un M thọa mÂn iu kiằn sup I(x; M) < 1, trong õ cn trản lĐy theo
mồi hằ tham s x ca M, v hồ gồi chúng l mổ un Cohen-Macaulay suy


8

rng. Ng y nay, khĂi niằm mổ un Buchsbaum v mổ un Cohen-Macaulay
suy rng  tr nản rĐt quen bit trong i s giao hoĂn. Tip tửc m rng theo
hữợng n y, ta ữổc lợp mổ un Cohen-Macaulay theo chiu > s;

vợi s 1 l s nguyản (xem [45]). Chú ỵ rng M l Cohen-Macaulay nu v
ch nu nõ l Cohen-Macaulay theo chiu > 1: Khi R l thữỡng
ca v nh Cohen-Macaulay, th M l Cohen-Macaulay suy rng nu v ch
nu M l Cohen-Macaulay theo chiu > 0:
Hữợng m rng thứ hai ca lợp mổ un Cohen-Macaulay l dỹa v o
cĐu trúc ca mổ un chnh tc, trong trữớng hổp R l Ênh ỗng cĐu ca
0

0

0

mt v nh Gorenstein a phữỡng (R ; m ) chiu n : Vợi mỉi s nguyản
i
n
i
0
i
i
0; t K
:= Ext 0 (M; R ): Khi õ K
l R-mổ un hu hn sinh
M

v

0

R

M

ữổc gồi l mổ un khuyt thứ i ca M: c biằt, vợi i = d ta kỵ hiằu
d

KM := KM v gồi l mổ un chnh tc ca M: Khi KM l CohenMacaulay, ta nõi M l

Cohen-Macaulay chnh tc. Chú ỵ rng nu M

l mổ un Cohen-Macaulay th KM cụng l mổ un Cohen-Macaulay. V
th, lợp mổ un Cohen-Macaulay chnh tc l mt m rng ca lợp mổ un
Cohen-Macaulay. KhĂi niằm v nh v mổ un Cohen-Macaulay chnh tc

xuĐt phĂt t b i toĂn sau: GiÊ sò (R; m) l mt min nguyản, a phữỡng.
Kỵ hiằu Q(R) l trữớng cĂc thữỡng ca R: CƠu họi tỹ nhiản t ra l tỗn ti hay
khổng mt v nh trung gian R B Q(R) sao cho B l R-mổ un hu hn
sinh v B l v nh Cohen-Macaulay? V nh B nhữ trản (nu tỗn ti) ữổc gồi l
Macaulay hõa song hu t ca R: Ơy l b i toĂn quan trồng trong i s giao
hoĂn. Nôm 2004, P. Schenzel [38] Â chứng minh rng mt min nguyản
Noether a phữỡng R cõ Macaulay hõa song hu t nu v ch nu R l v
nh Cohen-Macaulay chnh tc. Nôm 2006, L. T. Nh n [33] Â ữa ra mt
c trững ca mổ un Cohen-Macaulay chnh tc thổng qua tnh triằt
tiảu ca d i thng dữ ca mổ un i ỗng iu a phữỡng ứng vợi hằ tham
s l f-dÂy cht giợi thiằu trong [15]. Tip theo,


9

nôm 2012, M. Brodmann v L. T. Nh n [5] Â ch ra rng vợi iu kiằn d 4 v
x l phn tò tham s f-cht, th M l Cohen-Macaulay chnh tc khi v
ch khi M=xM l Cohen-Macaulay chnh tc. Mt cĂch tỹ nhiản, N. T. H.
Loan v L. T. Nh n [26] Â giợi thiằu lợp mổ un Cohen-Macaulay suy rng ch
nh tc, õ l lợp cĂc mổ un M sao cho KM l Cohen-Macaulay suy rng. Hồ
 c trững lợp mổ un n y thổng qua sỹ tỗn ti chn u cho cĂc d i thng dữ
ca cĂc mổ un i ỗng iu a phữỡng ứng vợi cĂc hằ tham s l f-dÂy cht.
Chú ỵ rng nu M l Cohen-Macaulay suy rng, th M l Cohen-Macaulay
suy rng chnh tc.
Lun Ăn nghiản cứu lợp mổ un Cohen-Macaulay suy rng chnh tc

v mt s qu tch khổng Cohen-Macaulay trản v nh Noether a
phữỡng. Mửc ch thứ nhĐt ca lun Ăn l c trững cĐu trúc ca lợp mổ un
Cohen-Macaulay suy rng chnh tc khi R l thữỡng ca v nh Gorenstein

a phữỡng. Mửc ch thứ hai l l m rê mi quan hằ gia qu tch
khổng Cohen-Macaulay ca mổ un chnh tc K M v qu tch khổng
Cohen-Macaulay ca M: Mửc ch thứ ba l nghiản cứu tp i ảan nguyản
t gn kt, chiu v s bi ca mổ un i ỗng iu a phữỡng Artin dữợi tĂc
ng ca chuyn phflng Rp ! RbP; trong õ P 2 Spec(Rb); p = P \ R v R tũy
ỵ khổng nhĐt thit l thữỡng ca v nh Gorenstein, t õ ữa ra cổng thức tnh
chiu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay theo chiu > s:
V phữỡng phĂp nghiản cứu, c trững lợp mổ un Cohen-Macaulay
suy rng chnh tc, chúng tổi khai thĂc nhng tnh chĐt c thũ ca mổ
un i ỗng iu a phữỡng Artin v sò dửng linh hot cĂc hằ tham s l f-dÂy cht.
V mi quan hằ gia hai qu tch khổng Cohen-Macaulay nCM(KM )
v

nCM(M), chúng tổi cn n nh lỵ cĐu trúc ca v nh Buchsbaum [19,

nh lỵ 1.1], nh lỵ cĐu trúc ca mổ un chnh tc qua chuyn phflng [4,
nh lỵ 4.1] v cổng thức chiu ca mổ un khuyt dữợi tĂc ng ca m rng
chuỉi lụy tha hnh thức. nghiản cứu mổ un i ỗng iu


10

a phữỡng dữợi tĂc ng ca chuyn phflng Rp ! RbP; chúng tổi Ăp dửng
hu hiằu tnh chĐt chuyn dch qua a phữỡng hõa v y hõa ca L.
T. Nh n v P. H. Quỵ [35, nh lỵ 1.1] v cổng thức s bi liản kt cho mổ
un i ỗng iu a phữỡng Artin ữổc ữa ra bi M. Brodmann v R. Y. Sharp
[9].
Ngo i phn m u, kt lun v t i liằu tham khÊo, lun Ăn ữổc chia l m
4 chữỡng. Chữỡng 1 nhc li mt s kin thức cỡ s phửc vử cho cĂc chữỡng
sau, bao gỗm cĂc c trững ca mổ un Cohen-Macaulay v mổ un CohenMacaulay suy rng; tp i ảan nguyản t gn kt, chiu v bi ca mổ un Artin;

mổ un chnh tc v mổ un khuyt. Trong Chữỡng 2, chúng tổi trnh b y
cĂc c trững ca mổ un Cohen-Macaulay suy rng chnh tc dỹa theo
phn 2 ca b i bĂo [1]. Chữỡng 3 d nh ữa ra mi quan hằ gia qu tch
khổng Cohen-Macaulay ca mổ un chnh tc KM
v qu tch khổng Cohen-Macaulay ca mổ un M dỹa theo cĂc kt quÊ
trong phn 1 ca b i bĂo [1]. Trong Chữỡng 4, chúng tổi l m rê sỹ thay i
ca tp i ảan nguyản t gn kt, chiu v s bi ca mổ un i ỗng iu

a phữỡng vợi giĂ cỹc i dữợi tĂc ng ca m rng phflng R p ! RbP vợi P 2
Spec(Rb) v p = P \ R: Sò dửng kt quÊ n y, chúng tổi ữa ra cổng thức t
nh chiu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay theo chiu > s: CĂc
kt quÊ ca Chữỡng 4 ữổc vit dỹa theo cĂc b i bĂo [31], [43].
Trong sut lun Ăn, luổn giÊ thit (R; m) l v nh giao hoĂn Noether
a phữỡng, M l R-mổ un hu hn sinh cõ chiu Krull dim M = d:
Trong Chữỡng 2, cho R l
phữỡng. Kỵ hiằu KM l
R-mổ un hu hn sinh v

thữỡng ca mt v nh Gorenstein

mổ un chnh tc ca M. Chú ỵ rng KM l
d

H (M)
m

E(R=m) l
v

a

=

Hom (K ; E(R=m)), trong
R

M

õ

bao ni x ca trữớng thng dữ R=m: Theo N. T. H. Loan

L. T. Nh n [26], M ữổc gồi l mổ un Cohen-Macaulay suy rng ch

nh tc nu KM l Cohen-Macaulay suy rng. Mửc ch ca Chữỡng


11

2 l nghiản cứu cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay suy rng chnh
tc. Trữợc ht ta chú ỵ rng M l Cohen-Macaulay suy rng nu v ch nu
i

R(Hm (M)) < 1 vợi mồi i < d: c biằt, chúng ta cõ cĂc c trững sau Ơy ca
mổ un Cohen-Macaulay suy rng (xem [44], [48]). CĂc phĂt biu sau l
tữỡng ữỡng:

(a) M l Cohen-Macaulay suy rng;
(b) Tỗn ti hằ tham s (x1; : : : ; xd) ca M sao cho

sup I(xn11 ; : : : ; xndd ; M) < 1;
n1;:::;nd2N

(c) Tỗn ti hằ tham s chu'n tc (x1; : : : ; xd) ca M, tức l
2

2

I(x1; : : : ; xd; M) = I(x 1; :::; x d; M):
Hỡn na, nu (x1; : : : ; xd) l hằ tham s chu'n tc ca M, th
d 1 d
1!
I(x1; : : : ; xd; M) =
i
i (Hm (M)):
Xi

=0

Mt c trững tham s ca mổ un Cohen-Macaulay chnh tc
ữổc ữa ra trong b i bĂo ca M. Brodmann v L. T. Nh n [5] nhữ sau: M l
Cohen-Macaulay chnh tc khi v ch khi
2

Rl Hm (M=(x1; : : : ; xd 3)M) = 0
vợi mt (vợi mồi) hằ tham s (x1; : : : ; xd)

ỗng thới l f-dÂy cht ca M:

Ơy, d i thng dữ Rl(A) ca mt R-mổ un Artin A ữổc nh nghắa

t

s

bi R. Y. Sharp v M. Hamieh [41]. Nu s 2 N sao cho m A = m A vợi mồi
s

t s, th Rl(A) := R(A=m A) (xem Tit 2.1).
Mửc ch chnh ca Chữỡng 2 l thit lp mt phiản bÊn cho mổ un
Cohen-Macaulay suy rng chnh tc tữỡng tỹ nhữ cĂc c trững tham s
(a), (b), (c) trản ca mổ un Cohen-Macaulay suy rng, trong õ vai trặ


12

ca hiằu s I(x1; : : : ; xd; M) ữổc thay bng vai trặ ca d i thng dữ
2

Rl Hm (M=(x1; : : : ; xd 3)M) , v vai trặ ca hằ tham s chu'n tc ữổc
thay bng vai trặ ca hằ tham s chnh tc nh nghắa nhữ sau.

nh nghắa 2.1.9. Mt f-dÂy cht x = (x1; : : : ; xd) ữổc gồi l hằ tham
s chnh tc ca M nu
2

2

2

Rl Hm (M=(x1; : : : ; xd 3)M) = Rl Hm (M=(x 1; : : : ; x

2

d 3)M)

:

Nu x ỗng thới va l mt f-dÂy cht hoĂn v ữổc va l mt hằ tham s ch
nh tc ca M, th x ữổc gồi l hằ tham s chnh tc hoĂn v ữổc ca
M.
nh lỵ sau Ơy l kt quÊ chnh u tiản ca lun Ăn, cụng l kt quÊ
chnh duy nhĐt ca Chữỡng 2, ữổc trch ông trong phn 2 ca b i bĂo
[1].
nh lỵ 2.2.4. CĂc phĂt biu sau l tữỡng ữỡng:
(a) M l Cohen-Macaulay suy rng chnh tc.
(b) Tỗn ti mt s nguyản cM sao cho
2

Rl Hm (M=(x1; : : : ; xd 3)M)

cM

vợi mồi f-dÂy cht (x1; : : : ; xd) ca M.
(c) Tỗn ti mt f-dÂy cht (x1; : : : ; xd) ca M sao cho
2 (M=(x n1 ;

n1 ;:::;nd 32N

sup

Rl H

m

: : : ; x nd 3 )M)

1

1:
<

d 3

(d) Tỗn ti mt hằ tham s chnh tc hoĂn v ữổc ca M.
Hỡn na, nu (x1; : : : ; xd) l mt hằ tham s chnh tc hoĂn v ữổc

ca M th

!

Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) =

d 3

X

i

=0

d

i

3

i+2

(Hm

(KM )):


13

Cho (R; m) l mt v nh giao hoĂn Noether a phữỡng v M l R-mổ
un hu hn sinh chiu d. Qu tch khổng Cohen-Macaulay ca M; kỵ
hiằu bi nCM(M), ữổc xĂc nh nhữ sau

nCM(M) = fp 2 Spec(R) j Mp khổng l Cohen-Macaulayg:
Nhn chung, nCM(M) khổng l tp con õng trong Spec(R) vợi tổpổ
Zariski. Nôm 1965, A. Grothendieck [46, IV2, 6.11.2] Â ch ra rng
nCM(M) l õng khi R l thữỡng ca v nh chnh quy. Trong [21], R.
Hartshorne  chứng tọ nCM(M) l õng nu R l thữỡng ca v nh Gorenstein
a phữỡng. Trong trữớng hổp n y, ta cõ mổ tÊ chi tit tp nCM(M) (xem
[49], [50]). Hỡn na, nCM(M) cụng l tp õng khi R l thữỡng ca mt v nh
Cohen-Macaulay a phữỡng (xem [17, Hằ quÊ 4.2(iv)]). Khi nCM(M) l tp
õng, ta cõ th nh nghắa chiu dim nCM(M) ca nõ. Nu M l CohenMacaulay, th nCM(M) = ;, trong trữớng hổp n y chúng ta quy
ữợc dim nCM(M) = 1. Chú ỵ rng dim nCM(M) d 1: Nu M l khổng trn
lÔn (unmixed) th dim nCM(M) d 2:

Mửc tiảu ca Chữỡng 3 l nghiản cứu chiu ca qu tch khổng
Cohen-Macaulay ca mổ un M; chiu ca qu tch khổng CohenMacaulay ca mổ un chnh tc K M v mi liản hằ gia chúng. ị tững
n y xuĐt phĂt t mt kt quÊ ca Y. Aoyama nôm 1980 [3] khi ổng nghiản
cứu v sƠu v tnh Cohen-Macaulay ca mổ un chnh tc. ng Â
chứng minh rng, trong trữớng hổp R khổng l v nh Cohen-Macaulay
th depth KR v depth R khổng phử thuc nhau, cử th l nu cho trữợc
cĂc s nguyản 0 r < n v 2 s n; th luổn tỗn ti v nh a phữỡng y R sao
cho dim R = n; depth R = r v depth KR = s:

nh lỵ sau Ơy l kt quÊ chnh ca Chữỡng 3, ữổc trch ông
trong phn 1 ca b i bĂo [1], trong õ chúng tổi ữa ra mi liản hằ gia
chiu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay ca mổ un M v chiu ca


14

qu tch khổng Cohen-Macaulay ca mổ un chnh tc K M : c biằt hỡn,
chúng tổi ch ra rng, ngo i mi quan hằ bao h m nCM(K M ) nCM(M);
th hai qu tch n y hu nhữ l c lp vợi nhau theo nghắa sau.

nh lỵ 3.2.1. CĂc phĂt biu sau l
(a) dim nCM(KM )

úng.

min fd

3; dim nCM(M)g:

1

(b) Cho cĂc s nguyản n; s; r thọa mÂn

s

n

3v s

r

2. Khi õ luổn tỗn ti mt v nh Noether a phữỡng, y

n

(R; m) sao cho R l khổng trn lÔn v dim R = n, dim nCM(R) = r,
dim nCM(KR) = s:
Chữỡng 4 ữổc vit dỹa theo hai b i bĂo [31] v [43]. Trữợc ht chúng
tổi nghiản cứu tp cĂc i ảan nguyản t gn kt ca mổ un i ỗng iu a
0

0

phữỡng qua chuyn phflng. Cho : (S; n) ! (S ; n ) l mt ỗng cĐu phflng
gia cĂc v nh Noether a phữỡng. Vợi mỉi S-mổ un hu hn sinh L; ta
0

cõ mi quan hằ gia cĂc tp i ảan nguyản t liản kt ca S -mổ un

L

S

0

S v ca S-mổ un L nhữ sau (xem [29, nh lỵ 23.2])
s 2 [S
0
0
AssS0(S =sS );
0
AssS0(L SS )=
Ass L

1

AssS L = f (S) j S 2 AssS0(L

S

0

S )g:

Ta  bit tp cĂc i ảan nguyản t gn kt nh nghắa bi I. G.
Macdonald [27] cho mổ un Artin õng vai trặ quan trồng tữỡng tỹ nhữ
tp cĂc i ảan nguyản t liản kt ca cĂc mổ un hu hn sinh. Mt khĂc,
vợi i

0 l mt s nguyản v

i+r

S S0) v

a phữỡng H (L

0

n0

0

0

r = dim(S =nS ); cĂc mổ un i ỗng iu
i
H
(L) l cĂc mổ un Artin tữỡng ứng trản
n

cĂc v nh S v S. Do õ, mt cƠu họi ho n to n tỹ nhiản t ra l cĂc tp i ảan
nguyản t gn kt ca cĂc mổ un i ỗng iu a phữỡng Artin trản cõ quan
hằ vợi nhau nhữ th n o? Kt quÊ tip theo ca lun Ăn trÊ lới mt phn cho
cƠu họi trản. Cho (R; m) l mt v nh Noether a


15

phữỡng v M l R-mổ un hu hn sinh. GiÊ sò P 2 Spec(Rb), p = P \ R
v rP = dim(RbP=pRbP); trong õ Rb v Mc tữỡng ứng l y m-adic ca R v

M. Khi õ ỗng cĐu : Rp ! RbP cÊm sinh t ỗng cĐu tỹ
nhiản R ! R l ỗng cĐu phflng a phữỡng v M p Rp R = M P : Do õ
P

chúng tổi quan tƠm n mi liản hằ gia hai tp i ảan nguyản t gn kt

b

Att

H

RP

i+r

i

ta cõ H (MP)

b

ngay

P

(M

P

PRP

b

PRP

) v Att
=

H

c

ữổc rng

b

Att

b
c
H (M ) : Trữớng hổp chiu thợ r
i

Rp

i
pRp

p

pRp

(Mp)

Rp

P

b
1

RP(MP)

i

(Mp) = (QRP) j QRP 2 AttRP HP
bM v
b
M, M
c biằt, nu P = mR, th p = m , Mp =
P=
Rp

b

:

b

ta cõ

b

c

c

i
AttR Hm (M)

= 0,

nản theo [35, B 2.3] ta suy ra

R;

c
i
Hp Rp

P

c

i

= fQ \ R j Q 2 AttRb Hm Rb(Mc)g

(xem [8, 8.2.4, 8.2.5]). Hỡn na, nu R l thữỡng ca mt v nh CohenMacaulay a phữỡng th flng thức sau l úng vợi mồi R-mổ un hu hn

sinh M v mồi s nguyản i 0 (xem [35, nh lỵ 1.1])
b

i

Att

H

R

b c

mR

2

(M) =

[
m

b

b b

Ass (R=pR):

p AttR Hi (M)

R

Kt quÊ chnh thứ nhĐt ca Chữỡng 4 ch ra mi liản hằ gia cĂc tp i
i

ảan nguyản t gn kt ca cĂc mổ un i ỗng iu a phữỡng H p Rp (Mp) v
H

PRb

i+rPP

(McP) trong trữớng hổp v nh thợ cõ chiu rP

0 tũy ỵ.

nh lỵ
4.1.3. Cho R l thữỡng ca mt v nh Cohen-Macaulay a
phữỡng. GiÊ sò P 2 Spec(R) v
p = P \ R: t rP = dim RP=pRP :
i
i+rP
b
b b
(a) AttRp Hp Rp (Mp) =
Khi õ vợi bĐt ký s nguyản i

(b)

Att

0; ta cõ

i+r

H P

M

(

RP

PRP

b

b

P

)

QRP \ Rp j QRP 2
=

Ass R

b

[

b

Att
P
b

RP

H

= qR

PRP

:

Pb

(MP)

:

c

i
c
b b
qRp2AttR pHp Rp (Mp)

(c) Vợi mồi Q 2 Spec(Rb) thọa mÂn QP v q = Q \ R, ta cõ

QRbP 2 Att

Rb P

H

i+rP
PRbP

Q 2 min Var(qRb):

(McP) nu v ch nu qRp

i

2 AttRp Hp Rp (Mp) v


16

PRbP

PRbP

PRbP

Tł

i+rP

ành lþ 4.1.3, chóng tæi ÷a ra cæng thøc t‰nh chi•u cıa H

(McP)

i

thæng qua chi•u cıa Hp Rp (Mp):
ành lþ 4.2.1. Cho R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng.
Gi£ sß P 2 Spec(Rb) vîi p = P \ R: °t r P = dim RbP=pRbP. Khi â vîi b§t
ký sŁ nguy¶n i 0 ta câ
dim

RbP

H

i+rP

i

(McP) = dimR H R (Mp) + rP:
p

p

p

Sß döng ành lþ 4.1.3 v cæng thøc bºi li¶n k‚t x¥y düng bði M. Brodmann

v R. Y. Sharp [9], chóng tæi ÷a ra cæng thøc t‰nh sŁ bºi cıa H
i

thæng qua sŁ bºi cıa H R (Mp) (xem
p

i+rP

(McP)

ành lþ 4.2.3).

p

Möc ‰ch ti‚p theo cıa Ch÷ìng 4 l v“n döng c¡c k‚t qu£ tr¶n ” nghi¶n
cøu t‰nh Cohen-Macaulay, t‰nh Cohen-Macaulay theo chi•u > s
v chi•u cıa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s qua chuy”n
phflng ’ : Rp ! RbP; trong â quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u

> s cıa mæ un M; kþ hi»u nCM>s(M); ÷æc ành ngh¾a l t“p c¡c i ¶an
nguy¶n tŁ p cıa R sao cho Mp khæng l mæ un Cohen-Macaulay theo
chi•u > s: L÷u þ r‹ng, nCM> 1(M) ch‰nh l nCM(M); do â nâ l t“p con âng
cıa Spec(R) theo tæpæ Zariski. Tr÷íng hæp s 0; quÿ t‰ch

nCM>s(M) nh…n chung l khæng âng k” c£ khi R l ƒy ı (xem [34, M»nh •
4.3(iii)]). Tuy nhi¶n, nCM>s(M) luæn âng vîi ph†p °c bi»t hâa n¶n chóng


ta v¤n câ th” ành ngh¾a chi•u cıa chóng.

p döng ành lþ 4.2.1, ta câ hai ành lþ sau ¥y, l c¡c k‚t qu£ ch‰nh
cuŁi còng cıa lu“n ¡n.
ành lþ 4.3.4. Cho R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng.
Gi£ sß P 2 Spec(Rb) v p = P \ R: °t rP = dim(RbP=pRbP);

s

0 l mºt sŁ nguy¶n. Khi â

(a) Mp l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u McP l Cohen-Macaulay.
(b) Mp l Cohen-Macaulay theo chi•u > s n‚u v ch¿ n‚u McP l CohenMacaulay theo chi•u > s + rP.


17

ành lþ 4.3.7. Cho s

1 l mºt sŁ nguy¶n. Gi£ sß R l th÷ìng cıa

mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng. Cho P 2 Spec(Rb) v
°t rP

p = P \ R:

= dim(RbP=pRbP): Khi â

(a)

nCM>s(Mp) 6= ; n‚u v ch¿ n‚u dim nCM>s(McP) rP;

(b)

N‚u nCM>s(Mp) 6= ;, th… dim nCM>s(McP) = dim nCM>s(Mp)+rP:


18

Ch֓ng 1
Ki‚n thøc chu'n bà
Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì sð v•
mæ un Cohen-Macaulay, mæ un Cohen-Macaulay suy rºng, mæ un
Artin, mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t nh‹m phöc vö cho vi»c chøng
minh c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n ð nhœng ch÷ìng sau. Trong suŁt
ch÷ìng n y, luæn gi£ thi‚t (R; m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, M l
R-mæ un hœu h⁄n sinh vîi chi•u Krull dim M = d: Kþ hi»u R;b Mc t÷ìng
øng l ƒy ı m-adic cıa R v M; depth M l º s¥u cıa M øng vîi i ¶an cüc ⁄i m:

1.1. Mæ un Cohen-Macaulay v Cohen-Macaulay suy rºng

Mæ un Cohen-Macaulay v mæ un Cohen-Macaulay suy rºng l
hai lîp mæ un quen thuºc v quan trång trong ⁄i sŁ giao ho¡n. Ti‚t 1.1
d

nh ” nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ th÷íng sß döng trong lu“n ¡n v• hai lîp mæ

un n y.
ành ngh¾a 1.1.1. [29, Trang 134] M
n‚u M = 0 ho°c M =6 0 v depth M
Macaulay tr¶n ch‰nh nâ th… ta nâi R l

÷æc gåi l mæ un Cohen-Macaulay
= dim M. N‚u R l mæ un Cohen-

v nh Cohen-Macaulay.

Sau ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t quen thuºc cıa mæ un Cohen-Macaulay.


19

Pq(n) = e0(q; M)

Mằnh

1.1.2. [29,

+ e1(q; M)

nh lỵ 17.3] CĂc mằnh sau Ơy l

úng.

(i) Nu M l Cohen-Macaulay th dim R=p = dim M vợi mồi p 2 Ass R M:
(ii) Cho x1; : : : ; xt 2 m l mt M-dÂy chnh quy. Khi õ M l CohenMacaulay nu v ch nu M=(x1; : : : ; xt)M l Cohen-Macaulay.
(iii) M l R-mổ un Cohen-Macaulay nu v ch nu Mp l Rp-mổ un
Cohen-Macaulay, vợi mồi p 2 SuppR M:

(iv) M l R-mổ un Cohen-Macaulay nu v ch nu Mc l Rb-mổ un CohenMacaulay.
Cho q l mt i ảan ca R sao cho R(M=qM) < 1. Khi
h m Hilbert-Samuel Hq(n) := R(M=q

õ ta cõ

n+1

M). Chú ỵ rng tỗn ti mt a

thức Pq(n) bc d sao cho vợi n lợn ta cõ Hq(n) = Pq(n). Hỡn na, tỗn ti
cĂc s nguyản e0(q; M) > 0; e1(q; M); : : : ; ed(q; M) sao cho
d
!
d 1
! + : : : + ed(q; M)
n+d
n+d
1


v deg Pq(n) = dim M

= infft j 9x1; : : : ; xt 2 m : R(M=(x1; : : : ; xt)M) < 1g:
Nhữ vy, vợi d = dim M, luổn tỗn ti hằ d phn tò x1; : : : ; xd 2 m sao cho

R(M=(x1; : : : ; xd)M) < 1: Hằ (x1; : : : ; xd) nhữ th
s ca M: Hằ s e0(q; M)

ữổc gồi l hằ tham

ữổc gồi l s bi ca M ứng vợi i ảan q. Cho

x = (x1; : : : ; xd) l mt hằ tham s ca M: t q = (x1; : : : ; xd)R v kỵ hiằu
e0(q; M) bi e(x; M): Khi õ ta luổn cõ 0 < e(x; M) (M=xM):
Mằnh 1.1.3. (Xem [29, nh lỵ 17.5, nh lỵ 17.11]) CĂc iu kiằn sau l
tữỡng ữỡng:
(i) M l Cohen-Macaulay;
(ii) Mồi hằ tham s ca M u l M-dÂy chnh quy;
(iii) Vợi mồi hằ tham s x ca M ta cõ e(x; M) = (M=xM);
(iv) Tỗn ti hằ tham s x ca M sao cho e(x; M) = (M=xM):


20

Vợi mỉi hằ tham s x ca M,

t I(x; M) = (M=xM)

e(x; M).

Khi õ I(x; M) 0 vợi mồi hằ tham s x. c biằt, I(x; M) = 0 nu v ch nu M l
Cohen-Macaulay. Theo N. T. Cữớng, P. Schenzel v N. V. Trung [48], nu
sup I(x; M) < 1; trong õ cn trản lĐy theo tĐt cÊ cĂc hằ tham s x ca M;
th M ữổc gồi l Cohen-Macaulay suy rng.
Mt s tnh chĐt sau ca mổ un Cohen-Macaulay suy rng cõ
th xem trong [44], [48].
Mằnh

1.1.4. GiÊ sò M l Cohen-Macaulay suy rng. Khi õ

(i) M=xM l Cohen-Macaulay suy rng, vợi x l phn tò tham s ca M:
(ii) Nu (x1; : : : ; xi) l mt phn hằ tham s ca M, th dim R=p = d

i

vợi mồi p 2 AssR(M=(x1; : : : ; xi)M) n fmg:
(iii) Mp l Cohen-Macaulay v dim Mp + dim R=p = d vợi mồi i ảan nguyản
t p 2 SuppR(M) n fmg. iu ngữổc li cụng úng nu R l v nh thữỡng ca v
nh Cohen-Macaulay.
Sau Ơy l mt c trững tham s ca mổ un Cohen-Macaulay suy
rng (xem [44], [48]).
nh lỵ 1.1.5. CĂc iu kiằn sau l tữỡng ữỡng:
(i) M l Cohen-Macaulay suy rng;
(ii) Tỗn ti hằ tham s x = (x1; : : : ; xd) ca M sao cho

sup I(x

n

1

1

n

;:::;x

d

d

; M) < 1;

trong õ cn trản lĐy theo mồi b d s nguyản dữỡng n 1; : : : ; nd;
(iii) Tỗn ti mt hằ tham s chu'n tc ca M, tức l tỗn ti hằ tham s

x = (x1; : : : ; xd) ca M sao cho
2

2

I(x1; : : : ; xd; M) = I(x 1; : : : ; x d; M):
Nu (x1; : : : ; xd) l hằ tham s chu'n tc ca M, th
d 1 d
1!
I(x1; : : : ; xd; M) =
i
i (Hm (M)):
Xi

=0


21

KhĂi niằm mổ un i ỗng iu a phữỡng ữổc giợi thiằu bi A.
Grothendieck v o nhng nôm 1960, khi nguỗn t cổng trnh ca J.
P. Serre [47] nôm 1955 v cĂc bõ i s. Cho I l mt i ảan ca R: Vợi mỉi
s nguyản i; h m tò i ỗng iu a phữỡng thứ i ứng vợi giĂ I, kỵ hiằu
l HIi( ),
xon

I(

ữổc nh nghắa l h m tò dÔn xuĐt phÊi thứ i ca h m tò I-

): Kt quÊ ca tĂc

ng HIi( ) v o R-mổ un M

ữổc kỵ hiằu

i

l HI (M) v ữổc gồi l mổ un i ỗng iu a phữỡng thứ i ca M
ứng vợi giĂ I. Tip theo l mt s

c trững ca mổ un Cohen-Macaulay

v mổ un Cohen-Macaulay suy rng qua i ỗng iu a phữỡng (xem [8,
Hằ quÊ 6.2.9], [44, B 1, B 1.6]).
Mằnh

1.1.6. CĂc phĂt biu sau l

úng.
i

(i) M l Cohen-Macaulay nu v ch nu Hm (M) = 0 vợi mồi i < d:
i

(ii) M l Cohen-Macaulay suy rng nu v ch nu (Hm (M)) < 1 vợi mồi i <

d:

1.2. Mổ un Artin
Trong sut tit n y luổn giÊ thit A l R-mổ un Artin. Vợi mỉi i ảan I
ca R; kỵ hiằu Var(I) l tp cĂc i ảan nguyản t ca R chứa I:
Lỵ thuyt biu din thứ cĐp ữổc giợi thiằu bi I. G. Macdonald [27]
õng vai trặ quan trồng trong phm trũ cĂc mổ un Artin, tữỡng tỹ nhữ lỵ
thuyt phƠn tch nguyản sỡ trong phm trũ cĂc mổ un Noether. Cho N l
mổ un con ca M: Ta nõi N l nguyản sỡ nu M=N 6= 0 v php nhƠn bi x
trản M=N l ỡn cĐu hoc lụy linh, vợi mồi x 2 R: Nu N l nguyản sỡ th p =

Rad(AnnR(M=N)) l i ảan nguyản t v ta nõi N l p-nguyản sỡ. RĐt tỹ nhiản,
I. G. Macdonald  nh nghắa mổ un thứ cĐp nhữ sau.

nh nghắa 1.2.1. Mổ un con B ca A ữổc gồi l thứ cĐp nu B 6= 0 v
vợi mồi x 2 R, php nhƠn bi x trản B l to n cĐu hoc lụy linh. Nu