Sử dụng công thức véc tơ từ thế để tính toán dòng điện xoáy trong lõi thép máy biến áp bằng phương pháp phần tử hữu hạn

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 1

69

SỬ DỤNG CÔNG THỨC VÉC-TƠ TỪ THẾ ĐỂ TÍNH TOÁN DÒNG ĐIỆN XOÁY
TRONG LÕI THÉP MÁY BIẾN ÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
USING A MAGNETIC VECTOR POTENTIAL FORMULATION FOR CALCULATING EDDY
CURRENTS IN IRON CORES OF TRANSFORMERS BY A FINITE ELEMENT METHOD
Trần Thanh Tuyền1, Đặng Quốc Vương2
1
Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh;
2
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
Tóm tắt - Các mô hình bài toán điện từ xuất hiện hầu hết trong các
loại máy điện nói chung và máy biến áp nói riêng. Do đó, việc xây
dựng mô hình toán để nghiên cứu và tính toán sự phân bố của từ
trường, dòng điện xoáy trong máy biến áp (MBA) điện là cần thiết
và cấp bách đối với các nhà nghiên cứu, nhà thiết kế và chế tạo
MBA. Phương pháp phần tử hữu hạn được phát triển với công
thức véc-tơ từ thế a cho bài toán từ động để tính toán sự phân bố
của từ trường, dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện trong
lõi thép của MBA. Trong nội dung bài báo này, nhóm tác giả đã
đưa ra kết quả về phân bố từ trường và dòng điện xoáy trong lõi
thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn,

Abstract - Modelling of electromagnetic problems almost occur in
machines in general and transformers in particular. Hence, the
establishment of mathematic model for computing distribution of
magnetic fields and eddy currents in transformers is neccesary and
imperative for transformer researchers, designers and
manufacturers. The finite element method is developed with a

magnetic vector potential a for magnetodynamic problems to
calculate the distribution of magnetic fields and eddy currents in
iron cores of transformers. This paper show the results of
computing magnetic fields and calculating eddy curents in the iron
cores of transformers by the finite element method.

Từ khóa - phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); dòng điện
xoáy; véc-tơ từ thế; bài toán từ động; lõi thép.

Key words - finite element method (FEM); eddy current; magnetic
vector potential; magnetodynamics; steel core.

1. Đặt vấn đề
Lõi thép trong các máy điện thường được làm bằng các
lá thép kỹ thuật điện để giảm tồn hao do từ trễ và dòng điện
xoáy do từ thông biến đổi theo thời gian. Để tính toán sự
phân bố của từ thông, dòng điện xoáy và tổn hao trong lõi
thép, một số phương pháp được áp dụng như: phương pháp
giải tích; phương pháp mạch từ không gian thay thế;
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH).
Phương pháp giải tích có ưu điểm là cho phép tìm được
nghiệm cụ thể, dễ dàng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và
giải thích được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay
tính toán các đại lượng liên quan. Ngoài ra, nghiệm của bài
toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán, đặc
tính của nguồn trường cung cấp [1]. Tuy nhiên, đối với bài
toán có mô hình và điều kiện biên giữa các môi trường tiếp
giáp phức tạp, miền giá trị phi tuyến thì việc áp dụng
phương pháp giải sẽ gặp khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi
khi không thể thực hiện được. Phương pháp mạch từ không

gian thay thế [1] có thể giải bài toán có cấu trúc phức tạp
với độ chính xác cao, tuy nhiên với bái toán có số bậc tự
do lớn hơn 100, thì việc áp dụng phương phường này gặp
khó khăn và không đáp ứng được [1].
Để khắc phục được nhược điểm của hai phương pháp
trên, một phương pháp PTHH [2-5] được để xuất để phát
triển cho công thức véc-tơ từ thế a với mô hình bài toán từ
động để tính toán sự phân bố từ trường, dòng điện xoáy,
tổn hao trong lõi thép và vỏ của máy điện.

pháp PTHH để giải bài toán trong miền nghiên cứu Ω. Sơ
đồ Tonti, còn được gọi là sơ đồ cơ bản hay sơ đồ kép liên
quan đến các phương trình yếu nhận cần tìm của bài toán.
Điều này có nghĩa, dọc theo hàng ngang phía trên và phía
dưới của sơ đồ (hình 1) là các biểu thức liên quan đến
phương trình từ trường. Trong khi đó, dọc theo hàng dọc
(vuông góc với hàng ngang) của sơ đồ biểu diễn luật trạng
thái của đặc tính vật liệu.

2. Mô hình bài toán từ động
2.1. Hệ phương trình Maxwell
Trong phần này, tác giả giới thiệu về hệ phương trình
Maxwell tổng quát cùng với các luật trạng thái, và kết hợp
với sơ đồ Tonti (hình 1) [6] để thiết lập công thức véc-tơ
từ thế a của bài toán nghiên cứu, sau đó áp dụng phương

Hình 1. Sơ đồ Tonti [6]

Xét một hình bài toán điện từ kinh điển được xác định
trên miền Ω với điều kiện biên được phân tích ∂Ω = Γ = Γh

∪ Γe trong miền không gian hai chiều và ba chiều. Miền
dẫn từ trong miền nghiên cứu của Ω được ký hiệu Ωc và
miền không dẫn trong miền nghiên cứu của Ω ký hiệu ΩcC.
Miền Ωs của cuộn dây thuộc về miền ΩcC. Hệ phương trình
Maxwell bao gồm các phương trình đạo hàm riêng được
liên kết với nhau thông qua các véc-tơ điện trường e và từ
trường h, các luật trạng thái, và các điều kiện biên được
viết trong không gian ba chiều Eculidean Ε3 [2], [4]:

curlh = j , divb = 0 , curle = −∂ t b

(1a-b-c)

h = μ −1b + hs j = σ e + js

(2a-b)

= 0 , n⋅b

(2a-b)

n×h
n×e

Γh

Γe ⊂Γb

=0

Γb

=0

(3)

Phương trình (1a) là phương trình “Ampere”, phương
trình (1b) là phương trình “Gauss”, và phương trình (1c) là


70

Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương

phương trình “Faraday”. Các véc-tơ trường: h là véc-tơ
cường độ từ trường (A/m); e là véc-tơ cường độ điện
trường (V/m); b là véc-tơ mật độ từ thông (T) với Γb là mặt
biên bao quanh của b; j là mật độ dòng điện (A/m2); μ là
độ từ thẩm (H/m), σ là độ dẫn điện (S/m); ∂t là đạo hàm
theo thời gian và n là véc-tơ pháp tuyến đơn vị có hướng
từ trong ra ngoài của miền Ω. Trường hs trong (2a) có thể
được xác định thông qua mật độ dòng điện js được đặt vào
cuộn dây [6] hoặc trường hs cũng có thể được xác định
thông qua định luật Biot-Savart [1]. Các phương trình
Maxwell trên được giải cùng với các điều kiện biên, với
các thành phần tiếp tuyến của trường e và trường h lần lượt
được đặt lên biên Гh và Гe (được biểu diễn ở mục 2.2).
2.2. Điều kiện biên
Các phương trình Maxwell được trình bày ở mục 2.1
xác định trường điện từ trong miền hữu hạn, nếu những

điều kiện biên thích hợp được đặt lên biên của miền nghiên
cứu. Đối với các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của
trường điện từ, điều kiện biên được xác định như sau:
- Đối với vật liệu dẫn từ lý tưởng (tức là μ ~ ∞), phương
trình (3a-b) ngụ ý h ~ 0 trên miền Γh và thỏa mãn
n×h

Γh

= 0.

- Đối với vật liệu dẫn điện lý tưởng (tức là σ ~ ∞),
phương trình (4c) ngụ ý e ~ 0 trên miền Γe và thỏa mãn
n×e

Γe

= 0.

Trường hợp, nếu khác 0, các trường là không liên tục và
được xem như là các nguồn mặt, được xác định thông qua
miền mỏng lý tưởng [.]γ [2] (với [.]γ = .|γ+ - .|γ+ là sự kết nối
giữa hai miền dẫn hoặc giữa miền dẫn và không dẫn).
3. Phương trình yếu nhận với véc-tơ từ thế
Phương pháp PTHH cho phép rời rạc hóa miền nghiên
cứu/liên tục Ω thành các miện rời rạc Ω1… Ωn. Hệ phương
trình Maxwell được xác định trên miền rời rạc gọi là
phương trình yếu nhận. Ở đây, phương trình yếu nhận với
véc-tơ từ thế a cho mô hình bài toán từ động được thiết lập
dựa trên hệ phương trình Maxwell tổng quát và các luật

trạng thái đã được thể hiện trong mục 2.1. Như chúng ta đã
biết, để thỏa mãn được định luật Faraday (1c), thì trường
b thuộc không gian hàm He (div, Ω) (b ∈ He (div, Ω)) và
trường e thuộc không gian hàm He (curl, Ω) (e ∈ He (curl,
Ω)) [6]. Điều này tương đương với việc kiểm chứng lại sơ
đồ Tonti (mục 2.1 [6]). Hơn nữa, để thỏa mãn chính xác
các luật trạng thái (2a-b), thì trường h ∈ He (div, Ω) và j ∈
He (curl, Ω). Định luật Ampere (1a) cũng được kiểm chứng
một cách yếu nhận “weakly”. Công thức yếu nhận cho véctơ từ thế a được thiết lập dựa vào định luật Ampere (1a)
như sau [1], [2]:

(curl h, a ')Ω = ( j, a ')Ω , ∀ a ' ∈ He0 (curl h; Ω), (5)
trong đó He0 (curl ; Ω) là không gian hàm được xác định
miền nghiên cứu Ω (bao gồm Ωc và ΩcC), và bao gồm các
hạm nội suy (hàm dạng) cho trường a và hàm thử “test
function” a' (tại miền rời rạc, không gian hàm này được
xác định thông qua các phần tử hữu hạn cạnh [6]). Các ký

hiệu ( , ·)Ω và < ·, ·>Γ lần lượt là các ký hiệu của tích phân
khối được xác định trong miền Ω, và tích phân mặt được
xác định trên biên ∂Ω = Γ (với Γ = Γh U Γe) (hình 2) của
các tích trường véc-tơ của chúng. Trong đó, tích phân mặt
trên biên Γh kể đến điều kiện biên (3a), được xác định bằng
0. Bằng cách áp dụng công thức Green với curl-curl [6]
trong miền Ω cho các trường h và a’, với j = js ta có:

(h, curla ')Ω + n × h, a '
0

∀ a ' ∈ He (curl h; Ω),

Γ

= ( js , a ')Ω ,

(6)

Hình 2. Miền nghiên cứu Ω và mặt biên bao quanh Γ

Để thỏa mãn sơ đồ Tonti (cho cả định luật Faraday và
định luật Gauss), các luật trạng thái (2a-b) được giới thiệu
vào phương trình yếu nhận (6), đó là:

(μ−1b, curl a ')Ω − (σe, a ')Ω + n × h, a '
0

∀ a ' ∈ He (curl h; Ω).

Γ

= ( js , a ')Ω ,
(7)

Thay biểu thức véc-tơ mật độ từ thông b = curl a và
véc-tơ cường độ điện trường e = - ∂ta – gradυ vào phương
trình (7), ta có:
(μ −1curl a , curl a ')Ω + (σ∂t a , a ')Ωc + (σgradv, a ')Ωc
+ n × h, a ' Γ + n × h, a ' Γ = ( js , a ') Ω ,
h

∀ a ' ∈ H e 0 (curl h; Ω),

e

(8)

từ thế véc-tơ a trong (8) được xác định là duy nhất trong
các miền dẫn Ωc, thì một điều kiện Gauss phải được đặt
vào mọi nơi trong miền Ω [6, 7]. Phương trình yếu nhận
(8) cho thấy rằng, bằng cách lấy a’ = gradv’ như là một
hàm thử để có:

(σ∂t a, gradv ')Ωc + (σgradv, gradv ')Ωc = n ⋅ j, v ' Γ ,
g
∀v ' ∈ H e10 (Ω),
(9)
trong đó Γg là một phần của biên Ωc và mang một dòng
điện. Phương trình (9) thực tế là một phương trình yếu nhận
của divj = 0 trong miền dẫn Ωc. Các trường trên biên Γe với
các điều kiện biên cần thiết trên n ⋅ b thì thường bỏ qua bởi
vì tại đó thì giá trị của hàm thử bằng không, vì vậy nó
không đóng góp trong phương trình (8). Sự tồn tại của
trường n × h trong (9) được sử dụng điều kiện biên tự
nhiên trên biên của Γh của miền nghiên cứu Ω (có nghĩa là
thành phần tiếp tuyến của trường h bằng 0 trên Γh) , đó là:

(n × h |Γh = 0 ⇒ n ⋅ curl h |Γh = 0 ⇔ n ⋅ j |Γh = 0)

(10)

4. Bài toán ứng dụng
Dựa vào công thức véc-tơ từ thế a đã được phát triển ở
phần 3, nhóm tác giả sử dụng phần mềm Gmsh [8] để xây
dựng mô hình nghiên cứu với kích thước hình học thực tế
của bài toán và phần mềm GetDP [9] để xây dựng mô hình


ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 1

toán với các phương trình yếu nhận. Kết quả đạt được từ
GetDP sẽ được mô phỏng thông qua phần mềm Gmsh.
Xét một với mô hình 2D bao gồm cuộn dây và lõi thép
có nguồn dòng bao quanh lõi thép (gồm nhiều lá thép mỏng
ghép lại với nhau). Đây là một dạng bài toán liên quan đến
mô hình lõi thép và cuộn dây của máy biến áp. Hình 3 chỉ
ra một mô hình mà lõi thép được bao quanh bởi cuộn dây.
Trong đó, lõi thép gồm 12 lá thép kỹ thuật điện được sơn
cách điện với nhau và có chiều dày của mỗi lá thép là
0,3mm (với độ từ thẩm tương đối μr = 500 và độ dẫn điện
σ = 10MS/m). Cuộn dây được kích thích bởi dòng điện
xoay chiều 1A với tần số f = 50Hz (số vòng của cuộn dây
là w = 1.000 vòng). Trong mô hình, do dây quấn quấn xung
quanh lõi thép nên có tính chất đối xứng. Do đó hình 3, tác
giả chỉ mô phỏng ½ lõi thép và dây quấn.

Hình 3. Mô hình chia lưới cuộn dây và lõi thép

Mô hình chia lưới 2D cũng được thể hiện trong hình 3
với hai cấu trúc phần tử lưới khác nhau. Để đảm bảo được
kích thước của phần từ lưới luôn nhỏ hơn

δ = 2 / 2π f .μ.σ (độ sâu của bề mặt nghiên cứu) sự phân
bố của dòng điện xoáy theo chiều dày của lá thép hoặc màn
chắn có cấu trúc vỏ mỏng, tác giả sử dụng phần tử lưới là
dạng chữ nhật với 8 lớp/1 lá thép. Đối với khu vực cuộn
dây và xung quanh cuộn dây (không khí) sử dụng phần tử
lưới thưa có dạng tam giác.

Hình 4. Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây

Hình 5. Phân bố mật độ từ thông trong lõi thép (μr = 500,
σ = 10MS/m), với tần số f = 50Hz (trên) và f = 1kHz (dưới)

71

Hình 6. Phân bố mật độ từ thông b trong các lá thép kỹ thuật
điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x

Hình 4 biểu diễn sự phân bố nguồn dòng điện trong
cuộn dây với tần số công nghiệp f = 50Hz. Hình 5 cho thấy
sự phân bố của b do dòng điện chạy trong cuộn dây sinh ra
ở tần số là 50Hz (trên) và 1kHz (dưới). Đối với trường hợp
tần số f = 50Hz, do tần số thấp và độ sâu của bề mặt
(skindepth) lớn cho nên hiệu ứng bề mặt nhỏ và từ thông
được phân bố đều trên các lá thép. Khi tần số tăng lên f =
1kHz, sự phân bố của b trong lõi thép thay đổi, skindepth
nhỏ, hiệu ứng bề mặt lớn, dẫn đến từ thông chỉ tập trung ở
hai bên của lá thép dọc theo chiều dày như hình 5 (dưới).
Sự phân bố của mật độ từ thông phần thực (real part) và từ
thông phần ảo (imaginary part) theo chiều dày của các lá
thép thông qua một vết cắt được thể hiện như trong hình 6.

Trên từng lá thép mật độ từ thông phân bố theo chiều dày
của các lá thép và có dạng hypecbol.

Hình 7. Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong lõi thép
(μr = 500, σ = 10MS/m, f = 1kHz)

Sự phân bố của dòng điện xoáy trên từng lá thép kỹ
thuật điện sinh ra bởi từ thông biến thiên theo thời gian
(hình 4 và 5) được mô tả trong hình 7, với μr = 500, σ =
10MS/m, f = 1kHz. Tương tự như hình 6, sử dụng một vết
cắt vuông góc/dọc theo chiều dày của các lá thép, sự phân
bố của dòng điện xoáy được miêu tả trong hình 8. Do các
lá thép kỹ thuật điện được sơn cách điện với nhau, cho
nên hình 8 cho thấy dòng điện xoáy khép vòng kín trong
từng lá thép mà không khép vòng từ lá thép này qua lá
thép khác. Điều đó chứng tỏ rằng, nếu chiều dày của lá
thép càng nhỏ thì sự khép vòng của dòng điện xoáy càng
nhỏ và giảm được tổn hao trong lõi thép. Đây cũng chính
là câu trả lời cho việc khi chế tạo MBA nói riêng và máy
điện nói chung, việc sử dụng các lá thép kỹ thuật điện có
chiều dày càng nhỏ thì sẽ càng giảm được tổn hao do từ
trễ và dòng xoáy.

Hình 8. Phân bố mật độ dòng điện xoáy trong các lá thép
kỹ thuật điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x


72

Trn Thanh Tuyn, ng Quc Vng

5. Kt lun
Phng phỏp PTHH ó c phỏt trin cho vic tớnh
toỏn, mụ phng t trng v dũng in xoỏy trong lừi thộp
ca MBA. Cỏc kt qu t c ó ch ra rng, vi t
thm v dn in khụng i, t trng v dũng in xoỏy
ph thuc hon ton vo tn s. Cú ngha rng khi tn s
tng, hiu ng mt ngoi ln v s phõn b ca t trng,
dũng in xoỏy ch yu tp trung ln v hai phớa ca tng lỏ
thộp (dc theo chiu dy). Giỏ tr ca t trng thụng qua
mt t cm v dũng in xoỏy c th hin thụng qua
vic khộp vũng (loop) trờn tng lỏ thộp. iu ny chng t
rng nu chiu dy lỏ thộp cng ln thỡ tn hao sinh ra do t
trng v dũng in xoỏy cng ln, v ngc li. Cỏc kt
qu t c ó cho thy c s nh hng ca t trng,
dũng in xoỏy i vi lừi thộp l rt quan trng. T vic
tớnh toỏn v mụ phng ca t trng v dũng in xoỏy trong
lừi thộp ca MBA l c s cỏc nh nghiờn cu, thit k v
ch to MBA cú th tớnh toỏn c chớnh xỏc tn hao cụng
sut do dũng in xoỏy sinh ra trong lừi thộp, t ú ti u
húa c cỏc thụng s khi thit k v ch to. Vi kt qu
t c t vic ỏp dng cụng thc vộc-t t th a, s l c
s phỏt trin cho cụng thc vộc-t cng t trng h,
v s c phỏt trin nghiờn cu tip theo.
S GHI NHN

Bi bỏo c thc hin t ngun kinh phớ thc hin
ti nghiờn cu khoa hc vi mó s T2016-PC-085 ca
Trng i hc Bỏch khoa H Ni.
Cỏc kt qu mụ phng ca bi bỏo c thc hin

da trờn hai phn mm mó ngun m c vit bi hai thy
giỏo ti Trng i hc Liege, Vng Quc B: Gmsh
( />v
GetDP
( />TI LIU THAM KHO
[1] ng Vn o, Lờ Vn Doanh, Cỏc phng phỏp hin i trong
nghiờn cu tớnh toỏn thit k k thut in, Nh xut bn Khoa hc
v K thut, 2000.
[2] P. Dular, Vuong Q. Dang, R. V. Sabariego, L. Krọhenbỹhl and C.
Geuzaine, Correction of thin shell finite element magnetic models
via a subproblem method, IEEE Trans. Magn., Vol. 47, no. 5, 2011,
pp. 158 1161.
[3] P. Dular, R. V. Sabariego, M. V. Ferreira da Luz, P. Kuo-Peng and
L. Krọhenbỹhl, Perturbation Finite Element Method for Magnetic
Model Refinement of Air Gaps and Leakage Fluxes," IEEE Trans.
Magn., vol.45, no. 3, 2009, pp. 1400-1403.
[4] Gerard Meunier, The Finite Element Method for Electromagnetic
Modeling, John Wiley & Sons, Inc, 2008.
[5] S. V. Kulkarni, J. C. Olivares, R. Escarela-Perez, V. K. Lakhiani,
and J. Tur-owski (2004), Evaluation of eddy currents losses in the
cover plates of distribution transformers, IET Sci., Meas. Technol
151, no. 5, pp. 313-318.
[6] C. Geuzaine (2001), High oder hybrid finite element schems for
Maxwells equations taking thin structures and global quantities
into account, Ph.D. thesis, University of Liege, Belgium.
[7] C. Geuzaine, P. Dular, and W. Legros, Dual formulations for the
modeling of thin electromagnetic shells using edge elements, IEEE
Trans. Magn., vol. 36, no. 4, 2000, pp. 799802.
[8] Christophe Geuzaine, Jean-Franỗois Remacle (2015), Gmsh

Reference Manual, University of Liege, Belgium.
[9] Patrick Dular, Christophe Geuzaine (2014), GetDP Reference
Manual, University of Liege, Belgium.

(BBT nhn bi: 27/7/2016, hon tt th tc phn bin: 20/3/2017)