Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG HÀ MY

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG HÀ MY

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH
Ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 84. 601. 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - 2019


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thị Dung, các kết quả nghiên cứu là hoàn
toàn trung thực và không trùng lặp với các luận văn trước đây. Các thông tin, tài
liệu trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Học viên

HOÀNG HÀ MY

Xác nhận

Xác nhận

của khoa chuyên môn

của người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. NGUYỄN THỊ DUNG

i


Lời cảm ơn
Luận văn "Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh" được thực
hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự
hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của PGS. TS. Nguyễn Thị Dung. Tôi xin bảy tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa Toán đã tham gia
giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Học viên

HOÀNG HÀ MY

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Đồ thị và iđêan cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Bao đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2
2

Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh

16

2.1

Matching và Factor-critical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . .

20

2.3

Bao đóng nguyên và các tập ổn định . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo

43

iii


Mở đầu
Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K và G = (V, E) là đồ
thị với tập đỉnh V = V (G) = {x1 , . . . , xn } và tập cạnh E = E(G). Ta luôn giả thiết
rằng đồ thị G không có đỉnh cô lập, nghĩa là tất cả các đỉnh của G đều nằm trong
ít nhất một cạnh. Iđêan cạnh của G, kí hiệu bởi I = IG , là iđêan của R sinh bởi
tập các đơn thức không chứa bình phương xi x j sao cho {xi , x j } ∈ E.
Một vấn đề được nhiều người quan tâm là tìm tập iđêan nguyên tố liên kết của

lũy thừa của iđêan cạnh, nghĩa là tập
Ass(R/I k ) = {p ⊂ R | p là iđêan nguyên tố và p = (I k : c) với c ∈ R}, k ≥ 1.
Ta đã biết rằng vì I là iđêan đơn thức trong vành đa thức R nên các iđêan nguyên
tố liên kết cũng là iđêan đơn thức sinh bởi tập con của tập các biến. Các iđêan
nguyên tố liên kết với I tương ứng với tập các phủ đỉnh tối thiểu của đồ thị G và
Min(R/I) = Ass(R/I), trong đó Min(R/I) là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu
của I. Đối với iđêan cạnh, ta luôn có Ass(R/I) ⊂ Ass(R/I k ) với mọi số nguyên k.
Trong trường hợp dấu bằng xảy ra với mọi k thì I được gọi là xoắn tự do chuẩn
tắc. Trong [1], M. Brodmann đã chứng minh rằng tập Ass(R/I k ) là ổn định với
k đủ lớn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ),
với mọi k ≥ N1 , và số N1 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là chỉ số ổn
định của I. Mặc dù người ta đã chứng minh rằng Ass(R/I k ) là ổn định với k đủ
lớn, nhưng dáng điệu của Ass(R/I k ) với k nhỏ thì lại thất thường. Hơn nữa việc
tìm tập ổn định Ass(R/I N1 ) là rất phức tạp bởi một điều là các iđêan nguyên tố p
liên kết với lũy thừa nhỏ hơn của I lại không nhất thiết liên kết với lũy thừa lớn
hơn của I. Đối với iđêan I, nếu p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với mọi
k ≥ 1 thì ta nói rằng Ass(R/I k ) tạo thành dãy tăng. Tuy nhiên, rất ít lớp iđêan
thỏa mãn điều kiện này.
1


Kí hiệu I k là bao đóng nguyên của I k . Iđêan I được gọi là chuẩn tắc nếu
I k = I k với mọi k ≥ 1. Theo trên, rất ít lớp iđêan I sao cho Ass(R/I k ) thỏa mãn
điều kiện dãy tăng. Tuy nhiên, điều kiện này là đúng cho bao đóng nguyên, nghĩa
là nếu I là iđêan trên vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 )
với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa là tồn tại số nguyên dương N2 sao cho
Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I N2 ) với mọi k

N2 . Nhiều tính chất đẹp của tập Ass(R/I N2 )

được nghiên cứu trong [5].
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về tập các iđêan nguyên
tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh được viết bởi J. Martinez-Bernal, S. Morey
và R. Villarreal trong bài báo [9]. Trong bài báo này bằng lý thuyết matching và
tối ưu tổ hợp, họ đã chứng minh được hai kết quả chính:
- Tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh tạo thành một
dãy tăng.
- Nhìn chung trong vành giao hoán Noether, Ass(R/I N2 ) ⊂ Ass(R/I N1 ), nhưng
với iđêan cạnh thì các tập ổn định này là như nhau, nghĩa là Ass(R/I k ) = Ass(R/I k )
với k ≥ max{N1 , N2 }.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung chính của
luận văn gồm hai chương:
Chương 1 là phần Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, ta nhắc lại một số
kiến thức về tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị và iđêan cạnh và
bao đóng nguyên.
Chương 2 cũng là phần nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả
chính trong bài báo [9] về iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh.
Ở chương này, ta tìm hiểu ba phần: Matching và Factor-critical, sự bảo toàn của
tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên và các tập ổn định.
Phần kết luận của luận văn tổng kết một số công việc đã thực hiện.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Tập iđêan nguyên tố liên kết

Cho R là một vành giao hoán, Noether, I là một iđêan của R. Các kiến thức ở
mục này được viết dựa theo [8] và [12].
Định nghĩa 1.1.1. ([12, Định lý 3.52], [12, Định nghĩa 4.1], [12, Bổ đề 4.5])
(i) Giả sử I = R. Khi đó tập Var(I) các iđêan nguyên tố p của R chứa I luôn có
ít nhất một phần tử tối thiểu theo quan hệ bao hàm được gọi là iđêan nguyên tố
tối thiểu của I. Tập tất cả các iđêan nguyên tố tối thiểu của I được ký hiệu là
Min(R/I).
(ii) Cho q là iđêan của R. Ta nói q là nguyên sơ nếu q = R và nếu ab ∈ q, a ∈
/q
√
thì kéo theo b ∈ q với mọi a, b ∈ R.
√
(iii) Giả sử q là nguyên sơ. Khi đó p := q là iđêan nguyên tố của R và ta gọi q là
p-nguyên sơ. Hơn nữa p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất của R chứa q, nghĩa là mọi
iđêan nguyên tố p của R mà chứa q thì đều chứa p. Vì thế p là iđêan nguyên tố tối
thiểu duy nhất của q.
Một phân tích I = q1 ∩ . . . ∩ qn , trong đó qi là pi -nguyên sơ, được gọi là một
phân tích nguyên sơ của I. Phân tích nguyên sơ này của I được gọi là phân tích
nguyên sơ thu gọn nếu mỗi qi là không thừa (tức là không thể bỏ đi bất cứ qi nào
trong phân tích trên) và các pi là đôi một phân biệt.
Ví dụ 1.1.2. Trong vành các số nguyên Z, các iđêan nguyên sơ là và chỉ là các
iđêan có dạng mZ với m là lũy thừa của một số nguyên tố.

3


Nếu q1 , q2 là hai iđêan p-nguyên sơ của R thì q1 ∩ q2 cũng là iđêan p-nguyên
sơ của R. Vì thế từ mỗi phân tích nguyên sơ của I ta có thể đưa phân tích đó về
thu gọn bằng cách bỏ đi những thành phần nguyên sơ thừa và ghép những thành

phần nguyên sơ có căn bằng nhau.
Hệ quả 1.1.3. ([12, Hệ quả 4.18], Định lý duy nhất thứ nhất) Giả sử
I = q1 ∩ . . . ∩ qn = q1 ∩ . . . ∩ qm
là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của I, trong đó qi là pi -nguyên sơ và qi là
pi -nguyên sơ. Khi đó n = m và {p1 , . . . , pn } = {p1 , . . . , pn }.
Giả sử I = q1 ∩ . . . ∩ qn là phân tích nguyên sơ thu gọn của I, qi là pi -nguyên
sơ. Theo hệ quả trên, tập {p1 , . . . , pn } là xác định duy nhất (không phụ thuộc vào
phân tích nguyên sơ thu gọn của I) và được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên
kết của I, ký hiệu bởi Ass(R/I) (xem [12, Định nghĩa 4.19]).
Nhìn chung các thành phần nguyên sơ qi không xác định duy nhất, nhưng nếu
pi là tối thiểu thì qi là duy nhất.
Định lý 1.1.4. ([12, Định lý 4.29], Định lý duy nhất thứ hai) Giả sử
I = q1 ∩ . . . ∩ qn = q1 ∩ . . . ∩ qn
là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của I, trong đó qi là pi -nguyên sơ và qi là
pi -nguyên sơ. Khi đó nếu pi tối thiểu trong tập {p1 , . . . , pn } thì qi = qi .
Theo định lý trên, các thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố liên
kết tối thiểu pi là xác định duy nhất, ta gọi chúng là các thành phần nguyên sơ cô
lập, còn lại được gọi là thành phần nguyên sơ nhúng của I. Nghĩa là ta có thể mô
tả lại phân tích nguyên sơ của I như sau:
I = q1 ∩ . . . ∩ qt ∩ Q1 ∩ . . . ∩ Qs ,
trong đó

√
√
qi ∈ Min(R/I), với i = 1, . . . ,t được xác định duy nhất và Q j với

j = 1, . . . , s là các iđêan nguyên tố nhúng.
Ví dụ 1.1.5. Cho vành R = K[x, y, z] và I = (x2 , y2 , xyz) là iđêan của R. Khi đó ta
có phân tích nguyên sơ của I
I = (x2 , y2 , x) ∩ (x2 , y2 , y) ∩ (x2 , y2 , z) = (x, y2 ) ∩ (x2 , y) ∩ (x2 , y2 , z),

4


√
trong đó đặt q1 = (x, y2 ), q2 = (x2 , y), q3 = (x2 , y2 , z). Ta có q1 = (x, y) = p1 ,
√
√
q2 = (x, y) = p2 , q3 = (x, y, z) = p3 và các qi là các pi -nguyên sơ, với i = 1, 2, 3.
√
Đặt q1 = q1 ∩ q2 = (x2 , xy, x2 y2 , y2 ) = (x2 , xy, y2 ). Khi đó q1 = (x, y) = p1 . Suy
ra I = q1 ∩ q3 là phân tích nguyên sơ thu gọn của I và tập iđêan nguyên tố liên
kết Ass(R/I) = {p1 , p3 } là xác định duy nhất. Mặt khác, vì p1 ⊂ p3 nên trong tập
Ass(R/I) thì p1 là iđêan nguyên tố cô lập, p3 là iđêan nguyên tố nhúng. Do đó q1
xác định duy nhất còn q3 chưa chắc đã xác định duy nhất. Thật vậy, tồn tại iđêan
√
q3 = (x2 , y2 , z2 , xyz) sao cho q1 ∩ q3 = I mà q3 = (x, y, z) = p3 . Rõ ràng q3 là
p3 -nguyên sơ và q3

q3 .

Kết quả sau đây cho ta thấy iđêan nguyên tố liên kết được bảo toàn qua địa
phương hóa.
Định lý 1.1.6. [8, Định lý 6.2] Giả sử S ⊂ R là tập nhân đóng và N là một RS môđun. Xem Spec(RS ) là một tập con của Spec(R), ta có AssR (N) = AssRS (N).
Nếu R là Noether thì với R-môđun M ta có Ass(MS ) = Ass(M) ∩ Spec(RS ).
Từ các kết quả trên, ta thấy rằng một iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên
tố liên kết của I nếu tồn tại phần tử c ∈ R sao cho p = (I : c) = {r ∈ R | rc ∈ I}
(xem [12, Định lý 4.17]). Vì thế
Ass(R/I k ) = {p ⊆ R | p ∈ Spec R và tồn tại c ∈ R sao cho p = (I k : c)}.
Nhìn chung, ta luôn có Min(R/I) ⊆ Ass(R/I k ). Nếu trường hợp dấu bằng xảy
ra với mọi k thì I là xoắn tự do chuẩn tắc. Trong [1], Brodmann đã chỉ ra rằng

nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì tập Ass(R/I k ) là ổn định khi k
đủ lớn. Nghĩa là tồn tại số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 )
với mọi k

N1 . Số N1 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên là chỉ số ổn định của I.

Mặc dù biết rằng tập Ass(R/I k ) là ổn định khi k đủ lớn, nhưng dáng điệu của nó
khi k đủ nhỏ vẫn ít được biết đến. Việc tìm chỉ số N1 hoặc xác định tập ổn định
Ass(R/I N1 ) là phức tạp bởi một iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ hơn
của I thì không nhất thiết lại liên kết với lũy thừa lớn hơn của I. Khi một iđêan I
sao cho p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với mọi k

1 thì tập Ass(R/I k )

thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Mặc dù được coi là rất đẹp nhưng ít lớp iđêan thỏa
5


mãn các tính chất này, người ta mới chỉ nghiên cứu cho một số trường hợp đặc
biệt. Chẳng hạn, nếu I là iđêan sinh bởi dãy chính quy thì Min(R/I) = Ass(R/I k )
với mọi k, hoặc nếu I là iđêan cạnh thì tập Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy
tăng (xem [2], [9],...)
1.1.1

Iđêan đơn thức

Bây giờ ta nhắc lại một số kiến thức về phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên
tố liên kết của iđêan đơn thức. Giả sử R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên
trường K. Các kí hiệu và kiến thức ở phần này được viết dựa theo [10] và [14].
Với mỗi đơn thức trong R, ta đặt xa = x1a1 . . . xnan với a ∈ Nn . Giá của đơn thức xa

trong R được định nghĩa là supp(xa ) = {xi | ai > 0}.
Định nghĩa 1.1.7. [14, Định nghĩa 5.1.1] Một iđêan của R được gọi là iđêan đơn
thức nếu có tập A ∈ Nn sao cho I được sinh bởi tập {xa | a ∈ A }.
Ví dụ 1.1.8. Đặt R = K[x, y].
(i) Iđêan I = (x2 , x3 y, y3 )R là một iđêan đơn thức.
(ii) Iđêan J = (x5 − y3 , x5 ) là một iđêan đơn thức vì J = (x5 , y3 ).
(iii) Iđêan 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (0)R
/ và R = (1R )R = (x10 · · · xn0 )R.
Sau đây ta quan tâm đến khái niệm iđêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ
của một iđêan đơn thức.
Mệnh đề 1.1.9. [14, Mệnh đề 5.1.8] Cho q là iđêan đơn thức của R. Khi đó q là
nguyên sơ khi và chỉ khi sau khi hoán vị các biến thì q có dạng
q = (x1a1 , . . . , xrar , xb1 , . . . , xbs ),
trong đó ai ≥ 1 và ∪si=1 supp(xbi ) ⊂ {x1 , . . . , xr }.
Cho I là iđêan đơn thức của R và giả sử I = ( f1 , . . . , fq )R là hệ sinh đơn thức
tối thiểu của I. Bằng cách chứng minh quy nạp theo số biến xuất hiện trong
∪qi=1 supp( fi ) và sau khi hoán vị các đơn thức sinh fi để 0
aq

1, sao cho fi chia hết bởi

a
xn q ,

sau đó áp dụng đẳng thức
a

a

I = (I, xnq ) ∩ (I : xnq )

6

a1

...

aq với


a

với chú ý rằng (I : xnq ) sinh bởi các đơn thức có ít hơn n biến, người ta có thể
chứng minh mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.10. [14, Mệnh đề 5.1.10] Nếu I là iđêan đơn thức của R thì I có
phân tích nguyên sơ thu gọn là I = q1 ∩ . . . ∩ qr , trong đó qi là iđêan đơn thức
√
√
nguyên sơ với mọi i và qi = q j nếu i = j.
Nói cách khác, mọi iđêan đơn thức I trong vành đa thức R đều có phân tích
nguyên sơ
I = q1 ∩ . . . ∩ qm ,
trong đó qi được sinh bởi lũy thừa của các biến với mọi i (xem [14, Hệ quả
5.1.13]). Ta đã biết rằng thậm chí đối với iđêan đơn thức I, phân tích nguyên sơ
thu gọn của I cũng không là duy nhất. Các phần tử được xác định duy nhất trong
một phân tích như vậy cũng là những thành phần nguyên sơ ứng với iđêan nguyên
tố tối thiểu.
Mệnh đề sau đây cho ta tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) của iđêan đơn
thức I trong vành đa thức R.
Định lý 1.1.11. [14, Định lý 5.1.3] Nếu I ⊂ R là iđêan đơn thức của R thì mọi
iđêan nguyên tố liên kết p của I là iđêan sinh bởi tập con của tập các biến, nghĩa

là p = (xi1 , . . . , xik ), với 1

i1 < . . . < ik

n.

Ví dụ 1.1.12. (i) Cho I = (x2 , xy) là iđêan của R = K[x, y]. Khi đó ta có hai phân
tích nguyên sơ thu gọn tối thiểu của I là
I = (x) ∩ (x2 , xy, y2 ) = (x) ∩ (x2 , y).
(ii) Cho I = (yz2 , x2 z, x3 y2 ) là iđêan của R = K[x, y, z]. Khi đó theo Mệnh đề
1.1.10, ta có
I = (I : x3 ) ∩ (I, x3 ) = (z, y2 ) ∩ (x3 , zx2 , z2 y).
Đặt J = (x3 , zx2 , z2 y). Tiếp tục áp dụng Mệnh đề 1.1.10, ta lại có
J = (J : z2 ) ∩ (J, z2 ) = (x2 , y) ∩ (z2 , x3 , x2 z).
Vì thế ta có phân tích nguyên sơ của I là
I = (z, y2 ) ∩ (x2 , y) ∩ (z2 , x3 , x2 z).
7


Đối với iđêan đơn thức I, người ta quan tâm nhiều hơn đến việc phân tích I
thành giao của các iđêan bất khả quy. Nhắc lại rằng một iđêan đơn thức J ⊆ R
là m-bất khả quy nếu và chỉ nếu J = R và nếu có hai iđêan đơn thức J1 , J2 sao
cho J = J1 ∩ J2 , thì hoặc J1 = J hoặc J2 = J. Một cách quy nạp, nếu J là m-bất
khả quy và J1 , . . . , Jn là các iđêan đơn thức (với n

2) sao cho J = ∩ni=1 Ji thì tồn

tại chỉ số i sao cho J = Ji . Chú ý rằng nếu R là vành đa thức với hệ số trên một
trường K thì khái niệm m-bất khả quy cũng trùng với khái niệm bất khả quy (xem
[10, Định lý 3.2.4]).

Định lý 1.1.13. [10, Định lý 3.1.3] Cho J là một iđêan đơn thức khác không
của R. Iđêan J là bất khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương
e

k,t1 , . . . ,tk , e1 , . . . , ek sao cho 1 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tk ≤ n và J = (xte11 , . . . , xtkk )R.
r

Mọi iđêan đơn thức J của R đều có phân tích bất khả quy, nghĩa là J =

qi
i=1

với qi là bất khả quy với mọi i = 1, . . . , n và phân tích đó là thu gọn nếu không
tồn tại chỉ số j nào sao cho J = ∩i= j qi . Kết quả sau cho ta thấy rằng phân tích bất
khả quy thu gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.
Định lý 1.1.14. [10, Định lý 3.3.8] Cho J là iđêan đơn thức của R với các phân
tích bất khả quy thu gọn
k

J=

h

Ji =
i=1

I j.
j=1

Khi đó k = h và tồn tại hoán vị σ ∈ Sk sao cho Jt = Iσt , với mọi t = 1, . . . , k.

1.1.2

Đồ thị và iđêan cạnh

Trong mục này, cho V = {v1 , . . . , vn } là tập hữu hạn các đỉnh và R = K[x1 , . . . , xn ]
là vành đa thức n biến trên trường K. Các kí hiệu và kiến thức trong phần này
được viết dựa theo [4], [10] và [15].
Một đồ thị G là một cặp G = (V, E), trong đó V = V (G) = {v1 , . . . , vn } được
gọi là tập đỉnh và E = E(G) ⊆ {vi v j | vi , v j ∈ V } được gọi là tập cạnh của G.
Bậc của đỉnh v trong đồ thị G, kí hiệu dG (v), là số cạnh của G chứa v. Nếu G
là đồ thị đơn thì dG (v) là số đỉnh lân cận của v trong G. Đỉnh bậc không được
gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc một được gọi là lá. Một cây là một đồ thị liên thông
8


mà không có vòng tròn. Vì vậy mỗi cây chứa ít nhất hai lá. Rõ ràng rằng mỗi đồ
thị liên thông G có chứa một cây. Đường P = (V, E) là một đồ thị khác rỗng với
V = {v0 , v1 , . . . , vk } và E = {v0 v1 , v1 v2 , . . . , vk−1 vk }, trong đó các vi là phân biệt.
Số cạnh của một đường gọi là độ dài của đường đó, đường có độ dài k kí hiệu là
Pk . Nếu P = v0 . . . vk−1 là một đường và k ≥ 3 thì đồ thị C := P + vk−1 v0 được gọi
chu trình. Độ dài của chu trình là số cạnh (hoặc số đỉnh) của nó, chu trình có độ
dài k kí hiệu là Ck . Chu trình có độ dài lẻ được gọi là chu trình lẻ. Đồ thị G được
gọi là rẽ nhánh nếu tập đỉnh V được chia thành hai tập A và B sao cho mỗi cạnh
của đồ thị có một đỉnh thuộc A và đỉnh còn lại thuộc B (nghĩa là các đỉnh trong
cùng một tập không được nối với nhau). Khái niệm ngược lại với đồ thị rẽ nhánh
là đồ thị không rẽ nhánh.
Định nghĩa 1.1.15. Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , . . . , vn } và
R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K. Khi đó ta định nghĩa
IG = ({xi x j | {vi , v j } ∈ E})R
là iđêan sinh bởi các cạnh của G và gọi là iđêan cạnh của G.

Từ định nghĩa ta thấy iđêan cạnh IG là iđêan không chứa bình phương, nghĩa
là iđêan sinh bởi các đơn thức có số mũ của các biến thuộc tập {0, 1}. Nhiều khi
để tiện cho việc ký hiệu, người ta thường viết các đỉnh của V trùng với các biến
của vành đa thức.
Ví dụ 1.1.16. Cho vành R = K[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] và các đồ thị G1 , G2 như Hình 1.1.
Khi đó ta có các iđêan cạnh tương ứng là
IG1 = (x1 x2 , x1 x4 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4 )R
IG2 = (x1 x2 , x1 x5 , x2 x3 , x3 x4 , x3 x5 , x4 x5 )R.
Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {x1 , . . . , xn } và R = K[x1 , . . . , xn ] là
vành đa thức với hệ số trên trường K. Với mỗi V ⊆ V , ta định nghĩa
PV = ({xi | xi ∈ V })R
là iđêan của R sinh bởi V . Tập phủ đỉnh của G là tập V ⊆ V sao cho mỗi cạnh
{xi , x j } ∈ E, ta có xi ∈ V hoặc x j ∈ V . Tập phủ đỉnh V được gọi là tối thiểu nếu
nó không thực sự chứa bất kì tập phủ đỉnh nào khác của G.
9


Hình 1.1: Đồ thị của iđêan cạnh

Chú ý rằng đối với iđêan cạnh, phân tích bất khả quy chính là phân tích nguyên
sơ. Vì thế người ta quan tâm đến phân tích bất khả quy của iđêan cạnh dưới dạng
phủ đỉnh của đồ thị như sau.
Định lý 1.1.17. [10, Định lý 4.3.8] Cho G = (V, E) là đồ thị và IG là iđêan cạnh
của G. Khi đó IG có phân tích bất khả quy
IG =

PV =
V

PV ,

V tối thiểu

trong đó giao thứ nhất là giao của các iđêan sinh bởi tất cả các tập phủ đỉnh của
G, giao thứ hai là giao của các iđêan sinh bởi tất cả các tập phủ đỉnh tối thiểu
của G và là giao thu gọn.
Ví dụ 1.1.18. Cho R = K[x1 , x2 , x3 , x4 ]. Tìm phân tích bất khả quy của iđêan cạnh
I = (x1 x2 , x1 x3 , x1 x4 , x2 x3 , x2 x4 ).
Trước hết, ta vẽ đồ thị G với tập đỉnh V = {x1 , x2 , x3 , x4 } sao cho I = IG là iđêan
cạnh của đồ thị, như Hình 1.2.

Sau đó, ta tìm được các tập phủ đỉnh tối thiểu là
V1 = {x1 , x2 },V2 = {x1 , x3 , x4 }.
Vì thế, theo Định lý 1.1.17, ta có phân tích bất khả quy thu gọn của iđêan I là
I = IG = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 , x4 ).
10


Hình 1.2: Phân tích bất khả quy của iđêan cạnh

Ký hiệu m := (x1 , . . . , xn ) là iđêan cực đại duy nhất của R, J ⊂ R là iđêan đơn
thức, [[R]] là tập tất cả các đơn thức của R, tập đỉnh V = {x1 , . . . , xn }, trùng với
tập các biến và µ(J) là số phần tử sinh tối thiểu của J. Với mỗi véctơ khác không
a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn , đặt xa = x1a1 . . . xnan , ma := (xiai | ai > 0, i = 1, . . . , n)R và
supp(a) = supp(xa ) := {xi | ai > 0}. Với mọi tập con S ⊂ V , đặt 1S là véctơ đặc
trưng, nghĩa là tọa độ thứ i là 1 nếu xi ∈ S và bằng 0 nếu ngược lại. Ví dụ ta có
1V = (1, . . . , 1).
Định nghĩa 1.1.19. Một đơn thức M ∈ [[R]] được gọi là phần tử J-góc nếu M ∈
/J
nhưng x1 M, . . . , xn M ∈ J. Tập hợp các phần tử góc của J trong [[R]] được ký hiệu
bởi CR (J).

Kết quả sau cho ta một công cụ hữu hiệu để tìm phân tích bất khả quy của một
iđêan đơn thức (Xem [10], Định lý 6.3.5, Định lý 7.5.3 và Định lý 7.5.5). Ký hiệu
irr(J) là tập các iđêan bất khả quy của iđêan đơn thức J. Nhắc lại rằng mọi iđêan
bất khả quy trong vành R đều có dạng mb với b ∈ Nn là véc tơ khác 0.
Định lý 1.1.20. Cho J ⊂ R là iđêan đơn thức của R.
(i) Giả sử rad(J) = m. Cho CR (J) = {xbj | bj ∈ Nn , j = 1, . . . ,t(R/J)} là tập
t(R/J)

mbj +1V là phân tích bất khả quy duy nhất

các phần tử góc của J. Khi đó J =
j=1

của J.
(ii) Giả sử rằng rad(J) = m và J = (xbj | bj ∈ Nn , j = 1, . . . , µ(J))R. Cho m
là một số nguyên bằng hoặc lớn hơn các tọa độ của véc tơ bj . Ta đặt iđêan
J := J + m(m+1)1V và CR (J ) = {xcj | cj ∈ Nd , j = 1, . . . ,t(R/J )} là tập các phần

11


t(R/J )

mcj +1V là phân tích bất khả quy duy nhất của

tử góc của J . Khi đó J =
j=1

J, trong đó mcj +1V thu được từ mcj +1V bằng cách bỏ đi các đơn thức có dạng
x1m+1 , . . . , xdm+1 từ các phần tử sinh của nó.

Giả sử mb := (xibi | bi > 0, i = 1, . . . , d)R, trong đó b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Nn \ {0}
là iđêan trong phân tích bất khả quy của IGk . Ta liên kết mb với U = {xi | bi ≥ 1},
Z = {xi | bi = 0} và a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn định nghĩa bởi ai = bi − 1 nếu bi ≥ 2 và
ai = 0 nếu 0 ≤ bi ≤ 1. Với các ký hiệu và các tập U, Z như trên sao cho U ∪ Z = V .
Ta có kết quả sau (xem [7]).
Hệ quả 1.1.21. Cho k, m ∈ N sao cho m ≥ k và a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn sao cho
supp(a) ⊂ U. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Iđêan ma+1U ∈ irr(IGk ).
(ii) ai < k với mọi i = 1, . . . , n và đơn thức xa xm1Z là phần tử góc của
IGk + m(m+1)1V .
(iii) ai < k với mọi i = 1, . . . , n và ta có xa xm1Z ∈
/ IGk và với mọi u ∈ U ta có
uxa xm1Z ∈ IGk .
Rõ ràng rằng nếu I = IG là iđêan cạnh thì ta có: các iđêan nguyên tố liên kết
của I là các iđêan đơn thức nguyên tố sinh bởi tập con của tập các biến; các
iđêan nguyên tố liên kết trong tập Ass(R/I) tương ứng với các tập phủ đỉnh tối
thiểu của đồ thị G; Min(R/I) = Ass(R/I) và Ass(R/I) ⊆ Ass(R/I k ), với mọi số
nguyên dương k, nghĩa là IG là xoắn tự do chuẩn tắc. Hơn nữa chỉ số dừng N1 = 1
nếu và chỉ nếu G là đồ thị rẽ nhánh (xem [13, Định lý 5.9]). Một kết quả khác
trong [2, Hệ quả 4.3] cũng chỉ ra rằng nếu G là đồ thị liên thông không rẽ nhánh
với n đỉnh, s lá và chu trình lẻ nhỏ nhất của G có độ dài là 2k + 1 thì chỉ số dừng
N1

n − k − s. Một kết quả nữa về iđêan cạnh sẽ được chứng minh trong chương

2 là nếu I là iđêan cạnh thì tập Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ), nghĩa là tập iđêan
nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh thỏa mãn điều kiện dãy tăng.

12

1.2

Bao đóng nguyên

Giả sử R là một vành giao hoán Noether và I là iđêan của R. Mục này sẽ giới
thiệu khái niệm bao đóng nguyên của iđêan và tập iđêan nguyên tố liên kết của
bao đóng nguyên. Các kết quả trong phần này được viết theo [3] và [14].
Định nghĩa 1.2.1. [3, Định nghĩa 2.1.1] Cho I là iđêan của R. Một phần tử r ∈ R
được gọi là nguyên trên I nếu tồn tại một số nguyên n và các phần tử ai ∈ I i , i =
1, . . . , n thỏa mãn
rn + a1 rn−1 + a2 rn−2 + . . . + an−1 r + an = 0.
Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức độc lập nguyên của r trên I (bậc n). Tập
tất cả các phần tử nguyên trên I, kí hiệu I, được gọi là bao đóng nguyên của I.
Nếu I = I thì I được gọi là đóng nguyên. Nếu I ⊆ J là iđêan thì ta nói rằng J là
nguyên trên I nếu J ⊆ I. Nếu I là iđêan sao cho với mọi số nguyên dương n, I n là
bao đóng nguyên thì I được gọi là chuẩn tắc.
Ví dụ 1.2.2. Với phần tử tùy ý x, y ∈ R, phần tử xy thuộc bao đóng nguyên (x2 , y2 )
của iđêan (x2 , y2 ). Cụ thể là nếu ta chọn
n = 2, a1 = 0 ∈ (x2 , y2 ), a2 = −x2 y2 ∈ (x2 , y2 )2
thì ta có (xy)2 + a1 (xy) + a2 = 0 là phương trình độc lập nguyên của xy trên
(x2 , y2 ).
Tương tự, với số nguyên không âm bất kì i ≤ d, ta có xi yd−i ∈ (xd , yd ).
Nhận xét 1.2.3. (i) I ⊆ I.
(ii) Nếu I ⊆ J là iđêan, khi đó I ⊆ J, mỗi đẳng thức độc lập nguyên của r trên I
cũng là đẳng thức độc lập nguyên của r trên J.
√
(iii) I ⊆ I.
(iv) Giao của các bao đóng nguyên là một bao đóng nguyên.
Nếu R là vành đa thức và I là iđêan đơn thức thì việc tính bao đóng nguyên trở

nên đơn giản hơn nhờ những mô tả sau.

13


Mệnh đề 1.2.4. [14, Mệnh đề 7.3.3] Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức trên
trường K và I là iđêan đơn thức của R. Khi đó I là một iđêan đơn thức và
I = (xα | ∃m ≥ 1 để xmα ∈ I m ).
Mô tả hình học của bao đóng nguyên [14, tr. 234] Giả sử a ∈ Qn+ , với Q+ là
tập các số hữu tỷ không âm. Ta định nghĩa góc trên bên phải (hoặc trần trên) của
α là

 αi nếu αi ∈ N,
α i=
 α + 1 nếu α ∈
i / N,
i
với αi là phần nguyên của αi . Giả sử ai = (ai1 , . . . , ain ) ∈ Nn và conv(a1 , . . . , ar )
là bao lồi của nó,
r

conv(a1 , . . . , ar ) =

r

∑ λiai | ∑ λi = 1, λi ∈ Q+

i=1

i=1

là tập tất cả các tổ hợp lồi của a1 , . . . , ar .
Mệnh đề 1.2.5. [14, Mệnh đề 7.3.4] Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức trên
trường K. Nếu I ⊂ R là iđêan sinh bởi các đơn thức xa1 , . . . , xar thì bao đóng
nguyên của I là
I=

x

α

| α ∈ conv(a1 , . . . , ar )

.

Khi đó I được sinh bởi các đơn thức có bậc cao nhất là d + n − 1, với d là bậc
cao nhất của xa1 , . . . , xar .
Hệ quả 1.2.6. [14, Hệ quả 7.3.5] Cho I là iđêan của R = K[x1 , . . . , xn ] sinh bởi
các đơn thức xa1 , . . . , xar . Khi đó bao đóng nguyên I của I được sinh bởi các đơn
thức có bậc cao nhất là d + n − 1, trong đó d là số lớn nhất trong các bậc của
các đơn thức xa1 , . . . , xar .
Ví dụ 1.2.7. Giả sử I = (x3 , y4 ) ⊂ K[x, y]. Bao đóng nguyên I của I được sinh bởi
các đơn thức x3 , y4 , xy3 , xy4 , x2 y2 , x2 y3 , x3 y, x3 y2 và được biểu diễn trên Hình 1.3,
mỗi đơn thức là một chấm đen trên hình.

I = x3 , y4 , xy3 , xy4 , x2 y2 , x2 y3 , x3 y, x3 y2 = x3 , y4 , xy3 , x2 y2 .
14


Hình 1.3: Bao đóng nguyên của I

Như đã trình bày ở Mục 1.1, rất ít lớp iđêan I sao cho Ass(R/I k ) thỏa mãn
điều kiện dãy tăng. Tuy nhiên, điều kiện này là đúng cho bao đóng nguyên, nghĩa
là nếu I là iđêan trên vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 )
với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa là tồn tại số nguyên dương N2 sao cho
Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I N2 ) với mọi k

N2 . Nhiều tính chất đẹp của tập Ass(R/I N2 )

được nghiên cứu trong [5]. Đối với iđêan cạnh IG , nếu G là đồ thị chứa duy nhất
một chu trình thì tập Ass(R/I k ) tạo thành một dãy tăng.

15


Chương 2

Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của
iđêan cạnh
Trong chương này luôn kí hiệu R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức trên trường
K và G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh là V = {x1 , . . . , xn } và tập cạnh là Evới
giả thiết G không có đỉnh cô lập. Chương này sẽ trình bày lại một số kết quả
về tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh được viết bởi J.
Martinez-Bernal, S. Morey and R. Villarreal trong bài báo số [9].

2.1

Matching và Factor-critical

Định nghĩa 2.1.1. Một matching M của đồ thị G là một tập con của E mà hai

cạnh bất kì của M không có đỉnh chung. Một matching có k cạnh được gọi là
k−matching. Ta kí hiệu MGk = {M | M là k-matching của G}. Matching cực đại
của G là matching chứa nhiều cạnh nhất có thể. Số matching của G, kí hiệu ν(G),
là số cạnh trong một matching cực đại của G. Một matching được gọi là perfect
matching nếu nó phủ tất cả các đỉnh của đồ thị G. Đồ thị G được gọi là matching
critical nếu với mọi x ∈ V thì ν(G) = ν(G − x). Đồ thị G được gọi là factorcritical nếu G − u có perfect matching với mọi u ∈ V .
Ví dụ 2.1.2. (i) Xét đồ thị G1 cho ở Hình 2.1. Tập hợp các matching của G1 là
{(12, 34), (12, 35), (12, 45), (23, 45), (23, 15), (34, 15)}.
Mỗi matching trên là 2- matching và là matching cực đại nên ν(G1 ) = 2. Đồ thị
G1 là factor-critical vì với mọi i = 1, . . . , 5 thì G1 − i có perfect matching.

16


Hình 2.1: Đồ thị G1

Hình 2.2: Đồ thị G1 − i

• G1 − 1 có perfect matching là {(23, 45)}.
• G1 − 2 có perfect matching là {(15, 34)}.
• G1 − 3 có perfect matching là {(12, 45)}.
• G1 − 4 có perfect matching là {(12, 35), (15, 23)}.
• G1 − 5 có perfect matching là {(12, 34)}.
(ii) Xét đồ thị G2 cho ở Hình 2.3.

Hình 2.3: Đồ thị G2

17

Tập hợp các matching của G2 là
{(12, 34), (12, 35), (12, 45), (15, 23), (15, 34), (23, 45), (25, 34)}.
Mỗi matching trên là 2- matching và là matching cực đại nên ν(G2 ) = 2. Đồ thị
G2 là factor-critical vì với mọi i = 1, . . . , 5 thì G2 − i có perfect matching.

Hình 2.4: Đồ thị G2 − i

• G2 − 1 có perfect matching là {(23, 45), (25, 34)}.
• G2 − 2 có perfect matching là {(15, 34)}.
• G2 − 3 có perfect matching là {(12, 45)}.
• G2 − 4 có perfect matching là {(12, 35), (15, 23)}.
• G2 − 5 có perfect matching là {(12, 34)}.
(iii) Xét đồ thị G3 cho ở Hình 2.5.

Hình 2.5: Đồ thị G3

18


Tập hợp các matching cực đại của G3 là
{(12, 34, 56), (12, 34, 57), (12, 34, 67), (12, 37, 56),
(12, 47, 56), (17, 34, 56), (27, 34, 56)}.
Do đó ν(G3 ) = 3. Đồ thị G3 là factor-critical vì với mọi i = 1, . . . , 7 thì G3 − i có
perfect matching.

Hình 2.6: Đồ thị G3 − i

• G3 − 1 có perfect matching là {(27, 34, 56)}.
• G3 − 2 có perfect matching là {(17, 34, 56)}.
• G3 − 3 có perfect matching là {(12, 47, 56)}.

• G3 − 4 có perfect matching là {(12, 37, 56)}.
• G3 − 5 có perfect matching là {(12, 34, 67)}.
• G3 − 6 có perfect matching là {(12, 34, 57)}.
• G3 − 7 có perfect matching là {(12, 34, 56)}.
Nhận xét 2.1.3. (i) Bất kì đồ thị G nào có perfect matching đều phải có số đỉnh
là chẵn và mỗi đỉnh của G đều thuộc cạnh của perfect matching.
(ii) Đồ thị factor-critical phải có số đỉnh là lẻ.
19


2.2

Sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết

Trong mục này, ta đặc trưng những đồ thị có perfect matching và chỉ ra rằng
tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh có dạng một dãy
tăng.
Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {x1 , . . . , xn } và I = IG ⊂ R là iđêan cạnh của
nó. Ký hiệu F = { f1 , . . . , fq } là tập tất cả các đơn thức xi x j sao cho {xi , x j } ∈ E. Để
ngắn gọn, ta đặt xa = x1a1 . . . xnan và |a| = a1 + a2 + . . . + an , trong đó a = (ai ) ∈ Nn
c

và fc = f1c1 . . . fq q , trong đó c = (ci ) ∈ Nq . Chú ý rằng tập N bao gồm cả số 0.
Định nghĩa 2.2.1. Sự nhân bản đỉnh xi của đồ thị G là mở rộng tập đỉnh V của
nó bằng một đỉnh mới xi và thay tập cạnh E bởi tập
E ∪ {(e {xi }) ∪ {xi }|xi ∈ e ∈ E}.
Sự xóa đi xi , kí hiệu G\{xi }, là đồ thị tạo thành từ G bởi bỏ đi đỉnh xi và tất cả
các cạnh chứa đỉnh xi . Đồ thị thu được từ G bởi một dãy các lần xóa đi và nhân
bản của các đỉnh được gọi là song song hóa của G.
Không khó để kiểm tra được hai phép toán trên là giao hoán. Cho a = (ai ) là

vectơ trong Nn , ta kí hiệu Ga là đồ thị thu được từ G bằng cách liên tiếp xóa đi
các đỉnh xi với ai = 0 và nhân bản ai − 1 lần các đỉnh xi nếu ai ≥ 1.
Ví dụ 2.2.2. Cho G là đồ thị như Hình 2.7 và a = (3, 3).

Hình 2.7: Đồ thị G

Ta đặt xi1 = xi với i = 1, 2. Khi đó song song hóa Ga là đồ thị rẽ nhánh đầy đủ với
hai nhánh V1 = {x11 , x12 , x13 } và V2 = {x21 , x22 , x23 }. Chú ý rằng xik là một đỉnh, tức là
k là chỉ số chứ không phải số mũ.
20