SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khảo sát Hàm Bậc Bốn năm 2019 2020

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong các năm gần đây đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng , chúng ta
thường gặp câu khảo sát hàm số y = ax 4 + bx2 + c ( a �0 ) và các vấn đề liên
quan đến điểm cực trị của hàm số này. Để chuẩn bị tốt cho kì thi tốt nghiệp
THPT và đại học bài viết này đưa ra một số tính chất của các điểm cực trị
của hàm số y = ax4 + bx2 + c và một số ứng dụng của nó . Muốn học sinh
học tốt được các dạng toán về “ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c ” thì
mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu
đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài
giảng một cách rập khuôn, máy móc, đều đó làm cho học sinh học tập một
cách thụ động và khó nhớ và kết quả học tập sẽ không cao. Đó là một trong
những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con
người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn
ra hàng ngày.
Với yêu cầu của giáo dục hiện nay ngoài việc đổi mới phương pháp
dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của
học sinh. Thì người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em
bằng cách tinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải
gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế. Các kiến thức không được mang nặng
tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thức của các em. Thông qua
kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽ
lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến
thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học
tập, trong việc làm. Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng,
ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng
dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao.
Riêng phần “ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c ” cũng không nằm ngoài
quy luật đó.
Xuất phát từ nhu cầu thực tế từ các em học sinh Trường THPT Đinh
Tiên Hoàng cung như qua nhiềm năm kinh nghiệm của bản thân ,tôi đã chọn
đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Tính chất của các điểm cực trị của hàm số

y = ax4 + bx2 + c và ứng dụng của nó.”
- Nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung
và chuyên đề “ Cực trị của hàm số y = ax 4 + bx2 + c ” nói riêng theo
phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng
tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương
pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn
học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp


tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học
mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức .
- Đối với chuyên đề “ Cực trị của hàm số y = ax 4 + bx2 + c ”, góp
phần cho các em học sinh 12 ôn thi tốt nghiệp tốt đạt kết quả tốt hơn.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Cơ sở lý luận
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức
khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực
nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con
người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời
gian trong chương trình học của học sinh
Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên
cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương
pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con
người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao
động trong thời đại mới.
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay
nói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ

thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình.
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi
chúng không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú
trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập.
- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật,
hiện tượng xung quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực
hiện
- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên
trong dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc
sâu cho học sinh.
Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng
tượng phong phú. Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng
rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài. Chính vì thế nội
dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật
truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều
không thể xem nhẹ. Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa
mới vượt qua những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt
động vui chơi là chủ đạo sang hoạt động học tập là chủ đạo. Lên đến lớp 10,
11 thì yêu cầu đó đặt ra là thường xuyên đối với các em ở tất cả các môn
học. Như vậy nói về cách học, về yêu cầu học thì học sinh THPT gặp phải


một sự thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 và sang lớp 11, 12 các em
mới quen dần với cách học đó. Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy
trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe
và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa.
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới
phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm”
hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Kiểu dạy
này người giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó

là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò
mò và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ.
Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của
mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp.
Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua quá trình
tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết
kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt
mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm
vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học
tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước
nhà.
2.2 .Thực trạng :
2.2.1.Giới thiệu khái quát về đơn vị :
Trường THPT Đinh Tiên Hoàng – Tỉnh Quảng Ngãi là một trường công lập
đứng chân trên địa bàn của huyện miền núi Sơn Tây điều kiện kinh tế khó
khăn, dân tộc thiểu số chiếm 80% ,tỉ lệ hộ nghèo cao ,học sinh phần lớn là
con em dân tộc thiểu số, đường xá đi lại khó khăn , chất lượng học tập của
các em chưa cao.
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự
mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh
lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có
năng lực thật sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân
trọng qua từng tiết dạy.
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người
giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng
phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao thep
dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2.2.2. Thực trang khi chưa đổi mới phương pháp bộ môn toán ở trường
THPT Đinh Tiên Hoàng:
Những năm học trước khi chưa đổi mới thì chất lượng tiếp thu bài cũng

như độ nhớ kiến thức của học sinh còn rất thấp.


Qua quá trình dạy học bộ môn toán ở trường THPT Đinh Tiên Hoàng .
Tôi xin đưa ra những kinh nghiệm của mình về chuyên :
“ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c ” . Nhằm góp phần giúp cho các em
học sinh 12 ôn thi tốt nghiệp đạt kết quả cao hơn .


I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a �0 ) trên R .
Ta có y� 4ax3  2bx  2 x(2ax 2  b) .
x0
�

Suy ra y� 0 � �

2ax 2  b  0 (1)
�

Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi
y�
 0 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
khác 0 � ab  0 (*)
Với điều kiện (*) , đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
�
� b
b
b2 �
b2 �

A(0; c ) , B �


;
c

C

;
c

�.
�và �
�
� 2a
2a
4a �
4a �
�
�
�
�

Khi đó AB  AC 

2b
b 4  8ab
và BC  
.
2

a
16a

Sau đây là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này.

1) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam
giác vuông
Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A .
Suy ra ABC là tam giac vuông khi và chỉ khi góc BAC bằng 90o hay ΔABC
vuông cân tại A .
Khi đó BC  AB 2 � BC 2  2 AB 2
�

2b
b 4  8ab
 2.
� b3  8a  0 .
a
16a 2

Tính chất 1. Đồ thị hàn số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba
ab  0
�

đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi �3

b  8a  0.
�

2) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam
giác đều
Ta có ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB  AC  BC � AB 2  BC 2
�

b 4  8ab
2b

� b3  24a  0 .
2
16a
a

Tính chất 2. Đồ thị hàn số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba
�ab  0

đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi �3

b  24a  0
�

3) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam
giác cân có một góc  cho trước
●Trường hợp 1:   90o
Khi đó tam giác ABC là tam giác tù . Vì tam giác ABC cân tại A nên góc
BAC =  .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A
� BC 2  2 AB 2 (1  cos )
2b

b 4  8ab
 2.
(1  cos )
a
16a 2
� 16a  (b3  8a )(1  cos )
� b3  8a  (b 3  8a)cos = 0
�

●Trường hợp 2:   90o
Khi đó đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành
ba đỉnh của một tam giác ABC vuông cân tại A
ab  0
�

khi và chỉ khi �3

b  8a  0.
�
●Trường hợp 3:   90o
)
) )
- Nếu B  C   thì A  180o  2 , suy ra cosA=cos(180o  2 )  cos2 . Áp

dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có :
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cosA
� BC 2  2 AB 2 (1  cos2 )
2b
b 4  8ab
 2.

(1  cos2 )
a
16a 2
� 16a  (b3  8a )(1  cos2 )
� b3  8a  (b 3  8a)cos2 =0 .
)
- Nếu A   thì tương tự trường hợp 1 , ta có
b3  8a  (b3  8a)cos =0
�


Tính chất 3. Đồ thị hàn số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo
thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc  cho trước khi và chỉ khi
�
ab  0
�
�
�3
b  8a  (b3  8a )cos  0, khi   90o
�
�
�
ab  0
�
�
�3
�
b  8a  0 , khi   90o
�
�

ab  0
�
�
) )
�3
�
3
b

8
a

(
b

8
a
)
co
s2

=0
,
khi
B=C=
 <90o
�
�
�
ab  0

�
�
)
�3
3
�
b

8
a

(
b

8
a
)
co
s

=0
,
khi
A=
 <90o
�
�

4) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C thỏa mãn BC = OA ( Với O là gốc
tọa độ)

Ta có BC = OA � BC 2  OA2 � 

2b
 c2
a

� ac 2  2b  0 .

Tính chất 4. Đồ thị hàn số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị A,B,C thỏa
ab  0
�

mãn điều kiện BC = OA khi và chỉ khi �

ac 2  2b  0.
�

5) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam
giác và tính diện tích của tam giác đó.
Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác
�
b2 �
b2
b2
0;
c

AH




ABC . Khi đó H �
.
�.Suy ra
4a �
4a 4 a
�

Vậy SVABC 

1
1
2b b 2
b5
BC. AH 
 .
 
2
2
a 4a
32a 3

Tính chất 5. Đồ thị hàn số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi
ab  0
�
�
�
b5
�S  

32a 3
�

6) Điều kiện để ba điểm cực trị A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam
giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao
điểm của BC với trục Oy .
�

b2 �

b2

b2

.
Khi đó H �0; c  �và AH   
4a �
4a 4 | a |
�


ACH 
Từ tam giác vuông AHC , ta có sin �

AH AH

AC AB

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta được :

AB
AB 2 b 4  8ab 4 | a |
b3  8a
2R 


. 2 . Suy ra R 
.
16a 2
b
8| a |b
sin �
ACH AH

Tính chất 6. Đồ thị hàn số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị A,B,C tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R
ab  0
�
�
khi và chỉ khi � b3  8a
�R  8 | a | b
�

II- ỨNG DỤNG
☞ Ví dụ 1. ( Câu 1 TSĐH năm 2012, khối A-A2)
Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác vuông.
Lời giải . Áp dụng tính chất 1 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo
ab  0

�

thành ba đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi �3

b  8a  0
�

2(m  1)  0
�
��
8(m  1)3  8  0
�
m  1
�
��
�m0 .
3
(
m

1)

1
�

☞ Ví dụ 2. ( Câu 1 TSĐH năm 2011, khối B)
Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC ;
trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là hai
điểm cực trị còn lại .

Lời giải . Áp dụng tính chất 4 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C
ab  0
�

2(m  1)  0
�
��2
ac  2b  0
m  4(m  1)  0
�
�

sao cho OA = BC khi và chỉ khi �

2

m  1
�
��2
� m  2 �2 2 .
m  4m  4  0
�

☞ Ví dụ 3.
Cho hàm số y = x4 – 2m x2 -3 (1) , với m là tham số .


Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải . Áp dụng tính chất 6 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực tri là R
2 m  0
ab  0
�
�
m0
�
�
�
�
3
3
Khi và chỉ khi � b  8a � �R  (2m)  8 � � m3  1
�R  8 | a | b
�
�R 
8( 2m)
2m
�
�
�
1� 2 1 �
Suy ra R  �m  �.
2�
m�

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương , ta có :
1�2 1 � 1�2 1
1 �1 3 2 1 1
3 1

3
R �
m  � �
m 

.
 . 3  . 3 2.
�� .3. m .
2�
m� 2�
2m 2 m � 2
2m 2 m 2 4 4
3 3
1
1
2
Vậy min R  4 . 2 � m  2m � m  3 .
2

☞ Ví dụ 4.
Cho hàm số y = x4 – 2m x2 +1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn ngoại tiếp tam
giác tạo bởi các điểm cực trị này có bán kính bằng 1.
Lời giải . Áp dụng tính chất 6 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực tri này là R
ab  0
�
�
Khi và chỉ khi � b3  8a
�R  8 | a | b

�

m0
�
�
� � m3  1
�R 
2m
�
3
m 1
� m3  2m  1  0 � (m  1)( m 2  m  1)  0
Theo đề ta có R = 1 Suy ra 1 
2m
m 1
�
�
�
1 � 5 .
�
m
�
2
1  5
Đối chiếu với điều kiện m  0 ta được m  1, m 
2

☞ Ví dụ 5.
Cho hàm số y = x4 + 2(m - 2)x2 + m2 – 5m + 5 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm

cực đại và cực tiểu tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Lời giải . Áp dụng tính chất 2 , đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu
, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành ba đỉnh của một tam giác
đều


�ab  0

2(m  2)  0
�
��
� m  2 3 3
3
b

24
a

0
8(
m

2)

24

0
�
�

Khi và chỉ khi �3

☞ Ví dụ 6.
Cho hàm số y = - x4 + 2m x2 +1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác có một góc bằng 120o.
Lời giải . Áp dụng tính chất 3 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có một góc   90o
ab  0
�

2m  0
�
�
�
b  8a  (b3  8a) cos   0
8m3  8  (8m3  8) cos120o  0
�
�
m0
�
1
�� 3
�m 3 .
12m  4  0
3
�

Khi và chỉ khi �3

☞ Ví dụ 7.
Cho hàm số y = x4 - 2m x2 +m + 2 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác có diện tích bằng 32 .
Lời giải . Áp dụng tính chất 5 , đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích S
ab  0
2 m  0
�
�
�
�
Khi và chỉ khi �
b5 � �
(2m)5
S


32


�
�
32a 3
32.13
�
�
m0
�
�

��
� m  4. .
32  m5
�

III – BÀI TẬP TỰ LUYỆN :


1. Cho hàm số y = x 4 – 2mx2 + m + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm
cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều .
2. Cho hàm số y = - x 4 + 2mx2 + m2 + m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 30o .
3. Cho hàm số y = 2x4 – 2m x2 – m +1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Cho hàm số y = 2x4 – 2(m + 3)x2 + m +1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC ;
trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là hai
điểm cực trị còn lại .
5. Cho hàm số y = - x4 – 2(m – 1) x2 + m + 1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác có diện tích bằng 32 .
6. Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác vuông.
7. Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC ;
trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là hai
điểm cực trị còn lại .
8. Cho hàm số y = x4 – 2m x2 -3 (1) , với m là tham số .

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Cho hàm số y = x4 – 2m x2 +1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn ngoại tiếp tam
giác tạo bởi các điểm cực trị này có bán kính bằng 1.
10. Cho hàm số y = x4 + 2(m - 2)x2 + m2 – 5m + 5 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm
cực đại và cực tiểu tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
11. Cho hàm số y = - x4 + 2m x2 +1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác có một góc bằng 120o.
12. Cho hàm số y = x4 - 2m x2 +m + 2 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác có diện tích bằng 32 .
13. Cho hàm số y = -x4 + 2m x2 + m - 1 (1) , với m là tham số .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác có một góc bằng 30o.
3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ


3.1.Kết luận:
Thời gian và tầm nhìn có hạn. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ
trong phương pháp giảng dạy “ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c ”
. Rất mong đựoc quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng
góp, trao đổi để lần sau được hoàn thiện hơn
3.2.Kiến nghị:
Đối với nhà trường cần quan tâm và khích lệ hơn nữa đối với các
giáo viên có những đề tài sáng tại và mang nghĩa thiết thực trong công
tác dạy học ở đơn vị.
Đối với chính quyền địa phương cần kết hợp cùng với nhà trường vận

động học sinh có y thức học tập tốt hơn.
3.3 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :
3.3.1. Nhiệm vụ :
- Tìm hiểu các khái niệm Đạo hàm và tính chất
“ Cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c ”
- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 12.
3.3.2. Phạm vi nghiên cứu :
- Đối tượng : Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số trong Giải
tích lớp 12.
- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 10,11,12, sách hướng dẫn giáo
viên.
3.4. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
3.4.1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung
đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
3.4.2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung “ Cực trị của
hàm số y = ax4 + bx2 + c ”
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông
qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.