ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH
GIỎI
TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010

Môn: TOÁN
Ngày thi: 13- 9- 2009
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có: 01 trang)
Câu 1(3 điểm):
a/ Rút gọn biểu thức:
)2)(3(
5
2
1
3
2
−+
−
−
−
+
+
=
xxxx
x
A
b/ Tính giá trị của biểu thức A khi
4
)2(
−=

x
Câu 2(4 điểm):
a/ Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:

51229
−=
B
;
.206
−=
C

b/ Chứng minh rằng:
15122935
=−−−


Câu 3(5 điểm):
a/ Tìm ba số x, y, z biết rằng:
432
zyx
==
và x+ 2y- 3z = -20
b/ Với a>0, chứng minh rằng
2
1
≥+
a
a
c/ Tính tổng

2010.2009
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+⋅⋅⋅+++=
S
Câu 4(4 điểm):
Tam giác ABC vuông tại A có AB< AC. Gọi I là trung điểm của AC. Qua
I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với
AC, chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng
BIAE
⊥
.
Câu 5(4 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB= 6cm và AC= 8cm. Các
đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M
và N. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AM và AN.
Hết
TRƯỜNG THCS Đáp án đề thi chọn HSG vòng trường
TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010


Câu Nội dung Điểm
1a
)2)(3(
5

2
1
3
2
−+
−
−
−
+
+
=
xxxx
x
A
)2)(3(
5)3()2)(2(
−+
−+−−+
=
xx
xxx
)2)(3(
534
2
−+
−−−−
=
xx
xx
)2)(3(

12
2
−+
−−
=
xx
xx
=
)2)(3(
)4)(3(
−+
−+
xx
xx
2
4
−
−
=
x
x
b
4
)2(
−=
x
=4
Vậy A=
0
24

44
=
−
−
2a

22
33).5.2(2)20(95122051229
+−=+−=−=
B
=
22
33.20.2)20(
+−
=
2
)320(
−


22
11.5.2)5(5.415206
+−=−+=−=
C
=
2
)15(
−
b
Xét vế trái, ta có:

2
)320(355122935
−−−=−−−
=
)320(35
−−−
=
2065
−−
=
2
)15(5
−−
=
)15(5
−−
=1 (vế phải)
3a
Ta có
432
zyx
==
1262
32
12
3
6
2
2
++

−+
===⇔
zyxzyx
(vì x+ 2y- 3z = -20 )

1
20
20
−=
−
=
Do đó: x=2.(-1) =-2
2y=6.(-1)
⇒
y=-3
3z=12.(-1)
⇒
z=-4
b
Với a>0, chứng minh rằng
2
1
≥+
a
a
Áp dụng, bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và
a
1
ta có
2

1
1.2
11
.
2
1
≥+⇔≥+⇔≥
+
a
a
a
a
a
a
a
a
(đpcm)
4 Từ A kẻ Ax// BC cắt EC tại D. Vì
ADEIBCEI
⊥⇒⊥
Mặt khác
EDAC
⊥
(Vì D
EC
∈
)
⇒
I là trực tâm của
∆

ADE.
Ta cần chứng minh: DB là đường cao thứ ba của
∆
ADE
(hay ba điểm D, I, B thẳng hàng).
Thật vậy, AB//CD và AD//BC
⇒
ABCD là Hình bình hành
Khi đó AC và BD là hai đường chéo, chúng cắt nhau tại trung điểm I
của AC. Tức D, I, B thẳng hàng
⇒
DB là đường cao thứ ba của
∆
ADE
Vậy
BIAE
⊥
(đpcm)