005 đề HSG toán 7 huyện thanh oai 2013 2014

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
Năm học 2013-2014
Môn thi: TOÁN

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

Tính M 

ab bc cd d a



cd d a ab bc

Bài 2. (3 điểm) Cho các đa thức P( x)  3x4  x3  4 x2  2 x  1
Q( x)  2 x 4  x 2  x  2

a) Tính P( x)  Q( x)
b) Tìm đa thức H ( x) biết Q( x)  H ( x)  2 x4  2
c) Tìm nghiệm của đa thức H ( x)

Bài 3 (3 điểm). Tìm x biết:
a) x  2010  x  2012  x  2014  4
3 3
3
 
1
b) 2 x  3    và y  7 11 101 
5 5
5
2
 
7 11 101
y

1 1 1
 
2 3 4
5 5 5
 
4 6 8

Bài 4. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A   x  2  y  x  3
2

Bài 5. (7 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác góc B
cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:
a) BA  BH
b) DBK  450

c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK


ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI NĂM 2013-2014
Bài 1.
Từ

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd





a
b
c
d


Nếu a  b  c  d  0  a  b  (c  d );(b  c)  (a  d )
M 

ab bc cd d a



 4
cd d a ab bc

Nếu a  b  c  d  0  a  b  c  d  M 

ab bc c d d a



4
cd d a a b bc

Bài 2.

a) P( x)  Q( x)  3x4  x3  4 x2  2 x  1  2 x4  x2  x  2  x 4  x3  3x 2  3x 1
b) H ( x)  Q( x)  2 x4  2  2 x4  x2  x  2  2 x4  2   x2  x
c) H ( x)   x2  x  x(1  x)  0  x  0; x  1
Bài 3.
a) x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012  4(*)

Mà x  2010  x  2012  x  2014  4 nên (*) xảy ra dấu “=” suy ra
 x  2012  0
 x  2012

2010  x  2014

1 
1 1
1 1 1
3  
 

7
11
101
  2 3 4  3  2 1
b) y  
1  5 1 1 1 5 5
1 1
5  
.   

 7 11 101  2  2 3 4 
1

5
1
7
1
x
2 x  3     2 x  3   x  hoặc 2 x  3 
2
4
2
4
2
1


Bài 4.
Ta có  x  2 2  0 với mọi x và y  x  0 với mọi x, y  A  3 với mọi x, y
 x  2 2  0  x  2

Suy ra A nhỏ nhất  3 khi 
y

x

0
y  2


Bài 5.

B

I
4

3
1 2

K
H
A

D

C E

a) ABD  HBD (cạnh huyền – góc nhọn)  BA  BH
b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK, cắt EK tại I
Ta có AB  BH (cmt ); AE  AB ( gt ) AE  BI ( BA / / IE)  BH  BI
HBK  IBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 B3  B4 mà B1  B2  DBK  450

c) ABD  HBD  AD  DH
HBK  IBK  HK  KI  KD  DH  Hk  AD  KI

Chu vi tam giác DEK =
DE  EK  KD  DE  KE  AD  KI  AE  IE  2. AB  2.4  8(cm)