009 đề HSG toán 7 huyện tam hưng 2013 2014

THCS Tam Hưng

ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7
Năm học 2013-2014

Bài 1 (3 điểm)
a) x  5  2
b)  x 2  20  x 2  15  x 2  10  x 2  5   0

Bài 2. (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên  m; n  thỏa mãn
a) 2m  2n  2048
b)3m  4n  mn  16

Bài 3 (4 điểm)
a) Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
y 2  xz, z 2  yt và y3  z 3  t 3  0
y 3  z 3  x3 x
Chứng minh: 3 3 3 
y  z t
t
x  y  z  a b
b) Cho x  y  z  b  c
x  y  z  c  a

Chứng minh x  y  z  0
Bài 4 (4 điểm)
a) Cho đa thức f ( x)  x2015  2000x2014  2000x2013  2000x 2012  ....  2000x  1
Tính giá trị của đa thức tại x  1999
b) Cho đa thức f ( x)  ax2  bx  c
Chứng tỏ rằng: f (2). f (3)  0 nếu 13a  b  2c  0

Bài 5 (5 điểm)
a) Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác
ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ABD  ACE  900
1) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại
K. Chứng minh CD vuông góc với BK
2) Chứng minh ba đường thẳng AH , BE, CD đồng quy
b) Cho hai điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB = CD. Lấy
điểm M tùy ý trong mặt phẳng . Chứng minh rằng MA  MD  MB  MC


ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 7 TAM HƯNG 2013-2014
Bài 1.
a) Chỉ rõ được x  5 0;1; 2 , chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng
x5  0
x 5 1
x5  2

b) Lý luận để có  x2  20   x2  15   x2  10   x2  5
Xét đủng 2 trường hợp
- Trường hợp có 1 số âm tính được x  4
- Trường hợp có 3 số âm tính được x  3
Bài 2.a) Ta có
 2m 1111  2n 1111  211  0
 211.  2m 11  2n 11  1  0
 2m 11  2n 11  0

Lý luận tìm được

m  12
n  11

b) Biến đổi được  3  n  m  4  4
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 có 6 trường hợp
Kết luận được  m; n   8;2 ;  0;4 ;  5; 1 ;  3;7  ;  6;1 ;  2;5
Bài 3
a) Từ giả thiết suy ra

x y z
 
y z t

Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có
x3  y 3  z 3
y3  z3  t 3

Mặt khác ta có:

x3 x x x x y z x
 . .  . . 
y3 y y y y z t t

Suy ra điều phải chứng minh
b) Cộng vế theo vế suy được điều cần chứng minh


Bài 4
a)
f ( x)  x2015  1999  1 x 2014  1999  1 x 2013  1999  1 x 2012  ....  1999  1 x  1

Thay x=1999 ta được

f ( x)  x2015  x2015  x 2014  x 2014  x 2013  x 2013  ......  x 2  x  1

Tính được kết quả và kết luận f (1999)  1998
b) Tính f  2  và f (3)
 f (2)  f (3)  13a  b  2c

 f (2)   f (3)  f (2). f (3)   f (3). f (3)    f (3)  0
2

Bài 5
a)
1) Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết
2) Chỉ ra được AH , BE, CD là ba đường cao của BCK
b)
Xét 2 trường hợp
*Trường hợp điểm M  AD thì ta có: MA  MD  MB  MC
*Trường hợp M  AD , Gọi I là trung điểm của BC
Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM  IN và ta có IB  IC
Vì

AB  CD
 AI  ID
AB  IB  IC  CD

*Chứng minh được IMA  IND (c.g.c)  MA  ND
- Điểm C nằm trong MDN chứng minh được ND  MD  NC  MC


- Chứng minh IBM  ICN (c.g.c) suy ra MA  MD  MB  MC