010 đề HSG toán 7 huyện bích hòa 2013 2014

TRƯỜNG THCS
BÍCH HÒA

Câu 1. (5 điểm)

a)

a c c b

ac cb

Cho

b)

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học: 2013-2014

a c
 chứng minh rằng :
c b

a2  c2 a

b2  c 2 b

Câu 2 (2 điểm) Tìm x, y, z biết

c)

b2  a 2 b  a


a2  c2
a

1 3y 1 5 y 1 7 y


12
5x
4x

Câu 3 (4 điểm)

a) Chứng minh rằng:

1 1 1 1
1
1
 2  2  2  ....... 

2
6 5 6 7
100
4

b) Tìm số nguyên a để:

2a  9 5a  17 3a
là số nguyên



a3
a3 a3

Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 

x  1996
1997

Câu 5 (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C  300 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm
D sao cho HD  HB . Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều
b) AH  CE
c) EH song song với AC


ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 BÍCH HÒA 2013-2014
Câu 1.
a) Từ

a c a c a c
a c c b
 



c b c b c b
a c c b

b) Từ

a 2  c 2 a 2  ab a(a  b) a
a c


  c 2  a.b khi đó: 2 2  2
b c
b  ab b(a  b) b
c b

a2  c2 a
b2  c 2 b
c) Theo câu b, ta có: 2 2   2 2 
b c
b
a b
a
b2  c 2 b
b2  c 2
b
b2  c 2  a 2  c 2 b  a

Từ 2 2   2 2  1   1 hay
a c
a
a c
a
a2  c2
a

Vậy

b2  a 2 b  a

a2  c2
a

Câu 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1  3 y 1  5 y 1  7 y 1  7 y 1  5 y 2 y 1  5 y 1  3 y
2y






12
5x
4x
4 x  5x
x
5 x  12
5 x  12
2y
2y


  x  5 x  12  x  2
 x 5 x  12

1 3y 2 y
1
Thay x  2 vào trên ta được

 y  y 
12
2
15
1
Vậy x  2 ; y 
15

Câu 3.
a) Đặt A 

1 1 1
1
 2  2  ....... 
2
5 6 7
1002

Ta có :
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1

1 1
1


 ........ 
       .......  
 

4.5 5.6 6.7
99.100 4 5 5 6 6 7
99 100 4 100 4
1
1
1
1
1 1
1
* A    ....... 

 

5.6 6.7
99.100 100.101 5 101 6
1 1 1 1
1
1
Vậy  2  2  2  ......  2 
6 5 6 7
100
4

2a  9 5a  17 3a
4a  26 4a  12  14 4.(a  3)  14
14
b) Ta có :
là số nguyên





 a
a3
a3 a3
a3
a3
a3
a3

* A

Khi đó (a  3) là ước của 14 mà Ư 14  1; 2; 7; 14
Ta có a  2; 4; 1; 5;10;4;11; 17
Câu 4


A  0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi A đạt giá trị nhỏ nhất
A

x  1996
1997



x  1996
1997

x  0 x nên x  1996  1996
1996
khi x = 0
1997
1996 1996
Suy ra GTLN của A 
khi x  0

1997 1997

Vậy A nhỏ nhất bằng

Câu 5.

A

D
B

C

H
E

a) Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác
ABD cân ở A
Lại có B  900  300  600 nên tam giác ABD là tam giác đều
b) EAC  BAC  BAD  900  600  300  ACH  AHC  CEA (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó: AH = CE
c) AHC  CEA (cmt ) nên HC = EA
ADC cân ở D vì có ADC  DCA   300  nên DA = DC


Suy ra DE = DH. Tam giác DEH cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có : ADC  EDH (hai góc đối đỉnh ) do đó
ACD  DHE ở vị trí so le trong , suy ra EH / / AC