046 đề HSG toán 7 huyện bồ lý 2015 2016

TRƯỜNG THCS BỒ LÝ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi : TOÁN 7

Câu 1. (3 điểm) Cho các đa thức :
A( x)  2 x5  4 x3  x 2  2 x  2
B( x)  x 5  2 x 4  x 2  5 x  3
C ( x)  x 4  4 x 3  3x 2  8 x  4

3
16

a) Tính M  x   A x   2B  x   C  x 
b) Tính giá trị của M  x  khi x   0,25
c) Có giá trị nào của x để M ( x)  0 không ?
Câu 2. (6 điểm)
y  z 1 x  z  2 y  x  3
1



a) Tìm các số x, y, z biết rằng:
x
y
z
x yz
x  4 x  3 x  2 x 1
b) Tìm x :




2010 2011 2012 2013
c) Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x 2  2014 x
Câu 3. (4 điểm)
x 1
. Tìm số nguyên x để A là số nguyên
a) Cho A 
x 3
x 2  15
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B  2
x 3
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME  MA. Chứng minh rằng:
a) AC  EB và AC / / BE
b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI  EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng.
c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC . Biết HBE  500 , MEB  250.
Tính HEM và BME
Câu 5. (2 điểm) Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC , kẻ IM , IN , IP lần lượt vuông góc
với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AN 2  BP2  CM 2  AP2  BM 2  CN 2
ĐÁP ÁN


Câu 1.
a) M ( x)  A( x)  2 B( x)  C ( x)

 2 x5  4 x3  x 2  2 x  2  2  x5  2 x 4  x 2  5 x  3  x 4  4 x3
3

3
 5x4  2 x2 
16
16
b) Thay x   0,25 vào biểu thức M  x  ta được:
4
2
3
5.  0,25  2.  0,25 
16
3
 0,3125  0,5   1
15
c) Ta có:
3
1
1  3 1

M ( x)  5 x 4  2 x 2   5  x 4  2 x 2    
16
5
25  16 5

3x 2  8 x  4









2

1
1

 5 x2   
5  80

2

1
1
3

M ( x)  0  5  x 2     0  x 2   (vô lý)
5  80
20

Vậy không có giá trị nào của x để M  x   0
Câu 2.
a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
y  z 1 x  z  2 y  x  3
1



x

y
z
x yz
y  z  1  x  z  2  y  x  3 2 x  y  z 

2
x yz
x yz
Vì x  y  z  0 , do đó: x  y  z  0,5 . Thay vào đề bài ta có:
0,5  x  1 0,5  y  2 0,5  z  3
1
5
5


 2 x  ; y  ;z  
x
y
z
2
6
6



x  4 x  3 x  2 x 1



2010 2011 2012 2013

x4
x3
x2
x 1

1
1
1
1
2010
2011
2012
2013
1
1
1 
 1
  x  2014  



0
 2010 2011 2012 2013 
 x  2014  0  x  2014
 x  2014
c) x 2  2014 x  x  x  2014   0  
x  0
Câu 3.
x 1
x 3 4

4
a) A 

1
x 3
x 3
x 3
Để A là số nguyên thì x  3 là ước của 4, tức là x  3  1; 2; 4
Vậy giá trị x cần tìm là: 1;4;16;25;49
x 2  15 x 2  3  12
12

1 2
b) B  2
2
x 3
x 3
x 3
2
Ta có: x  0 . Dấu "  " xảy ra  x  0  x2  3  3 (2 vế dương)
12
12
12
12
 2
  2
 4 1 2
1 4
x 3 3
x 3

x 3
 B5
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  0
Vậy MaxB  5  x  0
b)


Câu 4.

A

I
B

M

H
C

K
E
a) Xét AMC và EMB có: AM  EM ( gt ); AMC  EMB (đối đỉnh); BM  MC ( gt )
Nên AMC  EMB(c.g.c)  AC  EB
Vì AMC  EMB  MAC  MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường
thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) suy ra AC / / BE
b) Xét AMI và EMK có: AM  EM ( gt ); MAI  MEK (vì AMC  EMB)

AI  EK ( gt )  AMI  EMK (c.g.c)  AMI  EMK
Mà AMI  IME  1800 (tính chất kề bù ) nên EMK  IME  1800
Suy ra ba điểm I , M , K thẳng hàng.





c) Trong tam giác vuông BHE H  900 có HBE  500

 HEB  900  HBE  900  500  400
 HEM  HEB  MEB  400  250  150


Nên BME  HEM  MHE  150  900  1050 (định lý góc ngoài của tam giác)
Câu 5.

A
N
P
I
B

M

C

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có:
AN 2  IA2  IN 2 ; CN 2  IC 2  IN 2  CN 2  AN 2  IC 2  IA2 (1)
Tương tự ta cũng có:
AP2  BP2  IA2  IB2 (2)
MB2  CM 2  IB2  IC 2 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: AN 2  BP2  CM 2  AP2  BM 2  CN 2