053 đề HSG toán 7 huyện vĩnh lộc 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĨNH LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2017-2018
MÔN TOÁN 7

Bài 1. (4,0 điểm)
a) Cho biểu thức: M  a  2ab  b. Tính giá trị của M với a  1,5; b  0,75
b) Xác định dấu của c, biết rằng 2a3bc trái dấu với 3a5b3c 2
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết rằng:

x y y z
 ;  và 2 x  3 y  z  6
3 4 3 5

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
ab bc cd d a
Tính giá trị của biểu thức M , với M 



cd d a ab bc

Bài 3. (3,0 điểm) Cho hàm số y  f  x   2  x 2
 1
a) Hãy tính f  0  ; f   
 2
b) Chứng minh : f  x  1  f 1  x 

Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM . Qua A kẻ
đường thẳng d vuông góc với AM . Qua M kẻ các đường vuông góc với AB, AC ,
chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng :
a) BD / /CE
b) DE  BD  CE
Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tỉ số của A và B , biết rằng:
1
1
1
1
A

 ..... 
 ..... 
1.1981 2.1982
n.1980  n 
25.2005

1
1
1
1

 ..... 

 ..... 
1.26 2.27
m. 25  m 
1980.2005
Trong đó, A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng
Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho
1
CD  2BD. Chứng minh rằng BAD  CAD
2
B


ĐÁP ÁN
Bài 1.
 a  1,5, b  0,75  M  a  2ab  b  1,5  2.1,5. 0,75   0
a) a  1,5  
 a  1,5,  0,75  M  a  2ab  b  3

2
3
5 3 2
b) Do 2a bc và 3a b c trái dấu nên a  0; b  0; c  0

2a 3bc. 3a 5b3c 2   0

 6a8b 4c3  0  a8b 4c3  0
 c3  0  c  0  do...a8b 4  0a, b  0 

Vậy c  0 tức là mang dấu dương.
Bài 2.

x y
x y y z
y
z
x y
z
2x 3y z
   ;   
  



3 4
9 12 3 5 12 20
9 12 20 18 36 20
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2x 3 y z
2x  3 y  z 6



  3  x  27, y  36, z  60
18 36 20 18  36  20 2
b) Từ giả thiết suy ra
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 

1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd




a
b
c
d
*Nếu a  b  c  d  0 thì
a  b    c  d  ; b  c    d  a  ; c  d    a  b  ; d  a   b  c 

a) Vì

Khi đó M   1   1   1   1  4
1 1 1 1
   nên a  b  c  d
a b c d
Khi đó M  1  1  1  1  4
Bài 3.
a) f  0   2  02  2;

*Nếu a  b  c  d  0 thì

2

 1
 1 7
f    2   
 2
 2 4


b) f  x  1  2   x  1 ; f 1  x   2  1  x 
2

2

Do  x  1 và 1  x  là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau.
Vậy 2   x  1  2  1  x  hay f  x  1  f 1  x 
2

2

Bài 4.

E

A
D
H
B

M

C

a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông:
MA  MB
Gọi H là giao điểm của MD và AB
Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy nên là đường trung trực, suy ra
DA  DB .
Chứng minh được MBD  MAD(c.c.c)  MBD  MAD  900 , do dó: DB  BC
Tương tự ta có: EC  BC
Vậy BD / /CE (cùng vuông góc với BC ), (đpcm)
b) Theo câu a, DB  DA . Tương tự: EC  EA
Suy ra DE  DA  AE  BD  CE
Bài 5. Ta có:
1
1 1
1
1
1 1
1 


 . 
 
 ;

n 1980  n  1980  n 1980  n 
m  25  m  25  m 25  m 
Áp dụng tính A và B ta được:

A


1  1 1
1   1
1
1 
.    .....    

 ..... 

1980  1 2
25   1981 1982
2005  

B


1 1
1
1
1
1
1 
. 
 
 ...... 



1980  1 1981 2 1982
25 2005 

1 1 1 1 1
1
1 
. 
 
 ...... 


25  1 26 2 27
1980 2005 

1  1 1
1   1
1
1 
.    .....    

 ..... 

25  1 2
25   1981 1982
2005  

A
1
1
5


: 
B 1980 25 396
Bài 6.

Vậy

A
1

2

3

1

B

D

C

M

E
Gọi M là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME  MA.
Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau
Vì MD  MC, MA  ME, AMC  EMD nên DE  AC & A3  DEM

Mặt khác : D1  B (tính chất góc ngoài của tam giác)
Mà B  C (vì ABC cân, đáy BC) nên D1  C  AC  AD
Từ đó DE  DA  A2  DEM hay A2  A3
Vì A3  A1 (do ABD  ACM )

1
Nên A2  A3  A1  A3 hay 2 A1  A2  A3  BAD  CAD
2