067 đề HSG toán 7 trường thanh thùy 2018 2019

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
Trường THCS Thanh Thùy
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN

Bài 1. (5 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết tổng các bình phương của
5 4 6

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.

a2  c2 a
a c
b) Cho  . Chứng minh rằng: 2 2 
b c
b
c b
Bài 2. (4 điểm)
x
y
z
t



a) Cho
. CMR biểu thức sau có giá
y z t z t  x t  x y x y z

x y y z z t t  z



trị nguyên: A 
z t t  x x y y  z
b) Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1
1
B   2  3  .....  2012  2013 
3 3 3
3
3
2
Bài 3. (2 điểm)
Cho đa thức f  x   x14  14 x13  14 x 2  .......  13x 2  14 x  14. Tính f 13
Bài 4. (7 điểm)
Cho tam giác ABC có AB  AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ
đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A, cắt tia này tại N , cắt tia AB tại E
và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) BE  CF
AB  AC
b) AE 
2
c) Tính AE, BE theo AC  b, AB  c
Bài 5. (2 điểm) Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
x  14
M

4 x


ĐÁP ÁN
Bài 1.
2 3 1 24 45 10
: :  : :  24 : 45:10
3 4 6 60 60 60
Giả sử số A được chia thành 3 phần x, y, z

a) Ta có:

x
y
z

  x, y, z cùng dấu
24 45 10
x2
y2
z2
x2  y 2  z 2
24309

 9  32
Và 2  2  2  2
2
2
24
45 10

24  45  10
2701
2
2 2
2
 x  24 .3  72  x  72
Học sinh tính tương tự: y  135; z  30

Theo đề bài ta có :

Vậy A  237 hoặc A  237

a c
a2 c2 a2  c2
(1)
b) Ta có:   2  2  2
c b
c
b
c  d2
a2 a c a
Lại có: 2  .  (2)
c
c b b
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Bài 2.
x
y
z
t

x y  z t
1
a) Ta có:





y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 2 x  y  z  t  2
Suy ra 2 x  y  z  t;2 y  z  t  x;2 z  t  x  y;2t  x  y  z
x  y  z  t; y  z  t  x
Từ đó học sinh suy ra được:
z  t  x  y; t  x  y  z
Khi đó tính được A  4. Vậy A có giá trị nguyên.
1 1 1
1
1
b) B   2  3  .....  2012  2013
3 3 3
3
3
1 1 1
1
3B  1   2  3  .....  2012
3 3 3
3
1
1
3B  B  1  2013  2 B  1  2013
3

3
1
1
1
B 

2013
2 2.3
2


Vậy B 

1
2

Bài 3.
Ta có:
f  x   x14  13  1 x13  13  1 x12  .....  13  1 x 2  13  1 x  13  1
 x 4   x  1 x13   x  1 x12  ....   x  1 x 2   x  1 x   x  1
 x14  x14  x13  x13  x12  ......  x3  x 2  x 2  x  x  1
1
(Vì thay 14  13  1  x  1). Vậy f 13  1.

Bài 4.

A
12

F

B
E

I

N

M

a) Kẻ BI / / AC ( I  EF ) , chứng minh được:
BIM  CFM ( g.c.g )  BI  CF (1)
Chứng minh được: BEI cân tại B  BE  BI (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
b) Chứng minh được ANE  ANF ( g.c.g )  AE  AF
Ta có: AE  AB  BE; AF  AC  CF

C


 AE  AF  AB  BE  AC  CF hay 2AE  AB  AC (do AE  AF , BE  FC )

 AE 

AB  AC
2

c) Từ câu b  AE 

bc

AC  AB
, chứng minh được: BE 
2
2

bc
2
x  14 10   4  x  10


1
Bài 5. M 
4 x
4 x
4 x
10
M nhỏ nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất
4 x
10
10
Xét x  4 thì
 0; x  4 thì
0
4 x
4 x
10
10
Ta chỉ xét x  4 thì
nhỏ nhất 

lớn nhất
4 x
4 x
 4  x  1(vì mẫu nguyên dương nhỏ nhất)
Vậy x  3 khi đó MinM  11
 BE 