216 đề HSG toán 7 huyện thái thụy 2018 2019

PHÒNG GD & ĐT
THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN 7

Bài 1. (4,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính : P 
b) Tìm x thỏa mãn:



x 4

9
 20180  0,4
25

  x  2  1  x

2

 3  0

Bài 2. (4,0 điểm)

x y
xy
x y



2017 2018 2019
x
y
z
b) Cho x, y, z, a, b, c thỏa mãn


a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
a
b
c


Chứng minh rằng:
(với điều kiện các mẫu
x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z
thức khác 0)
Bài 3. (3,0 điểm)
a) Cho đa thức f ( x)  ax  b. Tìm a, b biết f 1  3 và f  2   0

a) Tìm x, y biết:

b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A 1;2  và M  m; m2  . Tìm m để 3 điểm phân

biệt O, A, M thẳng hàng
Bài 4. (3,0 điểm)
a) So sánh : 222333 và 333222
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q  x  2017  x  2018  x  2019
Bài 5. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A( góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm

D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD  CE. Trên tia đối của tia CA lấy
điểm I sao cho CI  CA
a) Chứng minh: ABD  ICE và AB  AC  AD  AE
b) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI theo thứ
tự tại M , N . Chứng minh MN đi qua trung điểm DE.
c) Chứng minh chu vi của tam giác ABC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN .
Bài 6. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 thì tổng:
3 8 15
n2  1
S     .....  2 không thể là một số nguyên.
4 9 16
n


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) P 
b) x  0



x 4

9
3
2
 20180  0,4   1   2
25
5
5

  x  2  1. x

2

 3  0

 x  4  0  x  16(tm)

 x  2  1  x  1

  x  2 1  0  
 x  2  1  x  3

 x 2  3  0  x   3
Bài 2.
x y
xy
x y
a) Ta có:


(1)
2017 2018 2019
Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có:
x y
xy
x y



1
2017 2018 2019
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:
x y x y x yx y
2x
x




2017 2019 2017  2019 4036 2018
xy
x


(2)
2018 2018
TH1: x  0  y  0
Th2: x  0,  2   y  1  x  2018(tm)

Vậy  x; y    0;0 ;  2018;1
b) Từ giả thiết suy ra
x
2y
z
x  2y  z



(1)

a  2b  c 4a  2b  2c 4a  4b  c
9a
2x
y
z
2x  y  z



(2)
2a  4b  2c 2a  b  c 4a  4b  c
9b
4x
4y
z
4x  4 y  z



(3)
4a  8b  4c 8a  4b  4c 4a  4b  c
9c
Từ 1 ,  2  ,  3 ta có:


9a
9b
9c
x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z



hay


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z
9a
9b
9c
a
b
c


Vậy
x  2 y  z 2 x  y  z 4x  4 y  z
Bài 3.
a) f 1  3  a.1  b  3  a  b  3  b  3  a
f  2  0  2a  b  0  2a  3  a  0  3a  3  a  1
Thay a  1  b  2
Vậy a  1; b  2
b) Đường thẳng OA là đồ thị hàm số y  ax. A1;2   y  ax  a  2  y  2 x
m  0
Để O, A, M thẳng hàng thì M  m; m2   y  2 x  m2  2m  
m  2
Vì ba điểm O, A, M phân biệt nên m  0(ktm)
Vậy m  2
Bài 4.

a) Ta có: 222333   2223  ;333222   3332 
111

111

2223   2.111  8.1113  8.111.1112  888.1112
3

3332   3.111  9.1112
2

Vì 888  9  888.1112  9.1112
 2223  3332   2223 

111

  3332 

111

 222333  333222

Vậy 222333  333222
b) Q  x  2017  x  2018  x  2019

Q   x  2017  x  2019   x  2018 , vì x  2019  2019  x

 Q   x  2017  2019  x   x  2018

Mà x  2017  2019  x  x  2017  2019  x  2
Q   x  2017  2019  x   2  x  2018 


Q  2
x  2018  0


 x  2017  2019  x   0 2017  x  2019

 x  2018
Dấu "  " xảy ra  
x

2018
x

2018

0



Vậy Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x  2018


Bài 5.

A
M
B

C
D

E

O
N

I
a) ABC cân tại A suy ra AB  AC, ABC  ACB
Mà AC  IC  gt   AB  IC; ACB  ICE (đối đỉnh)  ABD  ICE
Xét ABD và ICE có: AB  IC; ABD  ICE; AB  IC
Suy ra ABD  ICE (dfcm)
Ta có: AB  CI  AB  AC  CI  AC  AI (1)
Theo chứng minh trên ABD  ICE (c.g.c)  AD  IE  AD  AE  IE  AE (2)
Áp dụng BĐT trong tam giác AEI ta có: IE  AE  AI (3)
Từ 1 ,  2  ,  3  AD  AE  AB  AC
b) Gọi O là giao điểm của MN với DE
Chứng minh được BDM  CEN ( g.c.g )  DM  EN
Chứng minh được: ODM  OEN ( g.c.g )  OD  OE
Hay MN đi qua trung điểm của DE.
c) Vì BM  CN  AB  AC  AM  MN (4)
Có BD  CE ( gt )  BC  DE
MO  OD 
  MO  NO  OD  OE  MN  DE  MN  BC (5)
NO  OE 
CABC  AB  AC  BC

CAMN  AM  AN  MN (6)
Từ (4), (5), (6)  Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN

Bài 6.
S có  n  1 số hạng
3 8 15
n2  1 
1 
1 
1
1

S     ....  2  1  2   1  2   1  2   ....  1  2 
4 9 16
n
 2   3   4 
 n 
1 
 1 1 1
S  n  1   2  2  2  .....  2   n  1 (1)
n 
2 3 4
1 1 1
1
1
1
1
1
1
Mặt khác 2  2  2  .....  2 


 ..... 

1
2 3 4
n 1.2 2.3 3.4
n
 n  1.n
1
1
S  n 11  n  2   n  2
(2)
n
n
Từ (1) và (2) ta có: n  2  S  n  1
Vậy S không có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n  2