Sổ tay công thức ôn thi Toán THPT Quốc Gia và Đại học

ĐẠI SỐ

a>b≥0
* n N*

an < bn

*a>b≥0

A

A

c/ x 1<α
Toán học

d/ α
∆>0
af(α) > 0
S -α < 0
2

e/ x 1
∆>0
af(α) > 0
S -α < 0
2

[

f/

αx 1
∆>0
af(α) > 0

g/ x 1<α
af(α) < 0
af(β) > 0

h/ x 1<α<β
af(α) < 0
af(β) < 0

i/ α
af(α) > 0
af(β) < 0

[

j/

x 1<α

α
f(α).f(β) < 0
∆>0
af(α) > 0
af(β) > 0
S
-α>0
2
S
-β<0
2

k/ α
2. Bất đẳng thức:
a,b,c R
Các tính chất của bất đẳng thức
a>b
* b>c a>c
A

TRỌN BỘ BÍ KÍP
CHINH PHỤC VŨ TRỤ

af(α) < 0

*a >b

a+c>b+c

c>0
* a > b ac > bc
c<0
* a > b ac < bc
a>b
* c>d a+c*a+c>b a>b-c
a>b≥0
* c > d ≥ 0 ac < bd

3

a> b
a>3b

Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:
- |a| ≤ a ≤ |a| a R
|x| ≤ a -a ≤ x ≤ a
(a > 0)
|x| > a x < -a x > a
|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b| (a,b R)
A

1. Tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc 2
f(x) = ax2 + bx + c
(a≠0; α, β R; α < β; S = - a ; ∆=b2 - 4ac)
b
∆≤0
a/ f(x) ≥0, x R

α>0
∆≤0
b/ f(x) ≤0, x R
α<0

*a>b

Bất đẳng thức Cauchy (cho các số không âm):

a+b
≥ ab
(dấu “=” xảy ra khi a = b)
2
a+b+c 3
*
≥ abc (dấu “=” xảy ra khi a=b=c)
3
*

Bất đẳng thức Bunyakovsky (cho các số thực):
* ab + cd ≤ (a2 + c2)(b2 + d2)
(dấu “=” xảy ra khi ad = bc)
* a1b1 + a2b2 + c3b3 ≤ (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)
(dấu “=” xảy ra khi

a1 a2 a3
=
= )
b1 b2 b3

3. Cấp số cộng:
a/ Định nghĩa: Dãy số u1, u2, ......, un, ......
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
un = un-1 + d
b/ Số hạng thứ n: un = u1 + (n - 1)d
c/ Tổng của n số hạng đầu tiên:
Sn = n (u1 + un) = n [2u1 + (n - 1)d]
2
2
4. Cấp số nhân:
a/ Định nghĩa: Dãy số u1, u2, ......, un, ......
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
un = un-1 . q
b/ Số hạng thứ n: un = u1 . qn - 1
c/ Tổng của n số hạng đầu tiên:
n
Sn = u1 1-q
(q ≠ 1)
1-q
u
Nếu -1 < q < 1 nlim
S = 1
+∞ n
1-q
5. Phương trình và bất phương trình chứa dấu trị
tuyệt đối
* |A| = |B| A = ±|B|
* |A| = |B|

B≥0

A = ±|B|

* |A| < B

AA > -B|


[

* |A| > B

A>B
A < -B

6. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức:
A≥0
* A= B
A=B
B≥0
* A=B
A = B2
A≥0
* A< B
AA≥0
* AB>0
A < B2
* A>B

[

B<0
A≥0
B≥0
A > B2

0<α≠1
f(x) > 0
g(x) > 0
(a-1)[f(x) - g(x)] > 0

8. Phương trình và bất phương trình mũ:

* α f(x) = α g(x)

[

* α f(x) > α g(x)

0<α≠1
f(x) = g(x)
α=1
/E f(x), g(x)

α>0
(α - x) - g(x) > 0

9. Lũy thừa:

* aα . aβ . aγ = aα + β + γ
aα
* β = aα - β
a
* (a α) β = a αβ
α

* β a α = aβ
aα
a
* α=
b
b

()

α

* a b = (a.b) α
α

α

1
aα
k
a k = n.m a k = an.m

* a -α =
*n m

( )

* logaα N = αlogaN
logbN
* logaN =
logba
* logab =

7. Phương trình và bất phương trình logarit:
0<α≠1
* logαf(x) = logαg(x)
f(x) > 0
(g(x) > 0)
f(x) = g(x)
* logαf(x) = logαg(x)

* logaN = M
N = aM
M
* logaa = M
*alogaN = N
log N
log N
*N 1 a 2 = N 2 a 1
* loga(N 1N 2) = logaN 1 + logaN 2
N
* loga 1 = logaN 1 - logaN 2
N2
* logaN α = αlogaN

1
logba

LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản:
sin2 x + cos2 x = 1
tg x = sin x
cos x
cotg x = cos x
sin x
tg x. cotg x = 1
1 + tg2 x = 1 2
cos x
2
1 + cotg x = 12
sin x
2. Cung liên kết:
Cung đối
cos (-x) = cos x
sin (-x) = - sin x
tg (-x) = - tg x
cotg (-x) = - cotg x
Cung đối
sin (π - x) = sin x
cos (π - x) = - cos x
tg (π - x) = - tg x
cotg (π - x) = - tg x
Cung phụ

sin ( π - x) = cos x
2
cos ( π - x) = sin x
2
tg ( π - x) = cotg x
2
cotg ( π - x) = tg x
2

Cung hơn kém π:
sin (π + x) = - sin x
cos (π + x) = - cos x
tg (π + x) = tg x
cotg (π + x) = cotg x

tg x + tg y = sin (x + y)
cos x . cos y
tg x - tg y = sin (x - y)
cos x . cos y
cotg x + cotg y = sin (x + y)
sin x . sin y
cotg x - cotg y = sin (x - y)
sin x . sin y

Cung hơn kém π :
2
sin ( π + x) = cos x
2
cos ( π + x) = - sin x
2

tg ( π + x) = - cotg x
2
cotg ( π + x) = - tg x
2

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3. Công thức cộng:
sin (x ± y) = sin x . cos y ± sin y . cos y
cos (x ± y) = cos x . cos y sin x . sin y
tg x ± tg y
tg (x ± y) =
1 tg x. tg y

±

10. Logarit: 0 < N1, N2, N và 0 < a,b ≠ 1 ta có

A2 < B2

±

* |A| < |B|

4. Công thức nhân đôi:
sin (2x) = 2sin x . cos y
cos (2x) = 2cos2 x - 1 = 1 - 2sin2 x = cos2 x - sin2 x
2tg x
tg (2x) =
1 - tg2 x

1 + cos 2x
cos2 x =
2
1 - cos 2x
sin2 x =
2
5. Công thức nhân ba:
sin (3x) = 3sin x - 4sinv3 x
cos (3x) = 4cos3 x - 3cos x
3tg x - tg3 x
tg (3x) =
1 - 3tg2 x
3cos x + cos 3x
cos3 x =
4
3sin x - sin 3x
3
sin x =
4
6. Công thức biểu diễn sin x, cos x theo t = tg x :
2
2t
sin x =
2
1+t
1 - t2
1 + t2
2t
tg x =
1 - t2

cos x =

7. Công thức biến đổi:
x+y
x-y
cos
2
2
x
+
y
x
cos x - cos y = -2 sin
sin y
2
2
x+y
x-y
sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
sin x - sin y = 2 cos x + y sin x - y
2
2
cos x + cos y = 2 cos

1. Phương trình cơ bản:
x = u + k2π
a/ sin x = sin u

(k Z )
x = π - x + k2π
sin x = 1 x = π + k2π
2
sin x = -1 x = - π + k2π
2
sin x = 0 x = kπ
x = u + k2π
b/ cos x = cos u
(k Z )
x = -u + k2π
cos x = 1 x = +k2π
cos x = -1 x = π + k2π
cos x = 0 x = π kπ
2
c/ tg x = tg u x = u + kπ (k Z )
d/ cotg x = cotg u x = u + kπ (k Z )

[

[

2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:
Cách giải: Ta đặt t = sin x (hoặc cos x, tg x, cotg x)
ta chuyển về phương trình:
antn + an-1tn-1 + ............ + a0 = 0
Chú ý: nếu ta đặt t = sin x hoặc cos x thì chú ý
điều kiện -1 ≤ t ≤ 1
3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:
a.sin x + b.cos x = c

Điều kiện để có nghiệm: a2+b2 ≥ c2
Cách giải: Chia 2 vế cho a2+b2 và sau đó đưa
phương trình về lượng giác cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x và cos x:
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x + d = 0
Cách giải:
* Xét cos x = 0
x = π + kπ có là nghiệm hay
2
không?
* Xét cos x ≠ 0 chia 2 vế cho cos2 x và đặt t = tg x.
1
Chú ý: d
= d (1 + tg2 x)
cos2 x
5. Phương trình dạng:
a. (sin x ± cos x) + b . sin x . cos x + c = 0
Cách giải:
Đặt t = sin x ± cos x = 2 sin (x ± π ) - 2 ≤ t ≤ 2
4
t2 - 1
1 - t2
sin x . cos x =
(sin x . cos x =
)
2
2
Và giải phương trình bậc 2 theo t

C. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
2
2
2
cos A = b + c - a
2bc
2
2
2
cos B = a + c - b
2ac
2
2
2
cos C = a + b - c
2ab
2. Định lý hàm số sin:
a = b = c = 2R
sin B
sin C
sin A
3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
2
2
2
ma2 = b + c - a

2
4
2
2
2
mb2 = a + c - b
2
4
2
2
2
mc2 = a + b - c
2
4
4. Công thức tính độ dài đường phân giác trong:
2bc cos A
2
la =
b+c
2ac cos B
2
lb =
a+c
2ab cos C
2
lc =
a+b
5. Công thức tính diện tích tam giác:
S = 1 a.ha = 1 b.hb = 1 c.hc
2

2
2
S = 1 bc.sin A = 1 ab.sin C = 1 ac.sin B
2
2
2
S = p.r = abc
4R
S = p (p - a) (p - b) (p - c)

ĐẠO HÀM
& TÍCH PHÂN

HÌNH HỌC
PHÉP DỜI HÌNH

1. Đạo hàm các hàm số thường gặp:
1/ (x )’ = α.x
3/ ( x )’ = 1
2 x
1 ’ 1
5/
=- 2
x
x
7/ (sin x)’ = cos x
9/ (cos x)’ = -sin x
11/ (tg x)’ = 12
cos x
α

α-1

()

13/ (cotg x)’ = -

1
sin2 x

15/ (ex)’ = ex
17/ (ax)’ = ax ln a
19/ (ln x)’ = 1
x
21/ (loga x)’ = 1
x . ln a

2/ (u )’ = α.u .u‘
4/ ( u )’ = u’
2 u
1 ’ u’
6/
=- 2
u
u
8/ (sin u)’ = u‘. cos u
10/ (cos u)’ = -u‘. sin u
12/ (tg u)’ = u’2
cos u
14/ (cotg u)’ = - u’2

sin u
16/ (eu)’ = u‘ eu
18/ (au)’ = u‘ au ln a
20/ (ln u)’ = u’
u
22/ (loga u)’ = u
u . ln a
α

α-1

()

2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
dx = x + C
α+1
xα dx = x
+C
α+1
dx = ln |x| + C
x
dx = 1 + C
x
x2
ex dx = ex + C

ax dx = a + C
ln a
cos x dx = sin x + C
x

sin x dx = -cos x + C
dx = tg x + C
cos 2 x
dx
= -cotg x + C
sin 2 x

Phép biến hình: Phép biến hình (trong mặt phẳng)
là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt
phẳng, xác định một điểm duy nhất M’ thuộc mặt
phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép
biến hình đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo
vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành
điểm M’ sao cho (MM') = u .
Phép tịnh tiến theo vectơ u thường được ký hiệu là
T hoặc Tu . Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến.
Tính chất của phép tịnh tiến:
Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N
lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N = MN
Định lý 2: Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng
thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự 3 điểm đó.
Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác tam giác
thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành
đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc

bằng nó.
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

f(ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C
a

Trong mặt phẳng với hện trục tọa độ Oxy, cho
phép tịnh tiến theo vectơ u .

3. Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay:

Biết tọa độ của u là (a,b). Giả sử điểm M(x; y) biến
thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có:
x’ = x +a
y’ = y + b

Chú ý:

- Viết phương trình các đương giới hạn hình
phẳng.
- Chọn công thức tính diện tích:
a

S = |f(x) - g(x)| dx
b
a

S = |f(y) - g(y)| dy

Phép dời hình: Phép dời hình là phép biến hình

không làm thay đổi khoảng cách giữa hay điểm
bất kì.

b

- Chọn công thức tính thể tích:
* Hình phẳng
quay quanh trụ Ox:
a
V = π |f2(x) - g2(x)| dx
b

- Biến x thì cận là x =a; x=b là hoành độ các giao
điểm.
- Biến y thì cận là y = a; y = b là tung độ các giao
điểm.

Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng
thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự ba điểm đó, tiến biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, biến đường tròn thành
đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc
bằng nó.

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối xứng
qua đường thẳng a là phép biến hình mỗi điểm M
thành M’ đối xứng với M qua a.
Định lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox
biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) ta có:
x’ = x
y’ = -y
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy
biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) ta có:
x’ = x
y’ = -y
Trục đối xứng của một hình:
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu
phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H
PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Định nghĩa phép quay: Trong mặt phẳng cho
điểm O cố định và góc lượng φ không đổi. Phép
biến hình biến điểm O thành điểm điểm O, biến
mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
OM = OM’ và (OM, OM’) = φ được gọi là Phép quay
tâm O góc quay φ
Định lý: Phép quay là phép dời hình
Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua điểm O là
một phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối
xứng với M qua O, có nghĩa là OM + OM’ = 0
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: Trong
mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối
xứng tâm I(a; b). Giả sử điểm M(x; y) biến thành
điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có:
x’ = 2a - x
y’ = 2b -y
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối

xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm Đ0
biến hình H thành chính nó, tức là Đ0 biến hình H
thành chính nó, tức là Đ0 (H) = H
HAI HÌNH BẰNG NHAU
Định lý: Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng
nhau thì có phép dời hình biến tam giác ABC thành
tam giác A’B’C’.


HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
* AB = (xB - xA, yB - yA)
* Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA = k (k ≠ 1)
MB
Tọa độ điểm M được xác định bởi:
x - kxB
xM = A
1-k
M
y - kyB
yM = A
1-k
Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác định bởi:
x +x
xI = A B
2
I
y +y

yI = A B
2
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác định bởi:
x +x +x
xG = A B C
3
G
y +y +y
yG = A B C
3
* Cho tam giác ABC có:
AB = (a1; a2), AC = (b1; b2)
SΔABC= 1 |a1b2 - a2b1|
2
2/ Đường thẳng:

c/ Khoảng cách từ một điểm M (x0; y0) đến đường
thẳng:
|Ax0 + By0 + C|
dM/Δ =
A2 + B2
d/ Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
hai đường thẳng:
Ax + By + C = ± A’x + B’y + C’
A2 + B2
A’2 + B’2
e/ Xác định phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài:
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so với

∆ t1.t2 > 0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2;y2) nằm khác phía so với
∆ t1.t2 < 0
Ax1 + By1 + C
A’x + B’y2 + C
(t1 =
; t2 = 2
)
A2 + B2
A’2 + B’2
3/ Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
- Dạng 1: Phương trình đường tròn có I(a; b) và bán
kính R
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
- Dạng 2: Phương trình có dạng
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
Với điều kiện a2 + b2 - c > 0 là phương trình đường
tròn tâm (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = a2 + b2 -c
- Phương tích của một điểm M0 (x0; y0) đối với một
đường tròn:
PM/(C) = x02 + y02 -2ax0 - 2by0 + c

a/ Phương trình đường thẳng Δ:
- Phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0
Vectơ pháp tuyến n = (A;B); A2 + B2 ≠ 0
x = x 0 + at
t R
y = y 0 + bt
Vectơ chỉ phương u = (a; b) và giao điểm M(x0; y0)

x - x0
x - x0
- Phương trình chính tắc:
=
a
a
- Phương trình đoạn chắn: x + y = 1
a b
Δ qua A (a; 0) ; B ( 0; b)
- Phương trình tham số:

b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Ax + By + C =0
A’x + B’y + C’ = 0
|A.A’ + B.B’|
cos φ =
A2 + B2 . A’2 + B’2
Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác
bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến tam
giác này thành tam giác kia.

4/ Elip:
- Phương trình chính tắc Elip (E) x 2 + y 2 = 1 (a > b);
a
b
c2 = a2 + b2
- Tiêu điểm: F1 (-c; 0), F2 (c; 0)
- Định trực lớn: A1 (-a; 0) , A2 (a; 0)
- Định trực nhỏ: B1 (0; -b) , B2 (0; b)
- Tâm sai: e = c < 1

a
- Phương trình đường chuẩn: x = ± a
e
- Bán kính qua tiêu:
MF1 = a + exM
MF2 = a - exM
- Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0 (x0; y0) (E)
x 0x
yy
+ 02 = 1
a2
b
2
y2
- Điều kiện tiếp xúc của (E): x 2 + 2 = 1 và
a
b
∆: Ax + By + C = 0 là A2a2 + B2b2 = C2
2

2

II/ Phương trình tọa độ trong không gian:
1/ Tính có hướng của hai vectơ:
a/ Định nghĩa: cho hai vectơ
u = (x; y; z)
v = (x’; y’; z’)
[ u, v ] = y z ; z x ; x y
y’ z’
z’ x’

x’ y’
Cách ứng dụng:
- u ,v cùng phương [ u, v ] = 0
- u ,v ,w đồng phẳng [ u, v ] w = 0

(|

||

||

|)

- S∆ABC= 1 |[ AB, AC ]|
2
- ABCD là tứ diện [ AB, AC ] . AD = m ≠ 0
- VABCD = 1 |m|
6
b/ Mặt phẳng:
- Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1: Ax + By + Cz + D = 0
n = ( A; B; C )
(A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Dạng 2: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0
n = (A; B; C),
M0 (x0; y0; z0)
- Phương trình mặt phẳng chắn: x + y + z = 1
b c
a
(α qua A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c))

- Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2
mặt phẳng khác:
(α): Ax + By + Cz + D = 0
(β): A' x + B' y + C' z + D' = 0
λ (Ax + By + Cz + D) + μ (A' x + B' y + C' z + D') = 0
Trong đó λ2 + μ2 ≠ 0
- Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt
phẳng:
(α): Ax + By + Cz + D = 0
(β): A' x + B' y + C' z + D' = 0
a/ (α) (β) = d
A : B : C ≠ A’ : B’ : C’
b/ (α) Ξ (β)
c/ (α) // (β)

A = B = C ≠D
A’ B’ C’ D’
A = B =C ≠D
A’ B’ C’ D’

2/ Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0
A'x + B'y + C'z + D' = 0
b/ Phương trình tham số:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
u = (a ; b; c)

b/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
y - y0 z - z0
x - x0
=
=
(a2 + b2 + c2 ≠ 0)
a
b
c
4/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M0 (x0; y0; z0) và có vectơ
chỉ phương u = (a; b; c) và đường thẳng d’ qua M’0
(x’0; y’0; z’0) và vectơ chỉ phương là u’(a’; b’; c’)
a/ d, d’ α [u.u’] . M0M0’ = 0
[u.u’] . M0M0’
b/ d d’ = I
a : b : c ≠ a’ : b’ : c’
c/ d Ξ d’ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x - x0) : (y - y0) : (z - z0)
e/ d, d’ α [u.u’] . M0M0’ ≠ 0
5/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian: trong không gian cho:
x - x0
y - y0 z - z0
d:
=
=
a
b

c
(α): Ax + By + Cz + D = 0
a/ d

(α) = I

b/ d (α)

aA + bB + cC ≠ 0
aA + bB + cC = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

6/ Các công thức tính khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
M0 = (x0; y0; z0)
(α): Ax + By + Cz + D = 0
d(M/α) =

|Ax0 + By0 + Cz0 + D|

A2 + B2 + C2
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm M1 = (x1; y1; z1)
x - x0
y - y0 z - z0
d:
=
=
a
b

c
|[M0M . u]|
d(M/α) =
|u|
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
x - x0
y - y0 z - z0
∆:
=
=
a
b
c
x - x’0 y - y’0 z - z’0
∆’:
=
=
a’
b’
c’
|[u. u’] . M0M’0|
d(∆/∆’) =
|[u. u’]|
7/ Góc:
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
d : u = (a; b; c)
d' : u'=(a', b', c')
|aa’ + bb’ + cc’|
| u. u’|

cos φ =
=
|u| . |u’|
a2 + b2 + c2 a’2 + b’2 + c’2


- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi φ là góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng:
d : u = (a; b; c)
(α): n = (A; B; C)
00 < φ < 900
|Aa + Bb + Cc|
sin φ =
A2 + B2 + C2 a2 + b2 + c2
- Góc giữa hai mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0
(β): A'x + B'y + C'z + D' = 0
|AA’ + BB’ +CC’|
cos φ =
A2 + B2 + C2 A’2 + B’2 + C’2
8/ Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: có tâm I (a; b; c)
và bán kính R (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
Dạng 2: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Trong đó tâm I (a; b; c),
bán kính R = a2 + b2 + c2 - d

HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN
- Đường thẳng và mặt phẳng:

Quan hệ song song:
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng
nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng α thì d song song
với mặt phẳng α
3/ Nếu d // α, mặt phẳng nào chứa đường thẳng và
cắt α theo một giao tuyến của chúng cũng song
song với d.

6/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì vuông góc
với (P).
7/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với mặt phẳng thứ hai.
8/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song với nhau.

4/ Hai mặt phẳng song song với đường thẳng d và
cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song
với d.

10/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không
chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường
thẳng thì song song nhau.

10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai

đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
ấy.

5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có)
cũng song song với d và d’.

11/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song
song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
thì cũng vuông góc với mặt phẳng .

11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo bở đường
thẳng nằm trong 2 mặt phẳng của nhị diện cùng
vuông góc với giao tuyến.

6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng
nào cũng song song với đường thẳng này thì cũng
song song hoặc chứa đường thẳng kia.

12/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng
nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng
kia.

12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
d1 và d2:

7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của
hai mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì giao
tuyến mới song song nhau.

13/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

• Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi

9/ Nếu α chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song
song với β thì α // β

• Tiên để 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi

10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào
cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt cắt mặt phẳng
thứ hai và hai giao tuyến song song nhau.

15/ Định lí ba đường vuông góc

Quan hệ vuông góc:

A d nằm trong (α)

1/ Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng.

Ta có OA

Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng:
1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng cắt
nhau A = a b
2/ Một mặt phẳng được xác định bới một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng (α) = (ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài
đường (α) = (a, A)
c/ Một đường thẳng cắt nhau (α) = (a, b)
d/ Hai đường thẳng song song: a // a' (α) = ( a, a')

8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α là góc
tạo bởi d và hình chiếu của d’ của nó xuống α.
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc
nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai
đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ.

Các tiên đề:

• Tiên đề 4: Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.

7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là
độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường
thẳng.

9/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau.

8/ Nếu α // β thì α song song với mọi đường thẳng
nằm trong β

• Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng

6/ Khoảng cách giữa α // β là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên α đến β

2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d cũng sẽ
vuông góc với mặt phẳng (P).
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng
nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng
vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc
chéo nhau.
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một
mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba
thì song song nhau.

14/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào
cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng
thứ hai và hai giao tuyến song song.

Giả sử: OH

(α)

Dựng mặt phẳng α chứa d2 và song song với d1
Tìm hình chiếu d’ của d1 lên α, d’ cắt d2 tại N
Từ N vẽ đường vuông góc với α cắt d1 tại M
Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

GIẢI TÍCH
TỔ HỢP

OA là đường xiên

D

HA

D

Khoảng cách – góc – đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau.
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH d
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với
khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α là đoạn
OH α
4/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α là ngắn
nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm bất
kỳ trên α
5/ Khoảng cách giữa d // α là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên d đến α

- Hoán vị: Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1
- Chỉnh hợp: Ank = n!
(0 ≤ k ≤ n)
(n - k)!
n!
- Tổ hợp: Cnk =
(n - k)! k!
- Các hệ thức cần nhớ:
n! = (n - 1)! n
Cnk = Cnn - k (0 < k < n)
Cnk = Cnn - k + Cn-1n-k (0 < k < n)
- Nhị thức Newton:
(a + b)n = Cn0anb0+Cn1an-1b+ ... +Cnkan-kbk + ... + Cnnbn
= ∑nk=0 Cnkan-kbk
- Các công thức cần nhớ:
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n
Cn0 - Cn1 + Cn2 - ... + (-1)k Cnk + ... + (-1)n Cnn = 0