Bài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến

Lời
mở
đầu

Bài tiểu luận
về “Củng cố kiến thức cơ bản về
hàm nhiều biến ” sẽ
đưa ra cho chúng ta thấy được
những khái niệm
cũng như những tính chất, định lí cơ
bản của Hàm nhiều biến. Bên cạnh đó cũng thông qua những ví dụ cũng như các bài
tập củng cố để ta nắm bắt rõ và chuyên sâu hơn về hàm nhiều biến. Thông qua bài
tiểu luận này chúng ta sẽ thấy được rằng : Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái
ích của toán học nằm trong sự cụ thể. Qua đó ta sẽ hiểu rõ hai mặt đó của toán học
nhằm rèn luyện được những khả năng rèn luyện của sinh viên.
Phần 1: Chúng ta sẽ tìm hiểu và biết được những khái niệm cơ bản của hàm
nhiều biến, ta sẽ thấy được giữa hàm một biến và hàm nhiều biến có nhiều sự khác
biệt rất căn bản song song đó giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến không
khác nhau về nguyên tắc.
Phần 2: Ta sẽ biết được giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng như biết
được các hàm hữu tỉ liên tục tại những điểm mà chúng ta xác định cũng như hợp của
hai hàm liên tục là một hàm liên tục.
Phần 3: Ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của hàm nhiều biến thông qua một số định
lý.
Phần 4: Sẽ tìm hiểu về khả vi và vi phân của hàm nhiều biến, biết được điều
kiện cần của khả vi và vi phân cũng như thông qua các phép tính và các tính chất liên
quan cần biết.
Không những vậy, phần 5 ta sẽ biết được thế nào là đạo hàm riêng và vi phân
của hàm hợp. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến thì có gì khác so với hàm
bình thường.

Trang 1


Phần 6: Sẽ nói về hàm ẩn, đạo hàm riêng và vi phân của nó. Ta sẽ biết được
hàm ẩn ra sao cũng như nó khác gì về đạo hàm riêng và vi phân so với hàm khác và
những bài tập liên quan giúp ta hiểu rõ hơn.
Phần 7: Nói về công thức Taylor.
Và trong tiểu luận , chúng ta cố gắng đưa vào những định lí hay cũng như một
số bài tập cơ bản với nhiều cách giải tối ưu với những phương pháp suy luận rất điển
hình , rất cần cho việc rèn luyện tư duy. Và người đọc không cần nhớ chi tiết mà chỉ
cẩn hiểu là đã xem là đạt yêu cầu.Chúng tôi hy vọng rằng, với bài tiểu luận về “ Củng
cố kiến thức về hàm nhiều biến” này sẽ là cẩm nang tốt cho những ai chưa hiểu sâu
về hàm nhiều biến cũng như là những người đam mê giải tích.
Đây cũng là những lần đầu tập viết tiểu luận song không tránh khỏi những sai
sót ngoài ý muốn mong các quý thầy cô cũng như quý độc giả thông cảm. Rất mong
những sự góp ý từ thầy cô và độc giả, chúng tôi sẽ ghi nhận nhiệt tình để cho những
bài tiểu luận sau tốt hơn.
Tập thể thành viên nhóm làm bài tiểu luận “Củng cố kiến thức về hàm nhiều
biến” xin chân thành cảm ơn.

Trang 2


PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I.

Định nghĩa hàm nhiều biến.
Xét các ví dụ: trong quá trình tính toán để xác định một dữ kiện nào đó. Ta thường
phải xác định rất nhiều thông số.
Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác định bởi

Như vậy khi xác định được bán kính r và chiều cao h thì ta tính được thể tích của
hình trụ .
Ví dụ 2: Bài toán về con lắc
Một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo một đường tròn L trong mặt phẳng
đứng, dưới tác dụng của trọng lực. Phương trình chuyển động của chất điểm là:
( l là bán kính, s0 là biên độ) nếu bỏ qua sức cản.
Như vậy khi ta xác định được thông số s 0, l ,t thì sẽ xác định được vị trí của chất
điểm tại thời gian t: .
Định nghĩa: Giả sử D là tập hợp của n số thực . Một hàm số thực f trên D là một
biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá trị thực . Kí
hiệu: .
xác định trên D.
Trong trường hợp hàm 2 biến, ta dùng kí hiệu z=f(x,y)
Tập hợp tất cả các giá trị làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miền xác định
của hàm số f, ký hiệu Df
Nếu tương ứng cặp giá trị (x,y) với 1 điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy thì miền
xác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại những
điểm đó hàm số được xác định. Vì vậy, miền xác định của hàm số 2 biến thường được
biểu diễn hình học.
Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàm
số.
Trang 3


1.

II.
Một số khái niệm
Khoảng cách

Giả sử , là hai điểm trong . Khoảng cách giữa hai điểm ấy lí hiệu là d(M, N) .

2.

Lân cận

Cho M0 là một điểm thuộc Rn . Lân cận (bán kính hoặc lân cận) là tập hợp tất cả
những điểm M của Rn sao cho . Kí hiệu .
+ Điểm trong (Interrior point)
E là một tập hợp trong Rn. Điểm M E được gọi là điểm trong của E nếu .
+ Điểm biên (Boundary point)
Điểm M được gọi là điểm biên của E nếu mỗi lân cận của M đều có chứa điểm
thuộc E và điểm không thuộc E. Tập hợp các điểm biên được gọi là biên của E kí
hiệu .
+ Tập mở
Tập E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
+ Tập đóng
Tập E được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.
+ Tập bị chặn
Tập E được gọi là bị chặn (giới nội) nếu
+ Tập liên thông
Tập E gọi là liên thông nếu mọi cặp điểm trong E luôn có một đường cong lien tục
nối và nằm hoàn toàn trong E
III.

Đồ thị, đường và mặt đẳng trị.

1. Đồ thị
Đồ thị hàm số là tập (thuộc không gian )
Trang 4

2. Tập đẳng trị
Tập tất cả các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = const được gọi là tập đẳng trị (hoặc tập
đồng mức) của hàm f(x, y).
Ví dụ: Cho hàm số . Tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện là một tập đẳng
trị, đó là mặt trụ trục Oz, bán kính bằng 1.
PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
I. Giới hạn
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1: Giả sử và : , M0(x0,y0) là điểm tụ của tập . Ta nói rằng hàm có giới
hạn tại M0 và viết:

nếu sao cho thoả mãn ρ(M,M0) < δ thì

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau
Định nghĩa 2: Hàm có giới hạn khi M → M0 nếu với mọi dãy điểm M n(xn,yn)
(khác M0) thuộc lân cận V của điểm M0 dần đến M0 ta đều có:

Khi đó ta viết:

Hay

Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến.
•

Nhận xét:
Trang 5

Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x,y) phần dần tới cùng
số L dù (x,y) dần đến (x0,y0) theo bất kỳ kiểu gì. Trong không gian nhiều chiều, càng
có nhiều kiểu để (x,y) dần đến (x0,y0) nên càng khó tồn tại giới hạn.
Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm
một biến số. Chẳng hạn:
khi (x,y) → (0,0)
•

Định lý: Cho

Khi ấy ta có:
1)
2)
3)
4)

nếu
Tất cả các giới hạn x→x0,y→y0
Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm vơi
Giải:
Vì
Nên
Do đó:
Ví dụ 2: tìm
Giải:
Nếu cho (x,y)→(0,0) theo phương của đường thẳng y = kx2, ta có:

Như vậy không tồn tại giới hạn vì k thay đổi giới hạn sẽ đổi.
Trang 6

1 Giới hạn lặp
Xét hàm số f(x,y) cố định giá trị , xem hàm f(x,y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại
giới hạn:

Nếu tồn tại giới hạn: thì được gọi là giới hạn lặp của khi x→x0, y→y0 và viết:

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

Ví dụ 1: Cho hàm số . Hãy tìm
Giải:
∀y≠0 ta có ⇒
∀x≠0 ta có
⇒
Ta thấy hai giới hạn tồn tại và bằng nhau.
Ví dụ 2: Tìm giới hạn lặp của hàm số: tại (x,y) = (0,0)
∀x≠0, ta có
⇒
∀ y≠0, ta có
⇒
Ta thấy hai giới hnaj này tồn tại và không bằng nhau.



3. Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp
Định lí: Cho hàm xác định trên tập hợp và (x 0,y0) là điểm tụ của . Giả sử tồn tại
giới hạn . Khi đó nếu tồn tại giới hạn lặp nào của hàm số tại (x 0,y0) thì giới hạn đó
cũng bằng .
Trang 7

Chứng minh: Giả sử tồn tại giới hạn

Ta hãy chứng minh . Đặt:
⇒
Bởi vì :
Nên ∀ ε ≥ 0, ∃ δ > 0 sao cho ∀(x,y) thỏa
Thì
Ta có:

sao cho

⇒
Cho x→x0 ta được ⇒ L=L’
Chú ý
Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự tồn tại
giới hạn của hàm theo tập hợp các biến.
Sự tồn tại giới hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn
lặp.
Ví dụ : Tìm giới hạn khi (x,y)→ (0,0) của hàm số





•
•





Ta có khi (x,y)→ (0,0).Vậy
Dễ thấy và
4. Hướng dẫn làm bài tập.
Tìm giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi (x,y)→(a,b)
Cách 1: tìm giới hạn theo định nghĩa.
- Bằng kinh nghiệm, dự đoán giới hạn là L.
-Với ε > 0, xuất phát từ bất đẳng thức , ta biến đổi tương đương hoặc tìm điều kiện
đủ (dạng ⟺ hoặc ⟸) để đi đến bất đẳng thức .
- Lấy δ = B(ε). Vậy ta đã chứng minh được rằng
,
⟹
Tức là khi (x, y) → (a, b).
Cách 2: (khi a = b = 0)
Trang 8


•
•
•


•
•

Đặt (hay y = tx). Xét 3 khả năng của t
t → 0 (VD , thì )
t → ∞ (VD , thì )

t → k ≠ 0, k ≠ ∞ (VD y = 2x, thì )
Nếu trong mọi khả năng trên mà đều dần tới cùng một giá trị f0 thì f0 chính là giới
hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0). Trái lại thì không có giới hạn.
Cách 3: (khi a = b = 0).
Xét phương trình f(x, y) = k.
Nếu tồn tại duy nhất một giá trị của k để phương trình có nghiệm trong lân cận đủ bé
của (0, 0), thì giá trị k đó chính là giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0).
Nếu tồn tại ít nhất hai giá trị của k để phương trình có nghiệm thì không tồn tại giới
hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0).
Chú ý bằng phép đổi biến x' = x – a, y' = y – b, khi đó việc tìm giới hạn của f(x, y)
khi (x, y) → (a, b) tương đương với tìm giới hạn của g(x', y') khi (x', y') → (0, 0)
II.

Hàm số liên tục

1 Hàm số liên tục tại một điểm
• Định nghĩa 1: hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0(x0,y0) ∈ Df nếu ∀ ε > 0,
∃ δ>0 sao cho ∀ M∈ Df mà ρ(M,M0)< δ thì:
•

Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0∈D nếu:

Nếu D là tập hợp đóng, M0 là một điểm biên của D thì được hiểu là giới hạn của
f(M) khi M dẫn tới M0 ở bên trong của D.
• Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục tại M 0(x0,y0)∈D nếu với mọi dãy
{Mk(xk,yk)}⊂ D, Mk→M0 khi k→ ∞ ta đều có: f(Mk)→f(M0) hay
f(xk,yk)→f(x0,y0)
Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong được cho bởi biểu thức
Ta thấy

⇒ →0 khi (x,y)→(0,0).
Vậy hàm số liên tục tại (0,0).
Ví dụ 2: Trong R2 xét hàm số f(x,y) được xác định bởi:
Trang 9


Ta thấy dãy khi n→+∞
Nhưng khi n → +∞ .
Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0).
5. Hàm số liên tục đều
• Định nghĩa: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: ∀ε>0,
∃δ>0 sao cho với mọi cặp điểm M1,M2 ∈ D mà ρ(M1,M2) < δ ta đều có:

Ví dụ: Xét hàm số trên R2.
Với mọi cặp điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) ta có:

Do đó
và
nên

Từ trên ta có
, ∀ M1 , M2 ∈ ℝ2 mà ρ(M1,M2) < δ thì
⇒Hàm số liên tục đều trên ℝ2.
•

Nhận xét: Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm
một biến số liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập
compac (đóng và bị chặn) thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn
nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy.

6. Hàm số liên tục theo từng biến
• Định nghĩa: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập D
Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm M0(x0,y0) ∈ D nếu hàm một
biến f(x,y0) liên tục tại điểm x0, tức là:

Trang 10


Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại điểm M0(x0,y0) ∈ D nếu hàm một
biến f(x0,y) liên tục tại điểm y0, tức là
Nếu hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x và y tại điểm M 0 , ta nói rằng nó liên tục theo
từng biến tại M0.
• Định lý: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại M 0 ∈ D (liên tục theo tập hợp các
biến) thì nó liên tục theo từng biến tại M0.
Ví dụ: Xét hàm số sau
trong đó c là hằng số
Giải:
Dễ thấy tại các điểm M(x,y) mà và hàm số liên tục.
Xét điểm M0(x0,y0) thoả mãn , ta thấy khi M(x,y) → M0(x0,y0) thì .
Do đó để hàm liên tục trên ℝ2 thì

a)
b)
c)

7. Hướng dẫn bài tập
Sự liên tục của hàm hai biến
Hàm f(x, y) liên tục tại điểm (a, b) nếu các kiểm tra sau đều đúng:
Hàm f xác định tại (a, b), tức là tồn tại f(a, b)
Có giới hạn: f(x, y) → L khi (x, y) → (a, b)

Giới hạn đó trùng với giá trị của hàm tại (a, b), tức là L = f(a, b)
Các hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.
Ví dụ 1: Tìm miền liên tục của hàm
Giải:
Hàm đã cho xác định trên toàn mặt phẳng, loại trừ tại gốc tọa độ, vì vậy nó liên tục
khắp nơi, loại trừ tại điểm (0, 0) vì tại đây nó không xác định.
Ví dụ 2: Tìm miền liên tục của hàm
Giải:
Tại các điểm (x,y) ≠ (0,0) thì f(x,y) là hàm sơ cấp nên nó liên tục. Tại điểm (0,0)
hàm xác định và f(0,0) = 0. Ta có f(x,y) → 0 khi (x,y) → (0,0), giới hạn này trùng với
giá trị của hàm tại (0, 0), do đó hàm liên tục tại (0,0).
⇒Kết luận: Hàm đã cho liên tục trên toàn mặt phẳng.

Trang 11


PHẦN III: ĐẠO HÀM
I. Đạo hàm riêng cấp 1
-Cho z = f(x;y) là hàm theo hai biến số độc lập x;y. Cố định biến số y (cho y là
hằng số).
-Có một hàm số theo biến x.Ta xét sự thay đổi. Giả sử hàm số z = f(x;y) (y là hằng
số ) có đạp hàm theo biến số x, thì giá trị đạo hàm này là:

-Ta ký hiệu giới hạn trên là , trong đó biến x ở chỉ số dưới, ngầm chỉ rằng đạo hàm
được lấy theo biến x khi cố định biến y. Và gọi là đạo hàm riêng của hàm f theo biến
x.


-

Vậy: Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của f(x;y) theo biến x tại điểm như là đạo
hàm thường của hàm tại điểm x = .
1 Định nghĩa:
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z =f(x; y) tại điểm là giới hạn:

Và được kí hiệu là đọc là “delf delx”, delz delx”.
-Rõ ràng ta có:

-Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y:

•





Nhận xét:
Để chỉ ký hiệu đạo hàm riêng, ta dùng ký hiệu thay cho ký hiệu d (vốn dùng để ký
hiệu đạo hàm thường – đạo hàm của hàm một biến).
Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta chỉ việc xem các biến còn lại là các hằng số và
lấy đạo hàm như hàm số một biến số x.
Các quy tắc lấy đạo hàm thường vẫn đúng trong trường hợp lấy đạo hàm riêng.
Trong thực hành, để tính dựa vào định nghĩa ta có hai cách:
Trang 12


•
•


Cách 1: Tìm (trong trường hợp hàm số xác định tại .
Cách 2: Theo định nghĩa , lặp hàm thì đây chính là giá trị .
Khi hàm số z=f(x;y) có các đạo hàm riêng theo các biến , vector có các thành phần
lần lượt là các đạo hàm riêng theo các biến của hàm f được gọi là vector gradient , ký
hiệu:
ta dùng ký hiệu thay cho . Ta sẽ đề cập chi tiết về trong các phần sau.
8. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính biết f(x; y) = sin().
Giải:
Ta tính đạo hàm riêng theo 2 cách:
Cách 1:

Suy ra :

Do đó:
Cách 2:
Tính
Thay giá trị y=1, ta nhận được f(x; 1)=sinlà hàm theo 1 biến x.

Tương tự, f(1; y) = sin là hàm theo 1 biến y:

Do đó:
Cả hai cách cùng kết quả nên suy ra:
Trang 13


Ví Dụ 2: Cho hàm tìm
Giải:
Với hàm số f(x; y) này ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng rồi suy ra giá trị đạo
hàm riêng tại (0;0), vì hai hàm chỉ xác định với mọi (x; y) khác (0;0).

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị , ta có:

Tương tự: ta cũng nhận được
•



Nhận xét:
Trong trường trường hợp này, ta có thể sử dụng cách 2 để tìm
Đối với hàm một biến, ta đã biết nếu hàm có đạo hàm thì số liên tục (tại điểm khảo
sát ). Đối với hàm nhiều biến , việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo sự liên
tục của hàm số.
II.

Đạo hàm riêng cấp cao:
1 Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao:
-Cho z= f(x;y) là hàm theo hai biến số độc lập x;y.

-Các hàm đạo hàm riêng nói chung là những hàm số của các biến số x và biến số
y. Do đó, ta lại có thể tìm các đạo hàm riêng của chúng . Vì vậy, hàm số z-f(x; y) có 4
đạo hàm riêng cấp 2 vì mỗi hàm số có thể lấy đạo hàm theo x và theo y.
-Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một. Giả sử xét
hàm hai biến z = f(x; y) , ta có các đạo hàm cấp hai sau:
+ lấy đạo hàm hàm f theo biến y trước, rồi sao đó lấy đạo hàm kết quả theo biến
x.
+ lấy đạo hàm hàm f theo biến x trước, rồi sao đó lấy đạo hàm kết quả theo biến
y.
+ lấy đạo hàm hàm f liên tiếp hai lần theo biến x.
+ lấy đạo hàm hàm f liên tiếp hai lần theo biến y.

Trang 14


Tới đây, lại có thể đạo hàm các đạo hàm cấp hai theo x cũng như theo y ta được các
đạo hàm riêng cấp ba. Vậy là có 8 đạo hàm riêng cấp ba:

• Tổng

quát: Đạo hàm riêng cấp n là đạo hàm riêng cáp một của hàm đạo hàm
riêng cấp n -1. Đối với hàm nhiều hơn hai biến số, đạo hàm riêng cấp cấp cao
được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: là đạo hàm cấp n. Ở đây, trước tiên lấy đạo hàm hàm số z liên tiếp p
lần theo x, và sau đó n-p lần theo y.
9. Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao:
Ví dụ 1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số : f(x; y) =
Giải:
Ta có:

Ví dụ 2: Cho f(x; y) = tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
Giải:
Ta có:

Trong ví dụ này, ta thấy các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau . Tuy vậy, trong trường
hợp tổng quát điều đó có thể không đúng.
Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm (0;0) của hàm số:

Giải:
Trang 15

Với (x; y) (0; 0) ta có:

Tại (x; y) = (0;0) ta có:

Từ đó ta được:

Tuy vậy, nếu các đạo hàm hỗn hợp liên tục thì chúng bằng nhau, điều đó thể hiện
trong định lý Schwarz sau đây:
Định lý Schwarz (việc lấy đạo hàm không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm): Nếu
trong một lân cận U nào đó của điểm hàm số z= f(x; y) có các đạo hàm riêng và
nếu các đạo hàm đó xác định và liên tục tại lân cận đó thì tại M0 .
Phần IV. KHẢ VI VÀ VI PHÂN
I.

Định nghĩa hàm khả vi và vi phân

1 Hàm khả vi
Hàm f(x, y) được gọi là khả vi tại điểm nếu số gia toàn phần có thể biểu diễn dưới
dạng:

Trong đó A, B là các hằng số, khi

Trang 16


Khi đó, đại lượng được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại ứng với
các số gia được kí hiệu .
Ví dụ:
Xét hàm số . Ta có:

Hay:

Do đó:

Vậy hàm số khả vi tại và

a)

Nhận xét:
Xét
Cho thì . Khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski và giới hạn kẹp ta có:

Do đó là VCB khi .
Biểu thức có thể viết dưới dạng:
với là VCB bậc cao hơn
b)

c)

Ta không thể dung định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số như ở ví dụ. tổng quát, ta
chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, còn
các hàm số khác thì không thể dung định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại một điểm/ vì
vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.
Hàm số được gọi là khả vi trên miền D nếu nó có khả vi tại mọi điểm thuộc D.
10.
Vi phân
Đại lượng được gọi là vi phân của hàm tại và được kí hiệu . Vậy

Trang 17

II. Điều kiện cần và đủ khả vi
1 Điều kiện cần khả vi
Định lý 1: Nếu f(x, y) khả vi tại thì nó liên tục tại điểm đó.
Vì khả vi nên từ ta có:

Tức là hàm số liên tục tại
•
a)
b)


Nhận xét:
Nếu hàm số f(x, y) không liên tục tại thì sẽ không khả vi tại điểm đó.
Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.
Định lý 2: Nếu khả vi tại thì nó có các đạo hàm riêng
tại và chúng tương ứng bằng A, B trong biểu thức .
Trong biểu thức cho ta được

Vậy

Tương tự ta có

a)
b)

Nhận xét:
Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại thì vi phần toàn phần của hàm số tại được xác định bởi
Khác với hàm số một biến (Nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai

biến số f(x, y) có các đạo hàm riêng tại thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó.
Ta xét hàm số sau:
Theo định nghĩa đạo hàm riêng ta có:

Tương tự ta có nhưng hàm số G(x, y) không liên tục tại (0; 0) nên không phải khả
vi tại (0; 0)
Trang 18


11.
Điều kiện đủ khả vi
Cho f(x, y) xác định trong miền mở chứa điểm và các đạo hàm riêng liên tục tại
thì hàm f(x, y) khả vi tại .
Với đủ bé ta có:

Mỗi đại lượng trong các dấu móc vuông là các số gia riêng tương ứng theo biến x và
y, nên có thể sử dụng công thức Lagrange cho hàm một biến và ta được:

Vì các đạo hàm riêng liên tục tại nên

Với khi . Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
12.

Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm . Tính và . Hàm có khả vi tại (0; 0) hay không?
Giải:

Để tính các đạo hàm riêng tại (0; 0) ta phải dung định nghĩa mà không thể thế giá trị
(0; 0) vào biểu thức đạo hàm. Ta có:

Tương tự:

Mặc dù hàm số có hai đạo hàm riêng tại (0; 0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì
hàm số đã cho không liên tục tại (0; 0).
Thật vậy, xét điểm (x, y) tiến về điểm (0; 0) theo đường thẳng y= kx ta có
Trang 19


Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nên giới hạn không tồn tại. Do đó:

Nên hàm số không liên tục tại (0; 0) và do đó nó không khả vi tại (0; 0)
Ví dụ 2: Tìm vi phân của hàm số .
Giải:
Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi nên khả vi tại mọi điểm .
Khi đó ta có:
III. Tính gần đúng
+) Cho f(x, y) khả vi tại , khi ấy ta có:

Công thức dung để tính gần đúng giá trị của f tại (x, y):
Ta có

+) Quy tắc dung vi phân cấp 1 để tính gần đúng: Để tính gần đúng giá trị của hàm f
tại điểm cho trước (x, y), ta thực hiện:
1)
2)
3)

Chọn một điểm gần với điểm (x, y) sao cho được tính dễ dàng
Tính giá trị .
Sử dụng công thức: . Nếu điểm xa với điểm (x, y) thì giá trị tính được không phù

hợp.
Ví dụ 1: Tính gần đúng giá trị
Giải:
Xét hàm số với
Ta có: và

Trang 20


Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng khả vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá
trị
Giải:

Các đạo hàm riêng cấp một lien tục trên nên liên tục trong lân cận của (1, 0). Theo
định lý điều kiện đủ khả vi khả vi tại (1, 0).
Chọn

So sánh với giá trị thực
a)
b)

Ví dụ 3: Cho
Tìm
Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh và .
Giải:

a)
b)

Cho

IV. Vi phân cấp cao
 Định nghĩa: Cho hàm f = f(x, y) khi đó df(x, y) cũng là một hàm hai biến x, y. Vi
phân (nếu có) của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp 2.

Trang 21


Vi phân cấp n hàm 2 biến f(x, y): (Sử dụng nhị thức Newton ta có công thức tính vi
phân cấp n)
Tổng quát cho hàm số s biến :
Ví dụ: Tìm vi phân cấp hai biết:
Giải:
Vi phân cấp hai

V. Tính chất của vi phân
Cho f(x, y) và g(x, y) khả vi tại . Khi đó ta có:
a)
b)
c)
d)
Phần V. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP
I.

Định nghĩa đạo hàm riêng
Giả sử Z= f(x, y) là hàm số xác định và liên tục trong miền D, nếu giữ y không đổi,
cho x một số gia Dx1 0 và khá bé thì hàm Z= f(x, y) có một số gia tương ứng gọi là số
gia riêng theo biến x của hàm tại M(x, y).

Tương tự, giữ x không đổi cho y một số gia Dy1 0 khá bé thì Z= f(x, y) có một số gia

tương ứng là một số gia riêng theo biến y của hàm tại M (x, y).

Trang 22


Nếu khi mà giới hạn xác định thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến x
(hoặc y) của hàm tại điểm hay Z’(x)= f’x(x, y) hoặc Z’(y)= f’y(x, y)

Tương tự:

•

•

Như vậy: muốn tính đạo hàm riêng của một biến số nào đó ta chỉ việc xem hàm số
chỉ phụ thuộc vào biến đó còn các biến khác xem như không đổi và áp dụng qui tắc
đối với hàm một biến để tính đạo hàm riêng.
Biểu diễn hình học:

z

C1

T1

T2
P(a, b, c)

C2

O
y

(a, b, 0)

x

Trong đó: f(x, y) biểu diễn bởi mặt S (màu xanh)
Giả sử f(a, b)= c, nên điểm . Cố định y= . Đường cong C 1 là giao của S và mặt
phẳng y= b.
Phương trình của đường cong C1 là g(x)= f(c, b). Hệ số góc của tiếp tuyến T 1 với
đường cong C1 là: g’(a)= f’x(a; b)
Đạo hàm riêng theo x của f= f(x, y) là hệ số góc của tiếp tuyến T 1 với đường cong C1
tại P(a, b, c).
Tương tự đạo hàm riêng theo y của f= f (x, y) là hệ số góc của tiếp tuyến T 2 với
đường cong C2 tại P(a, b, c).
Trang 23


II.

Đạo hàm riêng của hàm hợp
Giả sử u= f(x, y) với x= x(s, t); y= y(s, t). Trong đó u là hàm hợp của hai hàm s, t.
. Tính , . Giả thiết u, x, y đều là những hàm khả vi.


Định lý: Cho u= f(x, y) với x= =(s, t); y= y(s, t) thỏa mãn các biến trung gian x(s, t);
y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b), f(x, y) khả vi tại điểm . Khi đó hàm hợp
u= u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức:

Được gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này gọi là
định thức Jacobi của x, y đối với t, s và kí hiệu

Viết dạng ma trận:

Kết luận:
•
•
Ví dụ 1: Cho và . Tính .
Ta có:

+) Cho hàm f(x, y) và y= y(x), khi đó:

+) Cho hàm f(x, y) và x, y là các hàm của hai biến .
Khi đó:

Trang 24


+) Trong trường hợp tổng quát của hàm n biến , trong đó với k= 1, 2,…, n. Khi đó:

Với i= 1, 2 ,…, m
Ví dụ 2: cho với . Tính và
Ta có:
+)
+)
III.

Vi phân của hàm hợp
Nếu hàm z= f(x, y) khả vi, các biến x, y là những biến độc lập thì

Trong đó .
Xét hàm hợp z= f(x, y), với x= x(u, v), y= y(u, v) (u, v là các biến độc lập). Ta có:

Trong đó các đạo hàm riêng , được trong công thức
+) Đạo hàm
+) Hàm hợp
Ta được:

+) Tính bất biến của dạng vi phân cấp một: dạng của vi phân toàn phần là không đổi
cho dù x và y là các biến độc lập hay là các hàm số. Tuy nhiên nó không đúng cho vi
phân cấp cao.
Trang 25