Tính toán hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán dẫn parabol

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------

Phạm Thị Khánh Huyền

TÍNH TOÁN HIỆU ỨNG HẤP THỤ QUANG
BỞI QUÁ TRÌNH HẤP THỤ HAI PHOTON
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ BÁN DẪN PARAPOL

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Thị Khánh Huyền

TÍNH TOÁN HIỆU ỨNG HẤP THỤ QUANG
BỞI QUÁ TRÌNH HẤP THỤ HAI PHOTON
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ BÁN DẪN PARAPOL

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440130.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LƢƠNG VĂN TÙNG
GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU

Hà Nội - 2018


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Lương
Văn Tùng và GS.TS Nguyễn Quang Báu - người đã trực tiếp huớng dẫn và chỉ bảo
tận tình cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, phòng Đào tạo sau Đại học,
Truờng Ðại học Khoa học Tự nhiên – Ðại học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời
gian vừa qua, để tôi có thể học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách
tốt nhất.
Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, góp ý và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn
tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 28 tháng 12 năm 2018
Học viên

Phạm Thị Khánh Huyền


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu ............................................................................. 1
2. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................................. 1
3. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................... 2
4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu ................................................................ 2
5. Nội dung nghiên cứu .................................................................................................. 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN

CỨU .............................................................................................................................. 4
1.1. Tổng quan về hố lƣợng tử bán dẫn parabol ....................................................... 4
1.1.1. Hố lượng tử bán dẫn parabol .............................................................................. 4
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong FSPQW ................................. 5
1.2. Tổng quan về phƣơng pháp nghiên cứu.............................................................. 6
1.2.1. Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian...................................................... 6
1.2.2. Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu
loạn….. .. ......................................................................................................................... 7
1.2.3. Tương tác electron-phonon-photon ..................................................................... 9
1.2.4. Phương pháp profile ........................................................................................... 12
CHƢƠNG 2. TÍNH TOÁN GIẢI TÍCH HỆ SỐ HẤP THỤ QUANG TRONG
HỐ LƢỢNG TỬ BÁN DẪN PARABOL ................................................................. 14
2.1. Hố thế bán Parabolic hữu hạn ......................................................................... 14
2.1.1. Khái niệm hố thế bán Parabolic hữu hạn ......................................................... 14
2.1.2. Hàm sóng của hạt chuyên động trong hố thế bán Parabolic hữu hạn .............. 15
2.1.3. Chuẩn hóa hàm sóng .......................................................................................... 17
2.1.4. Đồ thị hàm sóng ................................................................................................. 20
2.1.5. Năng lượng ......................................................................................................... 21
2.2. Hệ số hấp thụ quang- từ .................................................................................... 21
2.3. Tính tích phân theo tọa độ và số sóng phonon trong hố thế bán Parabolic
hữu hạn ......................................................................................................................... 31
2.3.1. Miền thứ nhất -∞ < z < 0 ................................................................................... 31


2.3.2. Miền thứ hai và thứ ba 0 < z < B ....................................................................... 32
2.3.3. Miền thứ tư z > B ............................................................................................... 33
CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN.......................................... 35
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 48
PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 52

CÁC TỪ VIẾT TẮT

1. MOAC (magneto-optical absorption coefficient) -Hệ số hấp thụ quang-từ.
2. FSPQW ( finite semi-parabol quantum well) - Hố thế bán parabol hữu hạn.
3. FWHM (full width at half maximum) - Độ rộng vạch phổ.


DANH MỤC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH VẼ
Bảng 1. Kết quả xác định các tham số

................................................ 39

Bảng 2. Kết quả xác định các tham số

.............................................. 44

Hình 1.1. Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV ,

z

0.4

...................... 4

L0

Hình 1.2. Độ rộng vạch phổ ..................................................................................... 12
Hình 2.1. Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV ,

Hình 2.2. Hàm sóng trạng thái n=0 ứng với U 0

z

228meV ,

0.4

L0

.................... 14

0.4

z

L0

, và tính

được L0 = 15.35 nm, B = 49.71 nm .......................................................................... 20
Hình 2.3. Hàm sóng trạng thái n=1 khi chọn U 0

228meV ,

0.4

z

L0

, và tính

được L1 = 23.46 nm, B = 49.71nm. ......................................................................... 21
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của tích

f0,0 (1 f1,1 ) vào nồng độ Al. ................................35

Hình 3.2. Sự phụ thuộc của năng lượng ngưỡng ∆E vào nồng độ Al đối với các giá
trị nhất định của bề rộng hố thế L, và từ trường B. ................................................... 36
Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với
các nồng độ nhôm khác nhau khi B=10T, L=15nm, T=77K. Hình chèn nhỏ cho thấy
sự phụ thuộc của vị trí đỉnh theo nồng độ nhôm s trong quá trình hấp thụ một
photon (trục tung bên trái) và yếu tố

-

(trục tung

bên phải). ................................................................................................................... 36
Hình 3.4. Sự phụ thuộc của FWHM vào nồng độ Al tại B =10 T, L =15 nm và T= 77
K. Các ký hiệu màu xanh và trống là các quá trình hấp thụ một và hai photon tương
ứng ............................................................................................................................. 38
Hình 3.5. MOAC phụ thuộc năng lượng photon tới đối với các giá trị khác nhau của
nhiệt độ khi s= 0.3, B=10T, T=77K.......................................................................... 40
Hình 3.6. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào bề rộng hố thế khi từ trường
B=10T, nồng độ nhôm s=0.3 ở nhiệt độ T=77K. ...................................................... 41
Hình 3.7. Sự phụ thuộc của hệ sô hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với
các giá trị từ trường khác nhau khi độ rộng hố thế L=15nm, nồng độ nhôm s=0.3,

nhiệt độ K=77K. Hình chèn nhỏ mô tả sự phụ thuộc của đỉnh đồ thị vào từ trường B
(trục trái) và yếu tố G (trục phải) cho quá trình hấp thụ một photon ........................ 42
Hình 3.8. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào từ trường B khi s=0.3, L=15nm
và T=77K. ................................................................................................................. 43
Hình 3.9. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với
các nhiệt độ khác nhau khi L=15nm, s=0.3 và B=10T. ............................................ 44
Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ khi s=0.3, L=15nm;
B=10T. ...................................................................................................................... 45


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình hấp thụ đa photon trong bán dẫn đã được nhóm H.J.
Lee, N.L. Kang, J.Y. Sug, S.D. Choi nghiên cứu và công bố trong danh mục các
công trình từ công trình [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Trong những công trình này nhóm tác giả chủ yếu sử dụng phương pháp toán tử
chiếu để thu được độ dẫn quang phi tuyến.
Tính toán hệ số hấp thụ quang phi tuyến trong bán dẫn thấp chiều trong
trường hợp hấp thụ một photon cũng đã được nhiều nhóm tác giả nghiên cứu và
công bố kết quả được liệt kê từ các công trình [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 21]. Bài toán hấp thụ đa photon trong vật liệu bán dẫn nói chung bán dẫn thấp
chiều nói riêng là rất phức tạp.
Trong những năm gần một số nhóm tác giả đã áp dụng thành công phương
pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green và đã bước đầu thu được
một số kết quả về hấp thụ quang phi tuyến trong trường hợp hấp thụ hai photon
cho một số vật liệu bán dẫn thấp chiều và đã được công bố trong các công trình [22,
23, 24, 25].
2. Tính cấp thiết của đề tài
Nghiên cứu các hiệu ứng quang trong các bán dẫn nói chung, bán dẫn

thấp chiều nói riêng đang được các nhà nghiên cứu vật liệu trong nước và thế giới
quan tâm một cách đặc biệt vì khả năng ứng dụng của nó trong tương lai là hết
sức to lớn. Chính vì những lý do trên mà trong những năm gần đây, quá trình hấp
thụ đa photon, trong đó có quá trình hấp thụ hai photon đã được quan tâm nghiên
cứu [1–7]. Trong những công trình này, độ dẫn quang phi tuyến bậc nhất và bậc hai
đã được thu nhận bằng phương pháp chiếu toán tử. Mặc dù những kết quả thu
được có ý nghĩa vật lý rất rõ ràng và hữu ích trong việc nghiên cứu độ dẫn quang
trong các hệ bán dẫn thấp chiều, nhưng các tính toán giải tích là rất phức tạp. Vì
vậy những kết quả này ít được áp dụng để khảo sát các quá trình phi tuyến, đặc biệt
là áp dụng để tính số. Do đó, các nhà nghiên cứu thường áp dụng các phương
pháp khác nhau và đã nghiên cứu thành công trong việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ

1


quang phi tuyến trong các hệ bán dẫn thấp chiều [8–20]. Kết quả của các công trình
này cho thấy rằng hệ số hấp thụ phụ thuộc mạnh vào thế giam giữ [11,14], cấu trúc
của hệ [8–10,13–18], áp suất thủy tỉnh [16,17,19], cũng như trường ngoài [12,20].
Tuy nhiên, những công trình này chỉ giới hạn ở việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ
quang thông qua quá trình hấp thụ một photon, còn vấn đề hấp thụ hai photon vẫn
chưa được quan tâm nghiên cứu.
Trong thời gian gần đây, chúng tôi đã thành công trong việc áp dụng
phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green để đưa ra được
biểu thức tường minh cho công suất hấp thụ và hệ số hấp thụ quang, trong đó bao
hàm được quá trình hai photon [21]. Áp dụng kết quả thu được, chúng tôi đã thành
công trong việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang phi tuyến nhờ vào quá trình hai
photon trong hố lượng tử parabol khi có điện trường [22] và khi không có điện
trường [23], cũng như trong hố lượng tử với thế Gauss [24].
Trong thời gian gần đây, đã có những nghiên cứu thành công hiệu ứng hấp
thụ quang phi tuyến trong nhiều loại hố lượng tử khác nhau như hố lượng tử

parabolic, bán parabol bất đối xứng, hố thế tam giác,…
Tuy nhiên, hầu hết các công trình chỉ nghiên cứu cho các hố thế vô hạn. Các
hố thế hữu hạn hầu như chưa được nghiên cứu. Trong đề tài này chúng tôi khảo sát
hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon với hố lượng tử bán
parabol hữu hạn. Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ được thu nhận từ phương
pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green. Kết quả tính số được áp dụng
cho vật liệu GaAs/AlGaAs. Đây là một cấu trúc dễ chế tạo và có nhiều ứng dụng
trong công nghệ. Vì vậy việc nghiên cứu hiệu ứng hấp thụ quang qua quá trình hấp
thụ hai photon trong hố lượng tử bán parabol hữu hạn có ý nghĩa cả về mặt lý
thuyết lẫn ứng dụng, và cần được quan tâm nghiên cứu.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là: xác định biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ
quang trong FSPQW và khảo sát tính số để tìm các tích chất quan trong vật liệu
nghiên cứu.
4. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu

2


Đề tài chủ yếu sử dụng phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp
hàm Green. Đây là một phương pháp hiện đại, đáng tin cậy trong nghiên cứu vật lý
lý thuyết để tìm biều thức giải tích của hệ số hấp thụ photon.
Chúng tôi sử dụng phần mềm Mathematica, Matlab để khảo sát số, vẽ đồ thị.
5. Nội dung nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu những nội dung chủ yếu sau:
a. Tính toán, thu biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ photon trong FSPQW
khi có mặt của trường điện từ.
b. Sử dụng các phần mềm toán học, khảo sát số để phát hiện hiệu ứng hấp
thụ quang và từ đó tính độ rộng vạch phổ (FWHM) của quang phổ hấp thụ.
c. Giải thích kết quả của hiệu ứng và dự đoán khả năng ứng dụng của nó

trong kỹ thuật, công nghệ.
Đề tài nghiên cứu đã được nhận đăng trên tạp chí chuyên ngành. Tên bài báo
: “ Two – photon induced magneto- optical absorption in finite semi- parabolic
quantum wells.” gửi đăng trên tạp chí : “ Superlatives and Microstructures.”

3


CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ DỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.1. Tổng quan về hố lƣợng tử bán parabol hữu hạn.
1.1.1. Hố lượng tử bán dẫn parabol hữu hạn.

Hình 1.1. Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV ,

z

0.4L0

Thế Finite semi-parabolic quantum well ( FSPQW) có thế năng phân bố
theo quy luật:

m

2
z

B2

U 0 , z 0;

2
V( z )

m

B2

2
U0

*
Ở đây m

2
z

m

,B
2
z

2

B

z

0;

,z

B.

0.067m0 là khối lượng hiệu dụng của electron,

thế giam giữ, B là bề cao của thành hố thế.

4

(1.1)

2

z

là tần số của


1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong FSPQW
Khi một từ trường tĩnh B được đặt theo trục z, trong chuẩn Landau với thế
véc tơ A (0, Bx, 0) , Hamiltonian của một electron là:
1
( p eA)2 V ( z )
*
2m

H

(1.2)

Trong đó p là toán tử xung lượng của electron dẫn. Hàm riêng và trị riêng
của Hamiltonian ở công thức (1.2) được xác định như sau :
N ,n,k y

1
exp(ik y y)
Ly

(r )

EN , n , k y

1
2

N

c

N

n

( x x0 )

,N

Trong đó N, n là chỉ số mức Landau,

N

( z)

(1.3)

0,1, 2,...,

(1.4)

c

n

eB / m* là tần số cyclotron,

( x x0 ) là hàm sóng dao động điều hòa, có tâm tại vị trí x0

ac2 k y , Ly và k y lần

lượt độ dài chuẩn hóa và véc tơ sóng của electron theo chiều y; và x0 ( k y / m* c )
là bán kính quỹ đạo trong mặt phẳng (x,y). Các thành phần hàm riêng và trị riêng
theo phương trục z trong các công thức (1.3) và (1.4) tìm được bằng cách giải
phương trình Schrodinger cho thế Parabol hữu hạn là:
z2
n (z)

An e

2

2
z

1 k2
4

2
z

2

HermiteH 2 n 1,

z
(1.5)
z

Ở đây An là hệ số chuẩn hóa
Biểu thức tính năng lượng cho hạt electron chuyển động trong hố lượng tử
bán dẫn parabol khi năng lượng nhỏ hơn hàng rào thế là:

En

2n

3
2

z

;

n = 0,1,2…….

5

(1.6)


1.2. Tổng quan về phƣơng pháp nghiên cứu
1.2.1. Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
Trong phương pháp này, ta kí hiệu toán tử nhiễu loạn là một hàm của thời
gian Vˆ (t ) . Hamiltonian của hệ có dạng:

Hˆ

Hˆ 0 Vˆ (t )

(1.7)

Trong trường hợp này, năng lượng của hệ không bảo toàn, do đó không có
các trạng thái dừng. Ta cần phải tính gần đúng các hàm sóng của hệ nhiễu loạn theo
hàm sóng trạng thái dừng của hệ không nhiễu loạn dựa vào việc ứng dụng phương
pháp biến thiên các hằng số để giải các phương trình vi phân tuyến tính do Dirac
đưa ra năm 1926. Gọi

(0)
n

(0)
n

( x, t )

( x)e

iEnt /

là các hàm sóng trạng thái

dừng đã biết của hệ không nhiễu loạn. Các hàm này thỏa mãn phương trình không
nhiễu loạn:
(0)
n

( x, t)
t

H0

(0)
n

(x).

(1.8)

Giới hạn ở trường hợp khi các trạng thái của hệ thống không nhiễu loạn ứng
với phổ gián đoạn. Giả sử có nhiễu loạn nhỏ Vˆ (t ) tác dụng lên hệ. Hàm sóng

cần tìm của hệ nhiễu loạn thỏa mãn phương trình:

i

t

( Hˆ Vˆ ) , trong đó

ak (t )

(0)
k

( x, t )

(1.9)

k

Các hệ số khai triển ak (t ) chỉ phụ thuộc vào t và không phụ thuộc vào tọa
độ. Thay biểu thức của

vào (1.8) và chú ý đến (1.9) ta thu được:
(0)
k

i
k

dak

dt

akVˆ

dam
dt

,

k

Nhân trái hai vế của đẳng thức với

i

(0)
k

(0)*
rồi
k

akVkm (t )
k

6

(1.10)
lấy tích phân ta thu được:

(1.11)


Trong đó:
i Em En t /

Vmk (t ) e

Vˆ (t )

(0)*
m

(0)
k

Vˆ (t )

( Em(0) Ek(0) ) / , vmk (t )

mk

vmk (t )ei mk t ,

( x)dV
(0)*
m

(0)
k

( x)dV .

Để đơn giản hóa phương trình (1.11), ta dùng tính chất nhiễu loạn Vˆ là nhỏ.
Giả sử, ban đầu khi t

0 hệ ở trạng thái ứng với hàm

ak (0)

kn

(0)
n .

Khi đó:

,

Khi t 0 hệ chịu tác dụng của một nhiễu loạn nhỏ, do đó hàm sóng

(1.12)
(0)
n phụ

thuộc ít vào thời gian. Vì vậy các hệ số ak (t ) tại thời điểm t 0 được tìm dưới
dạng:

ak (t )

ak(0) (t ) ak(1) (t ) ak(2) (t ) ...,

(0)
Trong đó ak (t )

ak(0)

kn .

(1.13)

(1)
Hiệu chỉnh ak (t ) có cùng cấp độ bé với

(2)

nhiễu loạn, ak (t ) là bậc hai đối với nhiễu loạn,…Thay (1.13) vào (1.11) ta được:

dam(1)
i
dt

ak0Vmk (t )ei

mn t

dt

(1.14)

k

Khi đó bỏ tất cá số hạng có độ bé cấp hai và cao hơn của nhiễu loạn, lấy tích
phân (1.14) ta được:

1 t
a (t )
vmn (t )ei mnt
i 0
(1)
m

(2)
m

a (t )

1 t
vmn (t )ei mnt am(1) (t ).
i 0

(1.15)

(1.16)

1.2.2. Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu
loạn
Nhiễu loạn là nguyên nhân gây ra sự dịch chuyển của hệ từ một trạng thái
lượng tử này sang trạng thái lượng tử khác. Sự chuyển dời này không được thực
hiện bằng bước nhảy mà diễn ra trong thời gian. Xác xuất chuyển dời được xác

7


định bằng đặc tính của nhiễu loạn và sự phụ thuộc vào thời gian. Khi hệ chuyển từ
(0)
m

trạng thái dừng

(0)
n

( x) sang trạng thái dừng

( x) , n

m trong khoảng thời

t có nhiễu loạn tác động thì xác suất chuyển dời của hệ là:

gian từ 0

(1)

Wnm

a (t)

2

t

1

2

vnm (t)e

2

i

mn t

dt .

(1.17)

0

Nếu Vˆ0

Vˆt

0 thì (1.17) có thể được biến đổi bằng cách lấy tích phân

từng phần:
t

vnm (t)e

i

mn t

dt

0

1
i

e

i

mn t

i

0

mn

t

1

t

mn

dvmn i mnt
e dt.
dt
0

(1.18)

Ta có thể viết:

Wnm

2

2

t

1
2
nm

dvmn i mnt
e dt .
dt
0

(1.19)

Nếu Vˆ (t) là hàm điều hòa theo thời gian thì phần tử ma trận của toán tử
nhiễu loạn cũng là một hàm tuần hoàn theo thời gian:

Vvn (t) Vvn (0) cos t ,
Trong đó

(1.20)

En En(0) . Thực hiện một số tính toán, ta thu

thỏa mãn

được:

avn(1)

2

2

4

2

2

vn

Vvn (0) t

2

2

Vvn (0) t

Ev En(0)

.

(1.21)

Xác xuất chuyển dời từ trạng thái lượng tử có năng lượng En(0) sang trạng
thái có phổ liên tục trong khoảng dv tính cho một đơn vị thời gian được xác định
bởi:

dWvn

1 (1) 2
avn
t

2

Vvn (0)

2

Ev En(0)

8

dv

(1.22)


Công thức trên chứng tỏ, dưới tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian,
hệ chỉ có thể thực hiện chuyển dời sang trạng thái có mức năng lượng thỏa mãn
điều kiện:

En(0)

Ev

.

(1.23)

Khoảng các giá trị năng lượng dE tương ứng với khoảng các giá trị chỉ số v:

dv

g ( E )dE,

(1.24)

Trong đó g(E) là hàm mật độ trạng thái, g(E)dE là số các trạng thái năng
lượng trong khoảng E và E+dE. Lấy tích phân theo các thông số còn lại, phương

trình (1.22) trở thành:
2

dWEn

2

VEn (0) g ( E )

Ev En(0)

dE , (1.25)

Trong đó đã đưa ký hiệu:

dE vvn

2

dv
dE

2

VEn g ( E )dE.

(1.26)

Lấy tích phân theo năng lượng, ta tìm được xác xuất dời chuyển toàn phần
trong một đơn vị thời gian từ trạng thái có năng lượng

En(0) sang trạng thái của phổ

năng lượng dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn điều hòa:
2

W
Trong đó Ev

2

En(0)

VEn (0) g ( E ),

(1.27)

. Nếu phần tử nhiễu loạn khác với (1.17) và ta lấy

ký hiệu phần tử nhiễu loạn bằng cách đưa vào hàm mũ như:

Vkn (t ) Vkn (0) ei t e

i t

,

(1.28)

Thì hệ số bằng số trong các công thức trên sẽ thay đổi gấp bốn lần. Cụ thể,

công thức (1.22) sẽ được viết dưới dạng:

dWvn

2

Vvn (0)

2

Ev En(0)

1.2.3. Tương tác electron-phonon-photon

9

dv.

(1.29)


Trong mục này, chúng tôi trình bày tóm tắt phương pháp để thu được hàm
mật độ trạng thái của khí electron chuẩn 2 chiều (2 dimension electron gas-DEG)
khi có mặt đồng thời cả từ trường mạnh và trường laser trong mô hình Faraday
[30].
Chúng ta xét trường hợp mà trong đó
(i)

2DEG chuyển động trong mặt phẳng (xy) và bị giam giữ theo trục z,

(ii)

Từ trường B được đặt dọc trục z,

(iii)

Trường laser Ax t được đặt dọc trục z và bị phân cực dọc theo x.

Trong mô hình này, hiệu ứng cộng hưởng cyclotron được thể hiện rõ rệt.
Đối với trường hợp này, ta có
R

( R, t ) 0 và A( R, t ) ( Ax (t ) Bx ,0) , với

(r , z ) ( x, y, z) là véc tơ vị trí. Ở đây chúng ta đã sử dụng chuẩn Landau và

chuẩn Coulomb cho vectơ và thế vô hướng gần như gây ra bởi từ trường dừng và
trường bức xạ điện từ. Chú ý thêm rằng chuẩn Coulomb cho trường bức xạ cũng
được thỏa mãn cho electron tự do, cũng như mật độ điện tích và mật độ dòng sẽ
bằng không khi trường ngoài kích thích và trường tán xạ có mặt không đồng thời.
Sử dụng gần đúng lưỡng cực cho trường điện từ, chúng ta có thể viết

Ax (t )

A0 sin( t ) với

là tần số sóng điện từ (trường laser) và A0

F0 / , F0

là cường độ điện trường của trường điện từ. Do đó, Hamiltonian của electron cho
2DEG có thể được viết như sau:

H (t )

H xy (t ) H z ,

H xy (t )

Hz
Ở đây

(1.30)

1
( px eAx (t )) 2 ( p y eBx ) 2 ,
*
2m

pz2
U ( z ),
2m*

m* là khối lượng hiệu dụng của electron, px

(1.31)

(1.32)

i

/ x là toán tử

xung lượng dọc theo phương x và U z là thế năng giam giữ của 2DEG. Phương
trình Schrodinger phụ thuộc thời gian có dạng như sau

10


( R, t )
t

i

(1.33)

H (t ) ( R, t ).

Giải phương trình ta được:
N ,k y ,n

( R, t )
ik y

y
e
N , k y , n (r , t ) e

(r, t ) n (z),

N ,k y ,n

iEem

0

t /

e

i EN

(1.34)

Eem t /

N ( x X )e

Ở đây k y là vectơ sóng của electron dọc theo phương X
với ac ( / eB)1/2 là bán kính cyclotron và EN
Landau thứ N với N=0,1,2,… và

( N 1/ 2)

c

ix0 x X / ac2

X (t )

(1.35)

ac2k y x1 (t )

là năng lượng mức

eB / m* là tần số cycclontron. Các đại lượng

c

khác trong phương trình (1.35) có dạng sau :

x0

2
c
2

0

(t )

2
c
2

/

3
2

c

x1

x1 (t)

2
c

2

2

/

Với Eem

x0 (t )

3
2
c

2

c

sin( t )

sin( ct )

2

2
c

,

eF0 cos( t ) cos( ct )
2
2
m*
c

sin(2 t )

2
c

2
c

eF0
m*

sin 2 ct

4sin( t ) cos( t )

c

2
2
c

sin(2 t )

sin(2 ct ) 4sin( t ) cos( t )

(1.36)

c

(eF )2
là năng lượng gây ra bởi trường bức xạ và từ trường,
4m* (
c)

và:

(2N N !
N ( x)

1/2

ac )

1/2

e

x / ac2 /2

H N ( x / ac ),

(1.37)

Với H N ( x) là đa thức Hermite. Hơn nữa, vì từ trường và trường laser không
liên kết để tạo nên thế giam giữ cho hệ electron hai chiều nên hàm sóng electron
theo phương z là

n

( z ) và năng lượng mức điện tử thứ

n

là

n

được xác định bởi

phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian theo phương z.

11


Hz

n

n

(z) 0.

(1.38)

1.2.4. Phương pháp profile
Độ rộng vạch phổ được xác định bởi khoảng cách giữa hai giá trị của biến
phụ thuộc (tần số và năng lượng photon) mà tại đó giá trị của công suất hấp thụ
bằng một nửa giá trị cực đại của nó.
Độ rộng vạch phổ liên quan mật thiết đến tốc độ hồi phục, chúng phụ thuộc
vào tính chất cụ thể của cơ chế tán xạ của hạt tải chất rắn. Vì vậy việc nghiên cứu
độ rộng vạch phổ cho phép ta thu được các thông tin về cơ chế tán xạ này.

Hình 1.2. Độ rộng vạch phổ
Về nguyên tắc, độ rộng vạch phổ chỉ được thu nhận từ đồ thị của công suất
hấp thụ (hoặc hệ số hấp thụ) như là một hàm năng lượng của photon. Ý tưởng của
phương pháp tìm độ rộng vạch phổ là đầu tiên tìm giá trị cực đại của công suất hấp
thụ từ đó kẽ đường thẳng P

Pmax / 2 song song với trục hoành cắt đồ thị của công

suất hấp thụ tại hai điểm. Khoảng cách giữa hai điểm này là độ rộng vạch phổ. Như
vậy, để tìm sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào một đại lượng x nào đó, trước
hết ta vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng của
photon theo các giá trị khác nhau của x . Sau đó xác định giá trị công suất cực đại

Pmax bằng lệnh FindMaxValue, từ đó dùng lệnh FindRoot Pmax ( ) / 2 để tìm hai

giá trị của năng lượng photon
đại và tính

1

2

1

2 ứng

và

với một nửa giá trị công suất cực

, đây chính là độ rộng vạch phổ. Mỗi cặp giá trị

12


x,

ứng với một điểm trên đồ thị. Cuối cùng nối các điểm này với nhau ta có

độ rộng vạch phổ theo đại lượng x . Đây là phương pháp profile.

13


CHƢƠNG 2

TÍNH TOÁN GIẢI TÍCH HỆ SỐ HẤP THỤ QUANG TRONG HỐ LƢỢNG
TỬ BÁN DẪN PARABOL
2.1. Hố thế bán Parabolic hữu hạn
2.1.1. Khái niệm hố thế bán Parabolic hữu hạn
Hố thế lượng tử bán Parabolic hữu hạn có thế năng phân bố theo quy luật:
2
z

m

B2

U 0 , z 0;

2
2
z

m

V( z )

B2

2
U0

m

,B

2
z

z

B2

2

,z

0;

(2.1)

B.

Ở đây m∗ là khối lượng hiệu dụng của electron, ωz là tần số của thế giam
giữ, B là bề cao của thành hố thế.
Khi U 0 228meV ,

z

0.4

L0

, với

L0

là tần số phonon quang thì đồ thị hố

thế bán Parabolic hữu hạn có dạng như hình 2.1.

Hình 2.1: Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV ,

z

0.4

Tọa độ các biên trong hình 2.1 được xác định theo các công thức:

14

LO


2U 0
m 2z

B

(3 4n)
m z

; Ln

(2.2)

2.1.2. Hàm sóng của hạt chuyển động trong hố thế bán dẫn Parabolic
Phương trình Schro¨dinger có dạng:
2

d2
2m dz 2

( z) V ( z) ( z)

E ( z) ,

(2.3)

trong đó m∗ là khối lượng hiệu dụng của hạt đang chuyển động trong hố thế,
được giả thiết là không đổi;

( z ) là hàm sóng; V(z) là thế giam cầm bán Parabol

hữu hạn.
Nếu ta xét trường hợp hạt có năng lượng En nhỏ hơn thành của thế

thì từ

hình vẽ 1.1 ta thấy có bốn miền khác nhau:
- Miền thứ nhất z < 0 là miền năng lượng của hạt nhỏ hơn thế năng giam
cầm không đổi En <

.

- Miền thứ hai 0 < z < Ln là miền năng lượng của hạt lớn hơn thế năng giam

cầm V (z).
- Miền thứ ba Ln < z < B là miền năng lượng của hạt nhỏ hơn thế năng
nhưng thế năng biến đổi theo tọa độ.
- Miền thứ tư là z > B đây là miền năng lượng của hạt nhỏ hơn thế giam cầm
không đổi

.

Thay (2.1) vào (2.3) ta sẽ có phương trình Schro¨dinger ứng với bốn miền
là:
d2
dz 2

d2
dz 2
d2
dz 2

1

( z)

2

3

( z)

( z)

2
z

m

2m
2

B2

2

2m
2

2m
2

2 2
z

m

z

2
m

2 2
z

z

2

E

1

( z) 0 ; z

E

E

15

2

3

0

( z) 0 ; 0

( z ) 0 ; Ln

(2.4)

z

Ln

z

B

(2.5)

(2.6)


d2
dz 2

2
z

m

2m

4 ( z)

2

B2

E

2

3

( z) 0 ; z

B

(2.7)

Ta chỉ xét trường hợp năng lượng của hạt nhỏ hơn thành hố thế nên có thể
đặt:

k

2

2m E
2

; H

2m

2

2
z

m

2

B2

2

2
4
z

E ;

2
z

m

(2.8)

Các phương trình trên trở thành:

d2
dz 2

d2
dz 2

d2
dz 2

1

( z) H 2

2
2 ( z) k

3

d2
dz 2

( z) k

4

1

( z) 0 ,

2 ( z)

2

( z) H 2

3

( z)

3

(2.9)

z2
2

4
z

( z) 0 ,

z2
4
z

3

(2.10)

( z) 0 ,

(2.11)

( z) 0 ,

(2.12)

Giải các phương trình này và chỉ lấy phần nghiệm hữu hạn ta tìm được hàm

sóng là:
1

( z)

2 ( z)

3

( z)

( z)

A1e Hz

(2.13)

ParaboliCylinderD

A3 ParaboliCylinderD

A4e

1 k2
2
1 k2
2

2
z

2z

,

,

(2.14)

z
2
z

,

2z

,

(2.15)

z

Hz

(2.16)
Ở đây A1, A3, A4 là các hằng số tích phân được xác định dựa vào điều
4

kiện liên tục của hàm sóng.

Nghiệm (2.13) và (2.14) có thể được viết lại dưới dạng khác:

16


1 k2
4

2

z2

2
z

( z) 2

e

1 k2
4

3

2

HermiteH

z2

2
z

( z ) A3 2

2
z

e

2

2
z

HermiteH

1 k2
2

2
z

,

z

,

(2.17)

1 k 2 2z z
,
,
2
z

(2.18)

z

Chú ý hàm HermiteH viết cho các số nguyên nên ta phải có điều kiện:
k2

2
z

2

1

k 2 2z
2

1
phải số nguyên dương. Nếu ta đặt k 2
2

k 2 2z
2

1
2

1
(m 1)
2

m thì ta có:

(2.19)

k 2 2z
Biểu thức này cho thấy: để
2

1
là số nguyên thì bắt buộc m phải nhận
2

k 2 2z
các số lẻ. Điều này cũng có nghĩa là
2

k 2 2z
2

2
z

1
cũng phải là số lẻ nên ta viết được:
2

1
2n 1 ,
2

(2.20)

Với n là số nguyên 0, 1, 2, … Hàm sóng (2.16), (2.17) được viết lại là
1 k2
4

2

z2

2
z

( z) 2

e

2

2
z

HermiteH 2 n 1,

z
(2.21)
z

3 ( z)

1 k2
4

A3 2

z2

2
z

e

2

2
z

HermiteH 2 n 1,

z
(2.22)
z

2.1.3. Chuẩn hóa hàm sóng
2.1.3.1. Tìm hệ số tích phân
Trước hết ta dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng để xác định các hệ số
tích phân A1, A3 và A4.
a. Tại vị trí biên z = 0
Ở vị trí biên đầu tiên bên trái của hố thế z=0 thì: nên thu được hệ số tích
phân thứ nhất là:

17