9 nguyên hàm lượng giác

BÀI GIẢNG. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. LÝ THUYẾT
(1)  sin xdx   cos x  C
(3)

1

 cos

2

x

(2)  cos xdx  sin x  C

dx  tan x  C

(4)

1

 sin

2

x

dx   cot x  C

Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:

1

a)  sin xdx

e)  cos 3xdx

i)

 cos

b)  sin 2xdx

f)  cos( x  1)dx

j)

 cos 3x dx

c)  sin(1  3 x) dx

g)  cos(

x 
)dx
2

k)

 sin ( x) dx



x

dx

2

2

1

2

l)  sin 2  2 x  1 dx

h)  2 cos 2 xdx

d)  sin(2 x  )dx
6

2

Giải
a)

 sin xdx   cos x  C

b)

 sin 2xdx

c)

 sin(1  3x)dx =

1
=  cos 2 x  C
2
1
cos(1  3 x)  C
3

1


d)  sin(2 x  )dx =  cos(2 x  ) + C
2
6
6
e)  cos 3xdx =
f)

1
sin 3x  C
3

 cos( x  1)dx =  sin( x 1)  C

 x 
g)  cos 
 2

h)

 2 cos

i)

 cos

2

1
2

x

1


 x  
 dx = 2sin 
C

 2 

1
xdx =  cos 2 x  1dx  sin 2 x  x  C
2
dx= tanx+C
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


2

1

j)

 cos 3x dx  2. 3 tan 3x  C

k)

 sin ( x) dx  cot( x)  C

l)

 sin  2 x  1 dx  

2

1

2

1  cos 2  2 x  1
dx
2
1
  1  cos  4 x  2   dx
2
1
1

  x  sin  4 x  2    C
2
4

1
1
 x  sin  4 x  2   C.
2
8

2

Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn
=> Dùng công thức hạ bậc
(1) cos2 x 

1  cos 2 x
2

sin 2 x 

1  cos 2 x
2

Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:
b)  sin 2 2xdx

a)  cos 2 xdx

c)  cos 4 xdx

d)  sin 4 x  cos 4 xdx

Giải
a)  cos2 xdx  

1  cos 2 x
1
1
1
dx   1  cos 2 xdx  ( x  sin 2 x)  C
2
2
2
2

b)  sin 2 2 xdx  

1  cos 4 x
1
1

1
dx   1  cos 4 xdx  ( x  sin 4 x)  C
2
2
2
4

1  cos 2 x 2
1
c)  cos4 xdx   (cos2 x)2 dx   (
) dx  1  2cos 2 x  cos 2 2 xdx
2
4
=

1
1
1
1 1
1
( x  sin 2 x)   cos 2 2 xdx  ( x  sin 2 x)  [ ( x  sin 4 x)]  C
4
4
4
4 2
4

1
d)  sin 4 x  cos4 xdx   (sin 2 x  cos2 x)2  2sin 2 x.cos2 xdx  1  sin 2 2 xdx
2

1  1  cos 4 x 
1
1
1

= 1  
 dx   1  1  cos 4 x  dx  x   x  sin 4 x   C
2
2
4
4
4



Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ
=> Tách : Bậc chẵn x bậc 1 => Đổi biến
Chú ý: sin 2 x  cos2 x  1
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau:
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


b)  cos5 xdx

a)  sin 3 xdx

c)  (cos3 x  1) cos 2 xdx
Giải

a) Ta có :  sin 3 xdx   sin 2 x.sin xdx   (1  cos 2 x) sin xdx

Đặt cos x  t   sin xdx  dt
 t3 

cos3 x 
 I    1  t 2  dt    t    C    cos x 
C
3
3 



b) Ta có:  cos5 xdx   cos 4 x.cos xdx   (1  sin 2 x) 2 .cos xdx
Đặt sin x  t  cos xdx  dt

 I   1  t
c) Ta có:

2t 3 t 5
2sin 3 x sin 5 x
dt   1  2t  t  dt  t 
  C  sinx 

C
3 5
3
5



2 2

  cos

2

3

4

x  1 cos 2 xdx   cos5 x  cos 2 xdx   cos5 xdx   cos 2 xdx

+) Đặt A   cos5 xdx
Làm tương tự như ý b,  A  sinx 
+) Đặt B   cos 2 xdx 

 I  A B  sinx 

2sin 3 x sin 5 x

C
3
5

1
1
1

1  cos 2 xdx   x  sin 2 x   C

2

2
2


2sin 3 x sin 5 x 1 
1


  x  sin 2 x   C
3
5
2
2


Các công thức biến đổi tích thành tổng(hiệu) trong lượng giác:
(1) cos x.cos y 

1
cos( x  y)  cos( x  y)
2

1
(2) sinx.cosy  [sin( x  y)  sin( x  y)]
2
1
(3) sinx.sin y  [cos(x - y) - cos(x+y)]
2
Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau
a)  sin 3 x.cos xdx

= b)  cos 2 x cos 3 xdx

c)  s inx.sin 2 x.sin 3 xdx
Giải

1
1 1
1 1
a)  sin 3x.cos xdx   (sin 4 x  sin 2 x)dx   . cos 4 x  .( ) cos 2 x  C
2
2 4
2 2
1
1
=  cos 4 x  cos 2 x  C
8
4

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


b)  cos 2 x cos3xdx   cos3x.cos 2 xdx 

1
1 1
cos5 x  cos xdx  ( sin 5 x  sinx)  C


2
2 5

1
c)  sinx.sin 2 x.sin 3xdx   (sin 3x.sin 2 x)sin xdx   (cos x  cos5 x)sin xdx
2
=

1

1

1

1

 2 cos x.sin xdx  2  cos5 x.sin xdx  4 sin 2 xdx  4 sin 6 x  sin( 4 x) dx

1
1 1
1
=  cos2 x  ( cos6 x  cos4 x)  C
8
4 6
4
- HẾT -

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!