14 tích phân đổi biến (tiết 2)

BÀI GIẢNG. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN (TIẾT 2)
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
Ví dụ 1. Tính tích phân:
ln 5

b)



sin  x  
4

dx
d) 
0 sin 2 x  2(1  sinx  cos x)




x sin x  ( x  1) cos x
dx
x sin x  cos x

4

c)

x 2  e x  2 x 2e x

0 1  2e x dx
1

dx
a)  x
e  2e x  3
ln 3


0

4

Giải
ln 5

dx
a)  x
=
e  2e x  3
ln 3

ln 5

ln 5

dx
ex



3 e2 x  3e x  2dx
2
ln 3 e x 
ln
3
ex

 x  ln 3  t  3
Đặt e x  t ta có: 
 x  ln 5  t  5
 e x dx  dt
5

5

5

1
1
1
1
dt  
dt  

dt
2
t

3
t


2
t

1
t

2
t

1
t

2



3
3
3

I 

5

 ln t  1  ln t  2   ln 6  ln 7  ln 4  ln 5  ln
3

30
15

 ln
28
14

1
1 x 2 1  2e x  e x
1
1
1


x2  ex  2x2 ex
ex
x3
ex
1
ex
2
b) 
dx

dx

x

dx


dx



dx
0 1  2e x
0 1  2e x
3 0 0 1  2e x
3 0 1  2e x
1  2e x
0
1

1

ex
dx
x
0 1  2e

Đặt B  

x  0  t  3
Đặt 1  2e x  t ta có: 
 x  1  t  1  2e
 2e x dx  dt
1 2 e

=> B =  B 


3

I 

1 2 e

1 dt  1

.   ln t 
t 2 2
3



1
 ln 1  2e  ln 3
2

1 1
  ln 1  2e  ln 3
3 2

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!






c)

x sin x  ( x  1) cos x
0 x sin x  cos x dx =

4
x sin x  x cos x  cos x
x cos x
dx

0 x sin x  cos x
0 1  x sin x  cos xdx



4

4




4

= x |04  
0



x cos x
 4

x cos x
dx   
dx
x sin x  cos x
4 0 x sin x  cos x


4

Đặt B  
0

x cos x
dx
x sin x  cos x

x  0  t  1

Đặt x sin x  cos x  t ta có: 

 2
2

x   t  .

4
4 2
2

 x cos xdx  dt

B

 2
2
. 
4 2
2


1

2 
.( 1)
dt
2 

 ln | t ||1 2 4  ln
.  1 .
t
2 4 

Ví dụ 2. Tính tích phân

a)





2

6

sin 2 x

 3  4sin x  cos 2 x dx

b)

0



sin  x  
4

dx
c) 
0 sin 2 x  2(1  sinx  cos x)


4

4

tan x

 cos 2 x dx
0

Giải
a)





2

2



2
sin 2 x
2sin x.cos x
2sin x.cos x
dx

dx

0 3  4sin x  cos 2 x
0 3  4sin x  1  2sin 2 x
0 2sin 2 x  4sin x  2 dx





2

2
sin x.cos x
sin x.cos x
dx

dx.
2
2

0 sin x  2sin x  1
0 (s inx  1)



x  0  t  1

Đặt s inx  1  t ta có: 

 x  2  t  2

 cos xdx  dt
t 1
1 1
1
 I   2 dt    2 dt  ln | t | 
t t
t1
1 t
1

2

 ln 2 

1
1
 (ln1  1)  ln 2  .
2
2



6

b)

2

2

4

tan x
0 cos 2 x dx =

2

6



6
tan x
tan 4 x
dx

0 cos2 x  sin 2 x 0 cos2 x(1  tan 2 x) dx
4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


x  0  t  0

Đặt tan x  t ta có: 

3
x   t 
6
3



1
dx  dt
cos 2 x

I

3

3

t

4

 1 t

2

dt 

0

3
3


0

t 11
dt 
1 t2
4

3
3



   t

2

 1 

0

1 
dt 
1  t 2 

3
3



 t
0

2

1 1
1 
1 

 dt
2  1  t 1  t  

3

3

 t3

1
    t   ln | 1  t |  ln | 1  t |  
2
 3
0


3
3 1
3
3

  ln 1 
 ln 1 

27
3 2 
3
3 

3
10 3 1
3   10 3  1 ln 2  3 .

 ln
27

2
27
2
3
1
3





2
sin  x  
(sinx  cosx)
4
4
4

2
c) 
dx  
dx
sin
2
x

2(1

sinx


cos
x
)
(2sin
x
cos
x

1)

1

2(sinx

cos
x
)
0
0
1








2
2

(sinx  cosx)
(sinx  cosx)
4
2
2

dx

dx.
2
2

(sinx

cos
x
)

2(sinx

cos
x
)

1
(sinx

cos
x


1)
0
0
4

x  0  t  2

Đặt s inx  cos x  1 t ta được: 

 x  4  t  2  1
 (cos x  sinx)dx  dt
2
I 
2

2 1


2

1
2 1
dt 
.
2
t
2 t2

2 1



2  1
1
.
 
2  2 1 2 

- HẾT -

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!