4 tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (tiết 1)

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC

BÀI GIẢNG. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
(PHẦN 1)
* Phương pháp:
+) Gọi z  a  bi (a, b  )
+) Thay z vào đề bài  dẫn tới hệ phương trình.
+) Giải hệ phương trình này ta được số phức z cần tìm.
* Nhắc lại lý thuyết:
+) Số phức là các số có dạng z  a  bi (a, b  )
+) Số phức liên hợp: z  a  bi
+) Môđun của số phức: z  a2  b2
+) Số phức z  a  bi (a, b  ) có điểm biểu diễn là M (a, b)

a1  a2
+) Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i(a1 , a2 , b1, b2  ) thì z1  z2  
b1  b2
+) z  a  bi là số thuần ảo  a  0
+) Số thực là số có phần ảo bằng không.
Ví dụ 1: Tìm số phức:
a) 2 z  3iz  4  11.i
c) Cho z thỏa mãn

b) Biết 2 z  3(1  i ) z  1  9i . Tính mô đun của z

5( z  i)
 2  i. Tính w biết w  1  z  z 2 .
z i

Giải
a) 2 z  3iz  4  11.i

Gọi z  a  bi (a, b  )

 2(a  bi)  3i(a  bi)  4  11.i  2a  2bi  3ai  3b  4  11.i
 (2a  3b)  (3a  2b)i  4  11.i
2a  3b  4
a  5


3a  2b  11 b  2
Vậy số phức cần tìm là z  5  2i.
b) 2 z  3(1  i) z  1  9i
Gọi z  a  bi (a, b  )

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!


 2(a  bi)  3(1  i)(a  bi)  1  9i  2a  2bi  3a  3bi  3ai  3b  1  9i
 5a  3b  (3a  b)i  1  9i
5a  3b  1
a  2


3a  b  9 b  3
Vậy số phức cần tìm là z  2  3i.
c)

5( z  i)
 2  i. ( z  i)
z i

Gọi z  a  bi (a, b  )

 5(a  bi  i)  (2  i)(a  bi  i)  5a  5bi  5i  2a  2bi  2i  ai  b  1)
 5a  (5  5b)i  2a  b  1  (2  2b)i
1

a

5a  2a  b  1

2  z  1  1i


2 2
5  5b  2  2b  a
b  1

2
2

1 1 1 1  3
 w  1 z  z  1  i    i    i
2 2 2 2  2
2

w 

13
2

Ví dụ 2: Tìm số phức z biết:
a) z  5 và phần thực gấp đôi phần ảo.

b) z  2. z  3 và z   z .

c) z  2 và z 2 thuần ảo.

d) z 2  z  z.
2

Giải
a) +) z  5
Gọi z  a  bi (a, b  )

 a2  b2  5  a2  b2  25. (1)
+) Phần thực gấp đôi phần ảo  a  2b. (2)

a 2  b2  25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
a  2b
Thế a  2b vào (1) ta được:

b  5  a  2 5
4b2  b2  25  b2  5  
b   5  a  2 5

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!

Vậy số phức cần tìm là z1  2 5  5i; z2  2 5  5i.
b) z  2. z  3 và z   z
Gọi z  a  bi (a, b  )
+) z  2. z  3  a  bi  2. a  bi  3  a 2  b2  2. a 2  b2  3

 a2  b2  1  a2  b2  1 (1)
+) z   z  a  bi  a  bi  2a  0  a  0
Thay a  0 vào (1) ta được: b2  1  b  1
Vậy số phức cần tìm là z  i; z  i
c) z  2 và z 2 thuần ảo.
Gọi z  a  bi (a, b  )
+) z  2  a2  b2  2  a2  b2  2 (1)
+) z 2  (a  bi)2  a2  b2  2abi thuần ảo
 a 2  b2  0  a 2  b2 thay vào (1) ta được:

b  1  a 2  1  a  1
2b  2  b  1  
2
2
b  1  a  (1)  1  a  1
2

2

Vậy số phức cần tìm là z 1  i;1  i; 1  i; 1  i
d) z 2  z  z.
2

Gọi z  a  bi (a, b  )

 (a  bi)2  a  bi  a  bi  a 2  2abi  b2  a 2  b 2  a  bi  b 2  2abi  b 2  a  bi
2

b2  a  b2
a  2b2  0


2ab  b
b(2a  1)  0(*)
Thế a  2b 2 vào (*) ta được:

b  0
b  0  a  0

4b  b  0  b(4b  1)  0  2 1  
b 
b   1  a   1

4

2
2
3

2

1 1
1 1 


Vậy số phức cần tìm là z  0;   i;   i  .
2 2
2 2 


3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!