TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.07 MB, 381 trang )
TOÁN
7
TỰ HỌC TOÁN 7
Th.s NGUYỄN CHÍN EM
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
MỤC LỤC
PHẦN I
Đại số
1
CHƯƠNG 1 Số hữu tỉ. Số thực
1
2
3
TẬP HỢP R CÁC SỐ HỮU TỈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Dạng 1. Biểu diễn số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Dạng 2. So sánh hai số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Dạng 1. Cộng, trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Dạng 2. Mở đầu về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dạng 3. Biểu diễn một số hữu tỉ thành tổng hoặc hiệu của các số hữu tỉ khác . . . 14
3
4
NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP
PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5
6
7
8
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TỈ LỆ THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN. SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN. LÀM TRÒN SỐ 49
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B
Các dạng Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
SỐ VÔ TỈ. KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
B
Các dạng Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang i/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
C
Năm học 2019-2020
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
CHƯƠNG 2 Hàm số và đồ thị
1
59
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN . . . . . . 59
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận để giải toán . . 59
Dạng 2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
C
2
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH . . . . . 67
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải toán . 67
Dạng 2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C
3
4
5
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax, VỚI a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
CHƯƠNG 3 Thống kê
1
2
3
97
THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B
Phương Pháp Giải Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C
BÀI TẬP LUYỆN TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
BẢNG TẦN SỐ CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A
Tóm Tắt Lí Thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B
Phương Pháp Giải Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
BIỂU ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang ii/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
4
Năm học 2019-2020
SỐ TRUNG BÌNH CỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
CHƯƠNG 4 Biểu thức đại số
1
2
3
4
5
127
KHÁI NIỆM VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
ĐƠN THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
ĐA THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Dạng 1. Nhận biết đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Dạng 2. Thu gọn đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Dạng 3. Tìm bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6
Cộng trừ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A
Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Dạng 1. Tính tổng, hiệu của hai đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Dạng 2. Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Dạng 3. Bài toán liên quan đến chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7
8
ĐA THỨC MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang iii/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
C
9
Năm học 2019-2020
BÀI TẬP LUYỆN TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Nghiệm của đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C
BÀI TẬP LUYỆN TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
PHẦN II
Hình học
177
CHƯƠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1
2
3
4
5
HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A
GÓC SO LE TRONG. GÓC ĐỒNG VỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
B
Các dạng toán và phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
CHƯƠNG 2 TAM GIÁC
1
179
217
TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Dạng 1. Giải bài toán định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
C
2
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang iv/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
3
Năm học 2019-2020
Hai tam giác bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Dạng 2. Sử dụng hai tam giác bằng nhau để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Dạng 3. Vẽ
C
4
ABC, biết AB = c, BC = a, AC = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU CẠNH-GÓC-CẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
A
TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Dạng 1. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Dạng 2. VẼ
D
5
’ = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
ABC, BIẾT AB = c, AC = b và BAC
BÀI TẬP LUYỆN TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU GÓC-CẠNH-GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Dạng 2. Sử dụng hai tam giác bằng nhau để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
“ = β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Dạng 3. Vẽ ABC, biết AB = c, A = α, B
C
6
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
TAM GIÁC CÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Dạng 1. Chứng minh tính chất của tam giác cân, tam giác đều. . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Dạng 2. Chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . 269
Dạng 3. Sử dụng tam giác cân, tam giác đều để giải toán định lượng . . . . . . . . . . . 271
Dạng 4. Sử dụng tam giác cân giải bài toán định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C
7
8
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
ĐỊNH LÍ PY - TA - GO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
CHƯƠNG 3 QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang v/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
1
Năm học 2019-2020
QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Dạng 1. Chứng minh các tính chất về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
trong một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Dạng 2. Sử dụng tính chất về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một
tam giác giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
2
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH
CHIẾU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Dạng 1. Chứng minh các tính chất về mối quan hệ giữa các đường xiên và các
hình chiếu của chúng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Dạng 2. Sử dụng tính chất về mối quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu
của chúng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
C
3
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC - BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC . . . . . 316
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Dạng 1. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Dạng 2. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . 317
C
4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Dạng 2. Chứng minh tính chất hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5
TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Dạng 1. Chứng minh tính chất tia phân giác của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Dạng 2. Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Dạng 3. Dựng tia phân giác của một góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Dạng 4. Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc để giải toán. . . . . . . . . . . . . . 337
6
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Dạng 1. Chứng minh tính chất đường trung trực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Dạng 2. Sử dụng tính chất đường trung trực để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang vi/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
C
8
Năm học 2019-2020
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Dạng 1. Chứng minh tính chất ba đường trung trực của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 357
Dạng 2. Sử dụng tính chất của ba đường trung trực của tam giác để giải toán . . 358
9
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
B
C
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang vii/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
PHẦN
I
ĐẠI SỐ
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 1/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Năm học 2019-2020
Trang 2/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
CHƯƠNG
1
SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
BÀI
1
TẬP HỢP R CÁC SỐ HỮU TỈ
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Số hữu tỉ
Định nghĩa 1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng
a
với a, b ∈ Z và b = 0.
b
Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
Nhận xét.
Tập hợp số hữu tỉ Q là tập hợp số nguyên Z trong đó phép chia cho một số khác 0
luôn được thực hiện.
Các phân số bằng nhau xác định cùng một số hữu tỉ và một trong số đó là một đại diện của số
hữu tỉ.
Mỗi số hữu tỉ được xác định bởi phân số đại diện và các phép toán trên số hữu tỉ đều được xác
định trên các phép toán của phân số đại diện.
2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
a
với a, b ∈ Z và b > 0, ta thực hiện theo các bước
b
Bước 1: Chia đoạn thẳng đơn vị thành b phần bằng nhau. Lấy một đoạn làm đơn vị mới thì
1
đơn vị mới bằng đơn vị cũ.
b
Bước 2: Biểu diễn a theo đơn vị mới.
Giả sử cần biểu diễn số hữu tỉ
Nhận xét.
Các điểm hữu tỉ dương nằm bên phải điểm O, các điểm hữu tỉ âm nằm bên trái
điểm O.
Giữa hai số hữu tỉ phân biệt bao giờ cũng có một số hữu tỉ khác chúng. Ta nói “Tập hợp số
hữu tỉ R có tính chất trù mật”.
Phần nguyên của số hữu tỉ x (Kí hiệu: [x]) là một số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Tức là
[x] ≤ x < [x] + 1.
3. So sánh hai số hữu tỉ
Với hai số bất kì x, y ∈ Q, ta luôn viết được dưới dạng
x=
a
b
và y =
với m > 0.
b
m
Từ đó ta có
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 3/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
Nếu x = y thì a = b.
Nếu x < y thì a < b.
Nếu x > y thì a > b.
Nhận xét: Để so sánh hai số hữu tỉ x và y ta thực hiện các bước
Bước 1: Biển đổi hai số x và y về dạng phân số có cùng mẫu số dương.
Bước 2: Sử dụng nhận xét trên.
Bước 3: Kết luận.
4. Số hữu tỉ dương, âm
Cho x ∈ Q, ta có
x > 0 ⇔ x là số dương.
x < 0 ⇔ x là số âm.
x = 0 thì x không là số âm cũng không là số dương.
a c
Từ đó, ta rút ra một số tính chất sau: Cho hai số hữu tỉ , . Ta có
b d
a
c
Tính chất 1. < ⇔ ad < bc với b > 0, d > 0.
b
d
a
c
a
a+c
c
Tính chất 2. Nếu < thì <
< với b > 0, d > 0.
b
d
b
b+d
d
a
−a
=
với b = 0.
Tính chất 3.
b
−b
a
a
Tính chất 4. − −
= với b = 0.
b
b
−a
a
với b = 0.
Tính chất 5. =
b
−b
B CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. Biểu diễn số hữu tỉ
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 1. Nêu các bước để biểu diễn số hữu tỉ
3
5
trên trục số. Từ đó, biểu diễn số hữu tỉ −
2
2
trên trục số đó.
✍ LỜI GIẢI.
Ta thực hiện theo các bước
Chia đoạn thẳng đơn vị thành hai phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới. Ta được
1
3
Biểu diễn 3 theo đơn vị mới. Do đó, số hữu tỉ được biểu diễn bằng điểm A nằm ở trên điểm
2
5
O và cách điểm O một đoạn bằng 3. Điểm − được biểu diễn hoàn toàn tương tự.
2
B
A
5
3
−2
−1
1
O
−
O
2
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
2
Trang 4/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
VÍ DỤ 2. Viết 3 đại diện của mỗi số hữu tỉ sau rồi nêu dạng tổng quát của nó.
7
5
6
x1 = −6; x2 = − ; x3 = ; x4 = −1,25; x5 = .
3
12
4
✍ LỜI GIẢI.
Ta có:
−6
−12
−24
−6k
x1 = −6 =
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
1
2
4
4k
7
−14
14
−35
−7k
x2 = − =
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
3
6
−6
15
3k
5
−5
−10
15
5k
x3 =
=
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
12
−12
−24
36
12k
−5
10
−15
−5k
x4 = −1,25 =
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
4
−8
12
4k
3
−3
12
3k
6
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
x5 = = =
4
2
−2
8
2k
Chú ý: Để chỉ ra được dạng tổng quát của một số hữu tỉ x ta thực hiện theo các bước
m
Bước 1: Biến đổi x về dạng phân số tối giản, giả sử x = .
n
m·k
Bước 2: Khi đó, dạng tổng quát của x là x =
với k ∈ Z và b = 0.
n·k
!
DẠNG 2. So sánh hai số hữu tỉ
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 3. Sử dụng tính chất hãy xem các phân số sau đây có bằng nhau không?
a)
−5
15
và
.
6
−18
b)
12
−47
và
.
7
−28
c) −
17
−5
và
.
5
3
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
15
−15
−5
=
⇒
−18
18
6
−47
47
12
2
=
⇒
>
−28
28
7
17
−17
−5
3 − =
⇒
5
5
3
1
−15
=
vì (−5) · 18 = (−15) · 6 = 90.
18
47
vì 12 · 28 = 336 > 47 · 7 = 329.
28
−17
>
vì (−5) · 5 = −25 > (−17) · 3 = −51.
5
12
−47
>
vì 12 · (−28) = −336 < (−47) · 7 = −329
7
−28
là hoàn toàn sai vì mẫu số âm. Do vậy, khi so sánh hai phân số ta phải biến đổi phân số với mẫu
!
Chú ý: Trong câu b) nếu ta nhận xét rằng
dương thì mới áp dụng được Tính chất 1 và Tính chất 2.
VÍ DỤ 4. Hãy so sánh hai số hữu tỉ
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 5/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
a) −0,3 và
Năm học 2019-2020
−1
.
5
b) −0,6 và
1
.
−2
✍ LỜI GIẢI.
−1
1 Trước tiên, ta biến đổi hai số −0,3 và
về dạng phân số có cùng mẫu số
5
−0,3 =
−0,3 · 10
−3 −1
−1 · 2
−2
=
,
=
=
.
10
10 5
5·2
10
−3
−2
−1
<
⇔ −0,3 <
.
10
10
5
1
2 Trước tiên, ta biến đổi hai số −0,6 và
về dạng phân số có cùng mẫu số
−2
Tới đây, ta có nhận xét −3 < −2 ⇔
−0,6 =
−0,6 · 10
−6 1
1 · (−5)
−5
=
,
=
=
.
10
10 −2
(−2) · (−5)
10
Tới đây, ta có nhận xét −6 < −5 ⇔
−5
1
−6
<
⇔ −0,6 <
.
10
10
−2
a
b
VÍ DỤ 5 (Bài 5/tr 8 - sgk). Cho x = , y = . Biết a, b, m ∈ Z, m > 0 và x < y. Hãy
m
m
a+b
< y.
chứng tỏ rằng x <
2m
✍ LỜI GIẢI.
2a
2b
Ta viết lại x, y dưới dạng có cùng mẫu số bằng 2m là x =
,y=
.
2m
2m
a
b
Từ giả thiết x < y ta được
<
⇔ a < b. (1)
m
m
Khi đó
Cộng hai vế của (1) với a, ta được
a + a < b + a ⇔ 2a < a + b ⇒
2a
a+b
a+b
<
⇔x<
. (2)
2m
2m
2m
Cộng hai vế của (1) với b, ta được
a + b < b + b ⇔ a + b < 2b ⇒
2b
a+b
a+b
<
⇔
< y. (3)
2m
2m
2m
Từ (2), (3) ta suy ra điều phải chứng minh.
VÍ DỤ 6. Cho a, b ∈ Z và b > 0. So sánh hai số hữu tỉ
a
a+1
và
.
b
b+1
✍ LỜI GIẢI.
a
a+1
Để so sánh
và
ta đi so sánh hai số a(b + 1) và b(a + 1). Xét hiệu a(b + 1) − b(a + 1) =
b
b+1
ab + a − (ab + b) = a − b.
Ta có ba trường hợp, với điều kiện b > 0
Trường hợp 1: Nếu a − b = 0 ⇒ a = b thì a(b + 1) − b(a + 1) = 0 ⇔ a(b + 1) = b(a + 1)
a(b + 1)
b(a + 1)
a
a+1
=
⇔ =
.
b(b + 1)
b(b + 1)
b
b+1
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 6/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
Trường hợp 2: Nếu a − b < 0 ⇒ a < b thì a(b + 1) − b(a + 1) < 0 ⇔ a(b + 1) < b(a + 1)
a(b + 1)
b(a + 1)
a
a+1
<
⇔ <
.
b(b + 1)
b(b + 1)
b
b+1
Trường hợp 3: Nếu a − b > 0 ⇒ a > b thì a(b + 1) − b(a + 1) > 0 ⇔ a(b + 1) > b(a + 1)
a(b + 1)
b(a + 1)
a
a+1
>
⇔ >
.
b(b + 1)
b(b + 1)
b
b+1
Nhận xét. Với phương pháp được minh họa trong ví dụ trên chúng ta có thể đi thực hiện bài toán
tổng quát hơn, cụ thể:
Cho a, b, n ∈ Z và b, n > 0. So sánh hai số hữu tỉ
a+n
a
và
.
b
b+n
Khi đó ta có lập luận tương tự như sau:
a
a+n
Để so sánh và
ta đi so sánh hai số a(b + n) và b(a + n).
b
b+n
Xét hiệu a(b + n) − b(a + n) = ab + an − (ab + bn) = n(a − b).
Ta có ba trường hợp, với điều kiện b, n > 0
Trường hợp 1: Nếu n(a − b) = 0 ⇒ a = b thì a(b + n) − b(a + n) = 0 ⇔ a(b + n) = b(a + n)
a(b + n)
b(a + n)
a
a+n
=
⇔ =
.
b(b + n)
b(b + n)
b
b+n
Trường hợp 2: Nếu n(a − b) < 0 ⇒ a < b thì a(b + n) − b(a + n) < 0 ⇔ a(b + n) < b(a + n)
b(a + n)
a
a+n
a(b + n)
<
⇔ <
.
b(b + n)
b(b + n)
b
b+n
Trường hợp 3: Nếu n(a − b) > 0 ⇒ a > b thì a(b + n) − b(a + n) > 0 ⇔ a(b + n) > b(a + n)
a(b + n)
b(a + n)
a
a+n
>
⇔ >
.
b(b + n)
b(b + n)
b
b+n
1. Bài tập tự luyện
BÀI 1. So sánh các số hữu tỉ
a)
−15
5
và
.
16
−8
b) −
7
−6
và
.
3
5
c)
13
−16
và
.
9
−3
d)
2
6
và .
3
7
✍ LỜI GIẢI.
Ta sẽ đưa các phân số về dạng cùng mẫu số
5
−5
(−5) · 2
−10
−15
5
1 Ta có
=
=
=
. Vì −15 < −10 nên
<
.
−8
8
8·2
16
16
−8
7
−7
(−7) · 5
−35 −6
(−6) · 3
−18
7
−6
2 Ta có − =
=
=
;
=
=
. Vì −35 < −18 nên − <
.
3
3
3·5
15
5
5·3
15
3
5
−16
16
16 · 3
39
13
−16
3 Ta có
=
=
= . Vì 13 < 39 nên
<
.
−3
3
3·3
9
9
−3
2
2·7
14 6
6·3
18
2
6
4 Ta có =
= ;
=
= . Vì 14 < 18 nên < .
3
3·7
21 7
7·3
21
3
7
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 7/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
BÀI 2. Sắp xếp các số hữu tỉ sau đây theo thứ tự tăng dần
−0,25;
5 13 −5
1 2 −9
1
; −0,5; ;
;
; 0;
; ;
.
2
6 12 24
48 3 8
✍ LỜI GIẢI.
Ta biến đổi về dạng phân số có cùng mẫu số
−0,25 · 48
−12
−0,25 =
=
.
48
48
1
1 · 24
24
=
= .
2
2 · 24
48
−0,5 · 48
−24
−0,5 =
=
.
48
48
5
5·8
40
=
= .
6
6·8
48
13
13 · 4
52
=
= .
12
12 · 4
48
−5
(−5) · 2
−10
=
=
.
24
24 · 2
48
2 · 16
32
2
=
= .
3
3 · 16
48
−9
(−9) · 6
−54
=
=
.
8
8·6
48
Do đó các số hữu tỉ sắp xếp theo thứ tự tăng dần
−9
−5
1 1 2 5 13
; −0,5; −0,25;
; 0;
; ; ; ;
.
8
24
48 2 3 6 12
BÀI 3. Chứng minh rằng với mọi b > 0, ta có
a)
a
> 1 ⇔ a > b.
b
✍ LỜI GIẢI.
1
Ta có 1 = . Với giả thiết b > 0
1
a
a
1 Theo giả thiết > 1 ⇔ >
b
b
a
a
2 Theo giả thiết < 1 ⇔ <
b
b
b)
a
< 1 ⇔ a < b.
b
1
⇔ a · 1 > b · 1 ⇔ a > b.
1
1
⇔ a · 1 < b · 1 ⇔ a < b.
1
BÀI 4. Viết 5 đại diện của mỗi số hữu tỉ sau rồi nêu dạng tổng quát của nó.
5
−7
−9
27
x1 = −2,5; x2 = ; x3 =
; x4 = −0,36; x5 =
; x6 = .
6
5
−25
6
✍ LỜI GIẢI.
Ta có:
−25 · 2
−5
(−5) · 2
−5k
x1 = −2, 5 =
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
2
2
2·2
2k
5
10
5k
x2 = =
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
6
12
6k
−7
(−7) · 2
−14
−7k
x3 =
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
5
5·2
10
5k
−0,36 · 25
−9
(−9) · 2
−9k
x4 = −0,36 =
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
25
25
25 · 2
25k
−9
9
9·2
18
9k
x5 =
=
=
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
−25
25
25 · 2
50
25k
27
9
9·2
18
9k
x6 =
= =
=
= ··· =
, (k ∈ Z, k = 0) .
6
2
2·2
4
2k
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 8/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
BÀI 5. Cho hai số hữu tỉ x =
Năm học 2019-2020
2a + 7
3b − 8
và y =
. Với giá trị nào của a, b thì
5
−5
1 x và y là số dương.
2 x và y là số âm.
3 x và y không là số dương và cũng không là số âm.
✍ LỜI GIẢI.
2a + 7
7
> 0 ⇔ 2a + 7 > 0 ⇔ a > − .
1 •x>0⇔
5
2
3b − 8
8 − 3b
8
•y=
=
> 0 ⇔ 8 − 3b > 0 ⇔ b < .
−5
5
3
7
2 • x < 0 ⇔ 2a + 7 < 0 ⇔ a < − .
2
8
• y < 0 ⇔ 8 − 3b < 0 ⇔ b > .
3
3 x và y không là số dương và cũng không là số âm, tức là x = 0 và y = 0.
7
8
Do đó a = − và b = .
2
3
BÀI 6. So sánh hai số hữu tỉ
a
,
b
(a, b ∈ Z, b = 0) với số 0, biết
a) Hai số a và b cùng dấu.
b) Hai số a và b trái dấu.
✍ LỜI GIẢI.
1 Hai số a và b cùng dấu. Xảy ra hai khả năng
a
a > 0 và b > 0 ⇒ > 0.
b
a
a < 0 và b < 0 ⇒ > 0.
b
a
Vậy a và b cùng dấu thì > 0.
b
2 Hai số a và b trái dấu. Xảy ra hai khả năng
−a
a
< 0.
a > 0 và b < 0 ⇒ =
b
−b
a
a < 0 và b > 0 ⇒ < 0.
b
a
Vậy a và b trái dấu thì < 0.
b
BÀI 7. Cho a, b ∈ Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ
a
a + 2005
và
.
b
b + 2005
✍ LỜI GIẢI.
a
a + 2005
Để so sánh và
ta đi so sánh hai số a(b + 2005) và b(a + 2005).
b
b + 2005
Xét hiệu a(b + 2005) − b(a + 2005) = ab + 2005a − (ab + 2005b) = 2005(a − b).
Ta có ba trường hợp, với điều kiện b > 0
TH 1: Nếu a − b = 0 ⇒ a = b thì a(b + 2005) − b(a + 2005) = 0 ⇔ a(b + 2005) = b(a + 2005)
a(b + 2005)
b(a + 2005)
a
a + 2005
=
⇔ =
.
b(b + 2005)
b(b + 2005)
b
b + 2005
TH 2: Nếu a − b < 0 ⇒ a < b thì a(b + 2005) − b(a + 2005) < 0 ⇔ a(b + 2005) < b(a + 2005)
a(b + 2005)
b(a + 2005)
a
a + 2005
<
⇔ <
.
b(b + 2005)
b(b + 2005)
b
b + 2005
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 9/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
TH 3: Nếu a − b > 0 ⇒ a > b thì a(b + 2005) − b(a + 2005) > 0 ⇔ a(b + 2005) > b(a + 2005)
b(a + 2005)
a
a + 2005
a(b + 2005)
>
⇔ >
.
b(b + 2005)
b(b + 2005)
b
b + 2005
BÀI 8. Tìm x ∈ Q, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bởi ba số 1.
✍ LỜI GIẢI.
−1
−1
Vì x ∈ Q và là số âm lớn nhất được viết bằng ba số 1 là
. Do đó x =
.
11
11
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 10/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
BÀI
2
CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y ta làm như sau
Bước 1: Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu số dương x =
b
a
và y = .
m
m
Thực hiện phép toán cộng, trừ
x+y =
a
b
a+b
+
=
m m
m
và x − y =
a
b
a−b
−
=
.
m m
m
Nhận xét. Ta thấy
Hiệu của hai số hữu tỉ x và y là tổng của x với số đối của y.
Phép cộng, trừ các số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc chọn phân số đại diện cho chúng. Vì vậy,
khi cộng, trừ các số hữu tỉ có mẫu khác nhau, ta quy đồng rồi thực hiện phép toán cộng, trừ các
số có cùng mẫu số
ad + bc
a c
ad − bc
a c
+ =
và
− =
.
b d
bd
b d
bd
a
−a
a
Số đối của số hữu tỉ là
hoặc
.
b
b
−b
Phép cộng trong Q cũng có tính chất cơ bản như phép cộng trong Z, bao gồm: giao hoán, kết
hợp, cộng với phần tử trung lập, cộng với số đối.
Vì tổng, hiệu của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ nên từ một số hữu tỉ chúng ta có thể tách nó
thành tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ nào đó (suy luận ngược), điều này đặc biệt quan trọng
khi thực hiện các phép tính tổng - Trong phần phương pháp giải các dạng toán chúng ta sẽ quan
tâm nhiều hơn tới ý tưởng này.
2. Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển vế một số từ về này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó.
Với mọi x, y, z ∈ Q ta có x + y = z ⇔ x = z − y.
Chú ý: Trong Q ta cũng có những tổng đại số, trong đó cũng có thể đổi chỗ các số hạng, nhóm
một số hạng bằng dấu ngoặc kèm theo quy tắc đổi dấu.
!
B CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. Cộng, trừ số hữu tỉ
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 1. Hãy thực hiện các phép tính:
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 11/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
Å ã
3
b) −2 − − .
7
3
2
a) +
.
2 −3
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
3
2
3
+
= +
2 −3
2
2
3
3
= −
Cách 2: +
2 −3
2
Å ã
3
2 Cách 1: −2 − −
=
Å 7ã
3
Cách 2: −2 − −
=
7
1 Cách 1:
−2
9 −4
9−4
5
= +
=
= .
3
6
6
6
6
2
9 4
9−4
5
= − =
= .
3
6 6
6
6
−14 −3
−14 − (−3)
−11
−
=
=
.
7
7
7
7
−14 3
−14 + 3
−11
+ =
=
.
7
7
7
7
Nhận xét. Khi đã thành thạo đôi chút, các em học sinh hãy thực hiện các phép toán theo cách 2, đó
là “Bỏ dấu ngoặc tồi thực hiện các phép toán cộng, trừ cho những phân số dương.”
VÍ DỤ 2. Thực hiện các phép tính:
a) 0,6 +
4
.
−3
b)
3
− (−0,2).
7
✍ LỜI GIẢI.
4
3 4
9
20
11
1 Ta có 0,6 +
= − =
−
=− .
−3
5 3
15 15
15
3
3 1
15
7
22
3
+
= .
2 Ta có − (−0,2) = + 0,2 = + =
7
7
7 5
35 35
35
VÍ DỤ 3. Tính giá trị của các biểu thức
3
3 1
a) A = 2 − 3 + .
2
5 4
2
1
1
b) B = 5 − 8 + .
7
3 21
✍ LỜI GIẢI.
3
3 1
7 18 1
70 72
5
70 − 72 + 5
3
1 Ta có A = 2 − 3 + = −
+ =
−
+
=
= .
2
5 4
2
5
4
20 20 20
20
20
2
1
1
37 25
1
111 − 175 + 1
63
2 Ta có B = 5 − 8 +
=
−
+
=
= − = −3.
7
3 21
7
3
21
21
21
Nhận xét. Trong ví dụ trên, các sỗ hữu tỉ được cho dưới dạng hỗn số. Chính vì vậy trước tiên chúng
ta cần chuyển nó về dạng phân số, các em học sinh cần nhớ công thức biến đổi.
VÍ DỤ 4 (Bài 10/tr 10-sgk). Tính giá trị của biểu thức
Å
ã Å
ã Å
ã
2 1
5 3
7 5
A= 6− +
− 5+ −
− 3− +
.
3 2
3 2
3 2
✍ LỜI GIẢI.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 12/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
Ta có thể trình bày
ã Å
ã Å
ã
Å theo hai cách sau:
5·6+5·2−3·3
3·6−7·2+5·3
6·6−2·2+1·3
−
−
Cách 1 : A =
6
6
6
35 31 19
=
−
−
6
6
6
5
=− .
ã Å
ã Å
ã
Å2
5 3
7 5
2 1
− 5+ −
− 3− +
Cách 2 : A = 6 − +
3 2
3 2
3 2
ã Å
ã
Å
1 3 5
2 5 7
+
+ −
= (6 − 5 − 3) + − − +
3 3 3
2 2 2
1
5
= −2 − = − .
2
2
DẠNG 2. Mở đầu về phương trình
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 5 (Bài 9.a, 9.b/tr 10 -sgk). Tìm x biết
a) x +
1
3
= .
3
4
✍ LỜI GIẢI.
1
1 Ta có x + =
3
5
Vậy x = .
12
2
2 Ta có x − =
5
5
Vậy x = .
12
b) x −
2
5
= .
5
7
3
3 1
3·3−1·4
5
⇔x= − =
= .
4
4 3
12
12
5
5 2
5·5+2·7
39
⇔x= + =
= .
7
7 5
35
35
VÍ DỤ 6 (Bài 9.c, 9.d/tr 10 -sgk). Tìm x biết
a) −x −
6
2
=− .
3
7
b)
4
1
−x= .
7
3
✍ LỜI GIẢI.
2
6
6 2
6·3−2·7
4
1 Ta có −x − = − ⇔ x = − =
= .
3
7
7 3
21
21
4
Vậy x = .
21
4
1
4 1
4·3−1·7
5
2 Ta có − x = ⇔ x = − =
= .
7
3
7 3
21
21
5
Vậy x = .
21
VÍ DỤ 7. Tìm [x] biết
a) x −
8
< −6 < x.
5
1
2
1
b) −1 < x + và x < − .
4
3
4
✍ LỜI GIẢI.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 13/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
8
8
22
2
< −6 ⇔ x < −6 + ⇒ x < − = −4 .
5
5
5
5
2
Suy ra −6 < x < −4 ⇒ [x] = −5.
5
1
2
2
1
1 2
5 2
23
11
2 −1 < x + ⇒ x + > −1 ⇒ x > −1 − = − − = − = −1
4
3
3
4
4 3
4 3
12
12
1
11
1
⇒ x > −1 . Suy ra −1 < x < − ⇒ [x] = −1.
12
2
4
1 Ta có x −
VÍ DỤ 8. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức
ã
Å
2
2 2 1
b) B = Å
với x ∈ Q.
a) A = x +
+ với x ∈ Q.
ã
3
2
1 2
x−
+2
2
✍ LỜI GIẢI.
Å
ã
Å
ã
2 2
2 2 1
1
≥0⇒ x+
+ ≥ .
1 Vì x +
3
3
2
2
1
2
2
Do đó Amin = , đạt được khi x + = 0 ⇔ x = − .
3
3
ã 2
ã
Å
Å
1 2
1 2
2 Vì x −
≥0⇒ x−
+2≥2
2
2
2
1
1
⇒Å
≤ ⇔Å
≤ 1.
ã2
ã
2
1
1 2
x−
x−
+2
+2
2
2
1
1
Do đó Amax = 1, đạt được khi x − = 0 ⇔ x = .
2
2
DẠNG 3. Biểu diễn một số hữu tỉ thành tổng hoặc hiệu của các số hữu tỉ khác
Phương pháp giải:
5
dưới các dạng sau đây
12
1 Tổng của hai số hữu tỉ dương.
2 Tổng của một số hữu tỉ dương và một số hữu tỉ âm.
1
3 Tổng của hai số hữu tỉ dương trong đó một số là
4
VÍ DỤ 9. Viết số hữu tỉ
✍ LỜI GIẢI.
5
2+3
2
3
1 1
=
=
+
= + .
1 Ta có
12
12
12 12
6 4
5
7 + (−2)
7
−2
7
1
2 Ta có
=
=
+
=
− .
12
12
12
12
12 12
5
1
5
1
2
1
=x+ ⇔x=
− =
= .
3 Giả sử số hữu tỉ còn lại cần tìm là x, ta được
12
4
12 4
12
6
5
1 1
Vậy ta có biểu diễn
= + .
12
6 4
!
Chú ý: Việc tách một số hữu tỉ thành hiệu của hai số (hoặc gọi là tổng của hai số hữu tỉ trái
dấu) mang một ý nghĩa quan trọng, nó được sử dụng rất nhiều trong những toán tính tổng. Ví dụ sau
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 14/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
sẽ minh họa cho việc sử dụng phép tách cho số
1
(k + 1) − k
1
1
=
= −
với k ∈ N∗
k · (k + 1)
k · (k + 1)
k k+1
VÍ DỤ 10. Tính tổng S =
1
1
1
+
+ ··· +
.
1·2 2·3
999 · 1000
✍ LỜI GIẢI.
Nhận thấy rằng với k ∈ N∗ , ta luôn có
1
(k + 1) − k
1
1
=
= −
.
k · (k + 1)
k · (k + 1)
k k+1
1
1
=1− .
1·2
2
1
1 1
= − .
2·3
2 3
···
1
1
1
=
−
.
999 · 1000
999 1000
1 1 1
1
1
1
999
Vậy S = 1 − + − + · · · +
−
=1−
=
.
2 2 3
999 1000
1000
1000
Suy ra
1
Nhận xét.
Khi gặp bài toán này, rất nhiều em học sinh tỏ ra lúng túng, bởi nghĩ rằng
=
1·2
1 1
· , tức là cần có kiến thức về phép nhân hai số hữu tỉ (kiến thức này chưa học), tuy nhiên ở
1 2
đây chúng ta đã sử dụng phép tách một số hữu tỉ thành hiệu của hai số hữu tỉ.
Với phương pháp thực hiện tương tự trên, chúng ta sẽ có được kết quả tổng quát:
1
1
1
1
k
+
+
+ ··· +
=
.
1·2 2·3 3·4
k · (k + 1)
k+1
1. Bài tập tự luyện
BÀI 1. Tính giá trị của các biểu thức
−5
7
4 7
1 A=
+
+ + .
7
−5 7 4
2
−3 −7
3
2 B=
+
+
+
.
−5
7
10
−8
−5
2
4
4
3 C=
+
+
+ .
−7 ã−9 Å 9
Å7
ã Å
ã
3 2
4 3
7 9
4 D = 3− +
− 2+ −
− 1− −
.
4 3
3 2
3 2
✍ LỜI GIẢI.
−5
7
4 7
−5 −7 4 7
−74 65
296 325
29
1 A=
+
+ + =
+
+ + =
+
=−
+
=
.
7
−5 7 4
7
5
7 4
35
28
140 140
140
−2 −3 −7 −3
−112 −120 −196 −105
533
253
2 B=
+
+
+
=
+
+
+
=−
= −1
.
5
7
10
8
280
280
280
280
280
280
−5
2
4
4
−5 −2 −4 4
3 C=
+
+
+ =
+
+
+ = −1.
7
−7 −9
9
7 ã Å7
9
9ã
Å
2 4 7
3 3 9
5 21
83
4 D = (3 − 2 − 1) +
− +
+ − + +
= +
= .
3 3 3
4 2 2
3
4
12
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 15/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
BÀI 2. Tính giá trị của các biểu thức
1 8
3
1
5
19 1
2
1
+ −
+
− +
− .
1 A=1 − +
8 9 25 4 16 25 9 25 81
−1
8
−2
1
4 −4 3
2 B=
−
+
−
+ +
+ .
3
35
9
35 5
9
7
✍ LỜI GIẢI.
Å
ã Å
ã Å
ã
1
5
1
8 1
1
3
19
2
17 82 24
32729
1 A= 1 −
+
−
+ +
+
+
+
=
−
+
=
.
16 81 25
32400
Å 8 16 4 ã 9 Å 9 81
ã25 25 25
−1 −2 −4
8
4 3
1
1
1
+
+
+ − + +
−
= −1 + 1 −
=−
.
2 B=
3
9
9
35 5 7
135
135
135
BÀI 3. Tìm x biết
2
−3
=
.
35
35
Å
ã
11
2
2
c)
− x+
= .
12
5
3
a) x −
−2
1
−x= .
9
3
Å
ã
5
1
1
d) − x +
= .
4
3
2
b)
✍ LỜI GIẢI.
−3
−3
2
−21
10
−11
2
=
⇔x=
+
=
+
=
.
1 x−
35
25
25
35
175
175
175
−2
1
−2 1
2 3
5
2
−x= ⇔x=
− =− − =− .
9 Å
3ã
9Å 3 ã 9 9
9
2
2
2
11 2
1
1 2
3
11
3
− x+
= ⇔ x+
=
− = ⇔x= − =− .
12 Å
5ã
3 Å
5ã
12 3
4
4 5
20
5
1
1
1
5 1
3
3 1
5
4
− x+
= ⇔ x+
= − = ⇔x= − = .
4
3
2
3
4 2
4
4 3
12
BÀI 4. Tìm [x] biết
a) x −
c)
2
= 1.
35
9
1
−x> .
2
3
b) 2 + x <
5
< x + 3.
6
7
2
d) x < − < x + .
4
7
✍ LỜI GIẢI.
2
2
37
1 x−
=1⇔x=1+
= . Do đó [x] = 1.
35
35
35
5
5
7
2
2+x< ⇔x< −2=− .
6
6
6
5
5
−13
7
x+3> ⇔x> −3=
= −1 .
6
6
6
6
[x] = −1
7
7
⇒ −1 < x < − ⇒
6
6
[x] = −2.
9
1
9 1
25
3
− x > ⇔ x < − = . Do đó [x] = 4.
2
3
2 3
6
7
4
x<− .
4
2
7
7 2
−57
1
x+ >− ⇔x>− − =−
= −2 .
7
4
4 7
28
28
[x]
=
−1
1
7
⇒ −2 < x < − ⇒
28
4
[x] = −2.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 16/373
ȍ GeoGebraPro
Tự học Toán 7
Năm học 2019-2020
BÀI 5. Điền số nguyên thích hợp vào ô trống
Å
ã
1
1 1
−
+
<
2
3 4
Å
ã
1
1
1
<
−
−
.
48
16 6
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
Å
ã
1·3+1·4
7
1
1 1
1
7
6
7
1
1 1
+ =
=
⇒ −
+
= −
=
−
=− .
3 4
12
12
2 Å 3 4 ã 2 12Å 12ã 12
12
1
3
8
−5
1
1
1
1
−5
6
1
1
− =
−
=
⇒
−
−
=
−
=
= .
16 6
48 48
48
48
16 6
48
48
48
8
1
1
Gọi x là số nguyên cần tìm. Khi đó x phải thỏa mãn − < x < ⇒ x = 0.
12
8
Vậy số nguyên cần tìm là 0.
7
BÀI 6. Viết số hữu tỉ
dưới các dạng sau đây
20
1 Tổng của một số hữu tỉ dương và một số hữu tỉ âm.
1
2 Tổng của hai số hữu tỉ dương trong đó một số là .
4
✍ LỜI GIẢI.
7
10 + (−3)
10
3
1
3
1 Ta có
=
=
−
= − .
20
20
20 20
2 20
2 Giả sử số hữu tỉ còn lại cần tìm là x.
7
1
7
1
7
5
1
Ta có
=x+ ⇔x=
− =
−
= .
20
4
20 4
20 20
10
7
1
1
Vậy
=
+ .
20
10 4
ã
Å
1 2 11
+ .
BÀI 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x −
5
12
✍ LỜIÅGIẢI.ã
Å
ã
1 2
1 2 11
11
Ta có x −
≥0⇒ x−
+
≥ .
5
5
12
12
11
1
Do đó Amin = , đạt được khi x = .
12
5
BÀI 8. Tính giá trị lớn nhất của các biểu thức
Å
ã
4
15
18 2 183
a) B = − x +
−
. b) C = Å
c) D =
.
ã2
1273
121
(x − 8)2 − 4
1
x+
+5
3
✍ LỜI GIẢI.
Å
ã
Å
ã
18 2
18 2 183
183
1 Vì x +
≥0⇒− x+
−
≤−
.
1273
1273
121
121
183
18
Do đó Bmax = −
, đạt được khi x = −
.
121 Å
1273
Å
ã2
ã2
1
1
2 Vì x +
≥0⇒ x+
+ 5 ≥ 5.
3
3
1
1
4
4
Suy ra Å
≤ ⇒Å
≤ .
ã2
ã2
5
5
1
1
x+
+5
x+
+5
3
3
4
1
Do đó Cmax = , đạt được khi x = − .
5
3
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 17/373
ȍ GeoGebraPro
