Hướng dẫn giải bài toán lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHƯƠNG 1­ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài tốn liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vng, ngồi việc nắm vững các 
kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến 
thức sau:
Tam giác  A BC  vng tại  A , đường cao  A H , ta có:
A

1)  a 2 = b2 + c 2 .
2)  b2 = a.b '; c 2 = a .c '

b
c

3)  h 2 = b '.c '
4)  a .h = b.c .

B

h
b'

H

c'

C

a

1
1
1
5)  2 = 2 + 2 .
h
b
c
6) 

b ' b2
= 2 .                                                                                                                              Chú ý: Diện 
a
a

1
tích tam giác vng:  S = ab
2
Ví dụ 1. Cho tam giác  A BC  vng tại  A , đường cao  A H . Biết 
A B : A C = 3 : 4  và  A B + A C = 21cm .
a) Tính các cạnh của tam giác  A BC .
b) Tính độ dài các đoạn  A H , BH ,CH .

A

Giải:
a). Theo giả thiết:   A B : A C = 3 : 4 , 
suy ra 

B

H

C

AB
AC
AB +AC
=
=
= 3 . Do đó  A B = 3.3 = 9 ( cm ) ;  A C = 3.4 = 12 ( cm ) .
3
4
3+4

Tam giác  A BC  vng tại  A , theo định lý Pythagore ta có:
BC 2 = A B 2 + A C 2 = 92 + 122 = 225 , suy ra  BC = 15cm .


b) Tam giác  A BC  vng tại  A , ta có  A H .BC = A B .A C , suy ra  A H =

A B .A C
9.12
=
= 7, 2 ( cm ) .
BC
15

A H 2 = BH .HC . Đặt  BH = x ( 0 < x < 9)  thì  HC = 15 - x , ta có:
2

( 7, 2) = x ( 15 - x ) ￛ x - 15x + 51, 84 = 0 ￛ x ( x - 5, 4) = 9, 6 ( x - 5, 4) = 0
ￛ ( x - 5, 4) ( x - 9, 6) = 0 ￛ x = 5, 4  hoặc  x = 9, 6  (loại)                                  Vậy  BH = 5, 4cm . 
Từ đó  HC = BC - BH = 9, 6 ( cm ) .
2

Chú ý: Có thể tính  BH  như sau:
A B = BH .BC  suy ra  BH =
2

AB2
92
=
= 5, 4 ( cm ) .
BC
15

Ví dụ 2: Cho  tam giác cân  A BC  có đáy  BC = 2a , cạnh bên bằng 
b(b > a) .
a) Tính diện tích tam giác  A BC
b) Dựng  BK ^ A C . Tính tỷ số 

AK
.
AC

Giải:
a). Gọi  H  là trung điểm của  BC . Theo định lý Pitago ta có:
A H 2 = A C 2 - HC 2 = b2 - a 2
Suy ra  S A BC =

A

1
1
BC .A H = a b2 - a 2
2
2
K

ￛ A H = b2 - a 2
1
1
b). Ta có  BC .A H = BK .A C = S A BC
2
2
Suy ra  BK =

H

B

C

BC .A H
2a 2
=
b - a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vng  A KB  ta có: 
AC
b

(

b2 - 2a 2
4a 2 2
2
2
2
2
2
A K = A B - BK = b - 2 b - a =
b
b2

(

b2 - 2a 2
AK
.
=
AC
b2

)

)

2

. Suy ra  A K =

b2 - 2a 2
b

 do đó 


Ví dụ 3: Cho tam giác  A BC  với các đỉnh  A , B ,C  và các cạnh đối diện 
với các đỉnh tương ứng là:  a, b, c . 
a) Tính diện tích tam giác  A BC  theo  a
b) Chứng minh:  a 2 + b2 + c 2 ￛ 4 3S
Giải:

A

a). Ta giả sử góc  A  là góc lớn nhất của tam giác
A BC ￛ B ,C  là các góc nhọn. Suy ra chân 
đường cao hạ từ  A  lên  BC  là điểm 
B

H  thuộc cạnh  BC .

H

C

Ta có:  B C = BH + HC . Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vng 
A HB , A HC  ta có: A B 2 = A H 2 + HB 2 , A C 2 = A H 2 + HC 2
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
2

2
c 2 - b2 = HB 2 - HC 2 = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a . ( HB - HC )   ￛ HB - HC = c - b ta cũng 
a

có:  HB + HC = a ￛ BH =

a 2 + c 2 - b2
. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông 
2a

ￛ a 2 + c 2 - b2 ￛￛ2 ￛ
a 2 + c 2 - b2 ￛￛￛￛ
a 2 + c 2 - b2 ￛￛ
ￛￛ = ￛￛc ￛￛ ￛc +
ￛￛ
A HB ￛ A H = c - ￛￛￛ
ￛￛￛￛￛ
ￛￛ
2a
2a
2a
ￛￛ
ￛￛ
ￛￛￛ
2

2
ￛ
2
ￛ( a + c ) - b 


=ￛ
ￛ

2a
ￛￛ


thì  A H 2 =
S =

2

2ￛ
ￛ2

ￛb - ( a - c ) ￛ
( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a )
ￛ =
.ￛ
Đặt  2p = a + b + c  
ￛ
ￛ
2a
4a 2
ￛￛ
ￛￛ

16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )
4a

2

ￛ AH = 2

1
BC .A H = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )
2

p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )
a

. Từ đó tính được 


b). Từ câu  a )  ta có:  S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) . Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 
3

ￛ p - a + p - b + p - c ￛￛ
p3
ￛ
ￛ
( p - a ) ( p - b) ( p - c ) ￛ ￛￛ
ￛ = 27 . Suy ra  S ￛ
3
ￛ
ￛￛ
S ￛ

S ￛ

( a + b + c)
12 3

p.

p3
p2
. Hay 
=
27
3 3

2
2

(

)

. Mặt khác ta dễ chứng minh được:  ( a + b + c ) ￛ 3 a 2 + b2 + c 2  suy ra 

(

3 a 2 + b2 + c 2
12 3

)

ￛ a 2 + b2 + c 2 ￛ 4 3S

Dấu bằng xảy ra  hki và chỉ khi tam giác  A BC  đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn  A BC  đường cao CK ;  H  là trực tâm của 
? MB = 900 .  S , S 1, S 2  
tam giác. Gọi  M  là một điểm trên CK  sao cho  A
theo thứ tự là diện tích các tam giác  A MB , A BC  và  A BH . Chứng minh 
rằng  S = S 1.S 2 .
A

Giải:
Tam giác  A MB  vuông tại  M  có 

M

MK ^ A B  nên  MK 2 = A K .BK   (1).

H

D A HK : D CBK  vì có 

B

D

K

?
? H = KCB
?
 

A? KH = CKB
= 900 ;  KA
(cùng phụ với  A? BC ). Suy ra 

AK
HK
 , do đó  A K .KB = CK .KH    (2)
=
CK
BK

Từ (1) và (2) suy ra  MK 2 = CK .HK  nên  MK = CK .HK ; 
1
1
1
1
S A MB = .A B .MK = A B . CK .HK =
A B .CK . A B .HK = S 1S 2 .
2
2
2
2
Vậy  S = S 1.S 2 .
Ví dụ 5. Cho hình thang  A BCD  có 
? = 900 , B? = 600 , CD = 30cm , CA ^ CB . Tính diện tích của hình 
A? = D
thang.
Giải:

C

? D = A? BC = 600  (cùng phụ với CA
? B ), vì thế trong tam giác vng  A CD  ta có  A C = 2A D
Ta có CA
.
2

Theo định lý Pythagore thì:  A C 2 = A D 2 + DC 2  hay  ( 2A D ) = A D 2 + 302
Suy ra  3A D 2 = 900 ￛ A D 2 = 300  nên  A D = 10 3 ( cm ) .
? =H
? = 900 , suy ra 
Kẻ CH ^ A B . Tứ giác  A HCD  là hình chữ nhật vì có  A? = D
A H = CD = 30cm ;CH = A D = 10 3 ( cm ) .

2

CH
Tam giác  A CB  vng tại C , ta có: CH 2 = HA .HB , suy ra 
HB =
=
HA

(

do đó  A B = A H + HB = 30 + 10 = 40 ( cm ) .
1
1
S A BCD = CH ( A B + CD ) .10 3. ( 40 + 30) = 350 3 cm 2 .
2

2

(

)

Vậy diện tích hình thang  A BCD  bằng  350 3cm 2 .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  a  (hình) được định nghĩa như sau:
sin a =

AB
AC
AB
AC
; cos a =
; t an a =
; cot a =
B
BC
BC
AC
AB

+ Nếu  a  là một góc nhọn thì 
0 < sin a < 1; 0 < cos a < 1;
t an a > 0; cot a > 0

Cạnh đối

A

Cạnh huyền

α
Cạnh kề 

C

2. Với hai góc  a, b  mà  a + b = 900 , 
ta có:  sin a = cos b; cos a = sin b; t an a = cot b; cot a = t an b .
Nếu hai góc nhọn  a  và  b  có  sin a = sin b  hoặc  cos a = cos b  thì  a = b .
3.  sin 2 a + cos2 a = 1; tga. cot ga = 1 .

10 3
30

)

2

=

300
, 
= 10 ( cm )
30

4. Với một số góc đặc biệt ta có:  sin 300 = cos 600 = 1 ; sin 450 = cos 450 = 2
2
2
cos 300 = sin 600 =

3
1
; cot 600 = t an 300 =
t an 450 = cot 450 = 1; cot 300 = t an 600 = 3 .
2
3

Ví dụ 1. Biết  sin a =

5
. Tính  cos a, t an a  và  cot a .
13

Giải:

C

Cách 1. Xét  D A BC  vuông tại  A . 
AC
5
Đặt  B? = a . Ta có:  sin a =
 
=
BC
13

α

A

AC
BC
suy ra 
=
= k , do đó 
5
13

B

A C = 5k , BC = 13k . Tam giác  A BC  vuông tại  A  nên: 
2

2

A B 2 = BC 2 - A C 2 = ( 13k ) - ( 5k ) = 144k 2 , suy ra  A B = 12k .
Vậy  cos a =

AB
12k
12
AC
5k
5
AB
12k

12
;  t an a =
=
=
=
= ; cot a =
=
=
BC
13k
13
AB
12k
12
AC
5k
5

Cách 2. Ta có  sin a =

5
25
 suy ra  sin 2 a =
, mà  sin 2 a + cos2 a = 1 , do đó 
13
169

cos2 a = 1 - sin 2 a = 1 -

t an a =

25
144
12
, suy ra  cos a =
.
=
169 169
13

sin a
5 12
5 13
5
cos a 12 5
12 13 12
.
=
:
= . = ;  cot a =
=
:
= . =
cos a 13 13 13 12 12
sin a
13 13 13 5
5

Ở  cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác  A BC  theo đại lượng  k  rồi sử dụng 
định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính  cos a, t an a, cot a . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng 

5
 để tính  sin 2 a  rồi tính  cos a  từ  sin 2 a + cos2 a = 1 . Sau đó ta tính  t an a  và 
13
cot a  qua  sin a  và  cos a .

giả thiết  sin a =

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn  A BC  hai đường cao  A D  và  BE  cắt nhau 
tại  H . Biết  HD : HA = 1 : 2 . Chứng minh rằng  tgB .tgC = 3 .
A

Giải:

E
H

B

D

C


Ta có:  tgB =

AD
AD
. 
; tgC =
BD

CD

Suy ra  t an B . t an C =

A D2
   (1) 
BD .CD

?
? D  (cùng phụ với  A
? CB );  HDB
?
HBD
= CA
= A? DC = 900 .
Do đó  D BDH : D A DC  (g.g), suy ra 
t an B . t an C =

DH
BD
, do đó  BD .DC = DH .A D   (2). Từ (1) và (2) suy ra 
=
DC
AD

HD
1
HD
1
A D2

AD
  (3). Theo giả thiết 
 hay 
=
=  suy ra 
=
A H + HD
2 +1
AH
2
DH .A D
DH

HD
1
3HD
= , suy ra  A D = 3HD . Thay vào (3) ta được:  t an B . t an C =
=3.
AD
3
DH
Ví dụ 3. Biết  sin a. cos a =

12
. Tính  sin a, cos a .
25

Giải:
Biết  sin a. cos a =
sin a  hoặc  cos a .

12
. Để tính  sin a, cos a  ta cần tính  sin a + cos a  rồi giải phương trình với ẩn là 
25

2

Ta có:  ( sin a + cos a ) = sin 2 a + cos2 a + 2 sin a. cos a = 1 + 2.
nên  sin a =

ￛ7
ￛￛ 12
7
ￛ
- cos a . Từ đó ta có:  cos a ￛￛￛ - cos a ￛￛ =
ￛ5
ￛￛ 25
5

12 49
7
. Suy ra  sin a + cos a =  
=
25 25
5

7
12
cos a - cos2 a =
5

25

ￛ 25 cos2 a - 35 cos a + 12 = 0 ￛ 5 cos a ( 5 cos a - 4) - 3 ( 5 cos a - 4) = 0
ￛ

( 5 cos a - 4) ( 5 cos a - 3) = 0 . Suy ra  cos a = 4  hoặc  cos a = 3 .
5

+ Nếu  cos a =

4
12 4 3
 thì  sin a =
: = .
5
25 5 5

+ Nếu  cos a =

3
12 3 4
 thì  sin a =
: = .
5
25 5 5

Vậy  sin a =

5

3
4
4
3
,  cos a =  hoặc  sin a = , cos a = .
5
5
5
5
Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng.

KIẾN THỨC CƠ BẢN


1. Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng:
a)  Cạnh huyền nhân với  sin  góc đối hay nhân với  cos in  góc kề.
b) Cạnh góc vng kia nhân với  t an  của góc đối hay nhân với  cot  của góc kề. 
b = a . sin B = a cos C ; c = a. sin C = a . cos B ;b = c.tgB = c. cot gC ; c = b.tgC = b. cot gC
2. Giải tam giác vng là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vng đó.
Ví dụ 1. Cho tam giác  A BC  có  A B = 16, A C = 14  và  B? = 600 .
a) Tính độ dài cạnh  BC
b) Tính diện tích tam giác  A BC .
Giải:

A

a). Kẻ đường cao  A H . 
Xét tam giác vng  A BH , ta có:  BH = A B . cos B = A B . cos 600 = 16.
600

B

A H = A B . sin B = A B . sin 600 = 16.

H

1
=8
2

3
= 8 3 . Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vng 
2

A HC  ta có:

(

HC 2 = A C 2 - A H 2 = 142 - 8 3

)

2

= 196 - 192 = 4 . Suy ra  HC = 2 . Vậy 

BC = CH + HB = 2 + 8 = 10 .
b) Cách 1.  S A BC =

Cách 2.  S

A BC

=

C

1
1
BC .A H = .10.8 3 = 40 3  (đvdt)
2
2

1
1
3
BC .BA . sin B = .10.16.
= 40 3  (đvdt)
2
2
2

? CB = 600  bán 
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác  A BC  biết  A? BC = 450 , A
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác  A BC  là  R .
Giải:
A

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam 
giác  A BC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam

giác vng bằng cách. Dựng các đường 
thẳng qua C , B  lần lượt vng góc với 

C

600

450

H

D

B


A C , A B . Gọi  D  là giao điểm của hai đường
thẳng trên. Khi đó tam giác  A BD  và  A CD  là các tam giác
vuông và 4 điểm  A , B ,C , D  cùng nằm trên đường trịn đường kính  A D = 2R .                                          
Ta có:  A B = A D . sin 600 = A D . 3 = R 3 . Kẻ đường cao  A H  suy ra  H ￛ BC .Tức là: 
2
BC = BH + CH . Tam giác  A HB  vng góc tại  H  nên 
A H = BH = A B . sin 450 =

AB 2
3 2
R 6 . Mặt khác tam giác 
A CH  vuông tại  H  
= AD
.

=
2
2 2
2

2
2
2
nên   A C = A H + CH ￛ CH =

S =

(

R2 3 + 3

R
2

  ￛ BC =

(

R 1+ 2

) . Từ đó tính được diện tích 

2

).

4

Ví dụ 3: Cho tam giác  A BC  với các đỉnh  A , B ,C  và các cạnh đối diện 
với các đỉnh tương ứng là:  a, b, c . Chứng minh rằng:
a) a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A
b) Gọi  D  là chân đường phân giác trong góc  A . Chứng minh: 
ￛA ￛ
2bc. cos ￛￛ ￛￛￛ
ￛￛ 2 ￛￛ
AD =
b +c
Giải:

B

a). Dựng đường cao  BH  của tam giác 
c

ABC  ta có: 

a

Cách 1: Giả sử  H  thuộc cạnh  A C .
Ta có:  A C = A H + HC .

A

H

b

 Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vng 
A HB , BHC  ta có: A B 2 = A H 2 + HB 2 , BC 2 = BH 2 + HC 2
Trừ hai đẳng thức trên ta có:

C


2
2
c 2 - a 2 = HA 2 - HC 2 = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b. ( HA - HC )   ￛ HA - HC = c - a ta cũng có: 
b

b2 + c 2 - a 2
. Xét tam giác vng  A HB  ta có: 
HA + HC = b ￛ A H =
2b
cos A =

AH
b2 + c 2 - a 2
=
ￛ a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A .
AB
2bc

Cách 2: Xét tam giác vng CHB  ta có: 
2

BC 2 = BH 2 + HC 2 = BH 2 + ( A C - A H ) = BH 2 + A H 2 + A C 2 - 2A C .A H Ta có: 
A H = CB . cos A  suy ra  BC 2 = BH 2 + A H 2 + A C 2 - 2A C .CB . cos A  hay 
ￛ BC 2 = BA 2 + +A C 2 - 2A C .CB . cos A ￛ a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A
b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau: 
+  sin 2a = 2 sin a. cos a
1
+  S = ab sin C
2
*) Thật vậy xét tam giác vuông  A BC , A? = 900 , gọi  M  là trung điểm của  BC , dựng đường cao  A H . 
? CB = a ￛ A? MB = 2a . 
Đặt  A
A

Ta có  sin a = sin C =

AH
h
=
AC
b

b
h

cos a = cosC =

AC
b
=

BC
a

H

B

2α

M

α

C

AH
h
2h
sin 2a = sin A? MH =
= =
AM
a
a  .                                                                                      Từ đó ta 
2
suy ra:  sin 2a = 2 sin a. cos a .
*) Xét tam giác  A BC . Dựng đường cao  BE  ta có: A
S A BC =

E

1
1
BE .A C = BE .b  (1)
2
2

Mặt khác trong tam giác vng  A EB  
ta có: sin A =
thay vào (1) 

BE
ￛ BE = c. sin A  
AB

B

C


1
Ta có:  S = ab sin C
2
Trở lại bài tốn: 
A

Ta có  S A BD

ￛA ￛ
1
1

= A D .A B sin A1 = A D .c. sin ￛￛ ￛￛￛ 1 2
ￛￛ 2 ￛￛ
2
2

b

c

ￛA ￛ
1
1
S A CD = A D .A C sin A 2 = A D .b. sin ￛￛ ￛￛￛ
ￛￛ 2 ￛￛ
2
2
D

B

C

Suy ra  S A BC = S A CD + S A BD =
=

ￛA ￛ
1
1
A D sin ￛￛￛ ￛￛￛ ￛￛc + b . Mặt khác  S A BC = bc sin A ￛ  
2

ￛ 2 ￛￛ
2

ￛA ￛ
A D sin ￛￛￛ ￛￛￛ ￛￛc + b = bc sin A ￛ A D =
ￛ 2 ￛￛ

bc sin A
=
ￛ A ￛￛ
( b + c ) sin ￛￛￛￛ 2 ￛￛￛￛ

2bc cos
c +b

A
2

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:  cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a . 
Thật vậy xét tam giác vuông  A BC , A? = 900 , gọi  M  là trung điểm của  BC , dựng đường cao  A H . 
? CB = a ￛ A? MB = 2a . 
Đặt  A
A

Ta có :  cos a = cos C =

AC
b
AB
c

= ,                     
=                                                    sin a = sin C =
BC
a
BC
a
c
b

A M 2 + MB 2 - A B 2
cos 2a = cos A? MH =
2A M .MB
2

2α
a

B

M

α

C

2

a
a
2

2
+ - c2
ￛ c ￛￛ
ￛ b ￛￛ
a 2 - 2c 2
a 2 - b2
4
4
ￛ
ￛ
=
=
= 1 - 2 ￛￛ ￛￛ = 1 - 2.
= 2 ￛ ￛￛ - 1 .   Từ   đó   suy   ra 
a a
a2
a2
ￛa ￛￛ
ￛￛ a ￛￛ
2 .
2 2
cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a                                                                           
ￛ
ￛ
2
2
2
2
2
2

2 A
- 1ￛￛￛ . 
Áp dụng  a = b + c - 2bc cos A ￛ a = b + c - 2bc ￛￛ2 cos
ￛￛ
2
ￛￛ
2

( b + c ) - a 2 . Thay vào cơng thức đường phân giác ta có: 
A b2 + c 2 - a 2
2 A
ￛ 2 cos
=
+ 1 ￛ cos
=
2
2bc
2
4bc
2


A
2bc
2bc cos
2
AD =
=
c +b

(b + c)

2

- a2

4bc
b +c

bc

=

(b + c - a) (b + c + a)
b +c

(b + c - a) (b + c + a)

ta có:  bc ￛ b + c ￛ A D ￛ
2

. Áp dụng bất đẳng thức Cô si 

= p( p - a )  với  2p = a + b + c .

2

Áp dụng công thức:  a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong 
hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là: 
‘’Cho điểm  D  nằm trên cạnh  BC  của tam giác  A BC  khi đó ta có: 

(

)

A B 2 .CD + A C 2 .BD = BC A B 2 + BD .DC ’’
A

+ Thật vậy :Ta giả kẻ  A H ^ BC  
khơng mất tính tổng qt, 
ta giả sử  D  nằm trong đoạn 

H

B

D

C

HC . Khi đó ta có:
A B 2 = A D 2 + BD 2 - 2A D .BD . cos A? DB = A D 2 + BD 2 - 2DB .DH  (1)
Tương tự ta có:  A C 2 = A D 2 + DC 2 + 2DH .DC  (2). Nhân đẳng thức (1) với  DC  đẳng thức (2) với 
BD  rồi cộng lại theo vế ta có: 

(

A B 2 .CD + A C 2 .BD = BC A B 2 + BD .DC

)

Ví dụ 3. Khơng dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng 
sin 750 =

6+ 2.
4

Giải:

A

Vẽ tam giác  A BC  vuông tại  A  
với  BC = 2a  ( a  là một độ dài tùy ý)
, C? = 150 , suy ra  B? = 750 .
Gọi  I  là trung điểm của  BC , ta có 

B

H

I

C


IA = IB = IC = a . Vì  A? IB  là góc ngồi tại đỉnh  I  của tam giác cân  IA C  nên  A? IB = 2C? = 300 . 
a
Kẻ  A H ^ BC  thì  IH = A I . cos 300 = a 3 ;  A H = A I . cos 300 = ; 
2
2

CH = CI + IH = a +

(

)

a 3 a 2+ 3 .
=
2
2

Tam giác  A HC  vng tại  H , theo định lý Pythagore, ta có: 
2

2

2

A C = CH + A H =

(

a2 2 + 3
4

)

2

(

ra  A C = a 2 + 3 .  sin 750 = sin B =

=

(

)

3 +1
2 2

sin 750 =

2

=

3 +1
2 2

6+ 2.
4

2
=

(

)

(

)

4a 2 2 + 3
a2 4 + 4 3 + 3 + 1
= a 2 2 + 3 , suy 
a2
=
+
=
 
4
4
4

)=

3 +1

2 2. 2

AC
a 2+ 3
2+ 3
=
=
=
BC

2a
2

4 +2 3
2 2

(

 

6 + 2 .                                              Vậy 
4

)