Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LƯU PHƯƠNG THẢO

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC
VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY
TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LƯU PHƯƠNG THẢO

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC
VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY
TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
TS. Trần Nguyên An

THÁI NGUYÊN - NĂM 2019


Tóm tắt
Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R-môđun
hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d. Quỹ tích không Cohen-Macaulay
của M , ký hiệu nCM(M ), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp
không là Cohen-Macaulay. Khi R là thương của một vành Gorenstein địa
phương, M có môđun chính tắc KM . Ta nói M là Cohen-Macaulay chính
tắc (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc) nếu môđun chính tắc

KM của M là Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng).
Luận án nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính
tắc và một số quỹ tích không Cohen-Macaulay: quỹ tích không CohenMacaulay nCM(M ), quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(KM ), và quỹ
tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s của M, ký hiệu là nCM>s (M ).
Trong luận án, chúng tôi đặc trưng cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc. Chúng tôi làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích không
Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không CohenMacaulay của M. Chúng tôi cũng nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết,
chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển
phẳng, từ đó đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không CohenMacaulay theo chiều > s.
Luận án được chia thành 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến
thức cơ sở về môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng,
môđun Artin, môđun chính tắc và môđun khuyết.
Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm hệ tham số chính
tắc, chỉ ra mối quan hệ giữa hệ tham số chính tắc và hệ tham số chuẩn


2

tắc. Chúng tôi thiết lập đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng
chính tắc thông qua hệ tham số chính tắc và cải tiến các kết quả trước
đây về cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ
tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM . Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra
rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) thì hai quỹ tích
này hầu như là độc lập với nhau.
Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thay đổi của tập iđêan nguyên
tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin
qua chuyển phẳng ϕ : Rp → RP , trong đó P ∈ Spec(R) và p = P ∩ R.
Sử dụng kết quả này, chúng tôi đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích
không Cohen-Macaulay theo chiều > s.


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả
viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước
khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Lưu Phương Thảo


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi từ
những ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học. Với tất cả niềm đam
mê nghiên cứu khoa học và tâm huyết của người thầy, cô đã truyền thụ

cho tôi không chỉ về tri thức toán học mà còn về phương pháp nghiên cứu,
cách phát hiện và giải quyết vấn đề. Cô là tấm gương sáng cho lớp học trò
chúng tôi phấn đấu noi theo về những nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt
tới thành công.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ
hai của tôi - TS. Trần Nguyên An. Thầy đã luôn quan tâm, động viên,
khích lệ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy là
người đầu tiên giảng dạy cho tôi những kiến thức về Đại số giao hoán từ
những ngày tôi còn là học viên cao học. Cho tới nay, khi tôi học nghiên
cứu sinh, thầy vẫn luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá
trình học tập.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại
học, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc
biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy
cô giáo và đồng nghiệp trong Tổ Hình học - Đại số, Khoa Toán, Trường
Đại học Sư phạm đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trong thời


5

gian tôi làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều Nga, em Trần Đỗ Minh Châu
cùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số Đại học Thái Nguyên đã
luôn đồng hành cùng tôi, động viên, khích lệ, chia sẻ với tôi trong học tập
cũng như trong cuộc sống.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia
đình của mình, đặc biệt là Bố mẹ, Chồng và hai Con trai yêu quý, đã luôn

động viên, chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công. Đó là nguồn
động viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành
luận án này.

Tác giả

Lưu Phương Thảo


6

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.1. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . .

18

1.2. Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3. Môđun chính tắc và môđun khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc . . .

28

2.1. Hệ tham số chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính
tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1. Một số tính chất qua chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc . . . . . . .

51

Chương 4. Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng
và quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s . . . . . . . . .

58

4.1. Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua
chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.2. Chiều và bội qua chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3. Quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng
70
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79


7

Mở đầu
Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương với m là iđêan
cực đại duy nhất, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d.
Ta luôn có mối liên hệ giữa hai bất biến độ sâu và chiều của M được
cho bởi công thức depth M ≤ dim M . Nếu depth M = dim M thì M được
gọi là môđun Cohen-Macaulay. Khi R là R-môđun Cohen-Macaulay, thì

ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay và các mở
rộng của chúng đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán
học trên thế giới. Cấu trúc của những lớp môđun này đã được đặc trưng
qua hầu hết lý thuyết quen biết của Đại số giao hoán (số bội, đối đồng
điều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa,...). Các môđun này xuất
hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều,
Lý thuyết bất biến, Tổ hợp và Hình học đại số.
Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay
sau đây. Mở rộng thứ nhất là dựa theo hiệu số I(x; M ) giữa độ dài

(M/xM ) và số bội e(x; M ) với x là hệ tham số của M. Chú ý rằng
M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi)
hệ tham số x. Từ đó, một giả thuyết được đặt ra bởi D. A. Buchsbaum [11]
năm 1965 như sau: I(x; M ) := (M/xM ) − e(x; M ) là một hằng số không
phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Câu trả lời phủ định cho giả thuyết
được W. Vogel và J. Stu
¨ckrad [51] đưa ra năm 1973, và họ đã nghiên cứu
lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện của giả thuyết, được gọi là vành
và môđun Buchsbaum [42]. Năm 1978, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V.
Trung [48] đã giới thiệu một mở rộng của lớp môđun Buchsbaum, đó là lớp
môđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo
mọi hệ tham số x của M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy


8

rộng. Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay
suy rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán. Tiếp tục mở
rộng theo hướng này, ta được lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s,
với s ≥ −1 là số nguyên (xem [45]). Chú ý rằng M là Cohen-Macaulay

nếu và chỉ nếu nó là Cohen-Macaulay theo chiều > −1. Khi R là thương
của vành Cohen-Macaulay, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ
nếu M là Cohen-Macaulay theo chiều > 0.
Hướng mở rộng thứ hai của lớp môđun Cohen-Macaulay là dựa vào
cấu trúc của môđun chính tắc, trong trường hợp R là ảnh đồng cấu của
một vành Gorenstein địa phương (R , m ) chiều n . Với mỗi số nguyên
n −i
i
i
:= ExtR
là R-môđun hữu hạn sinh
i ≥ 0, đặt KM
(M, R ). Khi đó KM

và được gọi là môđun khuyết thứ i của M. Đặc biệt, với i = d ta ký
d
và gọi là môđun chính tắc của M. Khi KM là Cohenhiệu KM := KM

Macaulay, ta nói M là Cohen-Macaulay chính tắc. Chú ý rằng nếu M
là môđun Cohen-Macaulay thì KM cũng là môđun Cohen-Macaulay. Vì
thế, lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc là một mở rộng của lớp môđun
Cohen-Macaulay. Khái niệm vành và môđun Cohen-Macaulay chính tắc
xuất phát từ bài toán sau: Giả sử (R, m) là một miền nguyên, địa phương.
Ký hiệu Q(R) là trường các thương của R. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là tồn
tại hay không một vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) sao cho B là R-môđun
hữu hạn sinh và B là vành Cohen-Macaulay? Vành B như trên (nếu tồn
tại) được gọi là Macaulay hóa song hữu tỷ của R. Đây là bài toán quan
trọng trong Đại số giao hoán. Năm 2004, P. Schenzel [38] đã chứng minh
rằng một miền nguyên Noether địa phương R có Macaulay hóa song hữu
tỷ nếu và chỉ nếu R là vành Cohen-Macaulay chính tắc. Năm 2006, L. T.

Nhàn [33] đã đưa ra một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay chính tắc
thông qua tính triệt tiêu của độ dài thặng dư của môđun đối đồng điều địa
phương ứng với hệ tham số là f -dãy chặt giới thiệu trong [15]. Tiếp theo,


9

năm 2012, M. Brodmann và L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra rằng với điều kiện

d ≥ 4 và x là phần tử tham số f -chặt, thì M là Cohen-Macaulay chính tắc
khi và chỉ khi M/xM là Cohen-Macaulay chính tắc. Một cách tự nhiên,
N. T. H. Loan và L. T. Nhàn [26] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc, đó là lớp các môđun M sao cho KM là Cohen-Macaulay
suy rộng. Họ đã đặc trưng lớp môđun này thông qua sự tồn tại chặn đều
cho các độ dài thặng dư của các môđun đối đồng điều địa phương ứng với
các hệ tham số là f -dãy chặt. Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay suy
rộng, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
Luận án nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc
và một số quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương.
Mục đích thứ nhất của luận án là đặc trưng cấu trúc của lớp môđun
Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc khi R là thương của vành Gorenstein
địa phương. Mục đích thứ hai là làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích không
Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không CohenMacaulay của M. Mục đích thứ ba là nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn
kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin dưới tác
động của chuyển phẳng Rp → RP , trong đó P ∈ Spec(R), p = P ∩ R và

R tùy ý không nhất thiết là thương của vành Gorenstein, từ đó đưa ra
công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s.
Về phương pháp nghiên cứu, để đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc, chúng tôi khai thác những tính chất đặc thù của môđun

đối đồng điều địa phương Artin và sử dụng linh hoạt các hệ tham số là f -dãy
chặt. Về mối quan hệ giữa hai quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(KM )
và nCM(M ), chúng tôi cần đến Định lý cấu trúc của vành Buchsbaum
[19, Định lý 1.1], Định lý cấu trúc của môđun chính tắc qua chuyển phẳng
[4, Định lý 4.1] và công thức chiều của môđun khuyết dưới tác động của
mở rộng chuỗi lũy thừa hình thức. Để nghiên cứu môđun đối đồng điều


10

địa phương dưới tác động của chuyển phẳng Rp → RP , chúng tôi áp dụng
hữu hiệu tính chất chuyển dịch qua địa phương hóa và đầy đủ hóa của L.
T. Nhàn và P. H. Quý [35, Định lý 1.1] và công thức số bội liên kết cho
môđun đối đồng điều địa phương Artin được đưa ra bởi M. Brodmann và
R. Y. Sharp [9].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được
chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ cho
các chương sau, bao gồm các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và
môđun Cohen-Macaulay suy rộng; tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và
bội của môđun Artin; môđun chính tắc và môđun khuyết. Trong Chương
2, chúng tôi trình bày các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng
chính tắc dựa theo phần 2 của bài báo [1]. Chương 3 dành để đưa ra mối
quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM
và quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M dựa theo các kết quả
trong phần 1 của bài báo [1]. Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thay đổi
của tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều
địa phương với giá cực đại dưới tác động của mở rộng phẳng Rp → RP
với P ∈ Spec(R) và p = P ∩ R. Sử dụng kết quả này, chúng tôi đưa ra
công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s.
Các kết quả của Chương 4 được viết dựa theo các bài báo [31], [43].

Trong suốt luận án, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether
địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d.
Trong Chương 2, cho R là thương của một vành Gorenstein địa
phương. Ký hiệu KM là môđun chính tắc của M . Chú ý rằng KM là
R-môđun hữu hạn sinh và Hmd (M ) ∼
= HomR (KM , E(R/m)), trong đó

E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Theo N. T. H. Loan
và L. T. Nhàn [26], M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng
chính tắc nếu KM là Cohen-Macaulay suy rộng. Mục đích của Chương


11

2 là nghiên cứu cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
Trước hết ta chú ý rằng M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu
i
R (Hm (M ))

< ∞ với mọi i < d. Đặc biệt, chúng ta có các đặc trưng sau

đây của môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [44], [48]). Các phát biểu
sau là tương đương:
(a) M là Cohen-Macaulay suy rộng;
(b) Tồn tại hệ tham số (x1 , . . . , xd ) của M sao cho

sup I(xn1 1 , . . . , xnd d ; M ) < ∞;

n1 ,...,nd ∈N

(c) Tồn tại hệ tham số chuẩn tắc (x1 , . . . , xd ) của M , tức là

I(x1 , . . . , xd ; M ) = I(x21 , ..., x2d ; M ).
Hơn nữa, nếu (x1 , . . . , xd ) là hệ tham số chuẩn tắc của M , thì
d−1

I(x1 , . . . , xd ; M ) =
i=0

d−1
i

(Hmi (M )).

Một đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay chính tắc được
đưa ra trong bài báo của M. Brodmann và L. T. Nhàn [5] như sau: M là
Cohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi

Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) = 0
với một (với mọi) hệ tham số (x1 , . . . , xd ) đồng thời là f -dãy chặt của M.
Ở đây, độ dài thặng dư Rl(A) của một R-môđun Artin A được định nghĩa
bởi R. Y. Sharp và M. Hamieh [41]. Nếu s ∈ N sao cho mt A = ms A với
mọi t ≥ s, thì Rl(A) :=

s
R (A/m A)

(xem Tiết 2.1).

Mục đích chính của Chương 2 là thiết lập một phiên bản cho môđun

Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như các đặc trưng tham số
(a), (b), (c) ở trên của môđun Cohen-Macaulay suy rộng, trong đó vai trò


12

của hiệu số I(x1 , . . . , xd ; M ) được thay bằng vai trò của độ dài thặng dư

Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) , và vai trò của hệ tham số chuẩn tắc được
thay bằng vai trò của hệ tham số chính tắc định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.1.9. Một f -dãy chặt x = (x1 , . . . , xd ) được gọi là hệ tham
số chính tắc của M nếu

Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) = Rl Hm2 (M/(x21 , . . . , x2d−3 )M ) .
Nếu x đồng thời vừa là một f -dãy chặt hoán vị được vừa là một hệ tham
số chính tắc của M , thì x được gọi là hệ tham số chính tắc hoán vị được
của M .
Định lý sau đây là kết quả chính đầu tiên của luận án, cũng là kết
quả chính duy nhất của Chương 2, được trích đăng trong phần 2 của bài
báo [1].
Định lý 2.2.4. Các phát biểu sau là tương đương:
(a) M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
(b) Tồn tại một số nguyên cM sao cho

Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) ≤ cM
với mọi f -dãy chặt (x1 , . . . , xd ) của M .
(c) Tồn tại một f -dãy chặt (x1 , . . . , xd ) của M sao cho

sup
n1 ,...,nd−3 ∈N

n

d−3
Rl Hm2 (M/(xn1 1 , . . . , xd−3
)M ) < ∞.

(d) Tồn tại một hệ tham số chính tắc hoán vị được của M .
Hơn nữa, nếu (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số chính tắc hoán vị được
của M thì
d−3

Rl

Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M )

=
i=0

d−3
i

(Hmi+2 (KM )).


13

Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M là Rmôđun hữu hạn sinh chiều d. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, ký
hiệu bởi nCM(M ), được xác định như sau

nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay}.
Nhìn chung, nCM(M ) không là tập con đóng trong Spec(R) với tôpô
Zariski. Năm 1965, A. Grothendieck [46, IV2, 6.11.2] đã chỉ ra rằng nCM(M )
là đóng khi R là thương của vành chính quy. Trong [21], R. Hartshorne
đã chứng tỏ nCM(M ) là đóng nếu R là thương của vành Gorenstein địa
phương. Trong trường hợp này, ta có mô tả chi tiết tập nCM(M ) (xem [49],
[50]). Hơn nữa, nCM(M ) cũng là tập đóng khi R là thương của một vành
Cohen-Macaulay địa phương (xem [17, Hệ quả 4.2(iv)]). Khi nCM(M ) là
tập đóng, ta có thể định nghĩa chiều dim nCM(M ) của nó. Nếu M là
Cohen-Macaulay, thì nCM(M ) = ∅, trong trường hợp này chúng ta quy
ước dim nCM(M ) = −1. Chú ý rằng dim nCM(M ) ≤ d − 1. Nếu M là
không trộn lẫn (unmixed) thì dim nCM(M ) ≤ d − 2.
Mục tiêu của Chương 3 là nghiên cứu chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay của môđun M, chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay
của môđun chính tắc KM và mối liên hệ giữa chúng. Ý tưởng này xuất
phát từ một kết quả của Y. Aoyama năm 1980 [3] khi ông nghiên cứu về
độ sâu và tính Cohen-Macaulay của môđun chính tắc. Ông đã chứng minh
rằng, trong trường hợp R không là vành Cohen-Macaulay thì depth KR
và depth R không phụ thuộc nhau, cụ thể là nếu cho trước các số nguyên

0 ≤ r < n và 2 ≤ s ≤ n, thì luôn tồn tại vành địa phương đầy đủ R sao
cho dim R = n, depth R = r và depth KR = s.
Định lý sau đây là kết quả chính của Chương 3, được trích đăng
trong phần 1 của bài báo [1], trong đó chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa
chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của


14

quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM . Đặc biệt hơn,

chúng tôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ),
thì hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau theo nghĩa sau.
Định lý 3.2.1. Các phát biểu sau là đúng.
(a) dim nCM(KM ) ≤ min {d − 3, dim nCM(M )}.
(b) Cho các số nguyên n, s, r thỏa mãn −1 ≤ s ≤ n − 3 và s ≤ r ≤

n − 2. Khi đó luôn tồn tại một vành Noether địa phương, đầy đủ
(R, m) sao cho R là không trộn lẫn và dim R = n, dim nCM(R) = r,
dim nCM(KR ) = s.
Chương 4 được viết dựa theo hai bài báo [31] và [43]. Trước hết chúng
tôi nghiên cứu tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều
địa phương qua chuyển phẳng. Cho ϕ : (S, n) → (S , n ) là một đồng cấu
phẳng giữa các vành Noether địa phương. Với mỗi S -môđun hữu hạn sinh

L, ta có mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố liên kết của S -môđun
L ⊗S S và của S -môđun L như sau (xem [29, Định lý 23.2])
AssS (L ⊗S S ) =

AssS (S /sS );
s∈AssS L

−1

AssS L = {ϕ (S) | S ∈ AssS (L ⊗S S )}.
Ta đã biết tập các iđêan nguyên tố gắn kết định nghĩa bởi I. G.
Macdonald [27] cho môđun Artin đóng vai trò quan trọng tương tự như
tập các iđêan nguyên tố liên kết của các môđun hữu hạn sinh. Mặt khác,
với i ≥ 0 là một số nguyên và r = dim(S /nS ), các môđun đối đồng điều
địa phương Hni+r (L ⊗S S ) và Hni (L) là các môđun Artin tương ứng trên
các vành S và S . Do đó, một câu hỏi hoàn toàn tự nhiên đặt ra là các tập

iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin
trên có quan hệ với nhau như thế nào? Kết quả tiếp theo của luận án
trả lời một phần cho câu hỏi trên. Cho (R, m) là một vành Noether địa


15

phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử P ∈ Spec(R), p = P ∩ R
và rP = dim(RP /pRP ), trong đó R và M tương ứng là đầy đủ m-adic
của R và M . Khi đó đồng cấu ϕ : Rp → RP cảm sinh từ đồng cấu tự
nhiên R → R là đồng cấu phẳng địa phương và Mp ⊗R RP ∼
= MP . Do đó
p

chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa hai tập iđêan nguyên tố gắn kết
i+r

AttRP HPR P (MP ) và AttRp HpiRp (Mp ) . Trường hợp chiều thớ rP = 0,
P
i
ta có HPR (MP ) ∼
= HpiRp (Mp ) ⊗Rp RP , nên theo [35, Bổ đề 2.3] ta suy ra
P

ngay được rằng

AttRp HpiRp (Mp ) = ϕ−1 (QRP ) | QRP ∈ AttRP HPi R (MP )
P

.

Đặc biệt, nếu P = mR, thì p = m, Mp ∼
= M và ta có
= M , MP ∼

AttR Hmi (M ) = {Q ∩ R | Q ∈ AttR Hmi R (M )}
(xem [8, 8.2.4, 8.2.5]). Hơn nữa, nếu R là thương của một vành CohenMacaulay địa phương thì đẳng thức sau là đúng với mọi R-môđun hữu
hạn sinh M và mọi số nguyên i ≥ 0 (xem [35, Định lý 1.1])

AttR Hmi R (M ) =

AssR (R/pR).
i (M )
p∈AttR Hm

Kết quả chính thứ nhất của Chương 4 chỉ ra mối liên hệ giữa các tập iđêan
nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương HpiRp (Mp ) và
i+r

HPR P (MP ) trong trường hợp vành thớ có chiều rP ≥ 0 tùy ý.
P

Định lý 4.1.3. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa
phương. Giả sử P ∈ Spec(R) và p = P ∩ R. Đặt rP = dim RP /pRP .
Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0, ta có
i+r

(a) AttRp HpiRp (Mp ) = QRP ∩ Rp | QRP ∈ AttRP HPR P (MP ) .
P

(b) AttRP

i+r
HPR P (MP )
P

=

Ass RP /qRP .
i
qRp ∈AttRp HpR
(Mp )
p

(c) Với mọi Q ∈ Spec(R) thỏa mãn Q ⊆ P và q = Q ∩ R, ta có
i+r

QRP ∈ AttRP HPR P (MP ) nếu và chỉ nếu qRp ∈ AttRp HpiRp (Mp ) và
P

Q ∈ min Var(qR).


16
i+r

Từ Định lý 4.1.3, chúng tôi đưa ra công thức tính chiều của HPR P (MP )
P

thông qua chiều của

HpiRp (Mp ).

Định lý 4.2.1. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa
phương. Giả sử P ∈ Spec(R) với p = P ∩ R. Đặt rP = dim RP /pRP .
Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0 ta có
i+r

dimRP HPR P (MP ) = dimRp HpiRp (Mp ) + rP .
P

Sử dụng Định lý 4.1.3 và công thức bội liên kết xây dựng bởi M. Brodmann
i+r

và R. Y. Sharp [9], chúng tôi đưa ra công thức tính số bội của HPR P (MP )
P

thông qua số bội của

HpiRp (Mp )

(xem Định lý 4.2.3).

Mục đích tiếp theo của Chương 4 là vận dụng các kết quả trên để
nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s
và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển
phẳng ϕ : Rp → RP , trong đó quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều

> s của môđun M, ký hiệu nCM>s (M ), được định nghĩa là tập các iđêan
nguyên tố p của R sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay theo

chiều > s. Lưu ý rằng, nCM>−1 (M ) chính là nCM(M ), do đó nó là tập
con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski. Trường hợp s ≥ 0, quỹ tích

nCM>s (M ) nhìn chung là không đóng kể cả khi R là đầy đủ (xem [34,
Mệnh đề 4.3(iii)]). Tuy nhiên, nCM>s (M ) luôn đóng với phép đặc biệt hóa
nên chúng ta vẫn có thể định nghĩa chiều của chúng.
Áp dụng Định lý 4.2.1, ta có hai định lý sau đây, là các kết quả chính
cuối cùng của luận án.
Định lý 4.3.4. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa
phương. Giả sử P ∈ Spec(R) và p = P ∩ R. Đặt rP = dim(RP /pRP ),

s ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó
(a) Mp là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu MP là Cohen-Macaulay.
(b) Mp là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu MP là CohenMacaulay theo chiều > s + rP .


17

Định lý 4.3.7. Cho s ≥ −1 là một số nguyên. Giả sử R là thương của
một vành Cohen-Macaulay địa phương. Cho P ∈ Spec(R) và p = P ∩ R.
Đặt rP = dim(RP /pRP ). Khi đó
(a) nCM>s (Mp ) = ∅ nếu và chỉ nếu dim nCM>s (MP ) ≥ rP ;
(b) Nếu nCM>s (Mp ) = ∅, thì dim nCM>s (MP ) = dim nCM>s (Mp )+rP .


18

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về

môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Artin,
môđun chính tắc và môđun khuyết nhằm phục vụ cho việc chứng minh
các kết quả chính của luận án ở những chương sau. Trong suốt chương
này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là

R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Ký hiệu R, M tương
ứng là đầy đủ m-adic của R và M, depth M là độ sâu của M ứng với iđêan
cực đại m.

1.1. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy
rộng
Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là hai
lớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán. Tiết 1.1
dành để nhắc lại một số kết quả thường sử dụng trong luận án về hai lớp
môđun này.
Định nghĩa 1.1.1. [29, Trang 134] M được gọi là môđun Cohen-Macaulay
nếu M = 0 hoặc M = 0 và depth M = dim M . Nếu R là môđun CohenMacaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay.
Sau đây là một số tính chất quen thuộc của môđun Cohen-Macaulay.


19

Mệnh đề 1.1.2. [29, Định lý 17.3] Các mệnh đề sau đây là đúng.
(i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssR M.
(ii) Cho x1 , . . . , xt ∈ m là một M -dãy chính quy. Khi đó M là CohenMacaulay nếu và chỉ nếu M/(x1 , . . . , xt )M là Cohen-Macaulay.
(iii) M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là Rp -môđun
Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ SuppR M.
(iv) M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M là R-môđun CohenMacaulay.
Cho q là một iđêan của R sao cho
hàm Hilbert-Samuel Hq (n) :=

R (M/q

n+1

R (M/qM )

< ∞. Khi đó ta có

M ). Chú ý rằng tồn tại một đa

thức Pq (n) bậc d sao cho với n đủ lớn ta có Hq (n) = Pq (n). Hơn nữa, tồn
tại các số nguyên e0 (q; M ) > 0, e1 (q; M ), . . . , ed (q; M ) sao cho

Pq (n) = e0 (q; M )

n+d
n+d−1
+ e1 (q; M )
+ . . . + ed (q; M )
d
d−1

và deg Pq (n) = dim M

= inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m :

R (M/(x1 , . . . , xt )M )

< ∞}.

Như vậy, với d = dim M , luôn tồn tại hệ d phần tử x1 , . . . , xd ∈ m sao cho
R (M/(x1 , . . . , xd )M )

< ∞. Hệ (x1 , . . . , xd ) như thế được gọi là hệ tham

số của M. Hệ số e0 (q; M ) được gọi là số bội của M ứng với iđêan q. Cho

x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Đặt q = (x1 , . . . , xd )R và ký
hiệu e0 (q; M ) bởi e(x; M ). Khi đó ta luôn có 0 < e(x; M ) ≤ (M/xM ).
Mệnh đề 1.1.3. (Xem [29, Định lý 17.5, Định lý 17.11]) Các điều kiện
sau là tương đương:
(i) M là Cohen-Macaulay;
(ii) Mọi hệ tham số của M đều là M -dãy chính quy;
(iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = (M/xM );
(iv) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = (M/xM ).


20

Với mỗi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = (M/xM ) − e(x; M ).
Khi đó I(x; M ) ≥ 0 với mọi hệ tham số x. Đặc biệt, I(x; M ) = 0 nếu và
chỉ nếu M là Cohen-Macaulay. Theo N. T. Cường, P. Schenzel và N. V.
Trung [48], nếu sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo tất cả các
hệ tham số x của M, thì M được gọi là Cohen-Macaulay suy rộng.
Một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thể
xem trong [44], [48].
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử M là Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó
(i) M/xM là Cohen-Macaulay suy rộng, với x là phần tử tham số của M.
(ii) Nếu (x1 , . . . , xi ) là một phần hệ tham số của M , thì dim R/p = d − i

với mọi p ∈ AssR (M/(x1 , . . . , xi )M ) \ {m}.
(iii) Mp là Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêan
nguyên tố p ∈ SuppR (M ) \ {m}. Điều ngược lại cũng đúng nếu R là vành
thương của vành Cohen-Macaulay.
Sau đây là một đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay suy
rộng (xem [44], [48]).
Định lý 1.1.5. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng;
(ii) Tồn tại hệ tham số x = (x1 , . . . , xd ) của M sao cho

sup I(xn1 1 , . . . , xnd d ; M ) < ∞,
trong đó cận trên lấy theo mọi bộ d số nguyên dương n1 , . . . , nd ;
(iii) Tồn tại một hệ tham số chuẩn tắc của M , tức là tồn tại hệ tham số

x = (x1 , . . . , xd ) của M sao cho
I(x1 , . . . , xd ; M ) = I(x21 , . . . , x2d ; M ).
Nếu (x1 , . . . , xd ) là hệ tham số chuẩn tắc của M , thì
d−1

I(x1 , . . . , xd ; M ) =
i=0

d−1
i

(Hmi (M )).


21

Khái niệm môđun đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A.
Grothendieck vào những năm 1960, khởi nguồn từ công trình của J. P.
Serre [47] năm 1955 về các bó đại số. Cho I là một iđêan của R. Với mỗi
số nguyên i, hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá I , ký hiệu
là HIi (−), được định nghĩa là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I xoắn ΓI (−). Kết quả của tác động HIi (−) vào R-môđun M được ký hiệu
là HIi (M ) và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M
ứng với giá I . Tiếp theo là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay
và môđun Cohen-Macaulay suy rộng qua đối đồng điều địa phương (xem
[8, Hệ quả 6.2.9], [44, Bổ đề 1, Bổ đề 1.6]).
Mệnh đề 1.1.6. Các phát biểu sau là đúng.
(i) M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Hmi (M ) = 0 với mọi i < d.
(ii) M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu (Hmi (M )) < ∞ với
mọi i < d.

1.2. Môđun Artin
Trong suốt tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin. Với mỗi
iđêan I của R, ký hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được giới thiệu bởi I. G. Macdonald [27]
đóng vai trò quan trọng trong phạm trù các môđun Artin, tương tự như
lý thuyết phân tích nguyên sơ trong phạm trù các môđun Noether. Cho

N là môđun con của M. Ta nói N là nguyên sơ nếu M/N = 0 và phép
nhân bởi x trên M/N là đơn cấu hoặc lũy linh, với mọi x ∈ R. Nếu N là
nguyên sơ thì p = Rad(AnnR (M/N )) là iđêan nguyên tố và ta nói N là
p-nguyên sơ. Rất tự nhiên, I. G. Macdonald đã định nghĩa môđun thứ cấp
như sau.
Định nghĩa 1.2.1. Môđun con B của A được gọi là thứ cấp nếu B = 0
và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên B là toàn cấu hoặc lũy linh. Nếu

22

B là thứ cấp, thì p = Rad(AnnR B) là iđêan nguyên tố, và ta gọi B là
p-thứ cấp.
I. G. Macdonald [27] đã chứng minh rằng mỗi môđun Artin A đều
có biểu diễn thứ cấp tối thiểu A = A1 + . . . + At , trong đó Ai là pi -thứ cấp,
pi = pj với mọi i = j và mỗi Ai là không thừa. Khi đó tập hợp {p1 , . . . , pt }
không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A, và được ký hiệu
là AttR A. Ta gọi AttR A là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố gắn
kết.
Mệnh đề 1.2.2. Các phát biểu sau là đúng.
(i) AttR A = ∅ nếu và chỉ nếu A = 0.
(ii) min AttR A = min Var(AnnR A).
(iii) AttR A = {m} nếu và chỉ nếu A = 0 và

R (A)

< ∞.

(iv) Nếu 0 → A → A → A → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì

AttR A ⊆ AttR A ⊆ AttR A ∪ AttR A .
Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn
sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin. Tuy nhiên,
chúng ta có các kết quả quan trọng sau đây về tính Artin của môđun đối
đồng điều địa phương với giá cực đại và môđun đối đồng điều địa phương
cấp cao nhất (xem [28, Mệnh đề 2.1], [40, Định lý 3.3]).
Định lý 1.2.3. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Hmi (M ) là Artin với mọi số tự nhiên i.

(ii) HId (M ) là Artin với mọi iđêan I của R.
Đặc biệt, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất với giá cực đại được cho bởi công thức sau.
Định lý 1.2.4. [28, Định lý 2.2] Cho M = 0. Khi đó Hmd (M ) = 0 và

AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}.


23

Nhắc lại rằng một R-môđun L được gọi là môđun phẳng nếu hàm
tử tenxơ L ⊗R − trên phạm trù các R-môđun là khớp. Đồng cấu vành

f : R → S được gọi là đồng cấu phẳng nếu S là R-môđun phẳng. Sau đây
là một kết quả về tính Artin và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
Artin khi chuyển qua đồng cấu phẳng.
Mệnh đề 1.2.5. [35, Bổ đề 2.3]. Cho A là R-môđun Artin và đồng cấu

f : (R, m) → (S, n) là phẳng địa phương giữa các vành Noether địa phương.
Giả sử dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là S -môđun Artin và

AttR A = {f −1 (S) | S ∈ AttS (A ⊗R S)}.
Cho r ∈ R và u ∈ A. Gọi (rn )n∈N là dãy Cauchy trong R đại diện
cho lớp r. Vì Ru có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên k sao cho
mk u = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 .
Suy ra rn u = rn0 u với mọi n ≥ n0 . Ta định nghĩa tích vô hướng của r và

u là rn0 u. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R-môđun. Với cấu trúc này,
một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con
của A xét như R-môđun. Do đó A là R-môđun Artin. Nếu xem R-môđun

A này như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → R thì ta được
cấu trúc R-môđun ban đầu của A. Ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan
nguyên tố gắn kết của A trên R và trên R như sau.
Mệnh đề 1.2.6. (Xem [8, 8.2.4 và 8.2.5])

AttR (A) = {P ∩ R | P ∈ AttR (A)}.
Đặt dim A := dim(R/ AnnR A). Nếu A = 0, thì ta quy ước rằng

dim A = −∞. Quy ước này sẽ được dùng trong phát biểu Định lý 4.2.1.
Theo Mệnh đề 1.2.2(ii), ta thấy chiều của môđun Artin A có thể được tính
theo chiều của các iđêan nguyên tố gắn kết như sau

dimR A = max{dim(R/p) | p ∈ AttR A}.