Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

KHOA THỊ LOAN

VẬN DỤNG PHÉP SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY
HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 THEO
HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học
(Bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. VŨ QUỐC CHUNG

HÀ NỘI – 2009
1


Lời cảm ơn
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc tôi xin chân thành cảm ơn
PGS.TS Vũ Quốc Chung, người thầy đã hướng dẫn tận tình,
chu đáo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô, đặc biệt là
các thầy cô trực tiếp giảng dạy chuyên ngành Lý luận và
Phương pháp dạy học cũng như ban lãnh đạo khoa Sư phạm,
Đại học Quốc gia Hà Nội;
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn những ý kiến quý báu

đóng góp cho luận văn của thầy Nguyễn Duy Tráng Phó
hiệu trưởng trường Đại học Hải Phòng và các thầy cô trường
THPT Marie- Curie thành phố Hải Phòng đã giúp đỡ tôi để
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2009
Người thực hiện

2


MỞ ĐẦU

Tên đề tài: Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học
không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
1. Lý do chọn đề tài
+) Theo lý luận dạy học thì bản chất của việc dạy học suy cho cùng là
thông qua hệ thống kiến thức giáo viên dạy cho học sinh cách suy nghĩ, cách tư
duy, cách tiếp thu tri thức mới trên cơ sở những cái đã biết. Trong dạy học phải
rèn kĩ năng tư duy vì tư duy là điều kiện để người học lĩnh hội tri thức. Tư duy
tốt sẽ giúp người học luôn điều chỉnh để có trạng thái tâm lý tốt và có thái độ
tích cực đối với học tập, đối với cuộc sống. Tư duy phải luôn phát triển để tồn
tại. Tư duy không phát triển làm hạn chế sự tiến bộ. Con người đủ thông minh
để tồn tại và con người cũng đủ thông minh để huỷ diệt, vì vậy cần những bộ
óc tỉnh táo để học tập và lao động. Trong các kỹ năng tư duy thì kỹ năng tư
duy sáng tạo là một trong những kỹ năng cần phát triển nhất. Bởi vì tư duy
sáng tạo là căn cứ vào những gì đã biết để tìm ra những cái mới , nó được biểu
hiện ở bốn mặt: sự trôi chảy, sự linh hoạt, tính độc đáo và tính chi tiết. Kho
tàng tri thức của nhân loại là vô hạn, kiến thức được truyền thụ là có hạn, vì
vậy trong dạy học phải luôn chú ý phát triển tư duy đặc biệt là tư duy sáng tạo
cho học sinh để họ tự chiếm lĩnh kiến thức.

+ Do đặc trưng bộ môn nên Toán học là một môn học đòi hỏi sự suy
luận lôgic, sự trôi chảy, sự linh hoạt, sự độc đáo và tính chi tiết hơn tất cả các
môn học khác. Vì vậy khi dạy Toán người giáo viên phải luôn có ý thức rèn
luyện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh từ khâu thiết kế bài giảng,
chọn lựa hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập để đạt được mục tiêu đề ra.
+ Hình học không gian là một phần kiến thức đòi hỏi rất nhiều sự liên
tưởng giữa những điều đã biết trong hình học phẳng để tiếp cận những cái
tương tự trong hình không gian, hơn thế nữa sự liên tưởng ngay giữa các kiến
thức trong hình học không gian cũng phong phú không kém. Nếu khai thác tốt
3


khía cạnh này thì việc dạy học nhất là dạy bài tập hình học không gian lớp 11
trở nên rất lý thú vì nó vừa học mới - ôn cũ, vừa khám phá ra cái mới trên cơ
sở cái đã có bằng cách tương tự hoá cái khái niệm hình học, ví dụ: nếu ta coi
tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian thì một loạt
những định lý, những bài tập trong không gian sẽ có kết quả như trong mặt
phẳng, ngoài ra cách suy luận tương tự cũng rất đa dạng và sáng tạo, từ một bài
toán ở hình học phẳng nếu đặt các phép tương tự khác nhau giữa các khái niệm
ta sẽ có những kết quả khác nhau hay nói cách khác: Từ một bài toán hình học
phẳng qua suy luận tương tự có thể trở thành nhiều bài toán không gian khác
nhau . Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy học "Tích cực hoá hoạt động
của người học" hiện nay.
+ Mặc dù người thầy dạy Toán nào cũng hiểu là nếu vận dụng tốt mối
liên hệ trong hình học phẳng và hình học không gian thì chất lượng dạy và học
sẽ nâng cao rất nhiều. Tuy nhiên, để tiến hành khai thác hệ thống bài tập theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đòi hỏi phải có một sự hiểu biết
sâu sắc về kiến thức, về lý luận dạy học và về lôgic dạy học. Thực tế cho thấy
thời lượng dành cho chương trình thì có hạn mà dung lượng kiến thức thì
nhiều, học sinh lại quên rất nhiều kiến thức trong hình học phẳng, vì thế một số

giáo viên đã bỏ qua dùng phép suy luận tương tự. Tuy nhiên, sau nhiều năm
đứng lớp dạy về vấn đề này, tôi thấy rằng nếu sử dụng phép suy luận tương tự
một cách thích hợp, kết hợp với các suy luận khác để dạy thì hiệu quả việc dạy
và học được nâng lên rất nhiều. Trong cùng một thời gian, học sinh vừa được
ôn lại kiến thức cũ, đồng thời được khám phá ra những điều mới mẻ. Kiến thức
được chính bản thân người học tự phát hiện sẽ được nhớ lâu, và quan trọng
hơn là học sinh tìm thấy niềm vui, sự say mê trong học tập. Vì vậy tôi lựa
chọn đề tài này để nghiên cứu phương pháp giảng dạy phần hình học không
gian lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự theo hướng phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh bằng cách tìm lời giải hoặc thiết kế các bài tập hình học
không gian từ các kết quả của các bài tập tương tự trong hình học phẳng, với
4


mong muốn góp phần nhỏ bé của mình vào việc đổi mới phương pháp dạy học
trong giai đoạn hiện nay.
2. Lịch sử nghiên cứu
+ Trên thế giới
Đã có rất nhiều nhà Toán học, nhà giáo dạy Toán quan tâm, tìm hiểu về
vấn đề này như nhà Toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã trình bày trong
“Giải một bài toán như thế nào?”, “Toán học và những suy luận có lý”, “Sáng
tạo Toán học”, …. . Tuy nhiên việc mà các tác giả quan tâm phần lớn nằm ở
vấn đề lý thuyết, nghiên cứu những tương tự to lớn còn phần bài tập áp dụng
cho việc dạy học thì còn lẻ tẻ chưa được nghiên cứu hệ thống và toàn diện.
+ Ở Việt Nam:
Các tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Hứa Thuần Phỏng,
Văn Như Cương, Nguyễn Bá Kim …. cũng đã nhiều lần nói về suy luận tương
tự trong Toán học, trong dạy học Toán. Thế nhưng những đề cập đó chỉ mang
tính định hướng trong nghiên cứu các phương pháp học Toán và dạy Toán.
Trong thực tế giảng dạy Toán ở các trường phổ thông, rất nhiều thầy cô có ý

thức sử dụng phép suy luận tương tự trong việc dạy hình học không gian, ví
dụ: từ một bài toán trong hình học phẳng sáng tạo thành một hay nhiều bài
toán tương tự trong hình học không gian. Mặc dù vậy vẫn chưa có một nghiên
cứu nào cụ thể về vấn đề này .
+ Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà Toán học, tâm lý học, giáo dục học…
đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng dạy học hình học không gian ở một số trường
THPT trong giai đoạn hiện nay, giai đoạn mà việc đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng tích cực hoá hoạt động của người học là vô cùng cấp thiết thì
luận văn này xin được trình bày một ý tưởng rất hẹp và cụ thể là: nghiên cứu
cách vận dụng phép suy luận tương tự vào việc dạy phần bài tập hình học
không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

5


3. Mục tiêu nghiên cứu
Tìm ra biện pháp vận dụng phép suy luận tương tự trong việc dạy học
bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh
4. Phạm vi nghiên cứu:
Quá trình dạy và học hình học không gian lớp 11 (Phần bài tập)
5. Mẫu khảo sát:
Khối 11 (11B1  11B10) - Trường PTTH Marie-Curie, thành phố Hải
Phòng
6. Vấn đề nghiên cứu:
Phải vận dụng phép suy luận tương tự như thế nào trong việc dạy
học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh?
7. Giả thuyết khoa học:
Bằng cách hướng dẫn học sinh khai thác và thiết lập những dấu hiệu

tương tự trong giải bài tập hình học không gian lớp 11 sẽ góp phần phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh.
8. Phương pháp chứng minh luận điểm:
+ Nghiên cứu tài liệu về phép suy luận tương tự, về tư duy sáng tạo;
+ Nghiên cứu hệ thống bài tập hình học không gian lớp 11; hệ thống bài
tập hình học phẳng. Phát hiện những bài tập có dấu hiệu tương tự với nhau. Từ
đó nêu ra biện pháp hướng dẫn học sinh dự đoán phương pháp giải bài toán
hoặc sáng tạo bài toán mới tương tự bài toán đã cho.
+ Khảo sát việc dạy và học bài tập hình học không gian lớp 11 thông
qua việc dự giờ và kết quả kiểm tra đánh giá học sinh.
+ Sử dụng phiếu điều tra để biết được thực trạng của việc dạy và học bài
tập hình học không gian lớp 11 ở trường THPT hiện nay.
+ Thực nghiệm về việc vận dụng phép suy luận tương tự trên các lớp
mình dạy ở một số giờ, so sánh đối chiếu với kết quả giờ dạy khi không vận
dụng phép suy luận tương tự.
6


+ Phương pháp phỏng vấn: Đưa ra các câu hỏi để phỏng vấn một số giáo
viên và học sinh về quan điểm và cách thức sử dụng phép suy luận tương tự
trong việc dạy và học hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh.
9. Dự kiến luận cứ:
+ Luận cứ lý thuyết:
+ Khái niệm suy luận
+ Các thành phần của suy luận
+ Khái niệm suy luận tương tự, bản chất và các loại tương tự.
+ Giá trị nhận thức của tương tự.
+ Khái niệm tư duy sáng tạo.
+ Các mặt biểu hiện tư duy sáng tạo: Sự trôi chảy, tính linh hoạt,

sự độc đáo và tính chi tiết.
+ Những thành tựu về lý luận dạy học: bản chất của quá trình dạy
học là dạy cách tư duy thông qua các phép suy luận. Dạy học là phải đi đôi với
rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
+ Những thành tựu về tâm lý học dạy học
+ Định hướng của Bộ Giáo dục và Đào tạo về đổi mới phương
pháp dạy và học trong giai đoạn hiện nay.
+ Luận cứ thực tế:
+ Đối chiếu kết quả dạy thực nghiệm giữa các lớp hoặc giữa các
tiết trong một lớp bằng các cách dạy khác nhau: Vận dụng phép suy luận tương
tự và vận dụng các phép suy luận khác.
+ Kết quả khảo sát về thực tế dạy và học bài tập hình học không
gian lớp 11.
+ Kết quả điều tra, phỏng vấn một số giáo viên về quan điểm và
phương pháp lựa chọn khi dạy phần kiến thức này. Kết quả điều tra, phỏng vấn
một số học sinh (Gồm đủ các đối tượng: Giỏi, khá, trung bình, yếu) về cách
dạy của thầy cô và cách học của bản thân trong phần bài tập hình học không
gian lớp 11.
7


10. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận
văn được trình bày trong 3 chương
Chương 1: Một số vấn đề về tư duy sáng tạo và suy luận tương tự.
Chương 2: Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy bài tập hình học
không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

8

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TƯ DUY SÁNG TẠO
VÀ SUY LUẬN TƯƠNG TỰ
1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TƯ DUY
1.1.1. Khái niệm tư duy
Tư duy là một quá trình tâm lý, phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa
biết
1.1.2. Các loại tư duy
Tuỳ theo góc độ nghiên cứu về tư duy mà người ta có ta có nhiều cách khác
nhau để phân loại tư duy. Theo mức độ sáng tạo của tư duy, người ta có thể
chia tư duy thành hai loại: Tư duy Angôrit và tư duy Ơritxtic.
1.1.2.1. Tư duy Angôrit
Là loại tư duy diễn ra theo một chương trình, một cấu trúc logic có sẵn theo
một khuôn mẫu nhất định.
1.1.2.2. Tư duy Ơritxtic
Là loại tư duy sáng tạo, có tính chất cơ động, linh hoạt không theo một
khuôn mẫu cứng nhắc nào cả và có liên quan đến khả năng trực giác, khả năng
sáng tạo của con người
1.1.3. Tư duy sáng tạo
1.1.3.1. Định nghĩa:
+ Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện
thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết
nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả
+ Tư duy sáng tạo là căn cứ vào những gì đã biết để tìm ra những gì
chưa biết
+ Sáng tạo cũng là tổng hợp các thái độ và khả năng giúp con người tạo
ra các ý nghĩ, ý tưởng hay hình ảnh sáng tạo

9


1.1.3.2. Những biểu hiện của tư duy sáng tạo
+ Tư duy sáng tạo thể hiện ở 4 mặt:
- Sự trôi chảy
- Linh hoạt
- Độc đáo
- Chi tiết
a. Sự trôi chảy
+ Trôi chảy trong tư duy là các thông tin được lưu giữ trong trí nhớ được
sử dụng một cách dễ dàng, thoải mái khi cần thiết
+ Thí dụ:
- Một học sinh có thể trình bày hết sức logic một bài toán chứng minh
hình mà không cần nhìn vào hình vì trong trí nhớ, trong trí tưởng
tượng của học sinh đó mọi quan hệ hình học trong bài toán đó đều rõ
ràng, mạch lạc.
b.Sự linh hoạt
+ Sự linh hoạt là khả năng khắc phục những trở ngại trong tư duy, thay
đổi phương pháp cho phù hợp với việc giải quyết vấn đề.
+ Ví dụ: Khi gặp bài toán hình khó, một học sinh nghĩ ra cách kẻ thêm
đường phụ, hoặc thử thay đổi giả thiết bài toán, hoặc nghĩ ra cách chứng
minh bằng phản chứng...tức là học sinh đó đã linh hoạt trong tư duy
c. Tính độc đáo
+ Tính độc đáo được thể hiện ở sự phản ánh ứng không bình thường
hoặc rất hiếm
ở đây ta có thể lấy ví dụ về việc nhà Toán học Gauxo khi còn bé
đã giải quyết bài toán: 1+2+3+…+100 hết sức bất ngờ và độc đáo để sau
đó thành bài toán nổi tiếng mang tên ông.

d. Tính chi tiết
+ Tính chi tiết được thể hiện ở số lượng những bổ sung cho yếu tố kích
thích đơn giản để biến chúng thành phức tạp
10


+ Ví dụ:
- Từ một bài toán quen thuộc, thêm, bớt giả thiết, hoặc đặc biệt hoá,
hoặc khái quát hoá, tương tự hoá để chúng trở thành nhiều bài toán
khác hay, lạ hơn.
1.1.4. Dạy học toán với việc phát triển tư duy
1.1.4.1. Mục tiêu chung của việc dạy học môn Toán
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt nam, từ đặc điểm, vai trò, vị
trí và ý nghĩa của môn Toán, việc dạy học môn Toán có các mục tiêu chung
sau đây (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26):
 Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học
phổ thông cơ bản, thiết thực.
 Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả
năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống;
 Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động
khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường
xuyên;
 Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên
nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân
ban: ban Khoa học Tự nhiên và ban Khoa học Xã hội và Nhân văn.
1.1.4.2. Dạy học Toán với mục tiêu phát triển năng lực trí tuệ
Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống
(Chương trình 2002, tr.2 và tr.26).
Môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho

học sinh. Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có
kế hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy, theo Nguyễn Bá Kim , người
thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:
Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. Do đặc
điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai
11


thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời
ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự
trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành
nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện
ngôn ngữ chính xác.
Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn
Toán có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:
 Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng
những liên kết logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những
lượng từ tồn tại và khái quát.
 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định
nghĩa.
 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng
minh và độc lập tiến hành chứng minh.
Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng
phát triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy
logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn
khai thác khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:
 Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy
tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ
về quen,…
 Những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn

cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ
không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều.
 Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những
đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng
dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng,
từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể

12


hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng
chưa biết hoặc không có trong đời sống.
Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi
hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá ….
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, học sinh
còn thường phải thực hiện các phép tương tự hoá, so sánh,… do đó có điều
kiện rèn luyện cho họ những hoạt động trí tuệ này.
Việc thực hiện một số trong các hoạt động trí tuệ trên có thể được minh
hoạ qua ví dụ tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác
của đối số x.
Thoạt tiên, hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x+x). Sự
phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x với
công thức sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa. Việc khớp trường hợp riêng
sin(2x+x) vào biểu thức tổng quát sin(a+b) là một sự khái quát hoá; việc
này được thực hiện nhờ trừu tượng hoá,nêu bật các đặc điểm bản chất
“hàm số sin”, “đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng khỏi những
đặc điểm không bản chất như “một số hạng của tổng gấp đôi số hạng
kia”. Tiếp theo khái quát hoá là việc đặc biệt hoá công thức sin(a+b) =
sinacosb + sinbcosa cho trường hợp a = 2x, b = x để đi đến công thức

sin(2x+x) = sin2xcosx + sinxcos2x. Hoạt động phân tích lại diễn ra khi
tách riêng sin2x và cos2x trong công thức trên để biến đổi thành sin2x =
2sinxcosx; cos2x = cox2x – sin2x. Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành
3sinxcos2x – sin3x. Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phat sin3x
với kết quả biến đổi 3sinxcos2x – sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:
sin3x = 3sinxcos2x – sin3x.
Quá trình tư duy vừa trình bày có thể được minh hoạ bằng sơ đồ 1.1.
Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới có ở dạng tiềm
năng. Nếu người thầy giáo có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung
13


cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện
những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:
 Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với một số công thức
biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích, khái quát
hoá)
 Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu
thức sin(2x+x) (khuyến khích đặc biệt hoá

sin3x
=

=

3sinxcos2x – sin3x

Tổng hợp
2sinxcos2x + sinx(sos2x – sin2x)

Phân tích

sos2x – sin2x

2sinxcos

sin(2x + x)

sin2xcosx + sinxcos2x
Khái quát hoá
Phân tích
sin2xcosx + sinxcos2x

Đặc biệt hoá
sin(a+ b)

sinacosb + sinbcosa
Sơ đồ 1.1

14


Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Việc rèn luyện cho
học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công
tác và trong cuộc sống. Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng.


Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng

chuyển hướng quá trình tư duy. Trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo

ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đó biết làm điểm xuất phát cho
một quá trình mới, cũng điểm xuất phát của quá trình đó biết lại trở thành đích của
quá trình mới. Nhờ đó học sinh không chỉ biết vận dụng hằng đẳng thức (a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 để biến đổi (x + 2y)3 ra dạng x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 mà cũng
có thể chuyển 1 + 3x + 3x2 + x3 thành (1 + x)3. Việc chuyển hướng quá trình tư duy
không chỉ có nghĩa là đảo ngược quá trình này mà cũng có thể chuyển từ hướng
này sang một hướng khác không nhất thiết phải ngược với hướng ban đầu. Được
rèn luyện tính linh hoạt dưới dạng này, học sinh có thể đặc biệt hoá một mệnh đề,
chẳng hạn: “Tích của một số chẵn những thừa số âm luôn là một số dương” theo
nhiều cách để được mệnh đề như:


Tích của hai số âm luôn là một số dương

(1)



Luỹ thừa bậc chẵn của một số âm luôn là một số dương (2)



Bình phương của một số âm luôn là một số dương



…

(3)

Việc chuyển hướng qúa trình tư duy để được các mệnh đề (1), (2) và (3)
xuất phát từ mệnh đề đó cho có thể được thấy rõ ở hình sơ đồ 1.2
Tích của một số chẵn những thừa số
âm luôn là một số dương
Lấy số thừa số bằng 2

Lấy các thừa số bằng nhau

Tích của hai số âm luôn là
một số dương

Luỹ thừa bậc chẵn của một
số âm luôn là một số dương
15


Lấy hai thừa số bằng nhau

Lấy số mũ bằng 2

Bình phương của một số âm
luôn là một số dương
Sơ đồ 1.2
- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát
hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình
kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính
phê phán của tư duy. Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc
những ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần
hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?”,… đúng
chỗ, đúng lúc.

- Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác
nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện ở khả năng tạo ra
cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn
mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh, bắt
nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào. Tính sáng
tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ, có cân nhắc
cẩn thận.
Theo G. Pôlya trong Toán học: Có thể gọi là tư duy có hiệu quả nếu tư duy
đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư
duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán

16


vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng càng
muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao.
Đôi khi, ngay cả trong trường hợp không giải được bài toán đang khảo
sát, việc làm đó vẫn có thể coi là sáng tạo, vì những cố gắng của người giải có
thể vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc
làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc anh ta
để lại một bài toán tuy không giải được nhưng cũng tốt vì đó gợi ra cho người
khác những suy nghĩ có hiệu quả. Ví dụ, người Hy Lạp lúc để lại cho ta bài
toán về chia ba một góc là một việc rất sáng tạo, dù họ chưa giải được, vì trải
qua hàng mấy trăm năm nay bài đó đó làm cho không biết bao nhiêu người tổn
hao tâm trí. Chúng ta nhận thấy bài toán này vạch ra một sự tương phản: mọi
đoạn thẳng, mọi góc đều có thể chia thành hai phần bằng nhau, trong lúc đó chỉ
có thể chia thành ba phần một cách dễ dàng một số góc đó được chọn đặc biệt
(chẳng hạn góc 900) (1). Tiếp tục con đường này, ta sẽ gặp những bài chia góc
thành 5, 7 và 17 phần bằng nhau, có quan hệ với các bài toán giải các phương

trình bằng căn thức và cuối cùng là với các phát hiện của Gauxơ, Aben và
Galoa đó dẫn đến việc hình thành các định lý giúp ta giải được vô số bài toán
mà những người Hy Lạp, những người đầu tiên nghĩ ra bài toán chia ba một
góc, cũng chưa hề nghĩ tới.
Tóm lại thông qua dạy môn Toán, người thầy phải góp phần phát
triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.2. Tương tự
1.2.1. Bản chất và các loại tương tự
Trong logic học, tương tự được coi như phương pháp lĩnh hội tri thức mới,
là suy luận trong đó kết luận sự giống nhau của các dấu hiệu được rút ra trên
cơ sở giống nhau của các dấu hiệu khác của các đối tượng.
1.2.1.1. Khái niệm: Tương tự là suy luận, trong đó kết luận về dấu hiệu thuộc
về đối tượng xác định nào đó được rút ra trên cơ sở giống nhau của đối tượng
ấy với đối tượng khác ở hàng loạt dấu hiệu.
17


*Thí dụ: Đường thẳng trong hình học phẳng tương tự với mặt phẳng trong
hình học không gian, vì trong hình học phẳng, đường thẳng là đường đơn giản
nhất, trong hình học không gian, mặt phẳng là mặt đơn giản nhất.
 Đường tròn tương tự với mặt cầu vì đều là quỹ tích của những điểm
cách đều một điểm cho trước.
Những trường hợp đặc biệt của cùng một khái niệm, cùng một vấn đề cũng
thường được coi là tương tự với nhau. Chẳng hạn hình tam giác có thể coi là tương tự với hình tứ giác, ngũ giác,… vì đều là những hình tạo thành bởi các
đường gấp khúc kín.
Tương tự được biểu diễn bằng sơ đồ:
A và B có các dấu hiệu a, b, c, d, e, f
B có các dấu hiệu m, n
Có thể, A có các dấu hiệu m, n
Hoặc: A có các dấu hiệu a, b, c, d, e, f

B có các dấu hiệu a, b, c, d
Có thể, B có các dấu hiệu e, f
Cũng như mọi hình thức suy luận logic, tương tự không phải là kết quả của
việc xây dựng tùy tiện. Nó được hình thành trong quá trình hoạt động thực
tiễn của con người. Trong quá trình ấy con người nhận thức rằng, mỗi sự vật
và hiện tượng là một hệ thống hoàn chỉnh các dấu hiệu liên hệ qua lại với
nhau. Các dấu hiệu đó không tồn tại biệt lập mà nằm trong mối liên hệ tất yếu
bên trong. Nếu giải thích được các mối liên hệ cơ bản, sâu sắc giữa các dấu
hiệu riêng biệt tác động qua lại với nhau thì có thể chuyển từ sự hiểu biết các
dấu hiệu của một đối tượng sang sự hiểu biết các dấu hiệu của đối tượng khác
trong quan hệ giống nhau nào đó và đối tượng đầu tiên. Thí dụ, con người
nhận thấy rằng, nếu một đối tượng có các dấu hiệu a, b, c, d, e thì đối tượng
khác có các dấu hiệu a, b, c, d cũng có thể có dấu hiệu e.

18


1.2.1.2. Các loại tương tự: Tùy theo dấu hiệu được rút ra trong kết luận thuộc
về thuộc tính hay quan hệ, người ta chia tương tự thành tương tự theo thuộc
tính và tương tự theo quan hệ.
a. Tương tự theo thuộc tính
Nếu dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính thì suy luận gọi
là tương tự theo thuộc tính.
Ví dụ: Hình thang trong hình học phẳng tương tự với hình chóp cụt trong
hình học không gian, vì trong hình học phẳng, hình thang có thể tạo thành bởi
việc cắt tam giác bằng một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác,
còn trong hình học không gian, hình chóp được tạo thành bởi việc cắt hình
chóp bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy.
b. Tương tự theo quan hệ.
Nếu dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ thì suy luận gọi là

tương tự theo quan hệ.

Ví dụ: Quan hệ giữa số 1 và số 2 giống như quan hệ giữa số 5 và số 10 vì
1 5

2 10

Tương tự theo thuộc tính rất phổ biến. Nó thường được sử dụng trong cuộc
sống, cũng như những tư duy khoa học. Mặc dù nó thường dựa vào sự giống
nhau thuần thuý bên ngoài, nhưng nếu biết kết hợp với các phương pháp nhận
thức khác, kể cả nghiên cứu bằng thí nghiệm, thì có thể đưa lại những kết quả
đúng đắn. Thí dụ, khi tìm ra một loại thuốc chữa bệnh mới cho người bao giờ
người ta cũng đem thí nghiệm ở động vật. Những kết quả khái quát được trong
các thí nghiệm đó giúp cho họ biết thuốc đó có dùng được cho người hay
không, công hiệu của nó ra sao? Từ đó, thuốc mới được đưa ra sử dụng để
tránh nguy hiểm cho người.

19


Song, kết luận của tương tự theo quan hệ có mức độ xác suất cao hơn. Đó
là do, tương tự theo quan hệ dựa vào sự phân tích sâu sắc, có hệ thống sự giống
nhau để vạch ra các mối liên hệ nhân quả giữa các phần tử riêng biệt của một
hệ. Điều đó cho phép chuyển các mối liên hệ qua lại phát hiện được trong một
hệ thống sang một hệ thống khác có cơ cấu tương tự. Thí dụ, chuyển quan hệ
tồn tại giữa một số cặp số sang cặp số khác nhờ tỷ lệ thức được xây dựng đúng
đắn, như 2:1 = 10: 5. Để có quan hệ của phần tử thứ nhất (số 2) của một hệ với
phần tử thứ nhất (số 10) của hệ thứ hai giống như quan hệ của phần tử thứ hai
(số 1) của hệ thứ nhất với phần tử thứ hai (số 5) của hệ thứ hai.
Tuy kết luận của tương tự là xác suất, nhưng không được tuyệt đối hóa đặc

trưng xác suất ấy. Dựa vào tương tự người ta đó rút ra được nhiều luận điểm
khoa học rất gần chân lý. Thí dụ, các sự vật trong thực tế (cái cầu) được nghiên
cứu bằng mô hình. Mô hình sự vật tương tự với sự vật. Nó cho phép nghiên
cứu chất lượng và số lượng của đối tượng diễn ra trên “mẫu”, cho phép làm
tăng hoặc giảm độ lớn của sự vật, làm cho quá trình nghiên cứu tiện lợi hơn.

1.2.2. Giá trị nhận thức của tương tự
Tương tự có giá trị to lớn trong hoạt động thực tiễn, cũng như trong
nhận thức khoa học của con người. Nó là một trong những phương pháp
nghiên cứu và chiếm ưu thế ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức. Với hình
thức sử dụng đơn giản, phổ thông là hình thức sơ đẳng của nhận thức khoa
học, nó tạo ra mầm mống sơ khai trong suốt quá trình nghiên cứu khoa học.
Ngay từ thời cổ xưa, tuy mới có một chút tri thức, con người đó biết dựa vào
tương tự để lập luận về các đối tượng họ gặp trong thực tế. Họ đó biết bắt đầu
nghiên cứu các sự vật từ quan sát và so sánh. Ngày nay, tuy khoa học đã phát
triển, con người vẫn sử dụng so sánh để nhận thức hiện thực khách quan.
Tương tự là phương tiện cụ thể hóa tư tưởng, là phương tiện giải
thích nội dung tư tưởng nhờ so sánh tư tưởng này với tư tưởng khác có cùng
một số dấu hiệu chung. Trong thực tế cái chung tồn tại trong cái riêng, được
20


phát hiện thông qua cái riêng. Tư duy tương tự với liên hệ chặt chẽ với hiện
thực. Nhờ tương tự con người mới phát hiện được cái cụ thể, cái riêng và khái
quát chúng thành cái chung, cái trừu tượng. Cụ thể hóa tư tưởng, tương tự bổ
xung cho tư duy tính mềm dẻo và làm giàu tư duy.
Tương tự được xem như thủ thuật bổ trợ, là một trong những
phương pháp của kho tàng phương pháp nhận thức. Nó hòan tòan là
phương pháp vững chắc, thực tế để thu nhận tri thức mới. Nó là thủ thuật dẫn
nhà nghiên cứu tới dự đoán và phát hiện tri thức mới. Nó cũng là thủ thuật để

làm sáng tỏ và cụ thể hóa tri thức.
1.3.3. Vai trò của tương tự trong Toán học
Toán học là một khoa học suy diễn. Những vấn đề toán học, được trình bày
dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm những suy luận diễn dịch. Nhưng trong
quá trình phát minh, sáng tạo toán học, suy diễn được gắn chặt với quy nạp và
tương tự. Thường phải dùng qui nạp và tương tự để đề ra giả thuyết, dự đoán về
một định lý, về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết.
Trong lịch sử toán học, có nhiều sự kiện lý thú chung quanh những giả
thuyết được đề ra bằng qui nạp không hoàn toàn hoặc bằng tương tự. Có những
giả thuyết đó bị bác bỏ (vì là sai), có những giả thuyết đó được chứng minh là
đúng, có những giả thuyết qua mấy trăm năm nay vẫn chưa được chứng minh
hoặc bác bỏ; việc tìm cách chứng minh hoặc bác bỏ nhiều giả thuyết đó có tác
dụng thúc đẩy toán học phát triển.
Thí dụ: Tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian.
Trên mặt phẳng hai đường thẳng không thể tạo nên một hình có giới hạn, còn
ba đường thẳng thì có thể tạo nên một tam giác. Trong không gian ba mặt
phẳng không thể tạo nên một vật thể có giới hạn, còn 4 mặt phẳng thì có thể
tạo nên một tứ diện. Quan hệ của tam giác đối với mặt phẳng cũng y như quan
hệ của tứ giác đối với không gian, vì cả tam giác và tứ diện đều được giới hạn
bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản. Sự tương tự là ở chỗ đó. Từ đó ta có thể
dự đoán những tính chất của tứ diện thông qua các tính chất đó biết của tam

21


giác mặc dù không phải tính chất nào cũng có sự tương tự và không phải sự
tương tự nào cũng khẳng định được là nó đúng.
Danh từ “tương tự” bắt nguồn ở một từ Hi-lạp “a-na-lo-gi-a”. Từ này có
một nghĩa là “tỉ lệ”. Thực vậy, hệ hai số 6 và 9 tương tự với hệ hai số 10 và 15,
vì tỉ số giữa những số tương ứng thoả mãn hệ thức 6:9 = 10:15

“Tính tỉ lệ” hay tỉ số giữa những bộ phận tương ứng mà chúng ta có thể
thấy một cách trực quan trong những hình đồng dạng của hình học, gợi ý cho
ta một trường hợp về tương tự.
Có thể là bạn sẽ rất muốn diễn tả mối tương quan giữa các hình phẳng và các
vật thể không gian bằng một loại “tỉ lệ” nào đó, và nếu bạn chưa giải

Hình vẽ 1.3
quyết được thì hãy xem trong hình này ý nghĩa thông thường của vài ký hiệu
(: và =) đã được biến dạng, theo hướng như trước đây, trong lịch sử ngôn ngữ,
từ “tỉ lệ” đã biến dạng thành từ “tương tự”.
Thí dụ trên đây còn có ích ở một phương diện khác. Sự tương tự, nhất là
những sự tương tự chưa được giải thích đầy đủ, có thể có hai ý nghĩa. Chẳng
hạn như khi so sánh hình học phẳng và hình học không gian, trước hết ta thấy
tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian, và sau đó tam
giác tương tự với hình chóp. Cả hai đều hợp lý và mỗi cái có ý nghĩa riêng của
nó. Giữa hình học phẳng và hình học không gian có một số điểm tương tự, chứ
không phải chỉ có một sự tương tự duy nhất.

22


Hình vẽ 1.4
Sơ đồ trên chỉ rõ: xuất phát từ tam giác chúng ta có thể tiến lên đa giác
hoặc bằng khái quát hoá, trở về tam giác đều bằng đặc biệt hoá, hoặc chuyển
sang những vật thể không gian khác nhau bằng tương tự – tương tự trong một
khía cạnh. Và hãy nhớ rằng, đừng coi thường những sự tương tự lờ mờ, nhưng
muốn cho chúng được coi trọng thì cần phải giải thích rõ ràng.

1.2.4. Vai trò của suy luận tương tự trong việc giải một bài toán hình học
không gian.

Tương tự cùng với khái quát hoá, đặc biệt hoá và quy nạp là những suy luận
cần thiết của mọi khoa học, đặc biệt là Toán học. Trong đó suy luận tương tự
23


thuộc loại suy luận nghe có lý, nó có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc giải
một bài toán. Theo G. Pôlya, có bốn bước cơ bản để giải một bài toán, đó là:
Bước 1: Hiểu đề toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
1. Bài toán nói gì? Cái gì là dữ kiện? Cái gì phải tìm? Cái dữ kiện đã đủ
để xác định được cái phải tìm hay chưa? hay chưa đủ? hay thừa?
Có thể phát biểu bài toán một cách khác?
Có thể tìm quan hệ giữa bài toán đã cho và một bài toán nào khác mà ta
đã biết cách giải không? Hay một bài toán mà ta có thể giải dễ dàng hơn?
Phải nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải
dừng lại, khi giải các bài toán phụ.
Ngoài ra: Mọi dữ kiện của bài toán đã được sử dụng chưa?
2. Phát biểu các quan hệ giữa cái đã cho và cái chưa biết
Biến đổi các yếu tố chưa biết: Thử đưa vào các ẩn mới, gần các dữ kiện
của bài toán hơn.
Hãy chỉ giải một phần bài toán đã thoả mãn một phần các điều kiện thôi:
Khi đó cái chưa biết được xác định đến mức độ nào? (quỹ tích)
Tổng quát hoá. Đặc biệt hoá. Sử dụng sự tương tự.
3. Kiểm tra lại từng bước, chỉ công nhận những điều thật rõ ràng hay đã
được tính toán thật cẩn thận.
4. Kết quả có đúng không? Vì sao? Có thể kiểm tra được không? Có con
đường nào khác để đi đến cùng kết quả đó không? Có con đường ngắn hơn
không? Trên con đường đã đi còn có thể "hái" thêm những kết quả nào khác?

Tóm lại: Trước hết phải hiểu bài toán yêu cầu tìm cái gì. Thứ hai là phải
nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái chưa
biết và cái đã biết để tìm thấy cách giải, để vạch ra được một chương trình (dự
kiến). Thứ ba là thực hiện cái chương trình đó. Thứ tư là nhìn lại cách giải đã
24


thu được, một lần nữa nghiên cứu và phân tích nó. Mỗi bước đều có tầm quan
trọng của nó.
Hình học không gian và hình học phẳng có nhiều khái niệm tương tự nhau
nên khi giải bài tập hình học không gian có nhiều khi cần sử dụng suy luận
tương tự. Nó giúp ta quy lạ về quen, tìm ra kết quả mới, phương pháp giải mới
trên cơ sở từ những cái đã có, đã biết. Thí dụ từ các hệ thức lượng đã biết
trong tam giác vuông ở hình học phẳng nhờ phép suy luận: Đặt tương tự giữa
tam giác vuông và tứ diện có góc tam diện vuông mà ta có nhiều (hệ thức
lượng) trong tứ diện.
Phép suy luận tương tự có mặt trong đủ bốn bước đối với việc giải không
ít bài toán hình không gian. Từ bước tìm hiểu đề, xây dựng chương trình giải,
thực hiện chương trình giải, nghiên cứu sâu cách giải. Trong mỗi bước, luôn có
câu hỏi: Bạn đã gặp bài toán tương tự như thế này chưa? Kết quả này là duy
nhất chưa? Phương pháp này bạn đã gặp ở bài toán nào rồi? có thể áp dụng cho
bài toán nào nữa? Có thể phát biểu bài toán này dưới dạng khác không? Từ bài
toán này có thể thiết kế được một hay nhiều bài toán tương tự khác hay không?
Trả lời được những câu hỏi này, bạn đã nắm chắc kiến thức, ngoài ra bạn còn
có cái nhìn tổng quát, xâu chuỗi về các kiến thức đã học và hơn thế nữa, bạn đã
sáng tạo bởi vì: Theo nhà toán học Pháp A-đa-ma đã nói: “ Giữa việc giải một
bài tập đại số hay hình học của người học sinh và sự phát minh, cái khác nhau
chỉ là ở mức độ và chất lượng, bởi vì cả hai việc đó đều có chung một tính
chất”. Tính chất chung đó là sự sáng tạo.
Từ đó ta có thể nói rằng: phép suy luận tương tự trong việc giải bài toán

hình học không gian có hai vai trò chính sau đây:
1.2.4.1. Dự đoán phương pháp giải bài toán từ lời giải một bài toán đã biết

25