BÀI 14 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Câu 1.

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
ĐỀ SỐ 1
Môn: TOÁN
------------------------------------------------Viết công thức tính diện tích S của
được
giới kể
hạn
bởigian
trụcphát
hoành
Thờihình
gian:phẳng
90 phút
(Không
thời
đề) và đồ thị
hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng x  a; x  b  a  b  .
b

b

b

A. S   f  x  dx .

B. S   f 2  x dx .

a

C. S 

a



f  x dx .

b

D. S    f 2  x dx .
a

a

Lời giải
ChọnA.
Câu 2.

Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số

y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng x  a; x  b  a  b  .
b

b

B. S   f  x   g  x  dx .

A. S   f 2  x   g 2  x  dx .

a

a

b

b

C. S    f  x   g  x dx .

D. S     f  x   g  x   dx .
2

a

a

Lời giải
Chọn B.
Câu 3.

x2
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và
x 1
5
y  2 x  là
2
55

8
27
8
27
8
 6 ln .
 6 ln .
 6 ln .
B.
C.
D.
8
3
8
5
8
5

Cho hàm số f  x  
đường thẳng
A.

55
8
 3ln .
16
3

Lời giải
Chọn A

x  1
x2
5
2
 2 x   4 x  3x  1  0  
Phương trình hoành độ giao điểm
x   1
x 1
2

4
1

S




1
4

x2
5
 2 x  dx 
x 1
2

1

 3

7

  x  1  2 x  2 dx



1
4

1

5
15
3
7

  x  x 2  3ln x  1    3ln 2   3ln
2
16
4
2
 1
4



55
8 55

8
 3ln 
 3ln .
16
3 16
3

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 1


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Câu 4.

x3
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
và đường thẳng y  x .
1  x2
1
1
A. S  1  ln 2 .
B. S   ln 2 .
C. S  1  ln 2 .
D. S   ln 2 .
2
2
Lời giải
Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm:
 x0
x3
3
 x  2x  x  0  
x   1
1  x2

2.
1
2



Vì vậy S 

1
2



Câu 5.

2 x3  x
dx  1  ln 2 .
1  x2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y  x3  3x và trục hoành.
A. 4,5 .

B. 11, 25 .

C. 2, 25 .
Lờ

D. 5, 625 .

ả

C ọ A
x  0
Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x  0  
.
x   3
3

Do đó S 



 3

Câu 6.

9
x3  3x dx  .
2

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành như
hình vẽ bên. Đặt a 

A. S  a  b .

1

2

1

1

 f  x  dx, b   f  x  dx . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. S  a  b .

C. S  a  b .
Lờ

D. S  a  b .

ả

C ọ B
1

2

1

1

1

1

Ta có: S   | f ( x) | dx   | f ( x) | dx   f ( x)dx    f ( x)dx  a  b .
1

Câu 7.

1

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên bằng

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 2


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

2

2

A. S   (2 x 2  2 x  4)dx. .

B. S   (2 x  2)dx. .

1

2

1

2

C. S   (2 x  2)dx. .

D. S   (2 x 2  2 x  4)dx.

1

1

Lời giải
Chọn D
Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là
2

S   ( x 2  3)   x 2  2 x  1  dx 
1

Câu 8.

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

2

  2 x

2

 2 x  4  dx .

1

có đồ thị như hình vẽ bên, kí hiệu S là diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây
đúng?

1
2

1

A. S   f  x  dx   f  x  dx. .
1
2

0
1
2

1

B. S   f  x  dx   f  x  dx. .
1
2

0

1

C. S    f  x  dx   f  x  dx. .
0

1
2

1
2

1
2

1

D. S    f  x  dx   f  x  dx.
0

1
2

Lời giải
Chọn B
x  0

1

f  x  0  x  .
2

x  1


1 
 1
Dựa vào hình vẽ ta có f  x   0, x   0;  và f  x   0, x   ;1 .
2 
 2
Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 3


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Nên diện tích S giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x  0 và x  1 là
1
2

1

S   f  x  dx   f  x  dx .
1
2

0

Câu 9.

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành bằng

1

A. S 



0

f  x  dx. .

B. S 



2

2

0

1

f  x  dx   f  x  dx. .
0

1

0

C. S    f  x  dx   f  x  dx. .
2

D. S 



2

0

1

f  x  dx   f  x  dx.
0

Lời giải
Chọn D

 x  2
Ta có: f  x   0   x  0 .
 x  1
Dựa vào hình vẽ ta có f  x   0, x   2;0 và f  x   0, x   0;1 .

Nên diện tích S giới hạn bởi các đường y  f  x  và trục hoành là:
0

S



2

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

1

f  x  dx   f  x  dx .
0

. Gọi S là diện tích giới hạn bởi các đường

y  f  x  , y  0, x  1và x  4 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 4


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT
1

A.

4

S    f  x  dx   f  x  dx
1

S

C.

1

1

4

1

1

1

S

.

B.

 f  x  dx   f  x  dx .



1

4

f  x  dx   f  x  dx
1
1

4

1

1

.

S    f  x  dx   f  x  dx

D.

.

Lời giải
Chọn B
Dựa vào hình vẽ ta có f  x   0, x   1;1 và f  x   0, x  1;4 .
Nên diện tích S giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x  1 và x  4 là
S

1

4

1

1

 f  x  dx   f  x  dx .

Câu 11. Diện tích hình phẳng gạch sọc trên hình vẽ bên bằng

1

A.

3
  x  3x  2  dx

2
1

C.

 x

3

1

.

 3x  2  dx

2

B.

 x

3

 2 x 2  x  2  dx

2

1

.

D.

 x

3

.

 2 x 2  x  2  dx

2

.

Lời giải
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là
1

S    x3  x 2  2 x   x 2  x  2   dx 
2

1

 x

2

3

 3x  2  dx

.

2
Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x  4 x  3 và trục hoành bằng
1

3



A.

x3  4 x  3 dx

.

1

B.

1

C.





x 3  4 x  3 dx

.

3
3

x 3  4 x  3 dx

0

.

D.

x
0

3

 4 x  3 dx

.
Lời giải

Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y  x 2  4 x  3 và trục hoành
Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 5


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

x  1
x2  4 x  3  0  
x  3
3

Ta có diện tích cần tìm là S   x 3  4 x  3 dx .
1

Câu 13. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0;4 và f  x   0, x  0;2 ; f  x   0, x  2; 4 .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0 và hai đường thẳng

x  0; x  4 bằng
4

A.



4

f  x  dx .

B.   f  x  dx .

0

2

C.



0

4

2

4

2

0

2

f  x  dx   f  x  dx . D.   f  x  dx   f  x  dx .

0

Lời giải
Chọn C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0 và hai đường
thẳng x  0; x  4 .
4

2

4

2

4

0

0

2

0

2

Vậy S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
(vì hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0;4 và f  x   0, x  0;2 ; f  x   0, x   2;4 ).
Câu 14. Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai
đường thẳng x  2; x  1 như hình vẽ dưới. Tính diện tích S của hình phẳng H .

0

1

A. S    f  x  dx   f  x  dx .
2

0

C. S 



2

0

B. S 

0

1

1

f  x  dx   f  x  dx .



2

0

1

f  x  dx   f  x  dx .

D. S 

 f  x  dx .

2

0

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 ta thấy f  x   0, x   2;0 ;

f  x   0, x  0;1 .

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 6


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai
đường thẳng x  2; x  1 là
S

1

0

1

0

1

2

2

0

2

0

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  S   f  x  dx   f  x  dx .

Câu 15. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0;8 và có đồ thị như hình vẽ

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  ; y  0 ; x  0; x  8 là
8

A.

 f  x  dx .

B.

0

3

5

8

0

3

5

3

5

8

0

3

5

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .

C.

3

5

8

0

3

5

D.   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
Lời giải

Chọn C
Từ đồ thị của hàm số y  f  x  trên đoạn 0;8 ta thấy f  x   0, x  0;3 ;

f  x   0, x  3;5; f  x   0, x  5;8 .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  ; y  0 ; x  0; x  8 là
8

3

5

8

0

0

3

5

S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
3

5

8

0

3

5

  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx .

Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ; parabol y  x  4 x  4 và
3

2

trục hoành (tham khảo hình vẽ bên) bằng

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 7


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT
2

A.

 x x
3

2

1

 4 x  4  dx .

0

C.

2

 x dx    x
3

0

2





2
B.   x dx   x  4 x  4 dx .

0

1

2

3

1

1

 4 x  4  dx .

D.

1

2

 x dx    x
3

0

2

 4 x  4  dx .

1

Lời giải
Chọn A.
Câu 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y  4 x  x và trục hoành.
2

A. S 

32
.
3

B. S 

512
.
15

C. S 

32
.
3

D. S 

512
.
15

Lời giải
Chọn C
Hoành độ giao điểm của Parabol và trục hoành là nghiệm của phương trình

4 x  x 2  0  x  0; x  4 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y  4 x  x và trục hoành được tính theo
2

4

công thức S 

4

2
 4 x  x dx    4 x  x  dx 
2

0

Câu 18. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

0

32
.
3

và thỏa mãn f  1  0  f  0  . Gọi S là diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  ; y  0; x  1; x  1 . Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
0

A. S 



1
1

C. S 



1

1

f  x  dx   f  x  dx .

B. S 

f  x  dx .

 f  x  dx .

1

0

1

D. S 

1

 f  x  dx .

1

Lời giải
Chọn B.





x
Câu 19. Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  1  e x

và y   e  1 x .
A. S 

e2
.
2

B. S 

e 1
.
2

C. S 

e2
.
2

D. S 

e 1
.
2

Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 8


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

x0

1  e  x  1  e  x   x  1 .
x



Diện tích hình phẳng cần tìm là

1

1

S   1  e  x   e  1 x dx   xe  ex dx 
x

x

0

0

1

Ta có

1

 x.e dx   xde
x

0

x2
0 e.xdx  e. 2

1
0

Do đó, S  1 



  xe

x

 ex  dx

0

1

x

 x.e

x 1
0

  e x dx  e  e x 10  1 ,

0

1

1

0

e
2

e e2

.
2
2

Câu 20. Tính diên tích S của hình phẳng được giới hạn bởi cung tròn y  4 

x2
và parabol
4

x2
y
.
4 2

4
3

A. S  2  .

2
B. S  2  .
3

4
C. S  2  .
3

2
3

D. S  2  .

Lời giải
ChọnC
Phương trình hoành độ giao điểm:

4

x2
x2

(Đk: x   4;4 )
4 4 2

 x2  8
x2 x4
4
2
 4 
 x  8 x  128  0   2
 x  2 2
4 32
 x  16  l 

Diện tích hình phẳng cần tìm là
2 2

S



2 2

x2
x2
4 
dx 
4 4 2


x2
x2 
  4  4  4 2  dx
2 2 

2 2

2 2

x2
x3
dx 
Ta có 
12 2

2 2 4 2
2 2

Tính I 



2 2

2 2
2 2

8
 .,
3

2 2

x2
1
4  dx  .  16  x 2 dx
4
2 2 2

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 9


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

   





Đặt x  4sin t  t   - ;    dx  4 cos tdt
2 2



Đổi cận: Với x  2 2  t  
Với x  2 2  t 


,
4


.
4


4


4





1
2
Do đó, I  .  16  16sin t .4.cos tdt 
2 
4

2
 8.cos tdt 


4


4

 1

 4.1  cos 2t  dt  4  t  2 sin 2t 



4


4

4

 I  2  4
Vậy, S  2  4 

8
4
 2  . .
3
3

3
Câu 21. Cho đường cong  C  : y  8x  27 x và đường thẳng y  m cắt  C  tại hai điểm phân

biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng có
diện tích S1  S2 như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0  m 

1
.
2

B.

1
 m 1.
2

C. 1  m 

3
.
2

D.

3
 m  2.
2

Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: 8 x  27 x 3  m (1)
3
Từ bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  8 x  27 x  Đường thẳng y  m cắt  C  tại

hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy  Phương
trình (1) có ba nghiệm phân biệt và có đúng hai nghiệm dương  0  m 

32 2
27

Gọi x1 , x2  x1  x2  là hai nghiệm dương của phương trình (1). Khi đó ta có

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 10

ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

8 x1  27 x13  8 x2  27 x23  m (2)
Ta có
x1

27  x
27

S1    m  8 x  27 x3  dx   mx  4 x 2  x 4  1  mx1  4 x12  x14
4 0
4

0
x2

27
27
27

 x2
S2    8 x  27 x3  m  dx   4 x 2  x 4  mx   4 x22  x24  mx2  4 x12  x14  mx1
4
4
4

 x1
x1
2
Khi đó S1  S 2  mx1  4 x1 

27 4
27
27
x1  4 x22  x24  mx2  4 x12  x14  mx1
4
4
4

 4 x22 

27 4
27
27


x2  mx2  0  x2  4 x2  x23  m   0  4 x2  x23  m  0 (vì x2  0 )
4
4
4



 4 x2 

27 3
x2  m (3)
4

4


8 x2  27 x23  m
x

2


32
9

Từ (2) và (3) ta có hệ: 
. Vậy m 
.
27 3
27
4 x2  x2  m m  32  tm 

4
27

Câu 22. Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xex , trục hoành, trục tung và
đường thẳng x  1. Đường thẳng x  k  0  k  1 chia  H  thành hai phần có diện tích
tương ứng S1, S2 như hình vẽ bên, biết S1  S2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ek 

1
.
2 1  k 

B. ek 

1
.
2 1  k 

C. ek 

2
.
1 k

D. ek 

2
1 k

Lời giải
Chọn A
Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 11


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT
1

1

Ta có diện tích của hình phẳng  H  là S   xe dx   xex dx  1 . Vì vậy

x

0

0

k

1
1
1
S1  S2  S1  S    xex dx 
2
2
2
0


u  x
du  dx
Đặt 


x
x

dv  e dx 
v  e
k

Khi đó:

k

k



x
x
x
x
x
 xe dx  xe   e dx  xe  e
0

0

0

Vậy ta có:  k  1 ex  1 

   k  1 e  1
k

k

0

1

1
.
 ek 
2
2 1  k 

Câu 23. Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y 

1
1
, x  , x  2 và trục hoành.
x
2

1

Đường thẳng x  k   k  2  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như
2


hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để S1  3S2 .

A. k  2 .

C. k 

B. k  1.

7
.

5

D. k  3

Lời giải
Chọn A
2

Diện tích của hình thang cong  H  bằng S  
1
2

2

2
1
1
dx   dx  ln x 1  2ln2
x
2
1 x
2

k

k
3
3ln2
1
3ln2

3ln2
ln2
  dx 
 ln x 1 
 ln k 
 k 2.
Ta có: S1  3S2  S1  S 
4
2
2
2
2
2
1 x
2

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 12


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

1 2
x  a ( a là tham số thực dương). Gọi S1, S2
2
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S2

Câu 24. Cho đường thẳng y  x và parabol y 

thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

 3 1
A.  ;  .
 7 2

 1
B.  0;  .
 3

1 2
C.  ;  .
 3 5

 2 3
D.  ; 
 5 7

Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm

1 2
x  x  a  0 . Trước tiên phương trình phải có 2
2

1
. Khi đó theo công thức tính nhanh
2
diện tích hình phẳng có giới hạn bởi parabol và đường thẳng ta có

nghiệm phân biệt x2  x1    1 2a  0  a 

3
S2 

36a04

1 2a
 1
36. 
 2

3

4



2
3

1 2a

3

Phần hình phẳng còn lại (Không có công thức tính nhanh) là
x1

S1  
0



x1

1
1
x2
1

1 2
x2 
1
x  a  x dx    x2  a  x  dx   x3  ax    x12  ax1  1
2
2
2
6
2

0
6
0

x



 

 



3
2
1
1
1 1 2a  a 1 1 2a  1  1  2a ; x1  1  2  a  x2  1  1  2a
6
2

Theo đề bài ta có:
S1  S2 



 

 

3
1
1
1  1  2a  a 1  1  2a  1  1  2a
6
2

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »



2



2
3

1 2a

3

3 1 2
 a   ;  .
8  3 5

Trang 13


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Câu 25. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , y  k (0  k  1) . Tìm k để
diện tích của hình phẳng (H) gấp đôi diện tích của miền phẳng gạch sọc trong hình vẽ
bên

A. k  3 4 .

C. k 

B. k  3 2 1 .

1
.
2

3
D. k  4 1 .

Lời giải
Chọn D
x   k 1
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là x 2  1  k  
 x   1  k

Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  k , x  0 bằng diện tích hình phẳng giới
hạn bởi y  1  x 2 , y  x 2  1, y  k , x  0 .

1 k


0

1 k

1

(1  x 2  k )dx 



(k  1  x 2 )dx 

1 k



(k  x 2  1)dx

1

1
1
1
 (1  k ) 1  k  (1  k ) 1  k  k  1   (k  1) 1  k 
(1  k )3
3
3
3
1
1
(k  1) 1  k 
(1  k )3  k  1 
3
3

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 14

ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT



2
4
(1  k )3 
3
3

 (1  k )3  2
 k  3 4 1
Chọn.

D.

Câu 26. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x3 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0; x  2 . Đường thẳng y  (a  b ) x ( với a, b là các số nguyên dương) chia
(H) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức a + b bằng

A. 12.

B. 4.

C. 16.

D. 14

Lời giải
Chọn A
2

S H   (4 x  x 3 ) dx  (2 x 2 
0

x4 2
) 4
4 0

x0

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 x  x 3  (a  b ) x  
 x   4  a  b

Diện tích phần gạch chéo: S=
4 a  b



[(4  a  b ) x  x 3 ]dx  [(4  a  b )

0



x2 x4
4a b
 ]

2 4
0

(4  a  b ) 2
4

Vì s 

sH
(4  a  b ) 2

 2  a  b  4  8  a  4; b  8
2
4

Vậy a + b = 12 Chọn.

A.

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 15


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

x2
27
Câu 27. Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi ba đường y  x , y  , y 
( tham khảo

27
x
hình vẽ bên) bằng
2

A. 27 ln 3 

26
.
3

B. 27 ln 3 .

C.

26
.
3

D. 27 ln 3 

26
3

Lời giải
Chọn B
Xét các phương trình giao điểm:

x2
 x0

*x 
27
27
 x3
* x2 
x
2

*

x 2 27

 x9
27 x
3

9

x2
27 x 2
S   ( x  )dx   (  )dx
27
x 27
0
3
2

9 1 x3 9
26 x3 3
 27 ln x  .

 27 ln 3 Chọn. B.
= .
3 27 3 3
27 3 0

Câu 28. Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3 x 2 , cung tròn có phương trình

y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của

H 

A.

bằng

4  3
.
12

B.

4  3
.
6

C.

4  2 3  3
.
6

D.

5 3  2
.
3

Lời giải
Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 16


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Chọn B


3x 4  4  x 2
 3x 2  4  x 2
Phương trình hoành độ giao điểm: 

 x  1.
0

x

2
0


x

2



1

2

S   3 x dx   4  x 2 dx  S1  S 2 .
2

0

1

1

1

Với S1  
0

x3
3
.
3x dx  3

3 0

3
2

2

S2   4  x 2 dx . Đặt x  2sin t  dx  2cos t.dt .
1

x

1

6

t

2

2


2

S2  








 1
 2 4  3 3
4  4sin 2 t .2 cos t.dt  4  cos 2 t.dt  2  1  cos 2t  .dt  2  t  sin 2t  
.
6
 2




6

Vậy S 

2

2

6

6

6

3 4  3 3 4  3


.

3
6
6

Câu 29. Cho parabol  P  : y  x2 và đường tròn  C  có tâm thuộc trục tung, bán kính bằng 1
tiếp xúc với  P  tại hai điểm phân biệt. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và  C 
(phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng

A.

14  3 3  2
.
12

B.

2  3 3  8
.
12

C.

4  3 3
.
12

D.

9 3  4
.

12

Lời giải
Chọn D
Tâm I  0; a  , a  0 .
Phương trình đường tròn  C  : x 2   y  a   1 .
2

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 17


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

 y  x2

 y  a  1  x2  C 
Gọi  H   : 
.
x

0

x  0

 y  x 2
Do  C  tiếp xúc  P    2
có nghiệm 2 kép.
2

x

y

a

1



2
 y  x
 4
có nghiệm 2 kép.
2
2
 x  x 1  2a   a  1  0

 1  2a   4.1.  a 2  1  0  a 
2

Thử lại với a 
Vậy  C   : y 

5
.
4

5
3

thì  P  và  C  tiếp xúc tại x 
.
4
2

5
 1  x2 .
4
3
2

5

Do tính đối xứng của đồ thị các hàm số nên S  2S1  2    1  x 2  x 2  dx
4

0 
 3
 2 5

 2     x 2  dx 
4

0


3
2



0



1  x dx 


2

Đặt x  sin t  dx  cos tdt


3





3
3
3
2
x 
 1
 3 9 3  4
 5

 3 1

2

S  2  x     cos tdt   2 

1  cos 2t  dt   3   t  sin 2t  
12
4
3 0
2 2 0
 2
0

0




.

Câu 30. Cho parabol  P  : y  x2 và đường tròn  C  có tâm A  0;3 bán kính

5 như hình vẽ.

Diện tích phần được tô đậm giữa  P  và  C  gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 18


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

A. 3, 44 .

B. 1,51 .

C. 3,54 .

D. 1, 77 .

Lời giải
Chọn C
Phương trình đường tròn  C  : x 2   y  3  5 .
2

Giao điểm của  P  và  C  :
 y  x2
2
2

 y  x
 2
y  x
 y  x
 2


x  1 .
 2


2

2
4
2
2
x

5
x

4

0
x

y

3

5
x

x

3

5








 2

 x  4
2

Vậy tọa độ các giao điểm là: M  1;1 , N 1;1 , P  2; 4  , Q  2; 4  .
Do tính đối xứng của các đồ thị hàm số, nên

 

2
1
2
2
S  2   3  5  x  x dx   x 2  3  5  x 2
0
1






 dx   3 
5

2




5  x 2  3  5  x 2  dx 





 3, 54 .

Câu 31. Cho Parabol

 P  : y  12 x

2

và đường tròn  C  có bán kính R  1 tiếp xúc với trục

hoành đồng thời có duy nhất một điểm chung A duy nhất với  P  . Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi  P  ,  C  và trục hoành ( phần bôi đậm như hình vẽ )

A.

3 3 2π
.
3

B.

29 3  9π
.
24

9 3  9  4π
.
12
Lời giải
C.

D.

27 3  8π
24

Chọn D

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 19


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Gọi I  a , b  là tâm đường tròn và phương trình đường tròn  C  là  x  a    y  b   1
2

2

a  0
dựa vào đồ thị ta suy ra 
.
b  0
Do đường tròn tiếp xúc với trục hoành y  0 nên ta có phương trình

 x  a  0  b
2

2

 1 có nghiệm kép suy ra  x  a   1  b2 có nghiệm kép suy ra
2

b  1
1  b2  0  
 b  1 Do b  0 
b  1
2

y  1  x  a 1

Suy ra phương trình  C  là  x  a    y  1  1  
.
2
 y   1   x  a   1
2

Dựa vào hình ta thấy  P  : y 

2

1 2
x tiếp xúc với nữa trên của đường tròn nên ta có điều
2

kiện tiếp xúc :
Giữa  P  : y 

2
1 2
x và nữa trên đường tròn : y  1   x  a   1 là
2

2
2

1 2

1 2
 1  x  a 1  2 x
 1   x  a   2 x  1 1


  x  a
 x  a
x
 x  2



2
2
 1  x  a
 1  x  a



Thế 1 vào  2  suy ra được a 

1 3
x thế vào 1 suy ra được phương trình
2

1 2
 2 x 1  0

1 3
1 2

1  x  x   x 1  
2
2
2 
2

1   x  1 x3    1 x 2  1  * 

 
2   2


2

Giải phương trình  *  ta được:



3 4 1 6
1
x  x  0  x4 3  x2
4
4
4



x  0


1

 0   x  3  x  3  Do a  x 3  0 
2



x


3



3 3
Suy ra phương trình đường tròn  x 


2



Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

2


2
3 3
x  1   y  1 

2
2
  y  1  1  

2
3 3
 x   1   y  1 

2

Trang 20

ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Phương trình  P  : y 

Với x  3  y 

 x  2y
1 2
x 
2
 x   2 y

3

3
 A  3; 
2
2


Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích cần tìm tương ứng diện tìnhđược giới hạn bởicác
x  2y


2
3 3
 x   1   y  1 
2 suy ra S 

đường sau: 
y  0

3
y 

2

3
2



1   y  1 
2

0

3 3
 2 y dy bấm
2

máy chọnD.
Câu 32. Biết parabol y  x 2 chia đường tròn x 2  y 2  12 thành hai phần có diện tích tương ứng
S1 , S2 như hình vẽ bên. Tính S2  S1

A. S2  S1  8  2 3 . B. S2  S1  10  2 3 .
C. S2  S1  10  3 .

D. S2  S1  6  2 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn.

A.

Ta có  C  : x 2  y 2  12   C1  : y  12  x 2 là nhánh phía trên.
Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  P  là: 12  x2  x2  x   3


3

Dựa vào hình vẽ, ta có: S1 



12  x 2  x 2 dx  3  2

 3

Ta có diện tích đường tròn x 2  y 2  12 có R  2 3 là 12
Vậy S2  12  S1
Vậy ta có: S2  S1  12  2S1  8  2 3 .
Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 21


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  9 x  18 , trục hoành và các đường
thẳng x  15; x  15 là?
A. S  2790 .

B. S  2799 .

C. S  2795 .

D. S  2780 .

Hướng dẫn giải
Chọn.

B.

x  3
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2  9 x  18  0  
x  6

Diện tích phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  9 x  18 , trục hoành và các đường thẳng
x  15; x  15 là:
15

S



3

x 2  9 x  18 dx 

15



15

6

15

3

6

x 2  9 x  18 dx   x 2  9 x  18 dx   x 2  9 x  18 dx  2799 .

1 2
x2 y 2
x chia elip  E  : 
 1 thành hai phần có diện tích
24
16 1
Câu 34.
S
bằng S1; S2  S1  S2  .Tính tỉ số 1
S2
Biết parabol

A.

 P : y 

4  3
.
8  3

B.

4  2
.
8  2

C.

4  3
.
12

D.

8  3
.
12

Lời giải
Chọn A

Diện tích của elip là: S   ab  4
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và elip là:

E :

2

x2  x2 

  1  x   12
16  24 

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 22


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT
12

S1  2 
0


x2 x2 
1
 1   .dx 

16 24 
2


12



16  x 2 dx 

0

1 3 12
2 3
x
I
36 0
3

Tính I: Đặt

x  4cos t , t   0;   dx  4sin t.dt
x0t 


2

x  12  t 

1
I
2


12




6






6

2

2







2

6

6

16  x 2 dx  2  16  16cos 2 t .sin t.dt  8  sin 2 tdt  4  1  cos 2t  dt

0

4  3 3
3

4  3
8  3
; S2 
3
3
.
S1 4  3
 
S2 8  3
 S1 

Câu 35. Cho hàm số

y  f  x

liên tục trên đoạn  2;6 và có đồ thị như hình vẽ.Biết rằng diện
2

tích cáchình phẳng A,B,C lần lượt bằng 32;2;3 . Tích phân   f  2 x  2   1dx bằng:
2

A. 22,5 .

C. 37 .

B. 19,5 .

D. 20,5 .

Lời giải
Chọn D
Gọi hoành độ giao điểm của đồ thị hàm y=f(x) với trục hoành lần lượt tại-2; a,b;6.

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 23


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

2

I=   f  2 x  2   1dx 
2

2

2

 f  2 x  2.dx   1.dx  I

1

2

x

2
2

 I1  4

2

 x  2  t  2

2

Tính I1 

 f  2 x  2 .dx : Đặt t=2x+2,suy ra dt=2dx. Đổi cận:  x  2  t  6

2

.

6
6
a
b
6

1

1
1
Vậy I1   f  t .dt   f  x .dx    f  x .dx   f  x .dx   f  x .dx 
2 2
2 2
2  2
a
b




1
1
 S A  S B  SC    32  2  3  16,5
2
2

Do đó I=20,5.
Câu 36. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x và đường thẳng y  kx( x  0) bằng 9.
Mệnh đề nào sau đây đúng:
2

A. k  1;3 .

B. k   6;9  .

C. k   9;12  .

D. k   3;6  .

Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng d là nghiệm phương trình:

x  0
x 2  kx  
x  k  0
Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và đường thẳng là:

 1 2 x3  k k 3
S   kx  x dx   (kx  x )dx   kx    .
3 0 6
2
0
0
k

k

2

2

k3
 9  k  3 2   3;6  .
Từ đó ta có
6

Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 24


ĐĂNG KÍ KHÓA TỔNG ÔN VÀ LUYỆN ĐỀ IB THẦY HÀO KIỆT

Câu 37. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y   x  1 e và y  x  1 bằng
x

A.

1 1
 .
2 e

1 1
 .
2 e

B.

C. e 

1
e

1
.
e

D. 1  .

Lời giải
Chọn A
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:

 x  1 ex  x  1   x  1 ex   x  1  0
x 1  0
 x  1
.
  x  1  e x  1  0   x

x  0
e  1  0
0

S



 x  1 e x   x  1 dx 

1

0

 xe

x

 e x  x  1dx .

1

x
Vì  x  1 e   x  1  0, x   1;0  nên
0

S

x
x
x
x
x
 ( xe  e  x  1)dx  xe  e  e 

1

Vậychọn.

x2
x
2

0
1



1 1
 .
2 e

A.

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  x , y  2  x và y  0 ( tham khảo
3

hình vẽ bên) bằng

A.

3
.
4

B.

9
.
2

C.

15
.
4

D.

5
.
4

Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của các hàm số là:
2  x  0
x  2
 3

 x  0 .
x  0
 x3  2  x  x  1



Youtobe : « THẦY HÀO KIỆT TOÁN »

Trang 25