chuyên đề dãy số

Chuyên đề: dãy số
Loại 1: Cho dãy số (a
n
) hãy viết số hạng của dãy.
1. Cho dãy số a
n
cho bởi công thức: a
n
=
.
1
12
2
2
+

n
n
Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy.
2. Dãy số (a
n
) cho bởi:



=
==
++
12
21
9;15

nnn
aaa
aa
. Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy.
Loại 2: Xác định công thức a
n
của dãy (a
n
) đợc xác định bởi công thức truy hồi.
1. Cho các dãy số sau:
(a
n
) định bởi: a
n
=
34
2
2
++
nn
và (S
n
) định bởi



+=
=
++
11

11
nnn
aSS
aS
n N.
Xác định công thức S
n
theo n.
2. Tìm U
n
theo U
1
và n biết rằng: a) U
n
=U
n-1
+2 (n

2). b) U
n
= 2U
n -1
+1 (n

2).
c) U
n+1
= U
n
+3n (n

1).
3. Cho dãy số a
n
định bởi:



+=
=
+
naa
a
nn
9110
11
1
1
(n N).
Xác định công thức U
n
theo n.
4. Cho dãy số (U
n
) xác định bởi: a)



+=
=

+
2
1
1
1
nn
UU
U
(n N
*
).
Xác định công thức U
n
theo n. b)





=
=
+
nn
UU
U
2
1
3
1
1

nN
*
).
5. Cho dãy số (a
n
) định bởi:



+=
==

21
21
.2
2;1
nnn
aaa
aa
(n

3).
Chứng minh rằng: a
n

(
2
5
)
n

nN.
1
6. Cho dãy số (b
n
) định bởi:



+=
==

21
21
2
1
nnn
bbb
bb
(n

3).
Chứng minh rằng: b
n
< 6b
n-2
( n

5).
7. Cho dãy số (U
n

) định bởi:




==
+
11
21
23
3;2
nnn
UUU
UU
Chứng minh rằng: U
n
=2
n
+1.
Loại 3: Chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm.
1. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) a
n
=
n
n
4
b)

+=
=
+
12
1
1
1
nn
bb
b
2. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau cho bởi CT tổng quát:
a. a
n
= n
2
b. a
n
=1 -
1
+
n
.
3. Cho a là một số thực và a>1.
Chứng minh rằng dãy số (U
n
) có số hạng tổng quát: U
n
= a
n

+
n
a
1
là một dãy
tăng.
4. Cho ('U
n
) xác định bởi: U
n
=
1
1
+
n
+
2
1
+
n
+
nn
+
1
.
Chứng minh rằng: (U
n
) là tăng.
5. Cho dãy (U
n

) xác định bởi: U
n
=n(
2
)1(
)2(
+
+
n
nn
và (v
n
)xác định bởi: v
n
= U
1.
U
2
U
n
.
a. Chứng minh (U
n
)tăng và (v
n
)giảm.
b. CMR: v
n
:
)1(2

2
+
+
n
n
..
Loại 4: Chứng minh một dãy số bị chặn.
1. Xét tính bị chặn của dãy số (U
n
) xác định bởi CT tổng quát.
a. U
n
=
)2(
1
+
nn
(n

1) b. U
n
=
3
5
2
2
+
n
n
.

c. U
n
= (-1)
n
.
1
2
+
n
n
. sinn. d. U
n
= (-1)
n
+cos n.
e. U
n
=n.cos

n g. U
n
=
22
3
1
2
1
+
+ +
2

1
n
.
2
f. U
n
=
)2(
1
...
4.2
1
3.1
1
+
+++
nn
.
2. Cho dãy số (U
n
) đợc xác định bởi:





=
=
+
1

2
1
1
1
1
nn
UU
U
CMR: (U
n
)bị chặn bởi -2 và 1.
3. Cho dãy số (a
n
) xác định bởi:





+
+
=
=
+
1
2
1
1
1
n

n
n
a
a
a
a
n N.
CMR: 1
n
a

2
3

(nN).
4. Cho dãy số (U
n
) định bởi.





+=
=
+
4
2
1
0

1
1
nn
UU
U
(n

1).
a. Chứng minh rằng: U
n
<8.
b. Chứng minh rằng: dãy số (U
n
) tăng, suy ra (U
n
) là dãy số bị chặn.
chuyên đề: Cấp số cộng
A - Lý thuyết: (SGK).
B - Bài tập: Một số dạng toán thờng gặp.
1. Cho 3 số dơng a, b, c lập thành một cấp số cộng CMR:
a) a
2
+ 2bc = c
2
+2ab b) a
2
+ 8bc = (2b+c)
2
.
c) a

2
+ ab + b
2
; a
2
+ac +c
2
; b
2
+bc +c
2
lập thành 1 cấp số cộng.
2. Cho a
2
, b
2
, c
2
lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0. CMR bộ 3số:
a.
cb
+
1
;
ac
+
1
;
ba
+

1
b.
cb
a
+
;
ac
b
+
;
ba
c
+
. Lập thành cấp số cộng.
3. Xác định cấp số cộng (U
n
) biết:
a.



=+
=+
26
10
64
352
UU
UUU
b.

=
=
35
19
9
5
U
U
c.



=+
=
16
8
2
4
2
2
6
UU
U
.
3
4. Cho cấp số cộng (a
n

) có:



=
=
18
15
14
3
a
a
. Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.
5. Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết rằng tổng của chúng là 27 và tổng
bình phơng bằng 293.
6. Định 4 số biết chúng lập thành 1 cấp số cộng có tổng là -10 và tổng bình phơng
của 4 số này là 70.
7. Định 5 số biết chúng lập thành một cấp số cộng có tổng là 15 và tổng bình phơng
của 5 số này bằng 35.
8. Một cấp số cộng có 11 số hạng, tổng các số hạng là 176. Hiệu số hạng cuối và số
hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
9. Một cấp số cộng có số hạng thứ 54 là -61 và số hạng thứ 4 là 64. Tìm số hạng thứ 23.
10. Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng:
a. x
4
-2(m+1)x
2
+2m+1 = 0. b. x
4
- mx

2
+ m = 0.
11. Trong ABC nếu có:
a.
ữ
tg
2
A
; tg
2
B
; tg
2
C
thì có:
ữ
cosA; cosB; cosC.
b.
ữ
cotg
2
A
; cotg
2
B
; cotg
2
C
thì có
ữ

a, b, c.
c. sinA. sinB = 3sin
2
2
C

thì
ữ
a, c, b.
d.
ữ
sin(B + C - A); sin (C + A - B); sin(A + B - C) thì có
ữ
tgA, tgB, tgC.
12. CMR trong ABC nếu có: cotgA, cotgB, cotgC thứ tự lập thành cấp số cộng thì:
a
2
,b
2
, c
2
cũng lập thành cấp số cộng.
13. Cho
ữ
U
1
;U
2;
U
3

; U
n
.
CMR: S =
2.1
.
1
UU
+
32
.
1
UU
+ ..+
nn
UU .
1
1

=
n
UU
n
.
1
.1

4. Cho hàm số: a) y = x
3
-3x

2
- 9x+m. b) y = x
3
-3mx
2
+2m(m - 4)x+9m
2
- m.
Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm với các hoành độ lập thành
cấp số cộng.
chuyên đề: Cấp số nhân
A. Lý thuyết:
B. Bài tập: Một số VD cơ bản.
1. Cho 3 số dơng: a, b, c lập thành cấp số nhân.
4
CMR: 3 số:
)(
3
1
cba
++
;
)(
3
1
cabcab
++
;
3
abc

cũng lập thành
2.Ba số:
ab

2
;
b
1
;
cb

2
lập thành
ữ
CMR: a, b, c lập thành
3. Cho 3 số a, b, c lập thành cấp số nhân CMR:
(a + b + c)(a - b + c) = a
2
+b
2
+c
2
. áp dụng: tìm 3 số liên tiếp của 1 cấp biết
tổng = 14 và tổng bình phơng = 84.
4. Xác định cấp số nhân biết: a)

<
=
=
0
135
15
6
5
3
U
U
U
b)



=+
=++
10
21
42
531
UU
UUU
5. Tìm 1 cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu là 15 và tổng bình phơng của chúng bàng 85.
6. Tính tổng:
a. S = 7+77+777+ +777 777.
b. S = 1+2.2+3.2
2
+4.2

3
+ +100.2
99
.
c. S = 1+4.2+7.2
2
+10.2
3
+ +(3n-2).2
n-1
.
d. S = 1 + 11+ 111 + + 111 1 (n chữ số).
e. S = 1 + 2a + 3a
2
+ 4a
3
+ với -1 < a < 1.
f. Cho số thập phân tuần hoàn: A = 0,212121
CMR: A =
33
7
******************** Hết *******************
;
5