Toán căn bậc 2

Trang 1
* CĂN BẬC HAI SỐ HỌC *
1. Ôn phép bình phương
1.
2
.a a a=
.
2.
2
0,a a≥ ∀
và
2
0 0a a= ⇔ =
.
3.
2 2
a b
a b
a b
=

= ⇔

= −

.
4.
2 2
0a b a b> > ⇒ >
và
2 2

0b a a b< < ⇒ <
.
5.
( )
2
2 2
ab a b=
.
6.
2
2
2
0 :
a a
b
b b
 
≠ =
 ÷
 
.
7.
0
0
0
a
ab
b
=


= ⇔

=

.
8.
0
0
0
0
0
a
b
ab
a
b

>



>


> ⇔

<




<



và
0
0
0
0
0
a
b
ab
a
b

>



<


< ⇔

<



>




.
9.
2 2 2
2
2 2
4
2
2 2 2 4
b b b c b b ac
ax bx c a x x a x
a a a a a a
 
−
     
+ + = + + − + = + −
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 

0a >
⇒
2
2 2
4 4
,

2 4 4
b b ac b ac
a x x
a a a
− −
 
+ − ≥ − ∀
 ÷
 
⇔
2
4
4
b ac
a
−
−
là giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
, 0ax bx c a+ + ≠
bằng
2
4
4
b ac
a
−
−
, khi

0
2
b
x
a
+ =
hay
2
b
x
a
= −
.

0a <
⇒
2
2 2
4 4
,
2 4 4
b b ac b ac
a x x
a a a
− −
 
+ − ≤ − ∀
 ÷
 
⇔

2
4
4
b ac
a
−
−
là giá trị lớn nhất của
biểu thức
2
, 0ax bx c a+ + ≠
bằng
2
4
4
b ac
a
−
−
, khi
0
2
b
x
a
+ =
hay
2
b
x

a
= −
.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
5 3T x x= − −
, tính giá trị đó ?
Bài giải
2 2 2
2 2
3 3 3 3 29 29
5 3 2. . 5 ,
2 2 2 2 4 4
T x x x x x x
 
     
= − − = − + + − − = − + + ≤ ∀
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
: Giá trị lớn
nhất của T bằng
*
29
4
T =
khi
3

2
x = −
.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3 7 2T x x= − +
, tính giá trị đó ?
Bài giải
Trang 2
2 2 2
2 2
7 7 7 7 23 23
3 7 2 3 2. . 2 3 ,
6 6 6 6 12 12
T x x x x x x
 
     
= − + = − + + − = − + ≥ ∀
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
: Giá trị nhỏ
nhất của T bằng
*
23
12
T =
khi

7
6
x =
.
Ví dụ 3 : Tìm
,x y
thỏa mãn đẳng thức
2 2
1x y xy x y+ + = + +
.
Bài giải
2 2
1x y xy x y+ + = + +
⇔
( )
( )
2 2
2 1 2x y xy x y+ + = + +
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 2 1 0x xy y x x y y− + + − + + − + =
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 0x y x y− + − + − =
⇔
0
1 0
1 0

x y
x
y
− =


− =


− =

⇔
1
1
x
y
=


=

.
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của x, y thì biểu thức
2 2
3 3 2012T x xy y x y= + + − − +
đạt giá trị
nhỏ nhất, tính giá trị đó ?
Bài giải
( ) ( )
2 2 2 2

3 3 2012 2 1 2 1 1 2009T x xy y x y x x y y xy x y= + + − − + = − + + − + + − − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 2009 1 1 1 1 2009T x y x y y x y x y= − + − + − − − + = − + − + − − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1
1 2. 1 1 1 1 1 2009
2 2 2
T x x y y y y
   
= − + − − + − + − − − +
 ÷  ÷
   
.
( )
2
2
1 3
1 1 2009 2009, ,
2 4
y
T x y x y
−
 
= − + + − + ≥ ∀
 ÷
 
: Giá trị nhỏ nhất của T bằng

*
2009T =

khi
1
1 0
2
1 0
y
x
y
−

− + =



− =

⇔
1
1
x
y
=


=

.

Ví dụ 5 : Có hay không các số x, y, z thỏa mãn
2 2 2
4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + − + − + =
.
Bài giải
2 2 2
4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + − + − + =
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2
2.2 4 4 4 1 8 16 1 0x x y y z z− + + + + + − + + =
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 1 4 1 0x y z− + + + − + =
.
Vì
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 1 4 1 1 0, , ,x y z x y z− + + + − + = > ∀
: nên không có các số x, y, z nào thỏa mãn
đẳng thức đã cho.
2. Căn bậc hai
1. Căn bậc hai của một số
a
không âm là số
x
sao cho
2
x a=

.
2. Số âm không có căn bậc hai.
3. Mỗi số dương
a
có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương ký hiệu là
a
,
số âm ký hiệu là
a−
.
4. Số 0 có đúng một căn bậc hai là số 0.
Trang 3
Ví dụ 1 : Tìm căn bậc hai của mỗi số sau :
a) 25 b)
9
16
c) 0,49 d) 7,29.
Bài giải
a)
25 5=
;
25 5= −
b)
9 3
16 4
=
;
9 3
16 4
= −

.
c)
0,49 0,7=
;
0,49 0,7= −
d)
7,29 2,7=
;
7,29 2,7=
.
3. Căn bậc hai số học
Định nghĩa : Với số dương
a
, số
a
gọi là căn bậc 2 số học của
a
.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc 2 số học của số 0.
Ghi nhớ :
1)
2
0x
x a
x a
≥

= ⇔

=


2) Phép bình phương và phép căn bậc hai số học là hai phép toán ngược nhau.
Ví dụ 1 : Tìm căn bậc 2 số học của mỗi số sau :
a) 25 b)
9
16
c) 0,49 d) 7,29.
Bài giải
a)
25 5=
vì
2
5 0;5 25≥ =
. b)
9 3
16 4
=
vì
2
3 3 9
0;
4 4 16
 
≥ =
 ÷
 
.
c)
0,49 0,7=
vì

( )
2
0,7 0; 0,7 0,49≥ =
. d)
7,29 2,7=
vì
( )
2
2,7 0; 2,7 7,29≥ =
.
Định lý :
0a b a b
> ≥ ⇔ >
Ví dụ 2 : So sánh các cặp số sau, (không dùng bảng số hay máy tính)
a) 3 và
10
b) 4 và
15
c) 6 và
33
d) 7 và
50
.
Bài giải
a)
3 9 10= <
vậy
3 10<
b)
4 16 15= >

, vậy
4 15>
.
c)
6 36 33= >
vậy
6 33>
d)
7 49 50= <
, vậy
7 50<
.
Ví dụ 3 : Tìm số
x
không âm biết :
a)
5x =
b)
2x =
c)
3x = −
d)
0x =
Bài giải
a)
5x =
⇔
( )
2
2

5x =
⇔
25x
=
.
b)
2x =
⇔
( ) ( )
2 2
2x =
⇔
2x
=
.
c)
3x = −
: vô nghiệm vì
0 0 3x x≥ ⇒ ≥ > −
.
d)
0x =
⇔
( )
2
0x =
⇔
0x
=
.

Ví dụ 4 : Tìm số
x
không âm biết :
a)
3x >
b)
16x <
c)
7x <
d)
5x <
e)
3 15x <
.
Bài giải
Trang 4
a)
3 9 9 9x x x> = ⇒ > ⇒ >
b)
16 4 0 4x x< = ⇒ ≤ <
c)
7 49 0 49x x< = ⇒ ≤ <
d)
5 0 5x x< ⇒ ≤ <
.
e)
3 15 5 25 0 25x x x< ⇒ < = ⇒ ≤ <
.
Ví dụ 5 : Tính :
a)

0,04 0,25A = +
b)
5,4 7. 0,36B = +
c)
4
0,5. 100
25
C = −
d)
9 9
1 :5
16 16
D
 
= −
 ÷
 
.
Bài giải
a)
0,04 0,25 0,2 0,5 0,7A = + = + =
.
b)
5,4 7. 0,36 5,4 7.0,6 5,4 4,2 9,6B = + = + = + =
.
c)
4 2 2 23
0,5. 100 0,5.10 5
25 5 5 5
C = − = − = − =

.
d)
9 9 5 3 1 1
1 :5 :5 :5
16 16 4 4 2 10
D
 
 
= − = − = =
 ÷
 ÷
 
 
.
Ví dụ 6 : So sánh :
26 7−
và
5 8−
.
Bài giải
Vì
26 25 5> =
và
7 8<
suy ra :
26 7 5 8− < −
.
* LUYỆN TẬP *
Bài tập 1 : Tìm
,x y

thỏa mãn đẳng thức
2 2
1x y x y xy+ + = − −
.
Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
6 5T x x= − −
, tính giá trị đó ?
Bài tập 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
3
5 3 2
T
x x
=
− +
, tính giá trị đó ?
Bài tập 4 : a) Với giá trị nào của a, b thì biểu thức
2 2
4 5 10 22 29T a ab b a b= − + + − +
đạt
giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó ?
b) Với giá trị nào của m, n thì biểu thức
2 2
5 2 4 10 7T m n m mn n= − − − + + −
đạt
giá trị lớn nhất, tính giá trị đó ?
Bài tập 5 : Có hay không các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau
a)
2 2 2

4 4 2 6 13 0x y z x y z+ + − + − + =
.
b)
2 2 2
5 2 2 4 8 16 0x y z xy yz z+ + + − − + =
.
Bài tập 6 : Tìm căn bậc 2 số học của mỗi số sau : a) 49 b)
36
68
c) 51,84 d) 0,81.
Bài tập 7 : So sánh các cặp số sau :
a) 5 và
26
b) 3 và
3 1+
c) 10 và
2 31
d) 3 và
8
.
Bài tập 8 : Tìm số
x
không âm biết :
a)
5x >
b)
36x <
c)
4x <
d)

11x <
e)
5 10x
<
.
Bài tập 9 : Tính :
Trang 5
a)
0,36 0,04A = +
b)
2,7 5. 0,25B = −
c)
9
0,7. 81
16
C = −
d)
25 144
1 :6
144 25
D
 
= −
 ÷
 
.
Bài tập 10 : So sánh :
51 19−
và
7 20−

.
* CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
2
A A=
*
1. Điều kiện để
A
xác định ( hay có nghĩa ) là
0A
≥
.
Ví dụ 1 : Với các giá trị nào của
a
thì căn thức sau xác định ?
a)
3a
b)
5a−
c)
3
a
d)
4 a−
e)
1
1a −
f)
2
1a +
g)

( ) ( )
2 3a a+ −

Bài giải
a)
3a
xác định khi
3 0 0a a
≥ ⇔ ≥
.
b)
5a−
xác định khi
5 0 0a a
− ≥ ⇔ ≤
.
c)
3
a
xác định khi
0 0
3
a
a≥ ⇔ ≥
.
d)
4 a−
xác định khi
4 0 4a a
− ≥ ⇔ ≤

.
e)
1
1a −
xác định khi
1
0 1 0 1
1
a a
a
≥ ⇔ − > ⇔ >
−
.
f)
2
1a +
xác định khi
2
1 0a + ≥
, đúng với mọi a.
g)
( ) ( )
2 3a a+ −
xác định khi
( ) ( )
2 3 0a a+ − ≥
⇔
2 0
3 0
a

a
+ ≥


− ≥

hoặc
2 0
3 0
a
a
+ ≤


− ≤

.
g1)
2 0
3 0
a
a
+ ≥


− ≥

⇔
2
3

a
a
≥ −


≤

⇔
2 3a
− ≤ ≤
.
g2)
2 0
3 0
a
a
+ ≤


− ≤

⇔
2
3
a
a
≤ −


≥


⇔ không xác định được a.
Vậy :
( ) ( )
2 3a a+ −
xác định khi
2 3a
− ≤ ≤
.
Ví dụ 2 : Với các giá trị nào của
x
thì căn thức sau xác định ?
a)
4 3
2 3
x
x
−
−
b)
( ) ( )
5 2 3x x− −
c)
2
1
4 x−
d)
2
2 5 3x x− −
e)

2
2 4x x− −
f)
2
5x x
x
+ + −
g)
2
4 1 5 2 2x x x x− − − + + +
Bài giải
a)
4 3
2 3
x
x
−
−
xác định khi
4 3
0
2 3
x
x
−
≥
−
.