Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong hệ tọa độ OXY

Hình học 10|

HÌNH HỌC 10
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
DẠNG 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
I
=

LÝ THUYẾT.

Tọa độ giao điểm của

1

và

2

là nghiệm của hệ phương trình:

a1 x

b1 y

c1

0

a2 x

b2 y

c2

0

.

● Nếu hệ có một nghiệm  x0 ; y0  thì 1 cắt  2 tại điểm M 0  x0 ; y0  .
● Nếu hệ có vô số nghiệm thì 1 trùng với  2 .
● Nếu hệ vô nghiệm thì 1 và  2 không có điểm chung, hay 1 song song với  2 .
Cách 2. Xét tỉ số
a
b c
● Nếu 1  1  1 thì 1 trùng với  2 .
a2 b2 c2
● Nếu

a1 b1 c1
 
thì 1 song song  2 .
a2 b2 c2

● Nếu

a1 b1

thì 1 cắt  2 .
a2 b2

Các trường hợp khác
● Với n1   a1; b1  và n2   a2 ; b2  lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 1 và  2 ; 1 vuông góc
với với  2  n1.n2  0 .
● Cách tìm điều kiện để ba đường thẳng 1 ,  2 ,  3 đồng quy: Ta tìm giao điểm của hai trong
ba đường trên, sau đó tìm điều kiện để điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại.

II
=

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2.1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (không chứa tham số)

Ví dụ 1
Ví
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d1 : 4 x  10 y  1  0 và d2 : x  y  2  0;
1|

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

1. Lý thuyết:
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là
1 : a1 x  b1 y  c1  0 và 2 : a2 x  b2 y  c2  0 .


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
b) d3 :12 x  6 y  10  0 và d4 : 2 x  y  5  0;

 x  6  5t

c) d5 :8x  10 y  12  0 và d 6 : 
 y  6  4t.
 x  1  t
 x  2  2t 
d) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d7 : 
và d8 : 
.
 y  2  2t
 y  8  4t 
Lời giải
4
10
a) Ta có:   . Vậy d1 cắt d 2 .
1
1
12 6 10
b) Ta có:

 . Vậy d3 / / d 4 .
2 1 5
c) Phương trình tổng quát của d 6 là: 4 x  5 y  6  0.
4 5
6


. Vậy d5  d6 .
8 10 12
 x  1  t
d) d7 : 
có một vec tơ chỉ phương là u7  1; 2 

 y  2  2t

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Ta có:

 x  2  2t 
d8 : 
đi qua điểm B  2; 8 và có một vec tơ chỉ phương là u8   2; 4  .
 y  8  4t 
Ta thấy u7 , u8 cùng phương và điểm B  2; 8 thuộc đường thẳng d 7 . Vậy d7  d8 .

Ví dụ 2
Ví

 x  2  3t
 x  2t 
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : 
và d 2 : 
.
 y  2t
 y  2  3t 
Lời giải
 x  2  3t
d1 : 
có một vec tơ chỉ phương là u1   3; 2 
 y  2t
 x  2t 
d2 : 
có một vec tơ chỉ phương là u1   2;3

 y  2  3t 
Ta thấy u1  u2  0 nên d1  d2 .

Ví dụ 3
Ví
Cho hai đường thẳng d1 : x  2 y  5  0 và d2 : 3x  y  0. Tìm giao điểm của d1 và d 2 .
Lời giải
Giao điểm của

d1

và

d2

là điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

x  2 y  5  0 x  1


3x  y  0
 y  3.

Vậy d1 cắt d 2 tại điểm A 1;3 .

|2


Hình học 10|

Ví dụ 4
Ví
Cho hai đường thẳng 1 : 3x  y  3  0, 2 : x  y  2  0 và điểm M (0; 2)
a) Tìm tọa độ giao điểm của 1 và  2 .
b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt 1 và  2 lần lượt tại A và B sao cho B là
trung điểm của đoạn thẳng AM
Lời giải

3

xA  

2 xB  x A


4
điểm AM suy ra 

  : 29 x  3 y  6  0 .
4 xB  4  2  3xA  3  x   3
B

8


Ví dụ 5
Ví
Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là AB :2 x  y  2  0 ,
BC :3x  2 y  1  0 , CA :3x  y  3  0 .
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng  :3x  y  2  0 .

Lời giải
2 x  y  2  0
 x  1

 A  1;0 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
3x  y  3  0
y  0
Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là u   2;  3 .

Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ u   2;  3 làm vectơ pháp tuyến nên
có phương trình là: 2  x  1  3 y  0 hay 2 x  3 y  2  0
Ta có

3|

3 1
suy ra hai đường thẳng d và  cắt nhau.

2 3

d  .

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

1 9
a) N  ;   là giao điểm của hai đường thẳng 1 và  2 .
4 4
b) A 1  3xA  yA  3  0  yA  3xA  3 , B 2  xB  yB  2  0  yB  2 xB  2 . B là trung

| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
2.1.3. Bài tập luyện tâp:
Câu 1. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng 1 : x  2 y  1  0 và  2 : 3x  6 y  1  0 .
A. Song song.
B. Trùng nhau.
C. Vuông góc nhau.
D. Cắt nhau.
Lời giải
Chọn A
x  2 y 1  0
Cách 1: Xét hệ phương trình: 
hệ vô nghiệm nên 1 / /  2 .
3x  6 y  1  0
1 2 1
Cách 2: Ta có:
nên 1 / /  2 .


3 6 1

x y
  2 và 6 x  2 y  8  0
2 3
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
D. Vuông góc với nhau.
Lời giải

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Câu 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình
A. Song song.
C. Trùng nhau.
Chọn B
Ta có

6 2
x y
  2  3x  2 y  6  0 . Do 
nên hai đường thẳng cắt nhau.
2 3
3 2

Mặt khác 6.3   2  .  2   0 nên hai đường thẳng không vuông góc.


 x  3  2t
Câu 3. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng 1 : 
và  2 :
y

1

3
t


A. Hai đường thẳng song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Hai đường thẳng vuông góc nhau.

D. Hai đường thẳng trùng nhau.
Lời giải
Chọn B

1 : có vtcp u1 





2;  3 ;  2 : có vtcp u2 




 x  2  3t '


 y  1  2t '



3;  2 .

Ta có: u1 , u2 không cùng phương và u1.u2  2 6 nên 1 ,  2 cắt nhau nhưng không vuông
góc
Câu 4. Đường thẳng  : 3x  2 y  7  0 cắt đường thẳng nào sau đây?
A. d1 : 3x  2 y  0.

B. d2 : 3x  2 y  0.

C. d3 : 3x  2 y  7  0.

D. d4 : 6 x  4 y  14  0.
Lời giải

Chọn A
 : 3x  2 y  7  0 và d1 : 3x  2 y  0 có

3 2

  cắt d1.
3 2

|4


Hình học 10|
Câu 5. Hai đường thẳng d1 : 4 x  3 y 18  0; d2 : 3x  5 y 19  0 cắt nhau tại điểm có toạ độ:
A.  3; 2  .

B.  3; 2  .

C.  3; 2  .

D.  3; 2  .

Lời giải
Chọn A

4 x  3 y  18  0
x  3

. Vậy d1  d2  A  3;2  .
Xét hệ phương trình 
3x  5 y  19  0
y  2
Câu 6. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 4 x  3 y  26  0 và 3x  4 y  7  0 .
A.  2; 6  .

B.  5; 2  .

C.  5; 2  .

D. Không có giao điểm.
Lời giải

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

4 x  3 y  26  0  x  5

. Vậy toạ độ giao điểm là  5; 2  .

3x  4 y  7  0
 y  2
Câu 7. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng
d : y  2 x  1?
A. 2 x  y  5  0.
B. 2 x  y  5  0.
C. 2 x  y  0.

D. 2 x  y  5  0.
Lời giải
Chọn D

 d  : y  2x 1  2x  y 1  0

và đường thẳng 2 x  y  5  0 không song song vì

2 1
.

2 1

Câu 8. Cho 4 điểm A(0 ; 2), B(1 ; 0), C(0 ; 4), D(2 ; 0) . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường
thẳng AB và CD
 3 1
B.   ;  .
 2 2
D. Không có giao điểm.

A. (1 ; 4) .
C. (2 ; 2) .
Lời giải
Chọn D

AB có vectơ chỉ phương là AB   1; 2  và CD có vectơ chỉ phương là CD   2; 4  .
Và các điểm A, B, C không thẳng hàng.
Ta có: AB   1; 2  và CD   2; 4  cùng phương nên AB và CD không có giao điểm.
Câu 9. Cho 3 đường thẳng  d1  : 3x  2 y  5  0 ,  d 2  : 2 x  4 y  7  0 ,  d3  : 3x  4 y  1  0 . Viết
phương trình đường thẳng  d  đi qua giao điểm của  d1  ,  d 2  và song song với  d3  .

A. 24 x  32 y  53  0 .
5|

B. 24 x  32 y  53  0 .

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Chọn C


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
D. 24 x  32 y  53  0 .

C. 24 x  32 y  53  0 .
Lời giải
Chọn A

Tọa độ giao điểm M của  d1  và  d 2  là nghiệm của hệ

3

 x   8
3x  2 y  5
 3 31 

 M  ; .

 8 16 
2 x  4 y  7
 y  31


16

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

 3 31 
Phương trình đường thẳng    song song với  d3  qua M   ;  có dạng
 8 16 

   : 3  x 


53
3 
31 
  4  y    0  3x  4 y   0  24 x  32 y  53  0 .
8
8 
16 

 x  1  2t
Câu 10. Cho hai đường thẳng d và d  biết d : 2 x  y  8  0 và d  : 
. Biết I  a; b  là tọa
y  3t
độ giao điểm của d và d  . Khi đó tổng a  b bằng
A. 5 .

C. 3 .

B. 1 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn A
Tham số t ứng với giao điểm của d và d  là nghiệm của phương trình

x  3
2 1  2t    3  t   8  0  t  1 . Khi đó 
 I  3; 2   a  b  5 .
y  2
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : x  2 y  1  0 . Nếu đường thẳng  qua điểm

M 1; 1 và  song song với d thì  có phương trình
A. x  2 y  3  0 .

B. x  2 y  3  0 .

C. x  2 y  5  0 .

D. x  2 y  1  0 .

Lời giải
Chọn B
Đường thẳng d có 1 vectơ pháp tuyến là n  1; 2  .
Đường thẳng  đi qua điểm M 1; 1 và  song song với d nên  nhận n  1; 2  làm
vectơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường thẳng  là  x  1  2  y  1  0  x  2 y  3  0 .

 x  2  3t

Câu 12. Cho đường thẳng  : 
t 
 y  1  t
qua M và vuông góc với  là
A. 3x  y  9  0 .



và điểm M  1; 6  . Phương trình đường thẳng đi
B. x  3 y  17  0 .
|6


Hình học 10|
D. x  3 y  19  0 .

C. 3x  y  3  0 .
Lời giải
Chọn C

 có một vectơ chỉ phương u   3;1 .
Vì đường thẳng d vuông góc với  nên d có véctơ pháp tuyến n  u   3;1 .
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 3  x  1   y  6   0  3x  y  3  0 .
Câu 13. Cho đường thẳng d1 :2 x  y  15  0 và d2 : x  2 y  3  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d1 và d 2 vuông góc với nhau.
B. d1 và d 2 song song với nhau.
D. d1 và d 2 cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Lời giải
Chọn A

d1 có vectơ pháp tuyến n1   2;1 .

d 2 có vectơ pháp tuyến n2  1;  2  .
Ta có n1.n2  2.1  1.  2   0 .
Vậy d1 và d 2 vuông góc với nhau.
Câu 14. Cho bốn điểm A 1; 2  , B  1; 4  , C  2; 2  , D  3; 2  . Toạ độ giao điểm của hai đường
thẳng AB và CD
A. A 1; 2  .

B. B  3; 2  .

C.  0; 1 .

D.  5; 5 .

Lời giải
Chọn A

AB   2;2  và CD   5;0  .
Phương trình tổng quát của AB và CD lần lượt là x  y  3  0 và y  2  0 .

x  y  3  0 x  1

.
y  2  0
y  2

 Toạ độ giao điểm của AB và CD là nghiệm hệ 

Câu 15. Cho bốn điểm A 1; 2  , B  4;0  , C 1; 3 , D  7; 7  . Vị trí tương đối của hai đường thẳng

AB và CD
A. Song song.
C. Trùng nhau.
Chọn A
7|

B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
D. Vuông góc với nhau.
Lời giải

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

C. d1 và d 2 trùng nhau với nhau.


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

AB   3; 2  , CD   6; 4  và AC   0; 5 .
Ta thấy: CD  2 AB  CD và AB cùng phương.
Lại có:

0 5

 AB và AC không cùng phương.
3 2

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Vậy hai đường thẳng AB và CD song song.

|8


Hình học 10|

Loại 2.2: Tìm điều kiện của tham số để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng
nhau, vuông góc…và 3 đường thẳng đồng quy (Chứa tham số).
A. VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1
Ví
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
a) d1 : 3x  4 y  10  0 và d 2 :  2m  1 x  m2 y  10  0 trùng nhau?
b) d1 : mx   m  1 y  2m  0 và d 2 : 2 x  y  1  0 song song?





c) d1 : 3mx  2 y  6  0 và d 2 : m2  2 x  2my  6  0 cắt nhau?
Lời giải

d :  2m  1 x  m y  10  0 d1 d2 2m  1 m2 10
a)  2




3

4
10
d
:
3
x

4
y

10

0

 1
 2m  1  3
 2
 m  2.
m  4
Vậy m  2 thì hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) trùng nhau.

d1 : mx   m  1 y  2m  0 d1||d2 m m  1 2m

 

b) 
2
1
1
d 2 : 2 x  y  1  0

m  0

 m  2.
 m  2m  2
Vậy m  2 thì hai đường thằng (d1 ) và (d 2 ) song song.
d1 : 3mx  2 y  6  0  n1   3m;2 
c) Ta có: 
2
2
d 2 :  m  2  x  2my  6  0  n2   m  2;2m 

d1 : y  3  0
 m  0  tm  .
TH1: m  0  
d 2 : x  y  3  0
m 2  2 2m

 m  1
3m
2
Vậy với m  1 thì hai đường thằng (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau.
d1 d 2  M

TH2: m  0 

Ví dụ 2
Ví
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
 x  2  3t

a) d1 : 2 x  3 y  4  0 và d 2 : 
cắt nhau.
 y  1  4mt
 x  1  at
b) d1 : 2 x  4 y  1  0 và d 2 : 
vuông góc với nhau?
 y  3   a  1 t

9|

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

2


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 x  2  2t
c) d1 : 
và d 2 : 4 x  3 y  m  0 trùng nhau.
 y  1  mt

Lời giải

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

d1 : 2 x  3 y  4  0
4m 3
1


n1   2; 3
d1 d 2  M





 m  .
a) 
 x  2  3t
2
3
2
n2   4m; 3
d 2 :  y  1  4mt


1
Vậy với m  thì hai đường thằng (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau.
2

d1 : 2 x – 4 y  1  0
n1  1; 2 

d1  d 2



 n1  n2  0  a  1  2a  0  a  1.
 x  1  at

b) 
d
:
n

a

1
;
a



2
 2

 y  3   a  1 t

Vậy với a  1 thì hai đường thằng (d1 ) và (d 2 ) vuông góc.


 x  2  2t
5  m  0
d1 : 
 A  2;1  d1 , u1   2; m   d d  A  d 2

1
2
 2 m  
 m .

c)
 y  1  mt
8
 
m




3
d 2 : 4 x  3 y  m  0  u2   3; 4 

3 4


Ví dụ 3
Ví
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

 x  1  mt
 x  m  2t

:
a) 1 : 
và
trùng nhau?

2
2
y  m t


 y  1   m  1 t
 x  2  3t
 x  2  3t
b) d1 : 
và d 2 : 
vuông góc?
 y  3  2t
 y  1  4mt
Lời giải


 x  m  2t
 A  m;1  d1 , u1   2; m 2  1
 1 : 
2
 A  d2
y

1

m

1
t






d1  d 2

 m
a) 
1
 x  1  mt

 2  m 2  1
  2 :  y  m  t  u2   m;1



m  1  mt
m 2  1  0

m  1  m 1  m 
 1  m  t


 m  1.

2
m

1

0
m

1

m

m

2

0





m3  m  2  0


| 10


Hình học 10|

 x  2  3t
 n1   2; 3
 d1 : 
 y  3  2t

b) 
d :  x  2  3t  n   4m; 3
2
 2  y  1  4mt


9
d1 d 2

 2.4m   3 .  3  0  m   .
8

Ví dụ 4
Ví

d1 : 3x  4 y  15  0 , d 2 : 5x  2 y  1  0 và d3 : mx   2m  1 y  9m  13  0 . Tìm tất cả các giá
trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
Lời giải

x  2  t  0 x  0

 Oy  d 2  A  0;2 
a) Oy  d 2  
 y  6  2t
y  2
m  0
2
.
A  0;2   d1  6m  m  0  
m  6
d1 : 3x  4 y  15  0
 x  1

 d1  d 2  A  1;3
b) Ta có: 

y  3
d 2 : 5 x  2 y  1  0
A  1;3  d 3  m  6m  3  9m  13  0  m  5.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Với

giá

trị

nào

của

m

thì

hai

đường

thẳng

d1 : 3x  4 y  10  0

d2 : (2m  1) x  m2 y  10  0 trùng nhau?

A. m .

B. m  1 .

C. m  2 .
Lời giải

Chọn C

2m  1 m2 10
d1  d 2 


3
4 10

Câu 2:

11 |

 2m  1 m 2
2

2
 3  4
m  2 m 
3m  8m  4  0

 2

 2

3  m  2.

m
10
m

4




 m  2  m  2
 4 10
Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau?

D. m

.

và

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

x  2  t
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng d1 : 4 x  3my – m2  0 và d 2 : 
 y  6  2t
cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình

| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


 x  1  mt
 x  m  2t
và
1 : 

:

2
2

y  m  t
 y  1  (m  1)t
4
A. Không có m .
B. m  .
C. m  1 .
3

D. m  3 .

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Lời giải
Chọn A
Số giao điểm của phương trình là nghiệm của hệ:

m  2t  1  mt '
2t  mt '  1  m


 2
2
1  (m  1)t  m  t ' (m  1)t  t '  m  1
Để hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ phương trình trên có vô số nghiệm:
2
m 1  m


 1  không tồn tại m .
2
m  1 1 m  1
Câu 3:

Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau?

 1 : 3x  4 y  1  0 và  2 :  2m  1 x  m2 y  1  0
A. m  2 .

B. Mọi m.

D. m  1 .

C. Không có m.
Lời giải

Chọn C





VTPT của hai đường thẳng lần lượt là n1   3;4  ; n1  2m  1; m2 ; M  1;1  1
Để hai đường thẳng song song thì :

4
 3
2

 2

3m  8m  4  0
2
m

1
 vô nghiệm.
m 

2

 M  1;1  
1  2m  m  1  0
2

Câu 4:

Hai đường thẳng d1 : m x  y  m  1; d2 : x  my  2 song song khi và chỉ khi:
B. m  1 .
Lời giải

A. m  2 .

C. m  1 .

D. m  1.

Chọn C
Xét m  0 ; d1 : y  1; d2 : x  2  không thỏa mãn.

Câu 5:

Xét m  0 ;
m 1 m 1
d1 //d 2   
.
1 m
2
1 1 2
Khi m  1 ta có:    d1  d 2 .
1 1 2
1 1 0

  d1 / / d 2 .
Khi m  1 ta có:
1 1 2
Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song?





1 : 2 x  m2  1 y  50  0 và 2 : mx  y  100  0 .

| 12


Hình học 10|
A. m  1 .

Chọn C

B. Không có m .
Lời giải



C. m  1 .

D. m  0 .



Ta có n1  2; m2  1 , n2   m;1 và c1  50  100  c2 nên 1∥2  n1  kn2  k  0 
3



km  2
m  m  2  0
m  1
 2; m  1  k  m;1  


 m 1.


2
2

k  m  1 
k  2  tm 
k  m  1





Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song?

 x  8  (m  1)t
và 2 : mx  6 y  76  0 .
1 : 
y

10

t


A. m  3 .
B. m  2 .
m  2
C. 
.
D. Không có m nào.
 m  3
Lời giải
Chọn C
PTTQ của đường thẳng 1 là: x   m  1 y  10m  18  0 .


n  kn2  k  0 
Ta có n1  1; m  1 , n2   m;6  nên 1∥ 2   1

c1  c2


m2  m  6  0
k

m

k 1; m  1   m;6  

 m  3

 k  m  1  6  k  m


 tm  .
m

2
10m  18  76

10m  58

29

m  
5

Câu 7:

 x  1  at
Hai đường thẳng 2 x  4 y  1  0 và 
vuông góc với nhau thì giá trị của
 y  3   a  1 t
a là:
A. a  –2 .
B. a  2 .
C. a  –1 .
D. a  1 .
Lời giải
Chọn D
1 : 2 x  4 y  1  0 có vectơ chỉ pháp tuyến n1   2; 4  suy ra vectơ chỉ phương là
u1   2;1 .

 x  1  at

2 : 
có vectơ chỉ phương là u2   a; a  1 .
 y  3   a  1 t
Hai đường thẳng vuông góc với nhau  u1.u2  0  2a  1 a  1  0  a  1.
13 |

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Câu 6:

2


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Câu 8:

Định m sao cho hai đường thẳng  1  : (2m  1) x  my  10  0 và  2  : 3x  2 y  6  0
vuông góc với nhau.
A. m  0 .

B. Không m nào.

C. m  2 .

D. m 

3
.
8

Lời giải
Chọn D
1 có vectơ pháp tuyến là n1   2m  1; m  ,  2 có vectơ pháp tuyến là n2   3; 2  .
3
Ta có: 1   2  n1.n2  0  3  2m  1  2m  0  m  .
8

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Câu 9:

Định m để hai đường thẳng sau đây vuông góc: 1 : 2 x  3 y  4  0 và  2 :

 x  2  3t

 y  1  4mt
1
A. m   .
2

9
B. m   .
8
Lời giải

1
C. m  .
2

9
D. m   .
8

Chọn D
Đường thẳng 1 có vtpt n1   2; 3 ,  2 có vtcp u2   3; 4m   vtpt n2   4m;3 .
9
Để 1   2  n1.n2  0  m   .
8

Câu 10:

Hai đường thẳng d1 : m x  y  m  1; d2 : x  my  2 cắt nhau khi và chỉ khi:
A. m  2 .

B. m  1.
Lời giải

C. m  1.

D. m  1.

Chọn B
1 m
  m2  1  0  m  1 .
m 1
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : x  3my  10  0 và d2 : mx  4 y  1  0

d1 cắt d 2 
Câu 11:

cắt nhau?
A. m .

C. m  2 .

B. m  1 .

D. m .

Lời giải
Chọn A

1 3m

  3m2  4  m  .
m
4
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng phân biệt d1 : 3mx  2 y  6  0 và

d1 cắt d 2 
Câu 12:

d2 :  m2  2  x  2my  6  0 cắt nhau?

| 14


Hình học 10|
A. m  1.

C. m .

B. m  1.
D. m  1 và m  1 .
Lời giải

Chọn D

d1 cắt d 2 

Câu 13:

m  1
3m
2

 4m 2  4  
.
2
m  2 2m
m  1

Nếu ba đường thẳng d1 : 2 x  y – 4  0 ; d2 : 5x – 2 y  3  0 ; d3 : mx  3 y – 2  0 đồng
qui thì m có giá trị là:
12
A. .
5

B. 

12
.
5

D. 12.

C. 12.

Chọn D
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình:

5

 x  9
2 x  y – 4  0
 5 26 

. Suy ra d1 , d 2 cắt nhau tại M  ;  .

9 9 
5 x – 2 y  3  0
 y  26

9
5
26
Vì d1 , d 2 , d 3 đồng quy nên M  d3 ta có: m.  3.  2  0  m  12.
9
9
Câu 14:

 x  1  t
Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax  3 y – 4  0 và d 2 : 
cắt nhau tại một
 y  3  3t
điểm nằm trên trục hoành.
A. a  1 .
B. a  –1 .
C. a  2 .
D. a  –2 .
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Gọi M  d1  d2  M  1  t;3  3t   d2 , M  Ox  3  3t  0  t  –1
Suy ra M  2;0  . M  d1 , thay tọa độ của M vào phương trình d1 ta được:

a  2  3.0 – 4  0  a  –2 . Vậy a  2 là giá trị cần tìm.
Cách

2:

Thay

x,

y

từ

phương

a  1  t   3  3  3t  – 4  0   a  9  t  a  5  t 

trình

d 2 vào

d1

ta

được:

a 5
a9

 14 6a  12 
Gọi M  d1  d2  M 
;
 . Theo đề M  Ox  6a  12  0  a  2 .
 a9 a9 
Vậy a  –2 là giá trị cần tìm.

Câu 15:

Cho 3 đường thẳng d1 : 2 x  y –1  0, d2 : x  2 y  1  0, d3 : mx – y – 7  0 . Để ba đường
thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

15 |

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Lời giải


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
A. m  –6

C. m  –5

B. m  6

D. m  5

Lời giải
Chọn B

2 x  y  1  0  x  1

Giao điểm của d1 và d 2 là nghiệm của hệ 
 x  2 y  1  0  y  1
Vậy d1 cắt d 2 tại A 1; 1
Để 3 đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy thì d 3 phải đi qua điểm A . Suy ra tọa độ điểm A
thỏa phương trình d 3

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

m  1  7  0  m  6.

Câu 16:

 x  m  2t
Cho đoạn thẳng AB với A 1; 2  , B(3; 4) và đường thẳng d : 
. Định m để
 y  1 t
d cắt đoạn thẳng AB.
A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  3 .
D. Không có m nào.
Lời giải
Chọn B
Dạng tổng quát của đường thẳng d : x  2 y  m  2  0.
Đường thẳng d và đoạn thẳng AB có điểm chung
 A, B nằm về hai phía của đường thẳng d hoặc A, B nằm trên đường thẳng d
 (1  4  m  2)(3  8  m  2)  0  (3  m)(3  m)  0  m  3

Câu 17:

 x  2t  3
Đường thẳng song song với đường thẳng  : 
và cách A 1;1 một khoảng
y

t

5

3 5 là: d : x  by  c  0 . Khi đó b  c bằng

A. 14 hoặc 16 .

B. 16 hoặc 14 .
Lời giải

C. 10 hoặc 20 .

D. 10 .

Chọn A
Gọi d : x  by  c  0

 x  2t  3
Vì đường thẳng d // : 
nên b  2
y  t 5
Phương trình của d : x  2 y  c  0 .
c  14
Theo đề ra ta có: d  A; d   3 5  c  1  15  
.
c  16

Loại 2.3: Các bài toán sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng liên
quan đến tam giác.
| 16


Hình học 10|
B. CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
Đường cao của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng
chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.

Tính chất: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. điểm này gọi là trực tâm.
Đường trung tuyến của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ từ đỉnh đến trung điểm của
cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến.
Tính chất: i) Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trọng
tâm.

Đường trung trực của tam giác: đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực
của tam giác.
Tính chất: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó cách đều ba đỉnh
của tam giác .
Đường phân giác của tam giác: tia phân giác của góc của tam giác gọi là đường phân giác
của góc đó. Trong tam giác có ba đường phân giác.
Tính chất: i) Ba đường phân giác của tam giác đồng qui tại một điểm, điểm đó cách đều ba
cạnh của tam giác .
ii) Điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
iii) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân
giác của góc đó.
C. VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1
Ví
3 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M  ;0  là trung điểm đoạn AC .
2 
Phương trình các đường cao AH , BK lần lượt là 2x  y  2  0 và 3 x  4 y  13  0 . Xác định tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC .

17 |

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

ii) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , A là điểm đối xứng với A qua G . Khi
đó GBAC là hình bình hành.


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Định hướng:
Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK .
Suy ra  A  AC  AH  C .
Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH  B  BC  BK .
Lời giải
Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4 x  3 y  6 .
4 x  3 y  6
 A  0;2
2 x  y  2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 

Từ M  ;0  là trung điểm AC suy ra C 3;  2 .
2 
Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x  2 y  1  0 .

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

3

 x  2 y  1
 B  3;1
3 x  4 y  13

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A  0;2  , B  3;1 , C  3;  2  .

Ví dụ 2
Ví
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  4;  1 phương trình đường
cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x  3 y  12  0 và 2x  3 y  0 . Xác định tọa độ các
đỉnh còn lại của tam giác ABC.

Định hướng:
- Tọa độ điểm B  BH  BM
-

Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH .

Suy ra tọa độ M   AC  BM  C
Lời giải
Gọi BH , BM lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B.
2 x  3 y  12  0
 B  3;2 
2 x  3 y  0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3 x  2 y  10  0.
2 x  3 y  0
 M 6; 4 
3 x  2 y  10  0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 

| 18


Hình học 10|
Do M là trung điểm AC suy ra tọa độ điểm C 8;  7
Vậy B  3;2  , C 8;  7  .

Ví dụ 3

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm  A  AH  AM  B .
-Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH .
-Tìm tọa độ  N   BC  AN  C .
-Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua A ,C.
Lời giải
Gọi AH , AN lần lượt là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A.
7 x  2 y  3  0
 A 1;2 
6 x  y  4  0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn 

Từ M là trung điểm AB  B 3; 2
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x  6 y  9  0
7 x  2 y  3  0
3

 N  0;  

2
x

6
y

9

0



Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 

Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C  3;  1
Khi đó ta có phương trình đường thẳng AC : 3 x  4 y  5  0.

Ví dụ 4
Ví
4 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có trọng tâm G  ;  .
3 3
Phương trình đường thẳng BC là x  2 y  4  0, phương trình đường thẳng BG là 7 x  4 y  8  0.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

19 |

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Ví

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M  2;0  là trung điểm của AB.
Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7 x  2 y  3  0 và
6 x  y  4  0 . Viết phương trình đường thẳng AC.


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Định hướng:
-Tìm B  BC  BG .
-Viết phương trình AG , tìm M   AG  BC  C
-Sử dụng tính chất trọng tâm suy ra A .
Lời giải
x  2 y  4  0
 B  0; 2 
7 x  4 y  8  0

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 

Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình 2x  y  3
2 x  y  3
 M  2; 1
x  2 y  4  0

Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ 
Từ đó suy ra tọa độ điểm C  4;0
3 xG  x A  xB  xC
 A  0;3 
3 yG  yA  yB  yC

Từ 

Vậy A  0;3 , B 0;-2 ,C 4;0 .

Ví dụ 5
Ví
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng BC và đường
cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x  y  1  0, x  2 y  2  0; Điểm M  2;1 thuộc đường cao
kẻ từ C. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm B . Nhận xét BM  BC .
-Viết phương trình MN , tìm  N   BH  MN .
-Suy ra C , viết phương trình BC . Tìm I
-Viết phương trình AI , AC , suy ra A .
Lời giải
x  y  1  0
 B  0; 1
x  2 y  2  0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 

| 20


Hình học 10|

 BM  2;2 

Lúc đó 


u BC 1;  1

 BM .u BC  0  BM  BC

Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình  : x  y  3  0.
 x  y3  0
8 1
N ; 
3 3
x  2 y  2  0

Tọa độ giao điểm N  BH   là nghiệm của hệ 

Đường thẳng đi qua N vuông góc với BC cắt BC tại C và có phương trình x  y 


7
3

7

x y
2 5
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
3  C ; 
3 3


x  y  1  0

Trung điểm của BC là I  ;   . Phương trình đường thẳng AI : x  y 
3
3 3
4

5

Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC : 2 x  y  

1
3

5

 x  y  3
 4 11 
 A  ; 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
9 
9
2 x  y   1

3
 4 11 

2

5

Vậy A  ;- , B 0;-1 ,C  ;- .
9 9 
3 3

Ví dụ 6
Ví
4 7
Cho tam giác ABC có A  ;  và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt
5 5
là x  2 y  1  0 , x  3 y  1  0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC .
Lời giải
B
x  2 y 1  0

F
E

4 7
A ; 
5 5

C
x  3 y 1  0

4 7
Dễ thấy điểm A  ;  không thuộc hai đường phân giác x  2 y  1  0 và x  3 y  1  0 .
5 5
Suy gọi CF : x  2 y  1  0 , BE : x  3 y  1  0 lần lượt là phương trình đường phân giác
xuất phát từ đỉnh C , B (như hình vẽ trên).

21 |

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

1


STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
4 7
Gọi d là đường thẳng qua A  ;  và vuông góc với BE thì d có VTPT là
5 5
4 
7

nd   3; 1 nên có phương trình 3  x     y    0  3x  y  1  0 . Tọa độ điểm
5 
5

2

 x  5
3x  y  1  0
2 1

 M  ; .
M  d  BE thỏa mãn hệ 
 5 5

x  3 y 1  0
y  1

5
4 7
2 1
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với A  ;  qua M  ;  là A  0; 1 thì A  BC 1 .
5 5
 5 5
4 7
Gọi d  là đường thẳng qua A  ;  và vuông góc với CF thì d  có VTPT là
5 5
4 
7

nd    2;1 nên có phương trình 2  x     y    0  2 x  y  3  0 . Tọa độ điểm
5 
5

7

x

2 x  y  3  0

7 1
5

 N ; .
N  d   CF thỏa mãn hệ 

 5 5
x  2 y 1  0
y  1

5
4 7
7 1
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với A  ;  qua N  ;  là A  2; 1 thì A  BC  2  .
5 5
 5 5
Từ 1 và  2  ta có AA   2;0  là một VTCP của BC suy ra VTPT của BC là

n   0;1 . Do đó phương trình cạnh BC : 0  x  0   1 y  1  0  y  1  0 .

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Cho tam giác ABC với A  2; 1 , B  4;5 , C  3; 2  . Phương trình tổng quát của đường
cao đi qua điểm A của tam giác ABC là
A. 3x  7 y  1  0 .
B. 3x  7 y  13  0 .
C. 7 x  3 y  13  0 .
D. 7 x  3 y  11  0 .
Lời giải
Chọn D.
BC   7; 3    7;3  n   7;3 là một véc tơ pháp tuyến của đường cao qua A .
Vậy phương trình tổng quát của đường cao qua A là 7 x  3 y  11  0 .

Câu 2.

Trong mp  Oxy  , cho tam giác ABC với A  2;6  , B  3; 4  và C  5;1 . Tìm tọa độ trực
tâm H của tam giác ABC .
 57 10 
 57 10 
A. H   ;   .
B. H  ;   .
 11 11 
 11 11 
.
Lời giải
Chọn C.

 57 10 
C. H  ;  .
 11 11 

 57 10 
D. H   ; 
 11 11 

| 22


Hình học 10|
Phương trình đường thẳng đi qua B  3;  4  và nhận AC   3;  5 làm VTPT có dạng:

3  x  3  5  y  4   0  3x  5 y  11  0 .
Phương trình đường thẳng đi qua A  2;6  và nhận BC  8;5 làm VTPT có dạng:

8  x  2   5  y  6   0  8x  5 y  46  0 .

57

x

3x  5 y  11

11 .
Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: 

8
x

5
y

46
10

y 

11
 57 10 
Vậy H  ;  là tọa độ cần tìm.
 11 11 
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác
là AB : 7 x  y  4  0 ; BH : 2 x  y  4  0 ; AH : x  y  2  0 . Phương trình đường
cao CH của tam giác ABC là
A. 7 x  y  0 .
B. x  7 y  2  0 .
C. x  7 y  2  0 .

D. 7 x  y  2  0
.
Lời giải
Chọn C.
A

H
B
C

Gọi H  x; y  .
Ta có H  AH  BH .

2 x  y  4
x  2
Nên tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 
, suy ra

x  y  2
y  0
H  2;0  .
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là u  1;7  .
Đường cao CH vuông góc với cạnh AB nên nhận u làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của đường cao CH là  x  2   7  y  0   0

 x  7y  2  0
Câu 4.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C 1; 2  , đường cao BH :

x  y  2  0 , đường phân giác trong AN : 2 x  y  5  0 . Tọa độ điểm A là.
A. A  2;1 .

B. A  2;1 .
Lời giải

Chọn B.
23 |

C. A  2; 1 .

D. A  2; 1 .

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Câu 3.


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Đường thẳng AC qua C 1; 2  và vuông góc với BH nên có phương trình AC :

x  y 1  0
x  y 1  0
 x  2
Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
. Vậy A  2;1 .

2 x  y  5  0
y 1

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

Câu 5.

Cho tam giác ABC có A  2;7  ; B  3;5 ; C 1; 4  . Biết rằng trực tâm của tam giác
a b
 a b
,
là các
ABC là điểm H  ;  , với a , b , m , n là các số nguyên dương và
m n
m n
a b
phân số tối giản. Tính T   .
m n
95
43
72
54
A. T 
.
B. T 
.
C. T 
.
D. T 
.
9
4
7

5
Lời giải
Chọn C.
Đường cao AH của ABC qua A  2;7  và nhận CB   2;9  làm VTPT nên có phương

trình: 2  x  2   9  y  7   0  2 x  9 y  59  0 .
Đường cao BH của ABC qua B  3;5 và nhận AC   3; 11 làm VTPT nên có
phương trình là 3  x  3  11 y  5  0  3x  11y  46  0 .

235

x

2 x  9 y  59  0

49
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 
.

3x  11y  46  0
 y  269

49
72
Vậy T 
.
7
Câu 6.

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  4; 1 , hai đường cao BH và CK có

phương trình lần lượt là 2 x  y  3  0 và 3x  2 y  6  0 . Viết phương trình đường
thẳng BC và tính diện tích tam giác ABC .
25
35
A. BC : x  y  0 ; S  .
B. BC : x  y  0 ; S 
.
2
2
25
35
C. BC : x  y  0 ; S 
.
D. BC : x  y  0 ; S  .
2
2
Lời giải
Chọn D
A

K

B

H

C

| 24

Hình học 10|
+ BH có véctơ pháp tuyến n BH  2; 1 . CK có véctơ pháp tuyến n CK  3; 2  .
+ Đường thẳng AB vuông góc CK nên nhận n CK  3; 2  làm véctơ chỉ phương, vì thế

AB có véctơ pháp tuyến n AB  2; 3 . Mặt khác AB đi qua A  4; 1 nên có phương
trình:

2  x  4   3  y  1  0  2 x  3 y  5  0 .
+ Đường thẳng AC vuông góc BH nên nhận n BH  2; 1 làm véctơ chỉ phương, vì thế

AC có véctơ pháp tuyến n AC 1; 2  . Mặt khác AC đi qua A  4; 1 nên có phương
trình:

 x  1
2 x  3 y  5  0
 B  1;1 .
+ B là giao điểm của AB và BH . Xét hệ: 

y 1
2 x  y  3  0
x  2 y  6  0
x  6
 C  6; 6  .
+ C là giao điểm của AC và CK . Xét hệ: 

3x  2 y  6  0
 y  6
+ Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là BC   7; 7  nên có véctơ pháp tuyến là

n   7;7  . Vậy BC có phương trình: 7  x  1  7  y  1  0  x  y  0 .
+ BC  72   7   7 2 .
2

+ Chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC là d  A, BC  

4  1
12  12



5
.
2

1
5
35
+ Diện tích tam giác ABC là: S  .7 2.
.

2
2
2

Câu 7.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông ở A . Biết A(1; 4) ,
7 
B(1; 4) , đường thẳng BC đi qua điểm K  ; 2  . Biết điểm C (a; b) . Phát biểu nào sau

3 
đây đúng ?

A. b  a .
Chọn A

25 |

B. a2  b2  16 .
C. b (1;3) .
Lời giải

D. b2  a  6 .

STRONG TEAM TOÁN VD–VDC

1 x  4   2  y  1  0  x  2 y  6  0 .