dạng toán về quỹ tích trong OXY

Hình học 10|

HÌNH HỌC 10
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
DẠNG 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH
I ===I LÝ THUYẾT.

II ===IBÀI TẬP TỰ LUẬN.

Ví dụ 1
Ví
Trong mặt phẳng tọa độ

cho ba điểm

thỏa mãn
đến

,

là đường thẳng

,

. Biết tập hợp các điểm

. Tính tổng khoảng cách từ ba điểm

.

Lời giải

Giả sử

.

Ta có
Khi đó

Ví dụ 2
Ví
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
thỏa mãn
Gọi là điểm thỏa mãn
Khi đó

1|

(với

cho hai điểm

và

là gốc tọa độ).
Lời giải
. Dễ dàng có

.

. Tìm tập hợp các điểm

ST
RO
NG
TE
AM
TO
ÁN
VD
–
VD
C


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Vậy
là

nằm trên đường thẳng

là đường trung trực của

,

đi qua điểm

. Phương trình đường thẳng

và có VTPT
.

Ví dụ 3
Ví
Cho các điểm
tam giác
và
ST

. Tìm tập hợp các điểm

sao cho diện tích các

bằng nhau.

RO
NG
Gọi TE
là điểm thỏa đề bài.
AM
Tính được
.
TO
Phương trình các đường thẳng
ÁN
VD
Khoảng cách từ
đến
và

–
Ta có
VD
C

Suy ra quỹ tích điểm

Lời giải

và

lần lượt là

.

lần lượt là :

là hai đường thẳng có phương trình

và

.

Ví dụ 4
Trong không gian

Ví
, cho điểm

trong mặt phẳng

Gọi

sao cho

;

và

. Tìm quỹ tích các điểm M

.
Lời giải

khi đó

Vậy quỹ tích các điểm

thỏa mãn điều kiện của bài toán là đường thẳng có phương trình:

.
|2


Hình học 10|

Ví dụ 5
Cho hai điểm
cho

Ví

và một số thực dương

. Tìm quỹ tích những điểm

trong mặt phẳng sao

.
Lời giải

Đặt

và đặt

vào hệ trục toạ độ với

. Khi đó

Nếu

. Với điểm

trùng

bất kỳ, ta có

thì quỹ tích là đường thẳng

và

trùng với trung trực của

thuộc quỹ tích khi và chỉ khi

.
thì phương trình trên được viết lại thành

. Nếu

Suy ra quỹ tích là một đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng

.
(đường tròn Appolonius).

Ví dụ 6
Ví
Cho đường thẳng
cho khoảng cách

và điểm
ngắn nhất, với

Gọi tọa độ của điểm

Như vậy tập hợp điểm
+) Gọi

+) Gọi

hoặc

.

lên

.Phương trình

.

lên

.Phương trình

.

thỏa mãn hệ

thỏa mãn hệ

So sánh kết quả (1) và (2) suy ra khoảng cách
3|

sao

là gốc tọa độ.
Lời giải

là đường thẳng

là hình chiếu vuông góc của

Tọa độ điểm

. Tìm điểm

.

là hình chiếu vuông góc của

Tọa độ điểm

thỏa mãn

ngắn nhất bằng

khi

.

ST
RO
NG
TE
AM
TO
ÁN
VD
–
VD
C

| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ví dụ 7
Cho

Ví
là điểm di động trên cạnh

,

song với
nhật

Gọi

. Gọi
. Tìm quỹ tích tâm

Chọn hệ trục toạ độ

tương ứng vuông góc và song

chạy trên cạnh
Lời giải

trên

,

là tâm của hình chữ

.

xuống

(như hình vẽ ).

Giả sử
toạ độ các đỉnh
ST

là:

RO
với
NG
Phương
TEtrình đường thẳng
AM
TO
ÁN
VD
–
VD
C
Phương trình đường thẳng

theo đoạn chắn :

.

theo đoạn chắn:

. Giả sử
Toạ độ của điểm

,

là hình chiếu của

khi

là chân đường cao hạ từ

. Hạ

có phương trình

là nghiệm của hệ phương trình:

Tương tự ta có :
Gọi là tâm của hình chữ nhật

. Toạ độ của điểm
. Suy ra là trung điểmm của

Khi đó

(*)

Từ (1) suy ra
(2) suy ra

. Vì

nên

|4


Hình học 10|

(**)
Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm của hình chữ nhật
là đoạn
là trung điểm của
và
. (đpcm)
Chú ý : Mọi lập luận ở đây không phụ thuộc vào hình dáng của
.

, ở đây

lần lượt

Ví dụ 8
Cho tam giác

Ví

có hai đỉnh

và trọng tâm của tam giác

cố định và đỉnh

thay đổi. Gọi

. Tìm quĩ tích của điểm

lần lượt là trực tâm

, biết trung điểm

của

thuộc

đường thẳng
Lời giải
Chọn hệ tọa độ

Đặt

như hình vẽ với

là trung điểm của

.

. Khi đó tọa độ của

Giải sử

Khi đó tọa độ trực tâm
Trọng tâm

là nghiệm của hệ
, trung điểm

.

Điểm
thuộc đường thẳng
Vậy quĩ tích của
là hyperbol.

Ví dụ 9
Ví
Trong mặt phẳng cho đường thẳng

và một điểm

không nằm trên

cho trước. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Lời giải

5|

. Xét

sao cho
.

ST
RO
NG
TE
AM
TO
ÁN
VD
–
VD
C


| Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Gọi

là hình chiếu vuông góc của

Chọn hệ trục tọa độ

lên

và đặt

sao cho

.

(trục hoành chứa

và trục tung chứa

ST
,
.
RO
NG
Gọi
là trung điểm của
. Suy ra
và
.
TE
Gọi AM là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
TO
Khi đó
ÁN
Do VD
–
VD
Vậy khi
trượt trên
thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C đoạn

)

Trong hệ trục tọa độ này

có phương trình

.

Ngược lại, với mỗi điểm
tròn tâm

nằm trên parabol

có bán kính

thuộc parabol có phương trình
cắt

tại hai điểm

Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

, ta thấy

thì tính được

nên đường
.

là parabol có phương trình

.

Ví dụ 10
Ví
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho phương trình:
a. Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của đường tròn.
b. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn trên khi m thay đổi.
Lời giải

.

a. Phương trình :

Nhận xét:

với mọi

|6


Hình học 10|
Phương trình trên là phương trình đường tròn tâm
b. Gọi tâm

và bán kính

.

khi đó :
.

Vậy quỹ tích tâm I của đường tròn khi

thay đổi là đường thẳng

có phương trình :

ST
RO
NG
TE
AM
TO
ÁN
VD
–
VD
C

7|