(Luận văn thạc sĩ) Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.34 KB, 45 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–
LĂNG THỊ AN
PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN
ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–
LĂNG THỊ AN
PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN
ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG
Ngành: Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ NGÂN
THÁI NGUYÊN - 2019
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập
của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị
Ngân. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực
và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây.
Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác
giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự
gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình.
Thái Nguyên, ngày 6 tháng 09 năm 2019
Tác giả
Lăng Thị An
Xác nhận
của khoa chuyên môn
Xác nhận
của người hướng dẫn
TS. Nguyễn Thị Ngân
i
Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã
nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, TS. Nguyễn Thị
Ngân.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt
luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận
văn có thể có những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản
hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 6 tháng 09 năm 2019
Tác giả
Lăng Thị An
ii
Mục lục
Lời cam đoan
i
Lời cảm ơn
ii
Mục lục
iv
Lời mở đầu
1
1 Một số kiến thức chuẩn bị
3
1.1
1.2
Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh . .
3
1.1.2
Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm . .
5
1.1.3
Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . .
7
Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Không gian Sobolev cấp nguyên dương . . . . . . . .
7
1.2.1.1
Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . .
7
1.2.1.2
Không gian Sobolev H k (Q) . . . . . . . . .
8
1.2.1.3
Vết của hàm trên một mặt . . . . . . . . .
8
1.2.1.4
Không gian Hok (Q) . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2
Không gian Sobolev cấp thực
. . . . . . . . . . . .
9
1.2.2.1
Không gian H s (Rn ) . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2.2
Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω) .
12
1.2.2.3
Các không gian đối ngẫu . . . . . . . . . .
13
1.3
Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
Các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
iii
2
1.4.1
Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . .
20
1.4.2
Đa thức Chebyshev loại hai . . . . . . . . . . . . . .
22
Tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu
trưng tăng
2.1
Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ)
2.1.1
2.1.2
2.2
25
26
Tính giải được của phương trình cặp tích phân với
biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) . . . . . . . . . . . . .
26
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30
2.2.1
2.2.2
Tính giải được của phương trình cặp tích phân với
biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) . . . . . . . . . . . .
30
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Kết luận
38
iv
Lời mở đầu
Phương trình cặp tích phân xuất hiện khi giải một số các bài toán
biên hỗn hợp của phương trình vật lý toán. Các bài toán liên quan đến lý
thuyết đàn hồi, vết nứt, dị tật trong môi trường..., có thể đưa đến việc giải
các phương trình cặp khác nhau. Tính giải được của phương trình cặp tích
phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đến như Nguyễn
Văn Ngọc, G. Ia. Popov,... Với mong muốn được nghiên cứu về vấn đề này,
chúng tôi đã chọn đề tài "Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi
Fourier với biểu trưng tăng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của
mình.
Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận và Tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về biến đổi Fourier,không
gian Sobolev, toán tử giả vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức
chebyshev loại 2.
Chương 2: Tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu
trưng tăng.
Trong chương này đã trình bày tính giải được của phương trình cặp
tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) và |ξ|2m+1 A(ξ).
Trong từng trường hợp có nêu các ví dụ minh họa.
Thái Nguyên, ngày 6 tháng 09 năm 2019
Tác giả
1
Lăng Thị An
2
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi Fourier, không
gian Sobolev, toán tử giả vi phân và các đa thức Chebysev. Những kiến thức
này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4].
1.1
1.1.1
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh
Vì hàm cơ bản trong S là những hàm khả tổng trong Rn , nên biến
đổi Fourier được xác định theo công thức
ϕ(x)eix.ξ dx,
F [ϕ](ξ) =
ϕ ∈ S.
Rn
Sau đây là các tính chất quan trọng của biến đổi Fourier trong S .
1) Có thể lấy đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier
Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix)α ϕ](ξ).
2) Biến đổi Fourier của đạo hàm
F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ).
3
3) Đẳng thức Paserval. Giả sử f ∈ L1 (Rn ). Khi đó F [f ] là hàm liên tục
và bị chặn trong Rn nên là hàm suy rộng chính quy trong S . Khi đó
ta có đẳng thức
F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ =
f (x)F [ϕ](x)dx.
Rn
(1.1)
Rn
4) Công thức biến đổi Fourier ngược
ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]],
F −1 [ϕ(ξ)](x) =
1
F [ϕ(ξ)](x).
(2π)n
Định lý 1.1.1. Biến đổi Fourier F từ S sang S là tương ứng một-một và
liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính.
Chứng minh. Theo các tính chất 1) và 2), ta có
eix.ξ (i)|α| xα ϕ(x)dx.
Dα ϕ(ξ) =
Rn
(−i)|β| ξ β ψ(ξ) =
eixξ Dβ ψ(x)dx.
(1.2)
Rn
Trong (1.2) thay ψ = Dα ϕ(ξ) và vận dụng tính chất 1), ta được
(−i)|α|+|β| ξ β Dξα ϕ(ξ) =
Rn
eixξ Dxβ (xα ϕ(x))dx.
(1.3)
Sử dụng công thức (1.1), ta được
m
m
|Dβ (xα ϕ(x))|dx
||ϕ||m
|β|=0 α=0
Rn
Rn
Cm ||ϕ||m+n+1
dx = Cm ||ϕ||m+n+1 .
(1 + |x|)n+1
Như vậy, nếu ϕ ∈ S , thì ϕ cũng thuộc S , ngoài ra theo (1.1), nếu
ϕi → ϕ trong S , thì ϕi → ϕ trong S . Làm tương tự đối với toán tử F −1 ,
ta có kết quả là toán tử F ánh xạ đơn trị và liên tục từ S vào S .
Định lý được chứng minh.
4
1.1.2
Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm
Công thức (1.1) có thể viết lại ở dạng
ϕ ∈ S.
< F [f ], ϕ >=< f, F [ϕ] >,
Công thức này là cơ sở của định nghĩa như sau đây.
Định nghĩa 1.1.2. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm f là hàm
suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức
< F [f ], ϕ >=< f, F [ϕ] >,
,f ∈ S ,
ϕ ∈ S.
(1.4)
Vì phép toán ϕ → F [ϕ] là liên tục từ S vào S , nên phiếm hàm F [f ]
xác định theo công thức (1.4) được hiểu theo nghĩa S , hơn nữa, phép toán
f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S vào S .
Định nghĩa 1.1.3. Phép biến đổi Fourier F −1 được xác định trong S theo
công thức
F −1 [f ] =
1
F [f (−x)],
(2π)n
f ∈S,
(1.5)
trong đó f (−x) là hàm suy rộng phản xạ của hàm suy rộng f (x):
< f (−x), ϕ(x) >=< f, ϕ(−x) >,
ϕ ∈ S.
Rõ ràng là F −1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S vào S . Ta sẽ chứng
tỏ rằng, toán tử F −1 là biến đổi Fourier ngược của F , nghĩa là:
F −1 [F [f ]] = f,
F [F −1 [f ]],
f ∈S.
(1.6)
Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S , thì các công thức
trong (1.6) đúng trong S trù mật trong S , do đó (1.6) cũng đúng trong S .
Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier.
5
1) Đạo hàm của biến đổi
Dα F [f ] = F [(ix)α f ],
f ∈S.
(1.7)
Thật vậy, ta có
< Dα F [f ], ϕ >=< F [f ], (−1)|α| Dα ϕ >=< f, (−1)|α| F [Dα ϕ] >
=< f, (−1)|α| (−ix)α F [ϕ] >=< f, (ix)α F [ϕ] >=< (ix)α f, F [ϕ] >=
=< F [(ix)α f ], ϕ > .
Suy ra điều phải chứng minh.
2) Biến đổi Fourier của đạo hàm
F [Dα f ] = (−iξ)α F [f ],
f ∈S.
(1.8)
Chứng minh hoàn toàn tương tự công thức (1.7).
3) Đẳng thức Parseval
< F [f ], F [ϕ] >= (2π)n < f (−x), ϕ(x) >,
f ∈ S , ϕ ∈ S.
(1.9)
4) Biến đổi Fourier của dịch chuyển
F [f (x − x0 )] = eiξx0 F [f ],
f ∈S.
(1.10)
Thật vậy, công thức (1.10) đúng trong S trù mật trong S , nên (1.10)
cũng đúng trong S .
5) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compact (Định lý WinerPalay): Nếu f ∈ S và có giá compact, thì F [f ] ∈ C ∞ và tăng chậm ở
vô cực, nghĩa là
|Dα F [f ](ξ)|
Cmα (1 + |ξ|2 )mα /2 .
6
1.1.3
Biến đổi Fourier của tích chập
Định nghĩa 1.1.4.
(i) Nếu f ∈ S ,η ∈ S thì f ∗ η được xác định theo công thức
f ∗ η =< f (y), η(x − y) > .
Khi đó
F [f ∗ η](ξ) = F [f ](ξ)F [η](ξ).
(ii) Nếu f, g ∈ S , suppg là compact, thì f ∗ g ∈ S và được xác định theo
công thức
< f ∗ g, ϕ >=< f (y), < g(x), ϕ(x + y) >> .
Khi đó
F [f ∗ g] = F [f ].F [g].
1.2
Không gian Sobolev
1.2.1
Không gian Sobolev cấp nguyên dương
1.2.1.1
Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Q là miền bị chặn trong Rn với biên trơn từng
mảnh ∂Q và α = (α1 , α2 , . . . , αn ) là bộ đa chỉ số. Hàm f (α) ∈ L1loc (Q) được
gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f ∈ L1loc (Q), nếu
7
< f, Dα g >: =
f (x)Dα g(x)dx
Q
= (−1)|α|
f (α) (x)g(x)dx
Q
=< f (α) , g, >, ∀g ∈ Co|α| (Q).
Nếu f ∈ C |α| (Q), thì đạo hàm suy rộng f (α) tồn tại và f (α) = Dα f (x)
hầu khắp, nên chúng ta cũng sẽ ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α của hàm
f là Dα f .
1.2.1.2
Không gian Sobolev H k (Q)
Định nghĩa 1.2.2. Tập hợp của các hàm f ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng
cho đến cấp k thuộc L2 (Q) được gọi là không gian Sobolev cấp k và được
ký hiệu là H k (Q). H k (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn
được xác định bởi:
(f, g) =
Dα f Dα g)dx,
(
Q |α| k
||f || =
|Dα f |2 )dx]1/2 .
(
Q |α| k
Rõ ràng là H 0 (Q) = L2 (Q).
1.2.1.3
Vết của hàm trên một mặt
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Q là miền giới nội trong Rn và S là một mặt
n − 1 chiều được chứa trong Q. Nếu trong Q cho hàm f (x) xác định tại
từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là một
hàm f |x∈S được xác định tại mỗi điểm của S .
Nếu chúng ta xét trong Q hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của
8
f trên mặt S được xác định không đơn trị vì meS = 0.
Tuy nhiên, trong một nghĩa hoàn toàn xác định chúng ta có thể nói đến giá
trị của hàm số trên một mặt n − 1 chiều khi nó được xác định hầu khắp
nơi.
Giả sử f ∈ H 1 (Q) và fk ∈ C 1 (Q), (k = 1, 2, . . .) hội tụ đến f trong
H 1 (Q). Đối với mọi mặt trơn từng mảnh(mỗi một mảnh được chiếu đơn trị
xuống các mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho
|fk − fm |2 dx
C||fk − fm ||H 1 (Q) .
S
Vì L2 (S) là không gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử fS ∈
L2 (S) là giới hạn trong L2 (S) của dãy fk (xS ), xS = x ∈ S . Hàm fS không
phụ thuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f trong H 1 (Q) và được gọi là
vết của hàm f trên mặt S .
1.2.1.4
Không gian Hok (Q)
Định nghĩa 1.2.4. Tập hợp của các hàm trong H k (Q) có vết trên biên
Γ bằng không được ký hiệu là Hok (Q). Chuẩn trong Hok (Q) được sinh bởi
chuẩn trong H k (Q). Khi đó Hok (Q) là không gian con đóng của H k (Q).
1.2.2
Không gian Sobolev cấp thực
1.2.2.1
Không gian H s (Rn )
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử s là số thực tùy ý. Không gian Sobolev-Slobodeski
H s (Rn ) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S = S (Rn ), có
biến đổi Fourier u(ξ) thỏa mãn điều kiện:
9
||u||2s =
(1 + |ξ|)2s |u(ξ)|2 dξ < ∞.
(1.11)
Rn
Ảnh Fourier của H s được ký hiệu là H s . Công thức (1.11) xác định
chuẩn cả trong H s lẫn trong H s .
Nhận xét là H s và do đó H s là các không gian Hilbert với tích vô hướng
(1 + |ξ|)2s u(ξ)v(ξ)dξ.
(u, v)s =
(1.12)
Rn
Các không gian H s , H s là những không gian đầy đủ. Với u ∈ H s , ϕ ∈
S , ta có
∞
1
(u, ϕ) =
u(x)ϕ(x)dx =
(2π)n
−∞
∞
u(ξ)ϕ(ξ)dξ.
(1.13)
−∞
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Buniakovski vào (1.13), ta được
|(u, ϕ)| ≤
1
||u||s ||ϕ||−s .
(2π)n
(1.14)
Rõ ràng là tôpô trong S mạnh hơn hội tụ theo chuẩn của H s , nghĩa
là nếu ϕk → ϕ, trong S thì hiển nhiên ||ϕk − ϕ||s → 0. Mặt khác, vì có
(1.14), nên nếu ||uk − u||s → 0, thì (uk , ϕ) → (u, ϕ),
∀ϕ ∈ S , nghĩa là
uk → k trong S .
Các trường hợp riêng của H s (Rn )
1) s = 0. Khi đó H s (Rn ). Theo Định lý Planchel, ta có H 0 (Rn ) = F −1 [H s ] =
L2 (Rn ).
2) s = m > 0, m là số nguyên. Khi đó thì (−iξ)k u(ξ) ∈ L2 (Rn ),
|k|
m. Suy ra Dk u − F −1 [(−iξ)k u(ξ)](x) ∈ L2 (Rn ),
0
|k|
0
m. Như
vậy không gian H m = H m (Rn ). Khi đó chuẩn (1.11) tương đương với chuẩn
10
sau đây
∞
||u||m2 =
|Dk u(x)|2 dx =
k m
−∞
1
(2π)n k
∞
|ξ k u(ξ)|2 dξ.
m
(1.15)
−∞
Như ta đã biết không gian H m là không gian Sobolev cấp m và thường được
ký hiệu là W2m (Rn ).
3) Trường hợp s = −m, m > 0, m là số nguyên. Đặt v(ξ) = (1 + |ξ|)−m u(ξ).
Vì u ∈ Hm , nên v(ξ) ∈ L2 . Vậy ta có u(ξ) = (1 + |ξ|)m v(ξ). Ta có thể biểu
diễn u(ξ) ở dạng
(−iξ)k vk (ξ),
u(ξ) = (1 + |ξ|)m v(ξ) =
vk (ξ) ∈ L2 .
(1.16)
k m
Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế của (1.16), ta được
Dk vk (x),
u(x) =
vk (x) ∈ L2 .
(1.17)
k m
Như vậy H −m (Rn ) bao gồm các hàm suy rộng là đạo hàm theo nghĩa hàm
suy rộng của các hàm trong L2 với cấp không vượt quá m. Dễ thấy rằng
S ⊂ H s1 ⊂ H s2 ⊂ S ,
s1 > s2 .
Định lý 1.2.6. Tập hợp C0∞ (Rn ) trù mật trong H s theo chuẩn của H s .
Chứng minh. Giả sử α(x) ∈ C0∞ (Rn ), α(x) ≥ 0 , α(x) = 0(|x| ≥ 1),
1
x
α(x)dx
=
1
.
Ký
hiệu
α
(x)
=
α
. Hàm αε (x) thường được gọi là
n
ε
R
εn ε
hạch làm đều. Giả sử u− là hàm tùy ý của H s . Đặt uε = u ∗ αε . Ta có
uε ∈ C ∞ , ngoài ra uε = u.αε . Do đó
dx
x ξ.x n
αε =
α
e ε =
ε
Rn
α(y)eiy.εξ dy = α(εξ),
Rn
ngoài ra
|αε |
α(y)dy = α(0) = 1
Rn
11
(1.18)
Do đó uε ∈ H s và khi ε → 0, thì
||u − uε ||2s
|u(ξ)|2 (1 + |ξ|)2s |1 − α(εξ)|2 dξ → 0.
(1.19)
Rn
Thật vậy, 1 − α(εξ) → 0 khi ε → 0 với mọi ξ cố định và |1 − α(εξ)|
2, nên
theo Định lý Lebesgue ta có thể chuyển qua giới hạn ε → 0 trong (1.19).
Như vậy, với mọi δ > 0, tìm được ε1 > 0, sao cho
||u − uε ||s < δ/2.
(1.20)
Vì α(ε1 ξ) ∈ S(Rn ), nên α(ε1 ξ) u(ξ) ∈ H N với mọi N . Giả sử χ(x) ∈
C0∞ (Rn ), χ(x) = 1, khi |x|
1. Ký hiệu υε (x) = χ(εx)uε1 (x). Khi đó
vε (x) ∈ C0∞ (Rn ), vì uε1 (x) ∈ C ∞ (Rn ).Ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi N và
ε → 0, ||uε1 − vε ||N → 0, ta có
||uε1 − vε ||N2 =
k N
|x|≥1/ε
|Dk [(1 − χ(εx)uε1 (x)]|2 dx → 0.
Vậy, nếu N ≥ s, thì tìm được ε2 sao cho
||vε2 (x) − uε1 (x)||s
||vε2 (x) − uε1 (x)||N < δ/2.
(1.21)
Từ (1.20) và (1.21), suy ra tồn tại hàm vε2 ∈ C0∞ (Rn ), sao cho ||u−vε2 ||s < δ .
Định lý (1.2.6) được chứng minh.
1.2.2.2
Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω)
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử Ω là một miền mở trong Rn . Ký hiệu Hos (Ω) là
không gian con của H s (Ω), được định nghĩa như bao đóng của C0∞ (Ω) theo
chuẩn của H s (Rn ).
Như vậy, chuẩn trong Hos (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.11)
và mọi hàm u ∈ Hos (Ω) có giá suppu ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ Hos (Ω).
12
Theo định nghĩa, tồn tại dãy uk ∈ C0∞ (Ω) hội tụ đến u theo chuẩn H s (Rn ).
Ký hiệu Ω = Rn Ω. Như vậy, ta có (uk , ϕ), ∀ϕ ∈ Co∞ (Ω ). Do tính liên tục,
suy ra (u, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ Co∞ (Ω ). Điều đó chứng tỏ suppu ⊂ Ω.
Bằng cách tương tự , dễ dàng chứng tỏ rằng Hos (Ω) là không gian con đóng
của H s (Rn ). Ta chuyển sang định nghĩa không gian H s (Ω).
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử f ∈ H s (Rn ). Ký hiệu fΩ là hạn chế của f trên
Ω, nghĩa là
ϕ ∈ C0∞ (Ω).
(fΩ , ϕ) = (f, ϕ),
Ký hiệu r, l tương ứng là các toán tử hạn chế và toán tử thác triển trên Ω.
Như vậy fΩ = rf,
f = lfΩ .
Tập hợp các hạn chế trên Ω của các hàm thuộc H s (Rn ) được ký hiệu
là H s (Rn ) được ký hiệu là H s (Ω).Chuẩn trong H s (Ω) được xác định theo
công thức
||f ||H s (Ω) = inf||ls||s ,
l
(1.22)
trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ H s (Rn ) của f ∈ H s (Ω).
1.2.2.3
Các không gian đối ngẫu
Ký hiệu (H s )∗ là không gian đối ngẫu của H s , nghĩa là không gian
của các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H s . Như trong trường hợp của
không gian Banach bất kỳ, không gian (H s )∗ được xác định một cách chính
xác đến đẳng cấu. Nói riêng, vì không gian (H s )(Rn ) đẳng cấu với không
gian Hilbert với tích vô hướng (1.12), nên (H s )∗ đẳng cấu với chính H s . Khi
đó theo định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
trong không gian Hilbert, mọi phiếm hàm Φ(u), u ∈ H s , được cho bởi phần
13
tử v ∈ Hs , sao cho chuẩn ||Φ|| = sup||u||s =1 =
(v, v)s = ||v||s .
Ký hiệu
w(ξ) = (1 + |ξ|2s v(ξ)),
Khi đó w ∈ Hs , ||w||−s =
√
v, v s ,
(1.23)
(u, v)s = (u, w)0 , trong đó
u(ξ)wξdξ,
(u, w)0 =
w = F −1 w.
u ∈ Hs , w ∈ H−s .
(1.24)
Rn
Như vậy (1.23) thiết lập sự đẳng cấu giữa (H s )∗ và H s , ngoài ra giá
trị của phiếm hàm w ∈ H −s trên phần tử u ∈ H −s được cho bởi công thức
(1.24). Sau này chúng ta luôn luôn hiểu (H s )∗
H −s .
Ta chuyển sang xét không gian đối ngẫu của Hos (Ω). Ký hiệu Ω =
Rn \Ω.
Bổ đề 1.2.9. Giả sử u ∈ Hos (Ω), v ∈ Ho−s (Ω ). Khi đó
(u, v) =
1
(u, v)0 = 0,
(2π)n
(1.25)
trong đó (u, v) là cặp đối ngẫu, còn (u, v)0 được cho bởi công thức (1.24).
Ngược lại, nếu v ∈ H −s và (u, v) = 0, đối với mọi u ∈ Hos (Ω), thì v ∈
Ho−s (Ω ).
Chứng minh. Ta có
(u, ϕ) = 0,
ϕ ∈ C0∞ (Ω ).
Theo định nghĩa thì C0∞ (Ω ) trù mật trong Ho−s (Ω ), suy ra
(u, v) = 0,
u ∈ Hos (Ω),
14
v ∈ Ho−s (Ω ).
(1.26)
Giả sử bây giờ (1.26) đúng với mọi u ∈ Hos (Ω). Thế thì, nói riêng
(v, ϕ) = (ϕ, , v) = 0,
ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Suy ra suppv ⊂ Ω , nghĩa là v ∈ Ho−s (Ω ). Bổ đề được chứng minh.
Giả sử u ∈ Hos (Ω), f ∈ H −s (Ω), lf ∈ H −s (Rn )− là một thác triển bất kỳ
của f . Khi đó công thức
(u, lf )0 =
u(ξ)lf (ξ)dξ
(1.27)
Rn
không phụ thuộc vào việc chọn thác triển lf . Thật vậy, nếu l1 f là một thác
triển khác của f , thì lf − l1 f ∈ Ho−s (Ω ). Do đó (u, lf )0 = (u, l1 f )0 , vì
(u, lf − l1 f ) = 0, theo Bổ đề (1.2.9). Từ công thức (1.27), suy ra |(u, lf )|
||u||s ||lf ||−s , và vì (u, lf )0 không phụ thuộc vào việc chon lf , nên
|(u, lf )0 |
||u||s inf||lf ||−s = ||u||s ||f ||−s,Ω .
l
(1.28)
Như vậy, mọi phần tử f ∈ H −s (Ω) cho một phiếm hàm liên tục trên
Hos (Ω) theo công thức (1.27), ngoài ra theo bổ đề (1.2.9), phần tử khác nhau
sẽ ứng với phiếm hàm khác nhau.
Giả sử Φ(u) là một phiếm hàm liên tục bất kỳ trên Hos (Ω). Không
gian Hos (Ω) ⊂ H s − là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.12), do đó
theo định lý Riesz, tồn tại phần tử v ∈ Hos (Ω), sao cho Φ(u) = (u, v)s .
Đặt f0 (ξ) = (1 + ξ)2s v(ξ), f0 = F −1 [f0 ]. Khi đó f0 ∈ H −s (Rn ), rf0 = f ∈
H −s (Ω), Φ(u) = (u, v)s = (u, f )0 và ||Φ|| = ||v||s = ||f0 ||−s ≥ ||f ||−s,Ω . Mặt
khác theo (1.28) thì ||Φ|| = sup||u||s =1 |Φ(u)|
||f ||−s,Ω . Như vậy,||Φ|| =
||f ||−s,Ω và ta có định lý sau đây.
Định lý 1.2.10. Giả sử (Hos (Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos (Ω),s ∈ R.
Khi đó (Hos (Ω))∗ đẳng cấu với H −s (Ω), ngoài ra giá trị của phiếm hàm
f ∈ H −s (Ω) trên phần tử u ∈ Hos (Ω) được cho bởi công thức (1.27)
15
1.3
Toán tử giả vi phân
Định nghĩa 1.3.1. Kí hiệu Om (a, b) là lớp các hàm ϕ ∈ L1 (a, b),
supp(ϕ) ⊂ [a, b], thỏa mãn các điều kiện
b
ϕ(x)xk dx = 0,
(k = 0, 1, . . . , m − 1).
(1.29)
a
Rõ ràng các điều kiện (1.29) tương đương với các điều kiện sau
b
(k = 0, 1, . . . , m − 1),
ϕ(x)Qk (x)dx = 0,
(1.30)
a
trong đó Qk (x) là đa thức tùy ý có bậc k .
Như một hệ quả trực tiếp của công thức (1.29), chúng ta lưu ý các đẳng
thức sau
b
ϕ(t)(x − t)k dt = 0 (k = 0, 1, . . . , m − 1),
−∞ < x < ∞,
(1.31)
a
x
b
k
ϕ(t)(x − t)k dt (k = 0, 1, . . . , m − 1),
ϕ(x − t) dt = −
a
a
x
b.
x
(1.32)
Cho ϕ ∈ L1 (a, b), đặt
1
Km [ϕ](x) =
2Γ(m)
b
ϕ(t)(x − t)m−1 sign(x − t)dt,
x ∈ R.
a
Chúng ta nhận được kết quả sau
Bổ đề 1.3.2. Nếu ϕ ∈ Om (a, b) thì
1. Km [ϕ](x) = 0 x ∈
/ (a, b, ),
2. Km [ϕ](x) ≡ DJ−m [ϕ](x) a
3. F [ϕ](ξ) ∈ C ∞ (R),
x
b,
F [ϕ](ξ) = O(|ξ|k ) (ξ → 0,
16
k ≥ m),
(1.33)
1
F [ϕ](ξ) (ξ = 0),
(−iξ)m
b
1
F [Km [ϕ]](0) =
ϕ(t)(b − t)m dt.
mΓ(m) a
4. F [Km [ϕ]](ξ) =
Chứng minh. Các khẳng định 1)-3) là hiển nhiên vì (1.29), (1.31), và
(1.32). Ta sẽ chứng minh khẳng định 4). Trường hợp ξ = 0 là đúng. Đối với
các trường hợp ξ = 0, chúng ta có
1
Γ(m)
F [Km [ϕ]](ξ) =
b
b−t
ϕ(t)eiξt dt
eiξλ λm−1 dλ.
a
0
Sử dụng công thức
b−t
e
0
iξλ m−1
λ
Γ(m)
+ Γ(m)eiξ(b−t)
dλ =
m
(−iξ)
m−1
k=0
(−1)k (b − t)m−1−k
,
(iξ)k+1 (m − 1 − k)!
Chúng ta có
1
F [Km [ϕ]](ξ) =
(−iξ)m
m−1
+ eiξb
k=0
b
ϕ(t)eiξt dt+
a
(−1)k
(iξ)k+1 (m − 1 − k)!
b
ϕ(t)(b − t)m−1−k dt. (1.34)
a
o
(a, b), Từ (1.34) ta có khẳng định 4) được chứng minh.
Vì ϕ ∈ Om
Định nghĩa 1.3.3. Kí hiệu Com (a, b) là lớp các hàm liên tục u(x) ∈ S (R),
sao cho u(x) ∈ C m−1 [a, b],
u(k) (x) = 0
(k = 0, 1, ..m − 1),
x∈
/ (a, b),
u(m) (x) ∈ L2 (a, b).
Định lý 1.3.4. Để u(x) thuộc lớp Com (a, b) thì điều kiện cần và đủ là nó
biểu diễn dưới dạng (1.33), tức là
1
u(x) = Km [ϕ](x) =
2Γ(m)
b
ϕ(t)(x − t)m−1 sign(x − t)dt,
ϕ ∈ Om (a, b.)
a
(1.35)
17
Chứng minh. Điều kiện đủ đã được chứng minh trong Bổ đề (1.3.2).
Bây giờ chúng ta chứng minh điều kiện cần. Cho u(x) ∈ Com (a, b, chúng
ta đặt ϕ(x) = Dm u(x). Rõ ràng, ϕ ∈ L1 (R) và supp(ϕ) ⊂ [a, b]. Lấy tích
phân theo từng phần, có tính đến u(x) ∈ Com (a, b), chúng ta có
b
b
j
xj Dm u(x)dx = 0 (j = 0, 1, . . . , m − 1),
x ϕ(x)dx =
a
(1.36)
a
o
có nghĩa là ϕ ∈ Om
(a, b). Do
Dm DJ−m [ϕ](x) = ϕ(x),
limm→0 DJ−m [ϕ](x) = ϕ(x),
DJ−m Dm [ϕ](x) = ϕ(x) + Pm−1 (x),
trong đó Dm =
dm
, Pm−1 (x) là một đa thức bất kì có bậc m-1.
dxm
Chúng ta có
m−1
u(x) =
DJ−m [ϕ](x)
cj xj ,
+
x ∈ [a, b],
(1.37)
j=0
−(m−k)
trong đó cj là hằng số tùy ý. Vì u(k) (x)và DJ
[ϕ](x)
(k = 0, 1, . . . , m−
1) bằng 0 trên [a, b], từ (1.12) kéo theo cj = 0 (j = 0, 1, . . . , m − 1). Do
đó chúng ta có
u(x) = DJ−m [ϕ](x),
x ∈ [a, b].
(1.38)
Ta có
Dj−m [ϕ](x)
1
:=
Γ(m)
x
(x − t)m−1 ϕ(t)dt,
x ∈ J = (a, b).
a
trong đó Γ(m) là hàm Gamma.
Sử dụng (1.32) và (1.38) chúng ta có (1.35)
Định nghĩa 1.3.5. Kí hiệu Lp±0 (a, b) biểu thị các lớp của hàm f thuộc
Lp±ε tương ứng với cực nhỏ ε > 0 (p − ε ≥ 1). Nếu khoảng (a, b) bị giới
hạn thì ký hiệu Lp−0 (a, b) biểu thị tập các hàm f thuộc Lq (a, b), 1
18
q < p.
(x − a)(b − x)
Định nghĩa 1.3.6. Cho ρ(x) =
(a < x < b). Chúng ta
ký hiệu L2ρ±1 (a, b) là không gian Hilbert của các hàm với tích vô hướng và
chuẩn
b
(u, v)Lρ±1 =
ρ±1 (x)u(x)v(x)dx,
||u||Lρ±1 =
(u, u)Lρ±1 < +∞.
a
Bổ đề 1.3.7. Cho ϕ ∈ L2ρ (a, b), ký hiệu ϕ0 là thác triển 0 của hàm ϕ trên
−1/2
R. Khi đó ϕ0 ∈ Ho
(a, b).
Chứng minh. Ta có L2ρ (a, b) ⊂ L4/3−0 (a, b). Do đó, ϕ0 ∈ L4/3−0 (R).
Do Định lý Hausdorff-Young, ta có ϕ0 (ξ) := F [ϕ0 ](ξ) ∈ L4+0 (R). Do đó
∞
|ϕ0 (ξ)|2
dξ
−∞ 1 + |ξ|
1/q
∞
2q
|ϕ0 | dξ)
−∞
∞
dξ
q/(q−1) )
−∞ (1 + |ξ|
(q−1)/q
,
(1.39)
trong đó q = 2 + ε (ε > 0). Từ (1.39), chúng ta có ϕo ∈ H −1/2 (R), do đó
−1/2
ϕo ∈ Ho
(a, b).
Trong không gian Lρ±1
2 (a, b), chúng ta xét toán tử tích phân suy biến
b
1
SJ [ϕ](x) =
πi
ϕ(t)
dt,
x−t
a
x ∈ J = (a, b),
Định lý 1.3.8. Toán tử SJ được giới hạn trong các không gian L2ρ±1 (a, b).
Định lý 1.3.9. Giả sử f (x) ∈ L2ρ (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), khi đó phương trình
1
π
sẽ có nghiệm trong L2ρ (a, b)
b
a
ϕ(t)
dt = f (x)
t−x
1
ϕ(x) = −
πρ(x)
b
a
f (t)ρ(t)
C
dt +
,
t−x
ρ(x)
(1.40)
(1.41)
trong đó C là hằng số tùy ý. Ngoài ra nếu f (x) ∈ L2ρ−1 (a, b) và điều kiện
sau
b
a
f (x)dx
=0
ρ(x)
19
(1.42)
