Hiệu ứng liên kết spinquỹ đạo và từ trường trong mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng (Luận văn thạc sĩ)

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Các kết quả trình bày trong luận văn là chính xác, trung thực và chưa được ai
công bố trong bất kì công trình nào khác./.

Học viên

Tạ Văn Bình

1


Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo
người hướng dẫn trực tiếp tôi trong quá trình thực hiện luận văn: PGS.TS
Trần Minh Tiến. Từ khi bắt đầu học cao học thầy đã chỉ dạy, hướng dẫn cũng
như giúp đỡ tôi trong học tập và nghiên cứu khoa học. Với sự giúp đỡ của
thầy tôi đã tiến bộ hơn trong rất nhiều mặt.

Tôi xin được cảm ơn đến các thầy đã giảng dạy tôi trong những năm
cao học. Các thầy đã dạy cho tôi những kiến thức cơ sở, làm nền tảng cho tôi
có thể học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Ngoài ra tôi cũng xin cảm ơn
đến cơ sở đã đào tạo tôi là Học Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã
cho tôi có một môi trường thuận lợi để học tập.

Tôi xin được cảm ơn gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi
có thể học tập đến ngày hôm nay. Gia đình không những giúp đỡ tôi về mặt
vật chất mà luôn quan tâm động viên tôi trong cuộc sống và học tập. Tôi cũng
xin cám ơn đến bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian học cao học.

Hà Nội, năm 2019
Học viên

Tạ Văn Bình

2


MỤC LỤC

Mở đầu
Chương 1. Chất điện môi tôpô
1.1.

Khái niệm tôpô trong toán học

1.2.

Chất điện môi tôpô

Chương 2: Mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng
2.1. Cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình tổng quát
2.2. Mạng tinh thể Lieb
2.3. Mô hinh liên kết chặt trong mạng tinh thể Lieb
2.4. Liên kết spin-quỹ đạo trong mạng tinh thể Lieb
2.5. Điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb
Chương 3: Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano trong mạng tinh
thể Lieb
3.1. Lí thuyết cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano trong mạng tinh

thể Lieb
3.2. Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano với hai biên thẳng
3.3. Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano với một biên thẳng và một
biên răng cưa
3.4. Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano với hai biên răng cưa
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

3


MỞ ĐẦU

Ảnh hưởng lẫn nhau giữa liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng tinh
thể trên mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng đã thu hút được
nhiều nghiên cứu gần đây [1].
Trong các hệ có cấu trúc vùng năng lượng phẳng các electron phi tán
sắc tạo ra một tính chất đặc biệt mà bất kỳ tương tác electron nào giữa chúng
cũng trở nên vượt trội so với động năng. Kết quả dẫn đến nhiều hiện tượng
hấp dẫn về tương quan điện tử [2-11]. Ví dụ nổi bật là hiệu ứng Hall lượng tử
phân số, trong đó sự tương tác giữa tính phẳng của các mức năng lượng
Landau và tương tác Coulomb đóng vai trò chính yếu [4-7]. Các ví dụ khác là
hiệu ứng Kondo phân tử đặc biệt do sự có mặt của vùng năng lượng phẳng [911]. Liên kết spin-quỹ đạo là một hiệu ứng tương đối tính của electron dưới
tác động tương tác Coulomb của các ion [2,13]. Đó là tương tác một hạt so
với tương tác Coulomb hai hạt giữa các điện tử. Liên kết spin-quỹ đạo thường
tạo ra một khe năng lượng trong phổ một hạt và có thể tạo ra trạng thái điện
môi tôpô [1]. Trong các mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng,
chẳng hạn như mạng tinh thể Lieb, liên kết spin-quỹ đạo cũng có thể tạo ra
trạng thái điện môi tôpô [1]. Mặt khác, một sự điều biến của electron chuyển
động trong mạng tinh thể Lieb cũng có thể dẫn đến một khe năng lượng trong

phổ một hạt [14]. Tuy nhiên, ngược lại với liên kết spin-quỹ đạo, trạng thái
điện môi gây ra do điều biến mạng là không có tính chất tôpô [1]. Do vậy khi
có cả liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng chúng có thể ảnh hưởng và
cạnh tranh lẫn nhau. Và kết quả là trạng thái điện môi có thể thay đổi từ trạng
thái tôpô sang trạng thái không tôpô.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng lẫn nhau giữa
liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb. Điều biến
4


mạng được thể hiện qua các bước nhảy nút so le [14]. Tính chất tôpô của
trạng thái cơ bản có thể được xác định bằng các phương pháp khác nhau. Một
cách là trực tiếp tính toán số Chern [15-17]. Cách khác là sử dụng các chỉ số
về các mode biên hay trạng thái biên [18]. Tính chất tôpô của điện môi có thể
dựa trên sự tương ứng khối-biên [18]. Nếu trên giao diện giữa hai chất điện
môi, các bất biến tôpô thay đổi thì trạng thái dẫn không khe (gapless) tồn tại ở
giao diện [18]. Các mode biên như vậy có liên quan sâu sắc đến tính chất tôpô
của khối. Số lượng các mode biên tương ứng với bất biến tôpô trong khối.
Trong luận văn này, chúng tôi xác định tính chất tôpô của các trạng thái điện
môi thông qua số lượng các mode biên. Số lượng các mode biên có thể xác
định bằng số lần các mode biên cắt mức năng lượng Fermi, bởi vì khi các
mode biên cắt các mức năng lượng Fermi nó thể hiện ở lân cận điểm cắt có
mode kích thích không khe và điều này dẫn đến khả năng dẫn ở biên, trong
khi trong khối vẫn là điện môi. Đó chính là đặc tính cơ bản của chất điên môi
tôpô. Các mode biên có thể thu được thông qua việc nghiên cứu cấu trúc vùng
năng lượng của dải băng nano có biên mở [19].
Mục đích nghiên cứu của luân văn là thiết lập hiệu ứng ảnh hưởng qua
lại liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb thông
qua các mode biên. Cấu trúc của luận văn này bao gồm ba chương.
Chương 1: Chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tôpô trong toán học và

chất điện môi tôpô trong vật lí.
Chương 2: Chúng tôi trình bày lí thuyết mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng
lượng phẳng, từ mô hình tổng quát đi tới mô hình liên kết chặt trong mạng
tinh thể Lieb, liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng.
Chương 3: Chúng tôi trình bày kết quả cấu trúc vùng năng lượng mạng tinh
thể Lieb có dạng dải băng nano.

5


Kết quả chính của luân văn này đã được báo cáo tại Hội nghị Vật lí lí
thuyết toàn quốc lần thứ 43 tại Quy Nhơn năm 2018, và đã được chấp nhận
đăng trên tạp chí Journa of Physics: Conference Series. Trong luận văn này
chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên với

6

 c  kB  1 .


CHƯƠNG 1. CHẤT ĐIỆN MÔI TÔPÔ

1.1 KHÁI NIỆM TÔPÔ TRONG TOÁN HỌC

Tôpô hay tôpô học là một lĩnh vực nghiên cứu toán học liên quan
đến tính chất hình học của các vật thể ở dạng tổng thể toàn cục. Tính chất
tôpô của các vật thể là các đặc tính được bảo toàn qua sự biến dạng, sự
xoắn và sự kéo dãn. Các đặc tính đó gọi là các bất biến tôpô. Ví dụ đơn
giản là cái vòng xuyến và một cái ca có quai. Cả hai đều có thể biến đổi
liên tục qua lại với nhau, do vậy chúng có cùng tính chất tôpô. Về mặt

tôpô chúng có đúng một lỗ hổng.

Hình 1.1: Một cái ca có quai trở thành vòng xuyến qua sự biến dạng hình học bảo toàn
bất biến tôpô. Cả cái ca và vòng xuyến đều có những tính chất tôpô hoàn toàn giống
nhau [20].

Như vậy, có thể nói một cách nôm na rằng tôpô là một ngành
nghiên cứu về đặc tính của các cấu trúc hình học có tính siêu co dãn, siêu
biến dạng nhưng lại không thể bị cắt rời thành nhiều mảnh, không thể bị
đâm thủng hay bị dán dính vào nhau.

7


Đối với các bề mặt hình học, có thể phân loại tôpô dựa trên định lý
Gauss-Bonnet. Định lý này nói rằng mỗi bề mặt hình học có một bất biến
tôpô thể hiện qua đặc trưng Euler
𝜒=

1
∫ 𝐾𝑑𝐴
2𝜋 𝑠

trong đó: K là độ cong Gauss và tích phân lấy theo một bề mặt kín của
một mặt liên quan tới tính chất bất biến. Tích phân của độ cong ở trên
chỉ phụ thuộc vào tính chất toàn cục của bề mặt (tôpô). Nó bất biến khi
bề mặt biến dạng liên tục. Ví dụ đối với mặt xuyến 𝜒 = 0, mặt cầu 𝜒 =
2 [21].

1.2 CHẤT ĐIỆN MÔI TÔPÔ

Trong vật lý các chất cô đặc việc mô tả đặc điểm các pha của vật
chất đang rất được quan tâm. Đại đa số các pha, ví dụ như sắt từ, có thể
được mô tả theo nguyên lý đối xứng mà trong đó có vỡ đối xứng tự phát.
Khái niệm tôpô trong vật lý đầu tiên được đưa ra để miêu tả hiệu ứng Hall
lượng tử. Hiệu ứng Hall lượng tử là hiệu ứng Hall mà độ dẫn Hall có tính
chất lượng tử. Nó bằng số nguyên lần (hay số phân số lần) đại lượng

e2 / . Trạng thái Hall lượng tử không làm phá vỡ tính đối xứng, nó có
tính bất biến đối với thay đổi các tham số trong vật liệu và chỉ thay đổi khi
hệ buộc phải chuyển pha. Tính chất bất biến của hiệu ứng Hall lượng tử
chính là độ dẫn Hall. Tính chất này có thể hiểu như là các kết quả cấu trúc
tôpô của các mức năng lượng Laudau do chất khí electron được đặt trong
từ trường.
Hiệu ứng Hall lượng tử chỉ xuất hiện khi có từ trường ngoài. Tiếp
8


theo hiệu ứng Hall lượng tử người ta đã tìm thấy những trật tự tôpô mới
thông qua việc tìm ra chất điện môi tôpô. Chất điện môi tôpô giống như
các chất điện môi thông thường, nó có khe năng lượng tách cấu trúc vùng
năng lượng của vật liệu thành hai vùng, vùng hóa trị và vùng dẫn. Tuy
nhiên, phần bề mặt (hoặc cạnh biên trong không gian hai chiều) của chất
điện môi tôpô có trạng thái dẫn không có khe năng lượng. Hiệu ứng Hall
lượng tử cho thấy trạng thái biên có tính chất dẫn, và có kích thích không
khe (gapless). Giống như trạng thái Hall lượng tử, trong trường hợp hai
chiều chất điện môi tôpô ứng với mỗi cạnh biên có một trạng thái cạnh
biên duy nhất. Đó là nguyên lý tương ứng khối –cạnh biên. Nguyên lý này
cho rằng tính chất tôpô trong khối luôn tương ứng với số trạng thái biên
hay bề mặt. Do vậy nhiều khi thay vì đi tính bất biến tôpô của chất điện

môi, người ta quan sát số trạng thái biên và từ đó xác định chất điện môi
có tính chất tôpô hay không.
Năm 2006, Bernevig, Hughes và Zhang [18] đề xuất tồn tại trạng thái Hall
spin lượng tử, tên gọi lúc bấy giờ cho trạng thái điện môi tôpô hai chiều, trong
giếng lượng tử HgTe/CdTe, mà ngay sau đó thực nghiệm đã xác định tính
đúng đắn của đề xuất này [18]. Giếng lượng tử HgTe/CdTe là chất điện môi
tôpô hai chiều đầu tiên có tính chất đối xứng nghịch đảo thời gian, khác với
hệ Hall lượng tử, khi từ trường ngoài phá vỡ đối xứng nghịch đảo thời gian.
Trong giếng lượng tử HgTe/CdTe tương tác spin - quỹ đạo đóng vai trò quyết
định tạo ra độ dẫn Hall lượng tử nguyên, không cần đến từ trường ngoài.
Chính vì vậy mà ban đầu tính chất này được gọi là hiệu ứng Hall spin lượng
tử, để phân biệt với hiệu ứng Hall lượng tử thông thường, khi điện tích trong
từ trường đóng vai trò quyết định. Song song với khám phá trạng thái điện
môi tôpô trong giếng lượng tử HgTe/CdTe, các nhóm nghiên cứu khác cũng
đề xuất lý thuyết về chất điện môi Hall spin, một tên gọi khác cho chất điện

9


môi tôpô, có đối xứng nghịch đảo thời gian và liên kết spin - quỹ đạo [18],
[20,21]. Từ đó hình thành lý thuyết vùng năng lượng cho chất điện môi tôpô
hay chất điện môi tôpô Z2 . Xuất phát điểm của lý thuyết này là tính chất đối
xứng nghịch đảo thời gian và liên kết spin - quỹ đạo. Định lý Kramer khẳng
định rằng tất cả các trạng thái riêng của hệ có Hamiltonian bất biến đối với
đối xứng nghịch đảo thời gian đều suy biến bậc 2. Khi không có liên kết spin
- quỹ đạo, suy biến bậc 2 theo định lý Kramer đơn giản chỉ là suy biến theo
spin lên và spin xuống. Nhưng khi có liên kết spin - quỹ đạo suy biến bậc hai
này dẫn tới một hệ quả thú vị. Do Hamiltionian bất biến theo nghịch đảo thời
gian nên các trạng thái có động lượng km  km  G , trong đó G là vector
mạng đảo, sẽ suy biến bậc 2. Các trạng thái có động lượng khác không còn

suy biến bậc 2 do tương tác spin - quỹ đạo tách chúng ra. Có thể nhận thấy km
nằm trên biên của vùng Brillouin thứ nhất, và thường là các điểm có tính chất
đối xứng cao của mạng tinh thể. Trên hình 1.2, hình bên tay trái, các trạng
thái liên kết nối với nhau bằng các đường đi qua mức Fermi số chẵn lần.
Trong trường hợp này, các trạng thái biên có thể loại đi khỏi các trạng thái
liên kết ra khỏi khe năng lượng. Và do vậy các trạng thái điện môi ở biên vẫn
mang tính điện môi. Ngược lại, ở hình bên phải của hình 1.2 khi các đường
liên kết các trạng thái biên đi qua mức năng lượng Fermi số lẻ lần, các trạng
thái biên không làm sao có thể loại bỏ được. Do vậy trạng thái biên mang tính
dẫn, mặc dù trạng thái trong khối vẫn là điện môi. Đây chính là trường hợp
của chất điện môi tôpô. Vậy theo lý thuyết vùng năng lượng này, một chất
điện môi tôpô có tính chất tôpô hay không phụ thuộc vào số lần các trạng thái
biên có mức năng lượng cắt mức Fermi là chẵn hay lẻ, nên có thể ánh xạ nó
vào nhóm Z2 . Do vậy chất điện môi tôpô theo lý thuyết vùng năng lượng như
trên còn được gọi là chất điện môi tôpô Z2 . Kane và các cộng sự đã xây dựng
một chỉ số theo nhóm Z2 để xác định một chất điện môi có phải là chất điện
10


môi tôpô hay không [18]. Chỉ số đó chính là bất biến tôpô. Khi chỉ số đó bằng
0, chất điện môi là chất điện môi thông thường, và khi chỉ số đó bằng 1, chất
điện môi là chất điện môi tôpô. Lưu ý ví dụ được xét ở trên chỉ có một cạnh
biên. Khi hệ có hai cạnh biên số trạng thái biên ứng với tính chất tôpô của
khối được tính cho mỗi cạnh biên. Chi tiết cụ thể về chất điện môi tôpô có thể
xem trong các tài liệu tổng quan [18]. Đặc tính xác định chất điện môi tôpô
này cũng có thể áp dụng cho chất điện môi 3 chiều. Thực nghiệm đã tìm ra
chất điện môi tôpô 3 chiều như Bi2Se3, Bi2Te [ 18].

Hình 1.2: Hệ thức tán sắc điện tử giữa hai suy biến Kramer tại

a  0 và b   / a .

Trong hình (a) số trạng thái qua năng lượng Fermi là số chẵn, trong hình (b) là số lẻ.
(Hình lấy từ tài liệu [18]).

11


CHƯƠNG 2. MẠNG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC VÙNG NĂNG
LƯỢNG PHẲNG

Vùng năng lượng phẳng là vùng năng lượng không có tán sắc, có nghĩa
là nó là một hằng số, không phụ thuộc vào động lượng. Vùng năng lương
phẳng xuất hiện trong các mạng tinh thể có cấu trúc khác nhau. Một trog
những mạng tinh thể có cấu trúc đơn giản nhất có cấu trúc vùng năng lượng
phẳng là mạng tinh thể Lieb. Mạng tinh thể Lieb được quan tâm nghiên cứu
khá nhiều, vì ngoài tính chất có cấu trúc vùng năng lượng phẳng, nó còn có
cấu trúc tương tự như cấu trúc cơ bản của các chất siêu dẫn nhiệt độ cao chứa
oxit đồng. Khi chất điện môi tôpô được phát hiện, mạng tinh thể Lieb lại được
quan tâm nghiên cứu và khi kết hợp với liên kết spin-quỹ đạo chúng có khả
năng tạo ra trạng thái điện môi tôpô. Do vậy có thể kỳ vọng vùng năng lượng
phẳng , liên kết spin-quỹ đạo và tương quan điện tử có thể dẫn đến hiện tượng
phân số hóa điện tích như trong hiệu ứng Hall lượng tử phân số. Do vậy trong
chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày về cấu trúc vùng năng lượng
trong mô hình tổng quát. Sau đó cấu trúc mạng tinh thể Lieb sẽ được trinh bày
ở mục 2.2. Mô hình liên kết chặt và cấu trúc vung năng lượng sẽ được trình
bày ở mục 2.3. Ở mục 2.4, liên kết spin-quỹ đạo sẽ được đưa vào. Cuối cùng
mục 2.5 trình bày về điều biến mạng và cấu trúc vùng năng lượng khi có điều
biến mạng.

12


2.1.

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG PHẲNG TRONG MÔ HÌNH

TỔNG QUÁT

Xét một hệ vật lí nhiều hạt có Hamiltonian có dạng tổng quát như sau

H   †I hˆIJ  J

(1)

I;J

trong đó †I và  I là toán tử sinh, hủy hạt có spin σ tại ô mạng I, viết ở dạng
tổng quát dạng hàng và cột ma trận. Tùy theo số nút mạng trong ô mạng cơ sở
mà †I và  I có số chiều tương ứng. Chẳng hạn trong một ô mạng cơ sở có

l nút mạng tinh thể thì:
 I

 c1 
   ;
c 
 l 

†i   c1†

cl† 

với ca† và ca là các toán tử sinh hủy hạt tại nút mạng a trong ô mạng cơ sở
(a=1,…, l ). Trong biểu thức (1) hˆIJ là ma trận thông số về Hamiltonian của
hệ. Do tính chất Hermite của Hamiltonian, hˆIJ có tính chất

hˆIJ  hˆJI
Xét hệ trong một khối tinh thể có điều kiện biên tuần hoàn. Do có tính
chất tuần hoàn, chúng ta có thể thực hiện biến đổi Fourier từ không gian mạng
thuận sang không gian mạng đảo

13


 I 

1
N

e

ikRI

k

 k ,

trong đó N là số ô mạng cơ sở của mạng tinh thể, RI là vị trí của ô mạng I và k
là động lượng tinh thể. Áp dụng phép biến đổi Fourier này vào Hamiltonian ở

biểu thức (1) chúng ta thu được

H   †k hˆ (k ) k
k

trong đó

hˆ (k )   hˆIJ eik ( RI  RJ )
I;J

Hamiltonian hˆ (k ) được gọi là Hamiltonian Bloch. Chéo hóa
Hamiltonian Bloch chúng ta thu được các phổ năng lương của một hạt, tức là:

hˆ (k )n (k )  En (k )n (k )
với En (k ) , n (k ) là trị riêng và trạng thái riêng của Hamiltonian Bloch. Các
hàm số En (k ) phụ thuộc vào động lượng k được gọi là vùng năng lượng n
của hệ. Tập hợp tất cả các hàm số En (k ) được gọi là cấu trúc vùng năng
lượng của hệ.

2.2.

MẠNG TINH THỂ LIEB

Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể hình vuông mà mỗi cạnh của nó có
thêm một nút mạng ở trung điểm như ở hình 1. Mạng tinh thể Lieb là mạng
tinh thể phi Bravais. Có thể chọn ô cơ sở là hình vuông có chứa ba nút mạng
A, B, C như hình 2.1. Tham số mạng có thể chọn a=1. Như vậy mạng Bravais
của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông thuần túy với hằng số mạng a=1.

14

Mạng đảo cũng là mạng hình vuông với hằng số mạng

2
. Vùng Brillouin là
a

hình vuông với các véc tơ động lượng



a

 kx 



;

a





 ky 
a
a

Hình 2.1: Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể hình vuông mà mỗi cạnh của nó có thêm
một nút mạng ở trung điểm. Ô cơ sở là hình vuông có chứa ba nút mạng A, B, C

2.3.

MÔ HÌNH LIÊN KẾT CHẶT TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

Mô hình liên kết chặt có Hamiltonian như sau:

H    tijci† c j
i, j 

trong đó ci† và ci là toán tử sinh hủy electron có spin σ tại nút mạng i. tij là
thông số nhảy nút giữa nút i và nút j trong mạng tinh thể. Ở đây chúng ta chỉ
xét nhảy nút giữa các nút mạng tinh thể lân cận gần nhất. Ký hiệu

i, j

chỉ hai

nút i,j là hai nút mạng tinh thể gần nhất. Trong luận văn này chúng tôi sử
dụng t=1 làm đơn vị năng lượng.

15


Áp dụng cách tính cấu trúc vùng năng lượng ở mục 2.1 chúng ta thu
được Hamiltonian Bloch như sau:



0
2t  kx  2t  k y  


h (k )   2t   kx 
0
0



 2t   k y 

0
0


  k   cos

trong đó

k
2

Do mạng tinh thể Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên
Hamiltonian Bloch là ma trận 3x3. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể
tìm được từ phương trình đặc trưng

 E
2t  kx  2t  k y  



0  det  h (k )  E   det  2t   kx 
E
0



 2t   k y 

0

E


2
2
  E 3  4Et 2    k x     k y  



Giải phương trình đặc trưng trên ta thu được ba nghiệm gốm:
E =0

Và hai nghiệm khác 0 là:
E  2t   kx     k y 
2

 2t 1 

2

1
 cos kx  cos k y 
2

Như vậy chúng ta có thể thống nhất cho mô hình liên kết chặt với nhảy
nút lân cận gần nhất cho một vùng năng lượng phẳng nằm giữa hai vùng năng

16


lượng tán sắc. Khi triển năng lượng tán sắc quanh điểm M  ( ,  ) nằm ở góc
vùng Brillouin chúng ta thu được:
E  t q

trong đó q  k  M , q

1. Như vậy có thể thấy ở kích cỡ năng lượng thấp,

hai vùng năng lượng tán sắc có tính chất của electron Dirac.
Hình 2.2 là cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình liên kết chặt trong
mạng tinh thể Lieb. Có thể thấy một vùng năng lượng phẳng nằm giữa hai
vùng năng lượng tán sắc.

Hình 2.2: Cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình liên kết chặt của mạng tinh thể Lieb,

2.4.

LIÊN KẾT SPIN-QUỸ ĐẠO TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

17


Liên kết spin-quỹ đạo là hiệu ứng tương đối của elecron chuyển động
trong một thế tương tác. Trong cơ học lượng tử chung ta biết liên kết spin-quỹ
đạo có dạng [12,13]

Hso 

1
(V  p).
4m2

trong đó m là khối lượng của electron, V(r) là thế năng, p là toán tử động
lượng của electron và  là các ma trận Pauli. Lượng tử hóa lân thứ hai liên kết
spin-quỹ đạo chúng ta thu được [13]:

H so    tij s   s, cis c js,
ijss, 

trong đó cis và cis Là toán tử sinh hủy electron tại nút mạng tinh thể i có spin
s. s là trạng thái spin có spin s.  là tensor phản đối xứng toàn phần. tij là
thông số của liên kết spin-quỹ đạo [13]:
tij  

trong đó

F (r )  V (r ) và Ri (r )

1

drRi (r ) F  (r ) p (r)Rj (r)
4m2 

là hàm sóng Wannier ở nút mạng tinh thể i.

18


Hình 2.3: Mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông, liên kết spin-quý đạo
có thông số liên kết lớn nhất khi i,j là các nút mạng lân cận tiếp theo, cụ thể là giữa các nút
mạng tinh thể theo đường chéo

Thông thường thông số liên kết spin-quỹ đạo giảm rất nhanh khi khi
khoảng cách giữa các nút mạng tinh thể i,j xa nhau do hàm sáng Wannier gần
như định xứ quanh nút mạng tinh thể. Do tính chất đối xứng điểm của mạng
tinh thể mà thông số liên kết spin-quỹ đạo có thể bị triệt tiêu ở một số chỗ.
Mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông. Do tính chất đối
xứng gương qua bất kỳ cạnh nào của hình vuông mà tij  0 khi i,j là các nút
mạng lân cận gần nhất. Vì vậy liên kết spin-quý đạo có thông số liên kết lớn
nhất khi i,j la các nút mạng lân cận tiếp theo, cụ thể là giữa các nút mạng tinh
thể theo đường chéo, như ở hình 2.3.
Hamiltonian của liên kết spin-quỹ đạo này có thể viết như sau

H so  i

  c   c 

ij i

j

i, j

với  ij  1 . Trong đó  ij  1 khi nhảy nút từ nút i sang nút j ngược chiều kim
đồng hồ như ở hình 2.4,  ij  1 khi nhảy nút từ i sang nút j thuận chiều kim
đồng hồ. Để Hamiltonian có tính chất Hermite và λ là thông số thực chúng ta
cần hệ số i (số ảo i2 = -1) ở phía trước.
Áp dụng cách tính cấu trúc vùng năng lượng ở mục 2.1 chúng ta thu
được Hamiltonian Bloch như sau:

 E
2t  kx  2t  k y  


h0 (k )   2t   k x 
E
i (k ) 


 2t   k y  i (k )


E



19


  k   4sin

trong đó

k
kx
sin y
2
2

Do mạng tinh thể Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên
Hamiltonian là ma trận 3x3. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm
được từ phương trình đặc trưng

 E
2t  kx  2t  k y  


0  det  h (k )  E   det  2t   kx 
E
i  k  


 2t   k y  i  k 
 E 


Từ đây chúng ta thu được phương trình:
2
2
0   E 3  4Et 2    k x     k y    E 2 2  k 




Giải phương trình trên ta thu được nghiệm:
E =0

Và hai nghiệm khác 0
 1

E   4t 2 1   cos kx  cos k y    2 2  k 
 2


Hình 2.4 là cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình đang xét khi
có liên kết spin-quỹ đạo. Chúng ta có thể thấy liên kết spin-quỹ đạo đã tạo ra
khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Khi mật độ số hạt bằng 1/3
(hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi. Còn khi mật độ số hạt bằng ½ tính
chất cơ bản của trạng thái cơ bản do vùng năng lượng phẳng xác định.

20


Hình 2.4: Cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình liên kết chặt khi có liên kết spin-quỹ đạo.

2.5.

ĐIỀU BIẾN MẠNG TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

Nếu trong mô hình liên kết chỉ xét tới điều biến mạng tinh thể thì
Hamiltonian có dạng như sau:

H    tijci† c j
i, j 

trong đó tij  t 1    , với δ đặc trưng cho sự điều biến cấu trúc mạng tinh thể
tại nút (i,j) như thể hiện trên hình 2.5

21


Hình 2.5. Cấu trúc mạng tinh thể Lieb khi có điều biến mạng tinh thể trong đó tij  t 1    ,
với δ đặc trưng cho sự điều biến cấu trúc mạng tinh thể tại nút (i,j)

Mạng Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên Hamiltonian
Bloch là ma trận sau:


0
2t  kx  2t  k y  


h (k )   2t   kx 
0
0



 2t   k y 

0

0



Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm được từ phương trình
đặc trưng là
 E
2t  kx  2t  k y  


0  det  h (k )  E   det  2t   kx 
E
0



 2t   k y 
0
 E 

2
2
  E 3  4Et 2    k x     k y  



k
k
  k   cos  i sin ,
2

2

trong đó

2
k
k 1
  k   cos2   2 sin2  1   2  (1   2 )cos k 
2
2 2

Giải phương trình đặc trưng trên ta thu được nghiệm gồm:
E =0

Và hai nghiệm khác 0

E  2t   k x     k y 
2

2

22


1
 2t 1   2  (1   2 )  cos kx  cos k y 
2

Như vậy chúng ta có thể thấy điều biến mạng cũng tạo ra khe năng
lượng cô lập vùng năng lượng phẳng giống như liên kết spin-quỹ đạo như ở

hình 2.6

Hình 2.6. Cấu trúc vùng năng lượng trong mạng tinh thể Lieb khi có điều biến mạng δ=0.4.

Như vậy chúng ta có thể thấy nếu chỉ khảo sát cấu trúc vùng năng
lượng của khối thì chúng ta chỉ biết hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo và
hiệu ứng của điều biến mạng giống như nhau. Chúng đều tạo ra khe năng
lượng và cô lập vùng năng lượng phẳng ở giữa. Chúng ta không thể biết tính
chất tôpô của trạng thái cơ bản từ cấu trúc vùng năng lượng khối. Do vậy ở
chương tiếp theo chúng tôi nghiên cứu tính chất tôpô của hệ thông qua các
mode biên.

23


CHƯƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG
NANO MẠNG TINH THỂ LIEB

Ở chương trước chúng ta đã thây hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo và
của điều biến mạng lên vùng năng lượng phẳng trong khối. Nhưng với cấu
trúc vùng năng lượng khối chúng ta không thấy được tính chất tôpô của hệ.
Tính chất tôpô của hệ có thể khảo sát thông qua các đặc điểm khác nhau. Một
cách khảo sát tính chất tôpô là tính số Chern. Số Chern chính là bất biến tôpô
của trạng thái cơ bản. Cách khác là khảo sát các chỉ số mode biên của hệ.
Cách làm này trực quan vì nó thể hiện tính chất căn bản của chất điện môi
tôpô: trong khối là chất điện môi nhưng trên bề mặt (hay biên) electron lại có
khả năng truyền dẫn. Đó chính là tính chất được gọi là nguyên lí tương ứng
khối-biên. Tính chất tôpô trong khối phản ánh lên tính chất của các mode biên
và ngược lại. Khi đường mode biên cắt mức năng lượng Fermi nó thể hiện
mode biên đó có tính chất kích thích không khe. Tương ứng với mỗi biên, nếu

số mode biên ở mức năng lượng Fermi là số lẻ thì trạng thái điện môi là tôpô.
Ngược lại, nếu số mode biên là số chẵn thì ta có trạng thái điện môi không có
tính chất tôpô.
Để khảo sát được các mode biên, chúng ta xét một dải băng nano. Dải
băng nano được cắt ra từ mạng tinh thể Lieb theo một chiều nào đó, khiến nó

24


có biên tuần hoàn theo một chiều và không có biên tuần hoàn theo chiều kia.
Biên không tuần hoàn sẽ tạo ra các mode biên.
Trong chương này, trong mục 3.1 chúng tôi sẽ trình bày lí thuyết về cấu
trúc vùng năng lượng cho dải băng nano. Tùy theo tính chất của biên không
tuần hoàn chúng ta có các cấu trúc vùng năng lượng khác nhau. Các mục tiếp
theo chúng tôi tính toán cấu trúc vùng năng lượng cho các dải băng nano có
biên không tuần hoàn khác nhau và khảo sát các mode biên để từ đó rút ra
tính chất tôpô của hệ.
3.1. LÍ THUYẾT CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG
NANO TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

Chúng ta xem xét một mô hình liên kết chặt với liên kết spin-quỹ đạo
trên mạng tinh thể Lieb, Hamiltonian có dạng:

H    tijci† c j  i
i , j ,

  c   c 
†
ij i

j

i, j ,

Chỉ số nút mạng i trong mạng tinh thể Lieb được đánh số lại bằng chỉ số
mạng cơ sở là (I x , I y ) và chỉ số nút mạng a trong ô cơ sở chúng ta quy ước a=1
chỉ nút mạng A, a=2 chỉ nút mạng C, a=3 chỉ nút mạng B
i  (I x , I y , a) ,

a  1,2,3.

Khi đó Hamiltonian được viết lại như sau:
H 0    tIJ cI†y a ( I x )cJ yb ( J x )  i  ij cI†y a ( I x ) cJ yb ( J x )
 (t   )  cI†y 1 ( I x )cI y 2 ( I x )  (t   )  cI†y 1 ( I x )cI y 3 ( I x )
25