Về tính ổn định và ổn định hóa của hệ phân thứ Caputo lồi đa diện (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGÔ THỊ LÝ

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA HỆ PHÂN THỨ CAPUTO LỒI ĐA DIỆN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Mai Viết Thuận
TS. Li Chenglin

THÁI NGUYÊN - 2019


1

Mục lục
Lời nói đầu

2

Một số ký hiệu và viết tắt

4

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính
phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ

16

2.1. Tính ổn định của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện
có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ

Caputo lồi đa diện có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


2

LỜI NÓI ĐẦU
Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm phân thứ được phát triển chủ
yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho
các nhà toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều nhà khoa học đã
chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô
tả tính chất của các vật liệu thực khác nhau và nhiều mô hình kỹ thuật khác
nhau. Ngoài ra, chúng còn được tìm thấy trong kỹ thuật vật liệu, hệ thống
kinh tế, hệ thống nhớt, hệ thống tài chính, phân cực điện cực [9].
Do nhiều lý do như quá trình xấp xỉ tuyến tính, mô hình không chính xác, lỗi
đo lường nên các yếu tố không chắc chắn thường xuất hiện trong các hệ động
lực trong thực tế. Hệ phương trình vi phân và điều khiển lồi đa diện là một
trong những lớp hệ động lực thuộc lớp này. Tính ổn định và ổn định hóa của
một số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên đã được nghiên
cứu trong [17, 18, 19] bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov. Đối với
lớp hệ phương trình vi phân phân thứ, đã có một số công trình quan trọng
được công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín (xem [3, 5, 8, 10, 11, 12, 15]).
Luận văn tập trung trình bày một số kết quả về tính ổn định và ổn định
hóa cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo lồi đa diện dựa

trên việc tổng hợp và trình bày một cách có hệ thống một số bài báo được
xuất bản trong những năm gần đây trên các tạp chí quốc tế có uy tín. Luận
văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau đây:
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lý tồn tại và duy
nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung


3

chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [20, 21, 22].
Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho
tính ổn định và ổn định hóa của một lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi
đa diện có trễ. Nội dung của chương này được dự kiến viết bằng cách tham
khảo các tài liệu [3, 10]. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày
03 ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,
tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa Học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã
tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên
cứu.
Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới các thầy cô trong Ban giám hiệu và anh, chị,
em đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã luôn ủng hộ, tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu đã chăm sóc động

viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc
toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thật
dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là
truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau.
Xin chân thành cảm ơn.


4

Danh mục ký hiệu

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x
Rn×r

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b]

α
t 0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α


5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [7, 20, 21, 22].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([22]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α
t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau
Định lý 1.1. ([22]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi

6

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([22])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

−α

=λ

j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([22]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α
t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0

f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


7

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi

trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d
}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([22]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
ck =
k!

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


8

Hệ quả 1.1. ([22]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
=
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([21]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

dn
1
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

dn
µ
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([21]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α

t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm Caputo phân
thứ cấp α.


9

Định lý 1.3. ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(1 − α)

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([21]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([21]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([22]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


10

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây
Định lý 1.5. ([22]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
Định lý 1.6. [22] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=RL
t0

Dtα

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].

1.2.

Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và

luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau

:= max x(t) ,
t∈[0,T ]

( trong đó . là chuẩn Euclide trong không gian Rn ).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
C α
0 Dt x(t)

= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(1.1)


11

với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 ∈ Rn ,

(1.2)

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn .
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]
nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [7] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy
ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
1
ϕ(t, x0 ) = x0 +
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời
điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được
ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại
tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời

điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản
giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lý sau đây:
Định lý 1.7. ([7] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn
và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.


12

Đặt M = sup

f (t, x) và

(t,x)∈G

T∗ =



 T, nếu M = 0,

 min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại.

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).

Định lý 1.8. ([2] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán
(1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).

1.3.

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
Định nghĩa 1.4. [21] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk

=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [21] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)


13

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =

k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [22].
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu
phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,
t0 t

(1.4)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
T

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là
thời điểm ban đầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Định nghĩa 1.6. ([24]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x = 0 là một điểm cân bằng của hệ

phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ
(1.4) trở thành
C α
t0 Dt y(t)

=

C α
t0 Dt (x(t)

− x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),

(1.5)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0.


14

Định nghĩa 1.7. ([24]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
b

x(t) ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , t ≥ t0
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .
Nhận xét 1.3. ([24]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny
đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ.
Định lý 1.9. ([13]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số
dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều
kiện:
(i)

α1 x(t)

(ii)

C α
t0 Dt V

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

(t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0
trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)
là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, S. Liu cùng
các cộng sự [14] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ
phân thứ có trễ.
Định lý 1.10. [14] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ
C α
t0 Dt x(t)

= f (t, xt ), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, f :

[t0 , +∞)×C([t0 −τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn )


15

là điều kiện ban đầu. Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1 , a2 , a3 và một hàm
khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn

(i) a1 x

2

≤ V (x) ≤ a2 x 2 ,

và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn
α
(ii) C
t0 Dt V (x(t)) ≤ −a3 x

2

khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với

γ > 1 nào đó.
Khi đó hệ ổn định tiệm cận.

1.4.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu




X Z

T

Z −Y


 < 0.

Bổ đề 1.3. [20] Cho x(t) ∈ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục, P ∈ Rn×n
là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó
1 α T
D x (t)P x(t) ≤xT (t)P Dtα x(t), ∀α ∈ (0, 1), ∀t ≥ 0.
2 t
Bổ đề 1.4. ([16]) Cho Q là một ma trận đối xứng, xác định dương, một số
τ > 0 và một hàm véc tơ ω : [0, τ ] −→ Rn . Khi đó ta có đánh giá sau đây
T

τ

ω(s)ds
0

τ

Q

τ

ω(s)ds
0

ω T (s)Qω(s)ds.

≤τ
0


16

Chương 2

Tính ổn định và ổn định hóa của
lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo
lồi đa diện có trễ
2.1.

Tính ổn định của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo
lồi đa diện có trễ

Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp dưới đây


 C Dα x(t) = A(ξ)x(t) + D(ξ)x(t − h) + W (ξ) t x(s)ds, t ≥ 0
t
0

t−τ
(2.1)

 x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0], κ = max{h, τ },
trong đó α ∈ (0, 1], x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, các hằng số h, τ là độ
trễ, φ(t) ∈ C([−κ, 0], Rn ) là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởi
φ = maxt∈[−κ,0] φ(t) . Hệ các ma trận {A(ξ), D(ξ), W (ξ)} là không biết
nhưng thuộc vào đa diện Ω xác định bởi
p

Ω = {[A, D, W ](ξ) :=

p

ξi = 1, ξi ≥ 0},

ξi [Ai , Di , Wi ],
i=1

i=1

với {Ai , Di , Wi } là tập đỉnh, ở đó Ai , Di , Wi (i = 1, . . . , p) là các ma trận hằng
số cho trước.
Để thuận lợi cho các trình bày tiếp theo, ta đặt
p

P (ξ) =

ξi Pi ,
i=1

Γij = ATi Pj + Pj Ai + (1 + τ ) Pj , Φij = Pj Di τ Pj Wi ,


17

Σj = diag{Pj , τ Pj },






Γij

Mi (Ai , Di , Wi , Pj ) = 
ΦTij

Pj Di τ Pj Wi 
 Γij

=
 DiT Pj −Pj
0 ,


−Σj
T
0
−τ Pj

hWi Pj
Φij





S 0 0


S =  0 0 0 .


0 0 0

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ
(2.1).
Định lý 2.1 ([10]). Hệ (2.1) ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối
xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, . . . , p), một ma trận đối xứng, nửa xác
định dương S ∈ Rn×n và một số dương

> 1 sao cho các điều kiện dưới đây

được thỏa mãn
Mi (Ai , Di , Wi , Pi ) < −S, i = 1, . . . , p
Mi (Ai , Di , Wi , Pj ) + Mj (Aj , Dj , Wj , Pi ) <

(2.2a)
2
S,

p−1

(2.2b)

i = 1, . . . , p − 1; j = i + 1, . . . , p.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây
V (t, x(t)) = xT (t)P (ξ)x(t).
Dễ dàng kiểm tra được
Λ1 x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ Λ2 x(t) 2 ,

(2.3)

ở đó
Λ1 = min {λmin (Pi )}, Λ2 = max {λmax (Pi )}.
i=1,...,p

i=1,...,p

Do đó điều kiện (i) trong Định lý 1.10 được thỏa mãn. Sử dụng Bổ đề 1.3, ta
tính được đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm V (t, x(t)) dọc theo quỹ
đạo nghiệm của hệ (2.1) như sau
C α
0 Dt V

(t, x(t))

α
≤ 2xT (t)P (ξ) C
0 Dt x(t)

= xT (t) P (ξ)A(ξ) + AT (ξ)P (ξ) x(t) + 2xT (t)P (ξ)D(ξ)x(t − h)
t
T

+ 2x (t)P (ξ)W (ξ)

x(s)ds.
t−τ

(2.4)


18

Vì V (t, x(t)) = xT (t)P (ξ)x(t) nên theo Định lý 1.10, ta giả thiết có một số
thực > 1 sao cho
V (t + s, x(t + s)) < V (t, x(t)), ∀s ∈ [−κ, 0].
Sử dụng Bổ đề 1.4 kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ma trận (Bổ đề 1.1), ta
thu được các đánh giá dưới đây
2xT (t)P (ξ)D(ξ)x(t − h)
≤ xT (t)P (ξ)D(ξ)P −1 (ξ)DT (ξ)P (ξ)x(t) + xT (t − h)P (ξ)x(t − h)
T

≤ x (t)P (ξ)D(ξ)P

−1

(2.5)

T

(ξ)D (ξ)P (ξ)x(t) + V (t − h, x(t − h))

≤ xT (t)P (ξ)D(ξ)P −1 (ξ)DT (ξ)P (ξ)x(t) + xT (t)P (ξ)x(t),
t
T

2x (t)P (ξ)W (ξ)

x(s)ds
t−τ

≤ τ xT (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t)
T

t

1
+
τ

x(s)ds

t

x(s)ds

P (ξ)
t−τ

t−τ

≤ τ xT (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t)
t

xT (s)P (ξ)x(s)ds

+
t−τ

= τ xT (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t)

(2.6)

0

xT (t + s)P (ξ)x(t + s)ds

+
−τ

= τ x (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t)
T

0

+

V (t + s, x(t + s))ds
−τ
0
T

−1

T

−1

≤ τ x (t)P (ξ)W (ξ)P

T

xT (t)P (ξ)x(t)ds

(ξ)W (ξ)P (ξ)x(t) +
−τ

= τ x (t)P (ξ)W (ξ)P

T

(ξ)W (ξ)P (ξ)x(t) + τ xT (t)P (ξ)x(t).

Kết hợp (2.4)–(2.6), ta thu được
C α

0 Dt V

(t, x(t)) ≤ xT (t)Ξ(ξ)x(t),

trong đó
Ξ(ξ) = AT (ξ)P (ξ) + P (ξ)A(ξ) + P (ξ)D(ξ)P −1 (ξ)DT (ξ)P (ξ)

(2.7)


19

+ τ P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ) + (1 + τ ) P (ξ).
Theo Bổ đề 1.2, Ξ(ξ) < 0 nếu


T (ξ) P (ξ)D(ξ) τ P (ξ)W (ξ)


U (ξ) =  ∗
<0
−P (ξ)
0


∗
∗
−τ P (ξ)
ở đó
T (ξ) = AT (ξ)P (ξ) + P (ξ)A(ξ) + (1 + τ ) P (ξ).

p

p

Vì P (ξ) =

p

ξi Pi , A(ξ) =
i=1

p

ξi Ai , D(ξ) =
i=1

ξi Di , W (ξ) =

p

ξi Wi ,

i=1

i=1

ξi =
i=1

1, ξi ≥ 0(i = 1, . . . , p) nên ta có

p

ξi2 Mi (Ai , Di , Wi , Pi )

U (ξ) =

i=1
p−1

p

ξi ξj [Mi (Ai , Di , Wi , Pj ) + Mj (Aj , Dj , Wj , Pi )] .

+
i=1 j=i+1

Từ các điều kiện (2.2a) và (2.2b), ta thu được
p

ξi2 S

U (ξ) ≤ −
i=1

2
+
p−1

p−1

p

p

ξi2

ξi ξj S = −
i=1 j=i+1

i=1

2
+
p−1

p−1

p

ξi ξj S.
i=1 j=i+1

Mặt khác, từ ràng buộc
p

p−1

ξi2

(p − 1)

p

p−1

−2

i=1

p

ξi2

−
i=1

2

(ξi − ξj ) ≥ 0,

ξi ξj =
i=1 j=i+1

ta có

p

2
+
p−1

i=1 j=i+1

p−1

p

ξi ξj S < 0,
i=1 j=i+1

điều này suy ra rằng Ξ(ξ) < 0 từ các điều kiện (2.2a) và (2.2b). Từ đó suy ra
C α
0 Dt V

(t, x(t)) < 0.

Vậy, điều kiện (ii) trong Định lý 1.10 cũng được thỏa mãn. Vậy, hệ (2.1) ổn
định tiệm cận toàn cục.


20

Khi W (ξ) ≡ 0, hệ (2.1) quay trở về hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa
diện có trễ dạng rời rạc:


 C Dα x(t) = A(ξ)x(t) + D(ξ)x(t − h), t ≥ 0,
t
0

(2.8)


 x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0].
Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.
Hệ quả 2.1 ([10]). Hệ (2.8) ổn định tiệm cận toàn cục nếu tồn tại các ma
trận đối xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, . . . , p), một ma trận đối xứng,
nửa xác định dương S ∈ Rn×n và một số dương

> 1 sao cho các điều kiện

dưới đây được thỏa mãn
Ui (Ai , Di , Pi ) < −S, i = 1, . . . , p
Ui (Ai , Di , Pj ) + Uj (Aj , Dj , Pi ) <

(2.9a)
2
S,
p−1

(2.9b)

i = 1, . . . , p − 1; j = i + 1, . . . , p,
trong đó


Ωij
Ui (Ai , Di , Pj ) = 
DiT Pj






S 0
Pj D i
, S = 
,
0 0
−Pj

Ωij = ATi Pj + Pj Ai + Pj .
Khi p = 1 hệ (2.1) trở thành hệ tuyến tính phân thứ Caputo có trễ hỗn hợp
sau đây:




C α
0 Dt x(t)

= Ax(t) + Dx(t − h) + W

t
t−τ

x(s)ds, t ≥ 0,

(2.10)


 x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0].
Từ Định lý 2.1, ta thu được hệ quả dưới đây:
Hệ quả 2.2 ([10]). Hệ (2.10) ổn định tiệm cận toàn cục nếu tồn tại một ma
trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , một ma trận đối xứng, nửa xác định
dương S ∈ Rn×n và một số dương

> 1 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến


21

tính dưới đây được thỏa mãn:




Γ P D τ P W 


 ∗ −P
0  < 0,


∗ ∗ −τ P

trong đó
Γ = AT P + P A + (1 + τ )P + S.
Nhận xét 2.1. So sánh với các kết quả về tính ổn định tiệm cận cho hệ

phương trình vi phân tuyến tính phân thứ có trễ rời rạc (hệ (2.10) với τ ≡ 0)
bằng cách sử dụng tính toán chuẩn của ma trận (xem [6, 23]), điều kiện ổn
định trong Hệ quả 2.2 có ưu điểm là điều kiện đưa ra dưới dạng bất đẳng thức
ma trận tuyến tính có thể giải số một cách hiệu quả bằng phương pháp điểm
trong. Ngoài ra, các kết quả trong [6, 23] chưa xét trường hợp hệ có trễ phân
phối. Vậy, điều kiện ổn định thu được trong Hệ quả 2.2 là tổng quát hơn các
kết quả trong [6, 23].
Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết.
Ví dụ 2.1. Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp
(2.1), với p = 3, h = 2, τ = 1 và






−2 0
0.1 0.4
0.0285 0.0253
 , D1 = 
 , W1 = 
,
A1 = 
1 −5
−0.4 0.3
0.0032 0.0158







−5 1
0.8 0.5
0.05 0.04
 , D2 = 
 , W2 = 
,
A2 = 
0 −3
0.1 0.3
0.02 0.07






0.5 0.6
0.0253 0.0063
−3 1
 , D3 = 
 , W3 = 
.
A3 = 
0 −4
0.2 −0.9
0.0095 0.0126
Từ Định lý 2.1 ta thấy các điều kiện ổn định không phụ thuộc vào các tham số
ξi (i = 1, 2, 3). Bằng cách sử dụng phần mềm MATLAB, ta kiểm tra được rằng

các điều kiện (2.2a) và (2.2b) trong Định lý 2.1 được thỏa mãn với = 1.01 và




0.1223 0.0124
0.0907 0.0128
 , P2 = 
,
P1 = 
0.0124 0.0813
0.0128 0.0998


22





0.1078 0.0195
0.0096 −0.0032
, S = 
.
P3 = 
0.0195 0.0903
−0.0032 0.0329
Từ Định lý 2.1, hệ đã cho ổn định tiệm cận toàn cục.
Ví dụ 2.2. Xét hệ (2.10) với x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , α ∈ (0, 1), và các ma
trận hệ số sau đây







−3 1
0.5 0.5
0.5 0
, D = 
, W = 
.
A=
0 −2
0 0.5
0.5 0.5
Tiêu chuẩn ổn định trong [14] đảm bảo rằng hệ ổn định tiệm cận với độ trễ
rời rạc h > 0 và độ trễ tích phân τmax = 0.5. Bằng cách áp dụng Hệ quả
2.2, ta thấy hệ ổn định tiệm cận với độ trễ rời rạc h > 0 và độ trễ tích phân
τmax = 1.46. Vậy, tiêu chuẩn ổn định được đưa ra trong Hệ quả 2.2 là ít bảo
thủ hơn (less conservative) kết quả trong [14].
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0

5

10

15

Time(sec)

Hình 2.1: Quỹ đạo của các véc tơ trạng thái của hệ trong Ví dụ 2.2 với α = 0.9.

2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0

5

10

Time(sec)

Hình 2.2: Quỹ đạo của các véc tơ trạng thái của hệ trong Ví dụ 2.2 với α = 0.6.

15


23
2

1.5
1
0.5
0
-0.5
0

5

10

15

Time(sec)

Hình 2.3: Quỹ đạo của các véc tơ trạng thái của hệ trong Ví dụ 2.2 với α = 0.3.

2.2.

Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính
phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ

Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp

t

C α


0 Dt x(t) = A(ξ)x(t) + D(ξ)x(t − h) + W (ξ) t−τ x(s)ds



(2.11)
+B(ξ)u(t), t ≥ 0,




 x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0], κ = max{h, τ },
trong đó α ∈ (0, 1], x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ
điều khiển, các hằng số h, τ là độ trễ, φ(t) ∈ C([−κ, 0], Rn ) là hàm điều kiện
ban đầu với chuẩn xác định bởi φ

= maxt∈[−κ,0] φ(t) . Hệ các ma trận

{A(ξ), D(ξ), W (ξ), B(ξ)} là không biết nhưng thuộc vào đa diện Ω xác định
bởi
p

Ω = {[A, D, W, B](ξ) :=

p

ξi = 1, ξi ≥ 0},

ξi [Ai , Di , Wi , Bi ],
i=1

i=1

với {Ai , Di , Wi , Bi } là tập đỉnh, ở đó Ai , Di , Wi , Bi (i = 1, . . . , p) là các ma trận
hằng số cho trước.
Ta sẽ thiết kế một điều khiển ngược u(t) = K(ξ)x(t) sao cho hệ đóng dưới
đây







C α
0 Dt x(t)

= [A(ξ) + B(ξ)K(ξ)]x(t) + D(ξ)x(t − h)

+W (ξ)




 x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0],

t
t−τ

x(s)ds, t ≥ 0,

(2.12)

24

∀α ∈ (0, 1) là ổn định tiệm cận.
Ta ký hiệu
p

p

ξi Pi ,

ξi Pi , Y (ξ) =

P (ξ) =

i=1

i=1

T T
T
Ni (Ai , Di , Wi , Pj , Yj ) = Ai Pj + Pj AT
i + Bi Yj + Yj Bi + Di Pj Di

+ τ Wi Pj WiT + (1 + τ )Pj ,
Λmin (P ) = min {λmin (Pi )}, Λmax (P ) = max {λmax (Pi )}
i=1,...,p

i=1,...,p

Định lý 2.2 ([10]). Hệ đóng (2.12) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma
trận đối xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, . . . , p), một ma trận đối xứng,
nửa xác định dương S ∈ Rn×n , các ma trận Yi ∈ Rm×n (i = 1, . . . , p) và một số
dương

> 1 sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa

mãn
Ni (Ai , Di , Wi , Pi , Yi ) < −S, i = 1, . . . , p

(2.13a)

Ni (Ai , Di , Wi , Pj , Yj ) + Nj (Aj , Dj , Wj , Pi , Yi ) <

2
S,
p−1

(2.13b)

i = 1, . . . , p − 1; j = i + 1, . . . , p.
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.11) xác định bởi
u(t) = Y (ξ)P −1 (ξ)x(t),

t ≥ 0.
p

Chứng minh. Vì Pi > 0, ξi ≥ 0(i = 1, . . . , p) và

ξi = 1, nên ta có P =

i=1

p

ξi Pi là một ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hàm Lyapunov dưới đây
i=1

V (t, x(t)) = xT (t)P −1 (ξ)x(t).
Dễ dàng kiểm tra được
λ1 x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λ2 x(t) 2 ,

(2.14)

ở đó
λ1 =

1
Λmax (P )

, λ2 =

1
.
Λmin (P )

Do đó, điều kiện (i) trong Định lý 1.10 được đảm bảo. Sử dụng Bổ đề 1.3, ta

tính được đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm V (t, x(t)) dọc theo quỹ