Lop1031 chuyen de tinh hoc vat ran

Lop10.3.1 Chuyên đề Tĩnh học vật rắn.
A- Nhắc lại chất điểm và cân bằng chất điểm:
+ Chất điểm: Vật được coi là chất điểm khi kích thước của vật nhỏ so với quãng đường dịch chuyển của nó.
+ Biểu diễn lực tác dụng lên chất điểm có điểm đặt tại chính giữa chất điểm.

r

r

r

r

+ Điều kiện cân bằng của chất điểm F1  F2  ...  Fn  0
B-Vật rắn:
I- Điều kiện cân bằng của vật rắn không quay
1) Định nghĩa: Trong cơ học, vật rắn, hay đầy đủ là vật rắn tuyệt đối, là một tập hợp vô số các chất điểm mà
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật thể được xem là vật rắn tuyệt đối khi biến dạng của nó là quá
bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát.
2)Biểu diễn lực tác dụng lên vật rắn
- Lực tác dụng lên vật rắn biểu diễn dưới dạng vector trượt, tức là có thể trượt tự do trên giá (phương) của nó.
- Các lực tác dụng lên cùng một vật rắn tạo thành hệ lực.
-Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà các đường tác dụng của chúng đồng quy tại một điểm.
-Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng có thể trượt các lực đã cho theo đường tác dụng của chúng tới điểm đồng
quy của các đường tác dụng.
- Hệ lực cân bằng: Hệ lực cân bằng là hệ lực không làm thay đổi trạng thái cơ học của vật rắn.
3)Vật rắn không quay cân bằng : Vật chịu tác dụng các lực đồng quy có hợp lực bằng không

r r
r r
F1  F2  ...  Fn  0

4) Hai lực song song cùng chiều có hợp lực:

r

r

r

+ F  F1  F2 song song cùng chiều F = F1+ F2

r r

+ Giá chia trong hai giá của F1 , F2 thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn

r r
F1 l2
 ( Thanh AB chịu tác dụng của F1 , F2 : lực tổng hợp có điểm đặt chia trong đoạn thẳng nối
F2 l1
điểm đặt hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn)
5) Trọng tâm:
- Coi vật rắn là 1 tập hợp n phần tử có trọng lượng P 1, P2, … Pn. Các trọng lực Pi tạo thành 1 hệ lực song song, tâm
của hệ lực song song này gọi là trọng tâm (khối tâm) của vật.
+Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằm tương ứng trên mặt phẳng, trục hoặc
tâm đối xứng đó.
+Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa.
+Khối tâm của hình trụ là trung điểm trục đối xứng.
+Nếu vật là hình vuông, chữ nhật, hình bình hành thì khối tâm chính là giao điểm 2 đường chéo.
+Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì trọng tâm chính là giao điểm 3 đường trung tuyến.
+ Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng

phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm.
+Phương pháp thủ công: Treo vật bằng một sợi dây, đánh dấu phương của dây treo. Sau 2 lần treo tại 2 điểm khác
nhau, giao điểm của hai phương trọng lực là G.
- Mức vững vàng của vật: Phương của trọng lực qua chân đế
- Cân bằng bền: Vật lệc ra khỏi vị trí cân bằng, Trọng lực tạo
6) Hai lực song song ngược chiều có hợp lực

r

r

r

+ F  F1  F2 song song cùng chiều  F  F1 - F2 Có chiều cùng chiều lực lớn

r r

+ Giá chia ngoài hai giá của F1 , F2 thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn
II) Điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố định:
1)Momen
- Khi lực tác dụng lên vật, nó có thể làm cho vật quay quanh một điểm nào đó. Tác dụng đó của lực được đặc trưng
đầy đủ bằng mômen của lực đối với một điểm.

ur

uur ur

- Định nghĩa Mômen: Mômen của lực F đối với điểm O là một vectơ, ký hiệu là M o ( F ) xác định bằng công thức:

uur ur

ur ur
M o ( F ) = F �d

Vậy vector Momen là tích có hướng của vector lực và vector tay đòn.


*Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa điểm O và lực
*Chiều: Có chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của nó xuống gốc thấy vòng quanh O theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ.
*Độ lớn: M = F.d (trong chương trình học thường ta chỉ cần quan tâm yếu tố này và dạng đại số của Momen.)
Lấy dấu dương khi chiều quay ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại:
2)Điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố định:

r
r
r
r
r
M  M 1  M 2  ....  M n  0

III- Momen ngẫu lực:

ur uur

- Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ, ký hiệu F , F ' (gọi tắt là ngẫu).

uur

- Để biểu diễn các đặc trưng của ngẫu lực, người ta dùng vectơ mômen ngẫu lực, ký hiệu M có:
o Gốc nằm tuỳ ý trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực.

o Phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng.
o Chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của vectơ xuống mặt phẳng tác dụng thì thấy chiều quay của ngẫu lực ngược
chiều quay kim đồng hồ.
o Độ lớn bằng F.d. Trong đó F là độlớn của một lực, d là khoảng cách giữa 2 giá của lực và không phụ thuộc trục
quay
BÀI TẬP:
Dạng 1: Cân bằng của một vật chịu tác dụng của hai lực và của ba lực không song song

a) Nhắc lại cân bằng của chất điểm
Ví dụ 1 Một hình trụ nhôm cao 20cm, bán kính 1 cm treo vào đầu lực kế. Biết khối lượng của nhôm 2,7 g/cm 3 . Lấy g =
9,8m/s2.
a) Khi hình trụ cân bằng lực kế chỉ bao nhiêu?
b) Nhúng hình trụ chìm hoàn toàn trong nước có D = 1000kg/m3. Xác định số chỉ của lực kế.
Hướng dẫn giải:

r r

r

a) Các lực tác dụng vào vật là P, T trong đó T là số chỉ của lực kế

r

r

r

Phương trình cân bằng của ống nhôm: P  T  0
Chiếu lên phương thẳng đứng hướng xuống dưới � P  T  0

T  mg  D.V . g  D. r 2h .g  2700. 3,14.0, 012.0, 2.9,8  1, 66( N )
r r r
r
b) Các lực tác dụng vào vật là P, T , FA trong đó T là số chỉ của lực kế, Lực đẩy Acsimet hướng lên
r r r r
Phương trình cân bằng của ống nhôm: P  T  FA  0
Chiếu lên phương thẳng đứng hướng xuống dưới � P  T  FA  0
T= P-FA

� T  mg  Dn .V .g  Vg ( D  Dn )   r 2 h .g ( D  Dn )
Thay số T  3,14.0, 012.0, 2.(2700  1000).9,8  1, 04( N )
Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m = 200 gam treo ở đầu sợi dây nhẹ, không dãn đầu kia của dây trên trần nhà. Dùng lực
r
0
F đẩy vật theo phương ngang, khi cân bằng dây lập với phương thẳng đứng 30 . Xác định
lực F và sức căng của dây.
Hướng dẫn giải:

r r r

Có 3 lực tác dụng vào vật: P, T , F

r

r

r

r

Điều kiện cân bằng P  T  F  0 (*).
Chọn hệ trục x0y: 0x ngang và 0y thẳng đứng
Chiếu (*) lên hai trục
Theo phương thẳng đứng: T1 – P = 0

T1
P
0, 2.10


 2,3( N )
0
0
 T = cos 30
cos 30
3
2
0, 2.10
0
 1,16  N 
Theo phương ngang F - T2 =0  F  P.tan30 
3
Ví dụ3
Một vật có khối lượng 2kg được giữ yên trên mặt phẳng nghiêng bởi

m



một sợi dây song song với đường dốc chính (hình vẽ).
Biết α = 30o, g = 9,8m/s2 và ma sát không đáng kể. Hãy xác định:
a. Lực căng của dây?
b. Phản lực của mặt phẳng nghiêng lên vật?
Hướng dẫn giải:
-Các lực đồng quy tác dụng lên vật m là:







+Trọng lực P ; Lực căng dây T ; Phản lực Q của mặt phẳng nghiêng.



 

-Điều kiện cân bằng của m: P + Q + T = 0
(*)
Chọn hệ trục x0y: 0x dọc mặt nghiêng hướng xuống, 0y vuông góc mặt nghiêng, hướng lên
Chiếu (*) lên hai trục
-Chiếu (*) lên các trục
Ox: Psin - T = 0
(1)
Oy: Q - Pcos = 0
(2)
a). Lực căng T của sợi dây:(1)=> T = Psin = mgsin30o = 2.10.1/2 = 10N.
b). Phản lực Q của mặt phẳng nghiêng lên vật:

(2)=> Q = P.cosα = mgcos30o= 2.10. 3 / 2 = 10 3 N

b) Đối với vật rắn:
Ví dụ 4
Hai mặt phẳng cùng tạo với mặt phẳng ngang 45 0 . Trên hai hai mặt phẳng đó đặt quả cầu
đồng chất khối lượng 2kg. Lấy g = 10m/s2, hãy xác định lực ép của mỗi quả cầu lên mỗi
mặt phẳng:
Hướng dẫn giải:
-Các lực đồng quy tác dụng lên vật m là:

+Trọng lực P

r

r

+Phản lực Q1 và Q2 của mặt các phẳng nghiêng.
-Điều kiện cân bằng của m:

 r r
P + Q1 + Q2 = 0 (*)

-Dịch chuyển các lực theo giá của chúng đồng
quy tại tâm O của như hình vẽ:
Q Q1  Q2 

P 2.10

 14( N )
2

2

Ví dụ 5 Một quả cầu trọng lượng P = 40N treo vào tường
nhờ một sợi dây hợp với mặt tường 300. Bỏ qua ma sát ở chỗ tiếp xúc giữa quả cầu và tường. Hãy xác định
lực căng của dây và phản lực của tường tác dụng lên quả cầu
Hướng dẫn giải:
Quả cầu chịu tác dụng 3 lực:
r
A
Trọng lực P

r

T

Phản lực Q

r
Sức căng dây T



  
Điều kiện cân bằng: P + Q + T = 0 (*)
Biểu diễn trên giản đồ,
dịch chuyển các lực theo giá

P
40
T


 46( N )
Từ hình vẽ
cos 
3
2
40
Q  P tan  
=23(N) hoặc Q  T sin  = 23(N)
3

y

C
B

O

P

Q

x


Ví dụ 6 Một thanh đồng chất khối lượng 3 kg được đặt dựa vào tường. do sàn và tường không có ma sát nên dùng một
dây buộc vào đầu dưới B của thanh vào chân tường để giữ cho thanh đứng yên. Cho biết OA  OB
10m/s2. Tính lực căng của dây
Hướng dẫn giải

r r

r

r

Vật chịu tác dụng của 4 lực P, N A , N B , T

r
r r
Cách 1:Tổng hợp N B  T  R
r r r
Di chuyển các lực P, N A , R theo giá của chúng và đồng quy tại C
3
� ACB đều
2
P 3.10
T  Ptan 300 

 17,3( N )
3
3

A

CH  OA  OB

Cách 2

B

A

O

r r
r
r r
P  N A  N B  T  0 (*)

Chọn hệ quy chiếu x0y:
0x nằm ngang, 0y thẳng đứng
Chiếu (*) lên các trục tọa độ:
P=NB (1)
T = NA (2)

3
và lấy g =
2

C

A

OB
 N A .OA
Chọn trục quay tạm thời qua B: P.
2
P
3
Từ OA  OB

 P  NA 3 � T 
3
2

O

B

O

Ví dụ 7 Một thanh đồng chất tựa vào tường không ma sát. Thanh
mặt đất 450. Lực ma sát nghỉ tác dụng vào đầu dưới của thanh là bao
Hướng dẫn giải

r r r

B

H

hợp với
nhiêu?

r

Vật chịu tác dụng của 4 lực P, N, f ms , Q

r

r

r

Cách 1: Tổng hợp lực N  fms  R chung thành phản lực
đất

của mặt

r r r

Dịch chuyển P, R, Q theo giá đến chung điểm 0
(vẽ riêng hình bên) Thanh cân bằng,
phân tích R thành hai thành phần nhận thấy :
N  P; Q  f ms   N . Chọn trục quay tạm thời đi qua

điểm

tựa mặt đất  Q.a = P.a/2  Q = P/2

f ms f ms
1
1

 tan   � f ms  mg
N
P
2
2
Cách 2: Gắn trục 0x nằm ngang và 0y thẳng đứng
Chọn cân bằng theo phương  N  P; Q  f ms   N và Chọn trục quay tạm thời đi qua điểm tựa mặt đất  Q.a =

P.a/2  Q = P/2
 Kết quả tương tự.

C
C
B

A


Ví dụ 8 Một sợi dây một đầu buộc vào bức tường
nhám, đầu kia buộc vào đầu A của thanh đồng chất
khối lượng m. Dây có tác dụng giữ thanh tì vuông góc
vào tường tại đầu B và hợp với thanh một góc 30 0. Lực
căng của dây và lực ma sát nghỉ của tường là bao
nhiêu
Hướng dẫn giải

r r r

r

Vật chịu tác dụng của 4 lực P, N, f ms , T
Gắn trục 0x nằm ngang và 0y thẳng đứng
Theo 0y

f ms  Tsin  P

(1)

Theo 0x N  T cos  (2)
Chọn trục quay tạm thời qua B
 P.

l
P
 T .l sin  � T .sin   (3)
2
2

Từ (3)  T = P =mg (3/)
Thay (3/) vào (2) f ms  T sin   mg � fms 

mg
2

Vậy T = mg; fms = mg/2
Dạng 2: Cân bằng của vật rắn không quay chịu tác dụng hai lực song song
Ví dụ 9 A và B dùng một chiết gậy để khiêng một cổ máy nặng 1000N. Điểm treo cổ máy cách vai người A
60cm, cách vai người B 40cm. Lực mà mỗi người chịu lần lượt là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Lập hệ phương trình

�PA lB
� 
�PB l A
�P  P  P
�A B

Giải ra có PA = 400N; PB = 600N

Ví dụ 10:
Thanh rắn AB khối lượng bỏ qua dài 80cm. Đặt tại A vật nặng có khối lượng m 1 = 3kg, đặt tại B vật nặng
khối lượng m2 =2 kg. Dùng một dây buộc tại O trên AB treo hệ thống lên. Tìm vị trí O để thanh nằm ngang
Hướng dẫn giải:
Lập hệ phương trình

�PA lB
� 
�PB l A
�
l A  lB  AB
�

Giải ra có lA = 32cm; lB = 48cm
Ví dụ 11 Hai quả cầu cân bằng nhôm có cùng khối lượng, thể tích V được treo vào hai đầu A, B của một thanh
kim loại mảnh nhẹ. Thanh được giữ thăng bằng nhờ dây mắc tại điểm giữa O của AB. Biết OA = OB = l = 25
cm. Cho khối lượng riêng của nhôm và nước lần lượt là: D 1 = 2,7 g/cm3; D2 = 1 g/cm3.
a) Nhúng quả cầu ở đầu B vào nước thanh AB mất thăng bằng. Để thanh thăng bằng trở lại ta phải dời điểm treo
O về phía nào? Một đoạn bao nhiêu?
b) Tính sức căng của dây treo trong hai trường hợp.
Hướng dẫn giải: Khi quả cầu treo ở B được nhúng vào nước,
l
l
ngoài trọng lượng P nó còn chịu tác dụng của lực đẩy Acsimet
B
-x )
+x )
A
nên lực tổng hợp giảm xuống. Do đó cần phải dịch chuyển điểm
treo về phía A một đoạn x để cho cánh tay đòn của quả cầu B

tăng lên.
O
a) Vì thanh cân bằng trở lại nên ta có:
P.(l-x) = (P-F)(l+x)
 10D1V(l-x) = (10D1V – 10D2V)(l+x)
P
(với V là thể tích của quả cầu)
P
 D1(l-x) = (D1 = D2) (l+x)
 (2D1-D)x = D2l
 x

D2 l
1
l
.25 5,55 (cm)
2 D1  D2
2.2,7  1


Vậy cần phải dịch điểm treo O về phái A một đoạn x = 5,68 cm
b) Dùng qui tắc đòn bẩy + T=2P = 20.D1.V
+ T/ = 2( P- FA) =20V(D1 – D2)
Dạng 3: Trọng tâm của vật
Ví dụ 12: Có 4 viên gạch giống hệt nhau , chiều dài mỗi
viên L được đặt chồng lên nhau sao cho một phần của mỗi
viên gạch nhô ra ngoài viên gạch nằm dưới. Hãy tính:
a)Các giá trị lớn nhất của các đoạn a 1, a2, a3, a4 nhô ra của
mỗi viên sao cho chồng gạch vẫn cân bằng
b) Khoảng cách h từ mép bàn đến mép ngoài cùng của viên

gạch trên cùng nhô ra
Hướng dẫn giải:

a4
a3
a2
a1

L
+ Viên trên cùng nhô ra tối đa a4 
2

h

+Viên 3 và 4 lập thành hệ có trọng tâm là điểm đặt hợp hai
trọng lực P3 và P4 cách mép phải viên 3 là a3 và để không lật thì cách mép phải viên 2 là a3 

L
4

L
L
; a1 
6
8
L L L L 25L
b) h     
2 4 6 8
24
+ Tương tự có a2 

Ví dụ 13: Tìm trọng tâm của vật như hình vẽ
Bản mỏng đồng chất hình vuông cạnh 2a = 60cm khoét một phần tư có kích
thước hình vuông cạnh a= 30cm
Hướng dẫn giải:
Có nhiều cách chia vật.
Hình bên là một cách chia vật thành 2 phần.
*Phần hình lớn có:
-Trọng lượng 2P,
-Trọng tâm tại
giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.
*Hình nhỏ
- Trọng lượng P.
- Trọng tâm tại giao điểm hai đường chéo hình vuông
*Thanh hóa vật. Thanh chịu tác dụng 2 lực độ lớn 2P và
P cách nhau a=30cm
Bằng phương pháp tổng hợp lực song song
Lập hệ phương trình

a
y

a
O

x

�2 P lB
� 
�P l A

�
l A  lB  30
�

Giải ra có lA = 10cm; lB = 20cm Điểm đặt trọng tâm cách cạnh bên của vật: 15+10 = 25cm
Theo trục tọa độ 0y xác định tương tự
Vậy tọa độ trọng tâm G (25,50)cm
Ví dụ 14 Tìm trọng tâm của một đĩa
mỏng khối lượng phân bố đều hình tròn
bán kính 6cm, bị khoét một lỗ có bán
kính 3cm tiếp xúc với vành đĩa?
Hướng dẫn giải
Trước khi bị khoét, đĩa có trọng tâm tại
O
Khi khoét
Thanh hóa đĩa, các tác dụng như hình vẽ

P1=
l1=

r
P1

r
P2
P 2=

l2=



P R
P
R
.(  x)  .x � x 
4 2
2
6

Như vậy trọng tâm của vật cách tâm 0 một đoạn

R
R R R
, cách mép ngoài của đĩa  
6
2 6 3

Dạng 4: Cân bằng của vật có trục quay cố định

Ví dụ 15 Một barie nằm ngang AB dài 5m, trụ đỡ tại O với OA = 1m. Tại A có vật nặng 50kg. Lấy g = 10m/s 2
a)Bỏ qua trọng lượng của thanh.Để giữa cho thanh baire thăng bằng cần đặt vào đầu B vật thứ hai có khối lượng
bao nhiêu.
b)Thanh tiết diện đều đồng chất có khối lượng 10kg. Để giữa cho thanh baire thăng bằng cần đặt vào đầu B vật
khác có khối lượng bao nhiêu.
Hướng dẫn giải:
r r
a)Vật rắn quay quanh trục O Có 2 mô mên tác đụng vào thanh là M A ; M B A
O
B

r

r

r

Điều kiện cân bằng M A  M B  0

r

Chọn chiều mômen dương theo chiều quay của M A

PA .OA
50.10.1

 125( N ) � mB  12,5kg
OB
4
r r r
r
b) Có 4 mômen tác dụng lên thanh: M A , M B , M POA , M POB
A
O
r
r
r
r
r
+ Điều kiện cân bằng M A  M B  M POA  M POB  0

r
+Chọn chiều mômen dương theo tác dụng của M A


PA.OA – PB.OB = 0  PB 

 PA .OA  PB .OB  POA

B

OA
OB
 POB
0
2
2

Trong đó PA = 50N ; OA =1m; OB = 4m
Thanh đồng chất khối lượng phân bố đều
 POA = 20N; POB= 80N;
 500.1- PB.4 + 20.0,5 - 80.2 = 0
 PB = 87,5 (N)  mB = 8,75 kg
Ví dụ 16 Đòn bẩy AB khối lượng bỏ qua tựa vào điểm O có OA= 80cm và OB = 20 cm. Đòn bẩy lập với
phương ngang 300 bẩy tảng đá nặng 30N tại đầu B . Lấy g = 10m/s2. Để nâng tảng đá lên, phải cần lực ấn đầu
A xuống có độ lớn là bao nhiêu
Hướng dẫn giải:

r

r

r

Áp dụng điều kiện cân bằng vật rắn quay quanh O  M A  M B  0

r

Chọn chiều dương của mô men M A  PAl A  PB lB  PB 
+Cánh tay đòn có độ dài tỉ lệ OA và OB:

PAl A PAOA 30.0, 2


 7,5( N )
lB
OB
0,8

OA l A

OB lB

Ví dụ 17 Một thanh có trọng lượng P = 30N dài 4m có bản lề tại A. Một lực
r
F hướng thẳng đứng lên đặt tại điểm cách B 1m. Để thanh nằm ngang thì

r

độ lớn của F bằng bao nhiêu.
Hướng dẫn giải:

Chọn trục quay đi qua bản lề.
Có hai mô mên tác dụng vào thanh làm thanh quay quanh bản lề.
Từ điều kiện cân bằng
 P.

OA
30.2
 F .( AB  1) � F 
 20( N )
2
3


Ví dụ 18 Thanh dài L =50cm trọng lượng P = 20N được treo nằm ngang vào tường tại
bản lề. Một trọng lượng P1 = 50N treo ở đầu thanh. Dây treo lập với thanh góc 300. Tính
sức căng T của dây
Hướng dẫn giải:
Chọn trục quay qua bản lề.

r

r

r

Có 3 mô men tác dụng làm quay M P ; M P1 ; T

r

r

r

r

Điều kiện cân bằng M P  M P1  T  0
Chọn chiều dương theo chiều tác dụng của P
 P.

AB
 P1. AB  T . AB sin 
2

 T = 120N

Luyện tập:
Bài 1 Một ngọn đèn có khối lượng 1kg được treo dưới sàn nhà bằng một sợi dây chịu
được sức căng tối đa 8N. Lấy g = 10m/s2.
a) Chứng tỏ rằng không thể treo ngọn đèn này vào một đầu dây.
b) Người ta treo ngọn đèn này bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai
đầu dây gắn chặt trên trần nhà. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau
một góc 600
Hỏi lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đèn chịu tác dụng 3 lực:

r r



Trọng lực P của đèn, hai lực căng dây T1 , T2 .

r

r

r

r

Điều kiện cân bằng: P  T1  T2  0
Bbieeur diễn lực. Từ giản đồ véc tơ  T 

P
P

 5,3( N )
0
2 cos 30
3

P

C

B

α
m

A

Bài 2 Một giá treo như hình vẽ gồm:
-Thanh nhẹ AB = 1m tựa vào tường ở A.
-Dây BC = 0,6m nằm ngang.
Treo vào đầu B một vật nặng khối lượng m = 1kg.
Khi thanh cân bằng hãy tính độ lớn của phản lực đàn hồi do tường tác dụng
lên thanh AB và sức căng của dây BC?
Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải:
-Các lực đồng quy tác dụng lên thanh AB là:

+Lực căng do trọng lực P của vật m.



+Lực căng dây T .

+Phản lực Q của tường.
Các lực này đồng quy và

C

B

α
m

A



 

thanh AB cân bằng nên ta có: P + Q + T = 0
-Chiếu (*) lên các trục
Ox: Q.cosα - T = 0
Oy: Q.sinα - P = 0
(2)=> Q = P/sinα
(1) => T = Q.cosα

(*)
(1)
(2)

Trong đó: sinα = CA/AB

( CA  AB 2  CB 2 = 0,8m)
cosα = CB/AB Thay số ta được:
Q = 1.10.

1
= 12,5N.
0,8

T = 12,5.0,6 = 7,5N.
Bài 3 Quả cầu khối lượng m = 2,4kg, bán kính R = 7cm
tựa vào tường trơn nhẵn (hình 1.3) và được giữ nằm
yên nhờ một dây treo gắn vào tường tại A, chiều dài

AC = 18cm. Lấy g = 10m/s2. Tính lực căng của dây
và lực nén của quả cầu vào tường?
Hướng dẫn giải:

A


C

- Các lực tác dụng lên quả cầu đồng quy tại O gồm:
+Trọng lực P .

B

O

+Phản lưc của tường Q

A

+Lực căng dây T
- Điều kiện cân bằng của quả cầu là:

P +Q +T = 0

T

(*)



- Chiếu (*) lên các trục tọa độ
Ox: Q – Tsin = 0 (1)
Oy: Tcos - P = 0 (2)
với

C
B

sin = OB/OA = R/(AC +R) = 7/(18+7) = 0,28
cos =

y

O

1  sin 2  = 0,96

Q

x

P
Lực căng sợi dây là: (2) => T = P/cos = 2,4.10/0,96 = 25N
Lực nén của quả cầu lên tường có độ lớn bằng phản lực của tường lên quả cầu:
(1) => Q = Tsinα = 25.0,28 = 7N.
Bài 4 Một thanh dài OA có trọng tâm ở giữa thanh và khối lượng m = 1kg. Đầu O của thanh liên kết với tường bằng bản
lề, còn đầu A được treo vào tường bằng một sợi dây AB. Thanh được giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc α =
30o (hình 1.4). Lấy g = 10m/s2. Hãy xác định:
a.Giá của phản lực Q của bản lề tác dụng vào thanh AB?

b.Độ lớn lực căng dây và phản lực Q?
y
- Các lực tác dụng lên thanh gồm:
+Trọng lực P .

T

I

Q

+Phản lưc của bản lề Q
+Lực căng dây T
- Điều kiện cân bằng của thanh OA là:

x

(*)
P +T +Q = 0
a. Các lực P , T , Q có giá đồng quy nên giá của Q không
vuông góc với tường mà đi qua điểm I( giao điểm của giá các lực
b. Độ lớn lực căng dây T và phản lực Q.
Dễ thấy ∆OAI cân tại I, nên chiếu (*) lên các trục Ox, Oy ta được:
Q.cosα – P.cosα = 0
T.sinα + Q.sinα – P = 0


G

P

P , T ).
(1)
(2)

O


từ (1) => Q = T thế vào (2) ta có: 2Tsinα = P
=> T = P/2sinα = 10N = Q.
*Nhận xét:
Đối với bài tập này ta có thể dùng định lý hàm số cosin giải như sau:
Di chuyển các lực P , T , Q về điểm đồng quy I, như hình vẽ:
Công thức (*) có thể viết thành F  P 0 với F Q  T
vì tam giác AIO cân nên Q = T, ta có:
F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α = 2T2(1-cos2α) = 2T2(2sin2α)
=> T = F/2sinα = P/2sinα = Q
Bài 5 Một người gánh hai thúng, một thúng gạo 200N, một thúng ngô 400 N, đòn gánh dài 1,2 m. Hỏi vai người ở điểm
nào và chịu tác dụng lực bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:

�PA lB
� 
�PB l A
�
l A  lB  AB
�

Lập hệ phương trình

Giải ra có lA = 80cm; lB = 40cm đặt cách bên thúng gạo 80cm. Chịu lực P = 600N

Bài 6 Một tấm ván nặng 240N bắc qua con mương. Trọng tâm của tấm ván cách đầu a của tấm ván 2,4m, cách đầu B
của tấm ván 1,2m. Hãy xác định lực mà tấm ván tác dụng lên mỗi bờ mương
Hướng dẫn giải:

�PA lB
� 
�PB l A
�P  P  P
�A B

Lập hệ phương trình

Giải ra có PA = 80N; PB = 160N
Bài 7: Một thanh sắt dài đồng chất tiết diện đều đặt trên mặt bàn sao co 1/6 chiều dài của nó nhô ra khỏi mặt bàn. Tại
đầu nhô ra người ta đặt một lực hướng thẳng đứng xuống dưới. Khi lực đạt 40N thì đầu kia của thanh sắt bắt đầu bênh
lên. Hỏi khối lượng của thanh sắt. ấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải:
Trọng tâm của thanh sắt cách mép bàn L l1 

L L L
 
Chọ trục quay tại mép bàn
2 6 3

L
L
F 40
F �P 
 20( N )
3

6
2
2
P
Khối lượng thanh thép m   2(kg)
g
 P P.

Bài 8 Một bản mỏng đồng chất hình vuông ABCD có cạnh bằng 24 cm bị cắt mộ phần tam giác cân IBJ với IB = 12 cm
như hình vẽ.
Hãy xác định trọng tâm của hình phẳng AIJCD còn lại đối với điểm G là trọng tâm của hình vuông ABCD
Hướng dẫn giải:

I
A

I
A

B
H

G2

G2

J
J

G

24cm

Diện

mg/8
G

24cm
C

G1
G1

D

B

G2

C

D

mg
7mg/8

tích dẫn đến khối lượng phần cắt bỏ là m/8, phần còn lại là

7mg/8
Trọng tâm G chia trong đoạn G1G2  GG1 
=

1
1
1
GG2  (GH  HG2 )  (GB  HB  HG2 )
7
7
7

1
(24cm.sin 450  12cm.sin 450  2 2cm)  1, 6cm
7

Bài 9 Một thanh nhẹ gắn vào sàn tại B. Tác dụng lên đầu A lực kéo F = 100N theo phương ngang. Thanh được giữ cân
bằng nhờ dây AC. Biết α = 30o. Tính lực căng dây AC?
Hướng dẫn giải:

A

-Các lực tác dụng lên thanh AB gồm:
+ Lực kéo F
+ Lực căng T dây AC
+Phản lực của sàn Q tác dụng lên AB.
-Xét trục quay tạm thời tại B ( M Q 0 ),

F



A
C

B

F



M F = MT
điều kiện cân bằng của thanh AB là:
<=> F.AB = T.BH với BH = AB/2

Q

H

F . AB
=> T 
= 2F = 200N
BH

C

B

Bài 10 Thanh OA có khối lượng không đáng kể, có chiều dài 20cm, quay dễ dàng quanh trục nằm ngang O. Một lò xo
gắn vào điểm giữa C. Người ta tác dụng vào đầu A của thanh một lực F = 20N hướng thẳng đứng xuống dưới.

Khi thanh ở trạng thái cân bằng, lò xo có hướng vuông góc với OA, và OA làm với đường nằm ngang một góc  =
30o(hình 2.2).
a.Tìm phản lực N của lò xo lên thanh.
A
b.Tính độ cứng k của lò xo, biết lò xo ngắn đi 8cm so với lúc
không bị nén.
c.Tính phản lực của trục O lên thanh OA.
C
F
Hướng dẫn giải:

B

+ Phản lực đàn hồi N của lò xo.
+Phản lực Q của trục O tác dụng lên AB.
a. Phản lực của lò xo lên thanh OA
Ta vận dụng quy tắc mô men lực để tìm N. Điều kiện cân bằng của
OA quanh trục O là:
MF = MN
<=>
F.OB = N.OC với OB = 2OC.cosα
=> N = F.OB/OC = 2F.cosα
= 2.20. 3 / 2 = 20 3 N



O

-Các lực tác dụng lên thanh OA gồm:
+ Lực F

A
C

O

F



thanh

B

Q

b. Độ cứng của lò xo
Ta có: N = k.Δl => k = N/Δl = 20 3 /(8.10-2) = 433N/m
c. Phản lực Q của trục O lên thanh OA.
-Điều kiện cân bằng lực là: F + N + Q = 0

I

N

-Do các lực tác dụng lên OA có giá đồng quy nên, giá của Q
cũng phải đi qua I. Dễ thấy ΔOAI cân tại I nên Q = F = 20N.

Q

F


Bài 11 Để giữ thanh nặng OA có thể nằm nghiêng với sàn một góc α =
30o, ta kéo đầu A bằng sợi dây theo phương vuông góc với thanh, còn
đầu O được giữ bởi bản lề (hình 2.3). Biết thanh OA đồng chất, tiết
diện đều trọng lượng là P = 400N.
a. Tính độ lớn lực kéo F .
b. Xác định giá và độ lớn của phản lực Q của trục O.
Hướng dẫn giải:
-Các lực tác dụng lên OA gồm:
+Lực kéo F
+Trọng lực P

F
A



O

P'

+Phản lực Q của trục O
a. Độ lớn lực F tác dụng lên thanh OA
Điều kiện cân bằng của OA là:

I

F

M F = M P (vì M Q = 0)
F.OA = P.OH với OH = OG.cos =
=>

F = P.

1
OA.cosα
2

I

OH
1
1
3
= P cosα = .400.
= 100 3 N
OA
2
2
2

-Do thanh OA không chuyển động tịnh tiến nên ta có

P + F +Q = 0

F

P

b. Xác định giá và độ lớn của phản lực Q của trục O.
điều kiện cân bằng là:

γ

α

Q

(*)

Các lực P , F có giá đi qua I, nên Q cũng có giá đi qua I.
Trượt các lực P , F , Q về điểm đồng quy I như hình vẽ,
định lý hàm số cosin ta có:
Q2 = F2 + P’2 – 2F.P’.cosα
= (100 3 )2 + 4002 – 2.100 3 .400. 3 /2  Q ≈ 265N

β
O

A

G



H

theo

P

-Theo định lý hàm số sin ta có:
Q
F

với γ = π/2 – (α+β)
sin  sin 

F
sin  ≈ 0,327
Q

=>

sin  

=>

γ ≈ 19o => β = π/2 - γ - α ≈ 90o - 19o - 30o
β ≈ 41o
Vậy Q có độ lớn Q = 265N và có giá hợp với thanh OA một góc β =41 o.

Bài 12 Bánh xe có bán kính R = 50cm, khối lượng m = 50kg (hình 2.4).
lực kéo F nằm ngang đặt trên trục để bánh xe có thể vượt qua bậc có độ
= 30cm. Bỏ qua ma sát. Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải:
-Các lực tác dụng lên bánh xe bao gồm:

+Lực kéo F

O

+Trọng lực P

I
Hình 2.4

+Phản lực của sàn Q tại điểm I
-Điều kịên để bánh xe có thể lăn lên bậc thềm là:

M F ≥ M P (đối với trục quay tạm thời qua I, M Q 0 )
F.IK ≥ P.IH với IK= R – h; IH  R 2  ( R  h) 2 =



h

K

H

F ≥ mg

h ( 2 R  h)
≈1145N
R h

h( 2 R  h)

Tìm
cao h

h