chuyen de khao sat ham so

Áp dụng đạo hàm khảo sát tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số
Nội dung

Nội dung
I. Tóm tắt lý thuyết
II. Các ví dụ
III. Bài tập luyện tập
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
I. Tóm tắt lý thuyết
1) Hàm số đơn điệu.

Cho hàm số f xác định trên I, trong đó I là một khoảng, đoạn hoặc nửa
khoảng
•
Hàm số f đồng biến trên I nếu với mọi x
1
, x
2
∈I, x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
).
•
Hàm số f nghịch biến trên I nếu với mọi x

1
, x
2
∈ I, x
1
< x
2
thì f(x
1
) > f(x
2
).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là
hàm đơn điệu trên khoảng đó.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
I. Tóm tắt lý thuyết (tt)
2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:
•
Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
của I thì hàm số đồng biến trên I.
•
Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
của I thì hàm số nghịch biến trên I.
•
Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số không đổi trên I.


Giả sử hàm số liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên
khoảng (a; b).
•
Nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) < 0) với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f đồng biến
(hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng [a; b).
•
Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa
khoảng [a; b).
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ - Ví dụ 1
Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R.
Giải
Tập xác định của hàm số là R.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.
2
y x x 7= − + +
2
2 2
2
x x x 7
Xét y' = -1 + .
x 7 x 7
Ta nh n th y x 7 x | x | x 0, do ó y' < 0 v i m i x R.
− +
=
+ +
+ − > − ≥ ∈Ë Ê ® í ä
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Các ví dụ (tt) - Ví dụ 2
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Giải
a. Tập xác định của hàm số là D = (-∞ ; - 1) U (-1; +∞).
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).
b. Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).
Vì hàm lnx là hàm số đồng biến, nên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng
2x 1
a. y . b. y x.lnx.
x 1
−
= =
+
2 2
2(x+1)-(2x-1) 3
Xét y' = 0 x D.
(x 1) (x 1)
= > ∀ ∈
+ +
1
Xét y' = lnx + 1 y' = 0 x= .
e
⇒ ⇔
1 1
y' > 0 x > và y' < 0 x < .
e e
⇔ ⇔
1
;+

e
 
∞
 ÷
 
1
0; .
e
 
 ÷
 
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3
Xét tính đơn điệu của các hàm số:

Giải
a. Tập xác định của hàm số là R.
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng
2
x 4 x
a. y . b. y .
lnx
x 1
+
= =
+
2
2

2
2
x(x 4)
x 1
1 4x 1
x 1
Ta có y' = . Suy ra y' 0 x .
4
x 1
x 1
+
+ −
−
+
= = ⇔ =
+
+
1
;
4
 
−∞
 ÷
 
1
; .
4
 
+∞
 ÷

 
x
-∞ +∞
y’ + 0 -
y
-1 1
1
4