Luận văn thạc sỹ toán dãy số jacobsthal và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN QUANG VINH

DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ
VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 11/2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN QUANG VINH

DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ
VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:
8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên, 11/2019

i

Mục lục

Mở đầu

1

1 Dãy số Jacobsthal

3

1.1

Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Dãy tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal

17

2.1

Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Tích của số Jacobsthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4

Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số chẵn . . . . . 28

2.5

Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ . . . . . . . 31

2.6

Tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp . . . . . . . 34

3 Một số mở rộng của dãy số Jacobsthal

38

3.1

Dãy số Jacobsthal suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2

Dãy số Jacobsthal suy rộng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


1

Mở đầu
Dãy số Jacobsthal {Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } lần lượt được xác
định bởi các công thức truy hồi:
J0 = 0,

J1 = 1,

Jn = Jn−1 + 2Jn−2 ,

j0 = 2,

j1 = 1,

jn = jn−1 + 2jn−2 ,

với n

2

và
với n

2.

Khái niệm về hai dãy số này lần đầu tiên được giới thiệu bởi Horadam [3] năm
1988. Sau đó, hai dãy số này được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Năm 1996,
Horadam [4] đã công bố thêm một số kết quả về hai dãy số này.
ˇ
Gần đây, năm 2007, Cerin
[2] đã công bố một số kết quả nghiên cứu về tổng
bình phương của các số Jacobsthal và về tổng các tích của hai số Jacobsthal liên
tiếp. Đây là những kết quả khá thú vị về dãy số Jacobsthal.
Vừa rồi, năm 2018, Aydin [1] đã công bố một số nghiên cứu về việc mở
rộng dãy số Jacobsthal. Đầu tiên, ta thấy rằng dãy số Jacobsthal và dãy số
Jacobsthal–Lucas có chung công thức truy hồi và chỉ khác nhau về điều kiện
ban đầu. Từ hai dãy số này, Aydin đã định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng
{Jn } bằng cách cho điều kiện ban đầu tùy ý. Cụ thể, dãy số Jacobsthal suy rộng

được xác định bởi

J0 = q, J1 = p + q, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , với n ≥ 2,
trong đó, p, q là hai số nguyên tùy ý. Bên cạnh đó, Aydin còn định nghĩa dãy số
Jacobsthal suy rộng phức {Cn } và một số đối tượng khác cũng là các mở rộng


2

từ dãy số Jacobsthal.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số kết quả nói trên
về dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal–Lucas và các vấn đề liên quan. Cụ thể,
trong Chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của
dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas dựa theo hai bài báo [3] và [4] của
ˇ
Horadam. Chương 2 trình bày lại các kết quả của Cerin
về tổng bình phương
và tích của các số Jacobsthal. Chương 3 trình bày về khái niệm và một số tính
chất của dãy Jacobsthal suy rộng và dãy Jacobsthal suy rộng phức dựa theo bài
bái của Aydin [1].
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn Định, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình
hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thân
yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Người viết luận văn

Nguyễn Quang Vinh


3

Chương 1
Dãy số Jacobsthal
Mục đích của chương này là trình bày lại khái niệm về dãy số Jacobsthal và
dãy số Jacobsthal - Lucas. Đồng thời chúng tôi trình bày chứng minh các công
thức số hạng tổng quát, công thức Simson và một số tính chất thú vị của hai
dãy số này. Đặc biệt, chúng tôi trình bày về một số tính chất của hai dãy số
tổng riêng của các số hạng đầu tiên của hai dãy số đó. Các nội dung này được
tham khảo trong hai bài báo [3] và [4]. Trước đó, chúng tôi trình bày sơ lược về
lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất để làm cơ sở cho
việc trình bày về hai dãy số nói trên. Nội dung này chúng tôi tham khảo trong
cuốn sách [5].

1.1

Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy
số Jacobsthal–Lucas và công thức tổng quát của hai dãy số này. Thực chất hai
dãy số này chính là nghiệm của một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
thuần nhất với điều kiện ban đầu khác nhau. Chính vì vậy, trước tiên, chúng tôi
nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và
đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương trình này trong
trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt.

4

Định nghĩa 1.1.1. Phương trình có dạng
un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, ...,

(1.1)

trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp
hai thuần nhất.
Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình
bậc hai
λ2 − Aλ − B = 0.

(1.2)

Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình
sai phân (1.1). Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình
sai phân (1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân
biệt.
Định lý 1.1.2 ([5, Định lý 10.1]). Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai
nghiệm phân biệt α và β . Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là
un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, ...,

(1.3)

trong đó C1 và C2 là những số bất kì.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các
hằng số C1 và C2 hoàn toàn được xác định.

Ví dụ 1.1.3. Tìm nghiệm của phương trình sai phân
un+1 = 5un − 6un−1

với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1.
Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là
λ2 − 5λ + 6 = 0.

(1.4)


5

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3. Do đó, nghiệm
tổng quát của phương trình (1.4) là
un = C1 2n + C2 3n , n = 0, 1, ...

Từ điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 ta có hệ phương trình

C + C = 0,
1

2

2C1 + 3C2 = −1.
Giải hệ phương trình này ta được C1 = 1, C2 = −1. Vậy nghiệm của phương trình
(1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 là
un = 2n − 3n , n = 0, 1, ...

Một cách tổng quát, trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai
nghiệm phân biệt α và β , phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban

đầu u0 , u1 xác định một dãy số {un }∞
n=0 với
aαn − bβ n
,
un =
α−β

trong đó a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α.
Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy số
Jacobsthal–Lucas dựa trên lý thuyết chung về phương trình sai phân như trên.
Định nghĩa 1.1.4.

a) Dãy số Jacobsthal {Jn } được xác định bởi

J0 = 0, J1 = 1 và Jn+2 = Jn+1 + 2Jn , với n ≥ 0.

(1.5)

b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } được xác định bởi
j0 = 2, j1 = 1 và jn+2 = jn+1 + 2jn , với n ≥ 0.

(1.6)


6

Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng các số hạng đầu tiên của các dãy số
Jn và jn như sau:
n
Jn

jn

0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
10 · · ·
0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 · · ·
2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 1025 · · ·

Từ các công thức (1.5) và (1.6) ta dễ dàng thấy rằng, với n ≥ 1, tất cả các
giá trị của Jn và jn đều là số lẻ. Đây một đặc trưng đầu tiên của hai dãy số này.
Từ định nghĩa của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, ta thấy
rằng, cả hai dãy số này đều được xác định bởi cùng một phương trình sai phân
nhưng khác nhau về điều kiện ban đầu. Phương trình sai phân xác định hai dãy
số đó có phương trình đặc trưng là
x2 − x − 2 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1. Do vậy,
theo Định lý 1.1.2 cả hai dãy có số hạng tổng quát dạng
C1 2n + C2 (−1)n , n = 0, 1, 2, ...

Với điều kiện ban đầu J0 = 0 và J1 = 1 ta tìm được C1 = 13 , C2 =

−1
3 .

Do đó

công thức tổng quát cho Jn là

1
αn − β n
Jn =
= (2n − (−1)n ) , với n ≥ 0.
3
3

Tương tự, với điều kiện ban đầu j0 = 2 và j1 = 1 ta thu được C1 = C2 = 1. Do
đó, công thức tổng quát cho jn là
jn = αn + β n = 2n + (−1)n , với n ≥ 0.

Hai công thức tổng quát này còn lần lượt được gọi là công thức Binet cho dãy
Jacobsthal và công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas. Do vậy, ta có mệnh
đề sau đây:
Mệnh đề 1.1.5 (Công thức Binet). Với số nguyên n ≥ 0, ta có
Jn =

1 n
(2 − (−1)n ) và jn = 2n + (−1)n .
3


7

1.2

Một số tính chất cơ bản

Ở mục trước ta đã có định nghĩa và công thức Binet xác định số hạng tổng
quát của hai dãy số Jn và jn . Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính

chất cơ bản của hai dãy số này. Trước tiên là công thức Simson cho hai dãy số
này.
Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson). Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có
Jn+1 Jn−1 − Jn2 = (−1)n 2n−1

và
jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 .

Chứng minh. Theo công thức Binet, ta có Jn = 31 (2n − (−1)n ). Suy ra
1 n+1
1
2
− (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2
9
9
1
=
2n+1 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2
9
1 2n
2 − (−1)n−1 2n+1 − (−1)n+1 2n−1 + 1 − 22n + (−1)n 2n+1 − 1
=
9
1
= (−1)n 2n−1 23 + 1 = (−1)n 2n−1 .
9

Jn+1 Jn−1 − Jn2 =

Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng

minh được
jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 .

Suy ra jn+1 jn−1 − jn2 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 .
Mệnh đề sau đây cho ta tổng của các số hạng đầu của dãy số Jacobsthal và
của dãy số Jacobsthal–Lucas.
Mệnh đề 1.2.2.

a) Với n ≥ 2, ta có
n

Ji =
i=2

Jn+2 − 3
.
2

(1.7)


8

b) Với n ≥ 1, ta có
n

ji =
i=1

jn+2 − 5

.
2

(1.8)

Chứng minh. Ta chứng minh đẳng thức (1.7) bằng quy nạp theo n. Đẳng thức
(1.8) được chứng minh tương tự.
Dễ dàng thấy rằng đẳng thức (1.7) đúng với n = 2. Giả sử đẳng thức đúng
với n. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n + 1, tức là
n+1

Ji =
i=2

Jn+3 − 3
.
2

Thật vậy, ta có
n+1

n

Ji =
i=2

Ji + Jn+1 =
i=2

Jn+2 − 3

+ Jn+1
2

Jn+3 − 3
Jn+2 + 2Jn+1 − 3
=
.
=
2
2

Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề sau đây cho ta một số đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal
{Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn }.

Mệnh đề 1.2.3. Các đẳng thức sau đây là đúng:
jn Jn = J2n ,

(1.9)

jn = Jn+1 + 2Jn−1 ,

(1.10)

9Jn = jn+1 + 2jn−1 ,

(1.11)

jn+1 + jn = 3 (Jn+1 + Jn ) = 3.2n ,

(1.12)

jn+1 − jn = 3 (Jn+1 − Jn ) + 4(−1)n+1 = 2n + 2(−1)n+1 ,

(1.13)

jn+1 − 2jn = 3 (2Jn − Jn+1 ) = 3(−1)n+1 ,

(1.14)

2jn+1 + jn−1 = 3 (2Jn+1 + Jn−1 ) + 6(−1)n+1 ,

(1.15)

jn:r + jn−r = 3 (Jn+r + Jn−r ) + 4(−1)n−r = 2n−r 22r + 1 + 2(−1)n−r , (1.16)


9
jn+r − jn−r = 3 (Jn+r − Jn−r ) = 2n−r 22r − 1 ,
jn = 3Jn + 2(−1)n ,

(1.18)

3Jn + jn = 2n+1 ,

(1.19)
(1.20)

Jn + jn = 2Jn+1 ,
lim

n→∞

lim

n→∞

Jn+1
Jn

= lim

n→∞

jn
Jn

(1.17)

jn+1
jn

(1.21)

= 2,

(1.22)

= 3.

Chứng minh. Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta chỉ cần sử dụng công
thức Binet và tính toán đơn giản. Ở đây, chúng tôi trình bày chứng minh cho
một vài đẳng thức đầu. Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.
Trước tiên, ta chứng minh đẳng thức (1.9). Sử dụng công thức Binet cho dãy
số Jacobsthal và công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta có:
jn .Jn =

=

1 n
(2 + (−1)n ) (2n − (−1)n )
3
1 2n
2 − (−1)2n = J2n .
3

Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (1.10). Tiếp tục sử dụng các công thức
Binet, ta có:
1 n+1
2
− (−1)n+1
3
2
1
= 2n − (−1)n+1 +
3
3

Jn+1 + 2Jn−1 =

1 n−1
2
− (−1)n−1
3
1 n 2
2 + (−1)n
3
3
+2

= 2n + (−1)n = jn .

Thay công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas vào vế trái của đẳng thức
(1.11) ta được:
jn+1 + 2jn−1 = 2n+1 + (−1)n+1 + 2 2n−1 + (−1)n−1
= 2.2n − (−1)n + 2n − 2.(−1)n
= 3.2n − 3.(−1)n


10
1
= 9. (2n − (−1)n ) = 9Jn .
3

Tiếp tục sử dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho
dãy số Jacobsthal–Lucas để biến đổi vế trái và vế phải của đẳng thức (1.12),
ta được:
VT = jn+1 + jn = 2n+1 + (−1)n+1 + 2n + (−1)n
= 2.2n − (−1)n + 2n + (−1)n
= 3.2n

và
1 n+1
1
2
− (−1)n+1 + (2n − (−1)n )
3
3

VP = 3. (Jn+1 + Jn ) = 3.

1
= 3. (2.2n + (−1)n + 2n − (−1)n )
3
= 3.2n .

Suy ra đẳng thức (1.12) là đúng. Các đẳng thức còn lại trong mệnh đề được
chứng minh hoàn toàn tương tự.

1.3

Dãy tổng riêng

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về dãy tổng riêng các
phần tử đầu tiên của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas. Cụ thể,
ta xét hay dãy số được xác định như sau:

n+1

Tn =

Ji ,

T0 = 0,

T1 = 1

(1.23)

i=2

và
n

ˆn =

ji ,
i=1

ˆ0 = 0.

(1.24)


11

Theo định nghĩa, ta có bảng 10 giá trị đầu của Tn và ˆn như sau:
n
T
jˆn

0 1 2 3 4 5
6
7
8
9
10 · · ·
0 1 4 9 20 41 84 169 340 681 1364 · · ·
0 1 6 13 30 61 126 253 510 1021 2046 · · ·

Theo Mệnh đề 1.2.2, ta có
n

i=2

n

Jn+2 − 3
Ji =
2

và

Jn+3 − 3
2

và

ji =
i=1

jn+2 − 5
.
2

Suy ra
Tn =

ˆn =

jn+2 − 5
.
2

Từ đó, ta có thể chứng minh được công thức truy hồi xác định các dãy {Tn } và
{ˆ
n } như trong mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.3.1. Với n ≥ 0, ta có
Tn+2 = Tn+1 + 2Tn + 3

(1.25)

ˆjn+2 = ˆjn+1 + 2ˆjn + 5.

(1.26)

và

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.25). Đẳng thức (1.26) được chứng

minh tương tự. Theo nhận xét ở trên, ta có
Tn+2 =

Jn+5 − 3
Jn+4 − 3
J
−3
, Tn+1 =
và Tn = n+3
.
2
2
2

Suy ra
Tn+1 + 2Tn + 3 =

Jn+4 − 3
Jn+3 − 3
Jn+4 + 2Jn+3 − 3
+ 2.
+3=
.
2
2
2

Theo định nghĩa của dãy Jacobsthal ta lại có Jn+4 + 2Jn+3 = Jn+5 . Do đó, ta có
Tn+1 + 2Tn + 3 =

Suy ra điều cần chứng minh.

Jn+5 − 3
= Tn+2 .
2


12

Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức tổng quát của các dãy số Tn và ˆjn .
Mệnh đề 1.3.2 (Công thức Binet). Với n ≥ 0, ta có
2n+3 + (−1)n − 9
,
6

(1.27)

n+2 + (−1)n − 5
ˆjn = 2
.
2

(1.28)

Tn =

và

Chứng minh. Để chứng minh các công thức này, chúng ta có thể sử dụng lý
thuyết của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. Tuy

nhiên, ở đây, ta có thể chứng minh đơn giản hơn bằng cách sử dụng công thức
Binet của các dãy Jacobsthal và Jacobsthal–Lucas kết hợp với mối liên hệ giữa
các dãy này với các dãy Tn và ˆjn .
Thật vậy, như ta đã nhận xét ở đầu mục này, ta có
Tn =

Jn+3 − 3
.
2

Mặt khác, áp dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal ta có
Jn+3 =

1 n+3
2
− (−1)n+3 .
3

Do đó, với tính toán đơn giản, ta thu được
Tn =

Jn+3 − 3
2n+3 + (−1)n − 9
=
.
2
6

Nói cách khác, công thức tổng quát (1.27) được chứng minh.
Tương tự, ta có

ˆjn = jn+2 − 5 .
2

Theo công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta lại có
jn+2 = 2n+2 + (−1)n+2 .

Suy ra
n+2 + (−1)n − 5
ˆjn = jn+2 − 5 = 2
.
2
2

Vậy công thức (1.28) được chứng minh.


13

Bây giờ, sử dụng các công thức Binet vừa được chứng minh, ta có thể chứng
minh được công thức Simson cho các dãy số Tn và ˆjn như trong mệnh đề dưới
đây.
Mệnh đề 1.3.3 (Công thức Simson). Với n ≥ 1, ta có
Tn+1 Tn−1 − Tn2 = 2n (−1)n−1 − 1 + (−1)n


−1 khi n lẻ,
=
1 − 2n+1 khi n chẵn

(1.29)

và
ˆjn+1ˆjn−1 − ˆjn2 = 2n−1 9(−1)n+1 − 5 + 5(−1)n .

(1.30)

Chứng minh. Trước tiên ta sử dụng công thức Binet cho Tn để chứng minh
(1.29). Cụ thể như sau:
2

Tn+1 Tn−1 − Tn2

2n+3 + (−1)n − 9
2n+4 + (−1)n+1 − 9 2n+2 + (−1)n−1 − 9
.
−
=
6
6
6
1
=
(16.2n − (−1)n − 9) (4.2n − (−1)n − 9) − (8.2n + (−1)n − 9)2
36
1
(−36.2n .(−1)n + 36.(−1)n − 36.2n )
=
36
= −2n .(−1)n − 2n + (−1)n
= 2n (−1)n−1 − 1 + (−1)n .

Ta tiếp tục sử dụng công thức Binet cho ˆjn ta sẽ chứng minh được (1.30).
Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức xác định tổng của n số hạng đầu tiên
của các dãy số Tn và ˆjn .
Mệnh đề 1.3.4. Với n ≥ 1, ta có
n

Tn+2 − 1 − 3(n + 1)
2

(1.31)

ˆ
ˆji = jn+2 − 1 − 5(n + 1) .
2

(1.32)

Ti =
i=1

và
n

i=1


14

Chứng minh. Ta chứng minh (1.31) và (1.32) bằng phương pháp quy nạp. Ở

đây, chúng tôi chứng minh (1.31), còn lại (1.32) được chứng minh tương tự.
Từ bảng giá trị 10 giá trị đầu của Tn và ˆn ta dễ dàng thấy (1.31) đúng với
n = 1, n = 2. Giả sử (1.31) đúng với n, ta sẽ chứng minh (1.31) cũng đúng với
n + 1. Nghĩa là ta cần chứng minh:
n+1

Ti =
i=1

Tn+3 − 1 − 3(n + 2)
.
2

Thật vậy ta có:
n

n+1

Ti

Ti = Tn+1 +
i=1

i=1

Tn+2 − 1 − 3(n + 1)
+ Tn+1
2
Tn+2 + 2Tn+1 + 3 − 3 (n + 2) − 1
=

2
Tn+3 − 1 − 3(n + 2)
=
.
2
=

Suy ra điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta một số đẳng thức thú vị liên quan đến các
dãy số Tn và ˆjn .
Mệnh đề 1.3.5. Các đẳng thức sau đây là đúng:
Tn+1 + 2Tn−1 = ˆjn+1 − 2,

(1.33)

ˆjn+1 + 2ˆjn−1 = 3 (3Tn−1 + 2) ,
T2n = 4J2n = 4Jn jn ,

(1.35)

T2n+1 = 4J2n+1 − 3,

(1.36)

ˆj2n = 2j2n − 4 = 6J2n ,

(1.37)

ˆj2n+1 = 2j2n+1 − 1,
Tn+1 + Tn =


ˆj

n+1

(1.34)

(1.38)
n chẵn,

ˆjn+1 − 1 n lẻ,

(1.39)


15
ˆjn+1 + ˆjn = 3.2n+1 − 5,

(1.40)

Tn − Tn−1 = Jn+1 ,

(1.41)

ˆjn − ˆjn−1 = jn ,

(1.42)

Tn − Tn−2 = 2n ,

(1.43)

ˆjn − ˆjn−2 = 3 · 2n−1 ,
ˆjn+r − ˆjn−r = 3 (Tn+r − Tn−r ) = 6 (Jn+r − Jn−r ) = 2 (jn+r − jn−r ) ,
2
Tn+2 Tn−2 − Tn2 = 2n−1 {(−1)n − 9} ,
ˆjn+2ˆjn−2 − ˆjn2 = 2n−2 · 9 {(−1)n − 5} ,
ˆjn+1
Tn+1
lim
= 2,
= lim
ˆjn
n→∞
n→∞
Tn
ˆjn
3
lim
= ,
n→∞ Tn
2


0 n chẵn,
ˆ
3Tm − 2jn =
1 n lẻ,
3T2n = 2ˆj2n ,


j − 1 n lẻ,
n
Tn − Jn =
jn − 2 n chẵn,

(1.44)
(1.45)
(1.46)
(1.47)
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
(1.52)

ˆjn − Jn = 5 (Jn+1 − 1) ,
2


(1.53)

J − 1 n lẻ,
n
Tn − jn =
Jn − 2 n chẵn,

(1.54)

ˆjn − Tn = Jn+1 − 1.

(1.55)

Chứng minh. Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta chỉ cần sử dụng công
thức Binet của các dãy số tương ứng và tính toán đơn giản. Ở đây, chúng tôi
trình bày chứng minh cho một vài đẳng thức đầu. Các đẳng thức còn lại được
chứng minh tương tự.
Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (1.33). Sử dụng công thức Binet cho Tn


16

và ˆjn ta được:
VT = Tn+1 + 2Tn−1 =
=
=
=

2n+4 + (−1)n+1 − 9
+ 2. 2n+2 + (−1)n−1 − 96
6
4.2n+2 − (−1)n − 9 + 2.2n+2 − 2.(−1)n − 18
6
n+2
n
6.2
− 3.(−1) − 27
6
2.2n+2 − (−1)n − 9

2

và
2n+3 + (−1)n+1 − 5
−2
2
2.2n+2 − (−1)n − 5 − 4
=
2
n+2
2.2
− (−1)n − 9
.
=
2

VP = ˆjn+1 − 2 =

Vậy VT=VP và (1.33) đã được chứng minh.
Bằng cách sử dụng công thức Binet, ta chứng minh được (1.34). Cụ thể như
sau
2n+3 + (−1)n+1 − 5
2n+1 + (−1)n−1 − 5
ˆ
ˆ
VT = jn+1 + 2jn−1 =
+ 2.
2
2
8.2n − (−1)n − 5

=
+ 2.2n − (−1)n − 5
2
12.2n − 3.(−1)n − 15
=
2
n+2
2
+ (−1)n−1 − 9
VP = 3.(3Tn−1 + 2) = 3. 3.
+2
6
4.2n − (−1)n − 9
+2
2
12.2n − 3.(−1)n − 15
=
.
2
= 3.

Vậy VT=VP và (1.34) đã được chứng minh.


17

Chương 2
Tổng bình phương và tích của các
số Jacobsthal
Ở chương trước, luận văn đã trình bày khái niệm và một số tính chất cơ

bản của dãy số Jacobsthal Jn và dãy số Jacobsthal–Lucas jn . Trong chương này,
ˇ
luận văn sẽ trình bày một số kết quả của Cerin
[2] về tổng và tổng đan dấu bình
phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn hoặc lẻ, về tổng và tổng đan dấu
của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp.

2.1

Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn

Nhắc lại rằng dãy số Jacobsthal {Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } lần
lượt được xác định bởi các công thức truy hồi
J0 = 0,

J1 = 1,

Jn = Jn−1 + 2Jn−2 ,

j0 = 2,

j1 = 1,

jn = jn−1 + 2jn−2 ,

với n

2

và

với n

2.

Số hạng tổng quát của hai dãy số này lần lượt được xác định bởi các công thức
Jn =

2n − (−1)n
và jn = 2n + (−1)n .
3


18

Bây giờ, với số nguyên n bất kỳ, ta đặt
βn =

24n+2 + 1
j4n+2
24n+2 − 1
= J4n+2 , γn =
=
,
3
5
5

τn =

24n − 1

J4n
=
và η = 24n+4 + 1 = j4n+4 .
15
5

Khi đó ta có hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1. Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có đẳng thức
sau:
2
+ 8 (βn+1 τn+1 − βn τn ) J2k
(βn+1 γn+1 − βn γn ) J2k
2
2
2
2
= J2k+4n+4
+ J2k+4n+2
− J4n+4
− J4n+2
.

(2.1)

Chứng minh. Để chứng minh (2.1) ta sẽ khai triển hai vế, sau đó ta sẽ chứng
minh sự khác nhau của hai vế bằng 0. Ta có
24n+6 − 1

24n+6 + 1

(28n+12 − 1)
,
15
15
24n+2 − 1 24n+2 + 1
(28n+4 − 1)
=
,
βn γn =
15
15
24n+6 − 1 24n+4 − 1
1024.28n − 80.24n + 1
βn+1 τn+1 =
=
,
3
15
45
24n+2 − 1 24n − 1
4.28n − 5.24n + 1
βn τn =
=
,
3
15
45
2
22k − (−1)2k
24k − 2.22k .(−1)2k + (−1)4k

2
J2k =
=
,
3
9
βn+1 γn+1 =

và J2k =

=

22k − (−1)2k
.
3

Suy ra
VT =

4080.28n 24k − 2.22k .(−1)2k + (−1)4k
1020.28n − 75.24n 22k − (−1)2k
(
) + 8.(
).(
).
15
9
45
3

Ta lại có
2
2
2
2
VP = J2k+4n+4
+ J2k+4n+2
− J4n+4
− J4n+2

1
1
= (22k+4n+4 − (−1)2k+4n+4 )2 + (22k+4n+2 − (−1)2k+4n+2 )2
9
9


19
1
1
− (24n+4 − (−1)4n+4 )2 − (24n+2 − (−1)4n+2 )2
9
9
1 2k+4n+4
2k+4n+4 2
− (−1)
) + (22k+4n+2 − (−1)2k+4n+2 )2
= [(2
9
− (24n+4 − (−1)4n+4 )2 − (24n+2 − (−1)4n+2 )2 ]

1
= [(24k+8n+8 − 2.22k+4n+4 .(−1)2k+4n+4 + (−1)4k+8n+8
9
+ 24k+8n+4 − 2.22k+4n+2 .(−1)2k+4n+2 + (−1)4k+8n+4
− 28n+8 + 2.24n+4 .(−1)4n+4 − (−1)8n+8
− 28n+4 + 2.24n+2 .(−1)4n+2 − (−1)8n+4 ].

Để thuận tiện cho việc biến đổi và tính toán ta đặt A = 22k , B = 28n và C = 24n .
Khi đó ta được
VT =

4080.B A2 − 2.A.(−1)2k + (−1)4k
1020.B − 75.C A − (−1)2k
(
) + 8.(
).(
)
15
9
45
3

và
1
9

VP = [(256A2 B − 32AC.(−1)2k+4n+4 + (−1)4k+8n+8
+16A2 B − 8AC.(−1)2k+4n+2 + (−1)4k+8n+4
−256B + 32C.(−1)4n+4 − (−1)8n+8
−16B + 4C.(−1)4n+2 − (−1)8n+4 ].

Ta thấy sự khác nhau giữa vế trái và vế phải trong (2.1) là
40
544
(−1)1+2k + 1 AB +
(−1)4n+2k + (−1)1+4n (A + 1)C
9
9
272
2
+
(−1)4k + 2(−1)1+2k + 1 B +
(−1)8n + (−1)1+8n+4k .
9
9

Rõ ràng tất cả các số hạng trong biểu thức trên đều bằng 0. Vậy bổ đề được
chứng minh.
Với n = 0, 1, 2, ..., ta lại đặt ηn = 24n+4 + 1 = j4n+4 . Ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.2. Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có
2
(τn+2 ηn+1 − τn+1 ηn ) J2k
+ 8 (βn+1 τn+2 − βn τn+1 ) J2k
2
2
2
2
= J2k+4n+6
+ J2k+4n+4
− J4n+6

− J4n+4
.

(2.2)


20

Chứng minh. Trong chứng minh này ta thực hiện các bước tương tự như chứng
minh Bổ đề 2.1.1. Ta rút ra được sự khác nhau giữa vế trái và vế phải của đẳng
thức (2.2) là
160
8704
(−1)1+2k + 1 AB +
(−1)4n+2k + (−1)1+4n (A + 1)C
9
9
4352
2
+
(−1)4k + 2(−1)1+2k + 1 B +
(−1)8n + (−1)1+8n+4k .
9
9

Ta nhận thấy tất cả các số hạng của biểu thức này đều bằng 0 nên bổ đề đươc
chứng minh.
Với hai bổ đề trên, chúng ta đến với định lý chính của mục này về tổng bình
phương của số Jacobsthal với chỉ số chẵn.
Định lý 2.1.3. Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có

m

m
2
J2k+2i

2
J2i
+ βn J2k [γn J2k + 8τn ] ,

(2.3)

2
J2i
+ τn+1 J2k [ηn J2k + 8βn ] ,

(2.4)

=

i=0

i=0

nếu m = 2n với n = 0, 1, 2, · · · và
m

m
2
J2k+2i

i=0

=
i=0

nếu m = 2n + 1 với n = 0, 1, 2, · · ·
Chứng minh. Ta chứng minh đẳng thức (2.3) bằng phương pháp quy nạp theo
n. Với n = 0 ta có
2
2
J2k
= J02 + β0 J2k [γ0 J2k + 8τ0 ] = J2k J2k = J2k

vì J0 = 0, β0 = 1, γ0 = 1 và τ0 = 0. Vậy đẳng thức đúng khi n = 0.
Giả sử đẳng thức (2.3) đúng khi n = r. Khi đó, ta có
2(r+1)

2r
2
J2k+2i

=

2
J2k+4r+2

i=0

2

+ J2k+4r+4

2
2
2
J2k+2i
= J2k+4r+2
+ J2k+4r+4
+

+
i=0

2(r+1)

2r
2
J2i
i=0

2
J2i
+ βr+1 J2k [γr+1 J2k + 8τr+1 ] ,

+ βr J2k [γr J2k + 8τr ] =
i=0


21

trong đó, bước cuối cùng ta áp dụng Bổ đề 2.1.1 với n = r + 1. Vì vậy (2.3) đúng
với n = r + 1 và chứng minh đẳng thức (2.3) được hoàn thành.
Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (2.4) bằng phương pháp quy nạp theo
n. Với n = 0 ta có
2
2
2
+ 8J2k + 1,
= J02 + J22 + τ1 J2k [η0 J2k + 8β0 ] = 17J2k
+ J2k+2
J2k

vì J0 = 0, J1 = 1, β0 = 1, η0 = 17 và τ1 = 1. Đẳng thức trên tương đương với
2 + 8J + 1 = (4J + 1)2 . Từ mối quan hệ J
2
= 16J2k
J2k+2
n+2 = 4Jn + 1 ta thấy
2k
2k

đẳng thức này là đúng. Vậy, đẳng thức (2.4) đúng với n = 0.
Giả sử (2.4) đúng với n = r. Khi đó, ta có
2(r+1)+1

2r+1

2
J2k+2i

=

2
J2k+4r+4

2
+ J2k+4r+6

i=0

2
2
2
J2k+2i
= J2k+4r+4
+ J2k+4r+6
+

+

i=0
2(r+1)+1

2r+1

2
J2i
+ τr+1 J2k [ηr J2k + 8βr ] =

2

J2i
+ τr+2 J2k [ηr+1 J2k + 8βr+1 ] ,
i=0

i=0

trong đó, bước cuối cùng ta áp dụng Bổ đề 2.1.2 với n = r + 1. Suy ra đẳng thức
(2.4) đúng với n = r + 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học ta suy ra điều cần
chứng minh.

2.2

Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ

Tương tự mục trước, trong mục này, chúng tôi trình bày một tính chất về
tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số lẻ. Trước tiên, chúng ta cần
một số bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1. Với mọi k ≥ 0, ta có
2
J2k+1
= 16J2k J2k−2 + 8J2k + 1.

(2.5)

Chứng minh. Để chứng minh bổ đề này, ta sử dụng công thức Binet cho dãy số
Jacobsthal để khai triển hai vế và chứng minh sự khác nhau ở hai vế bằng 0.


22

Cụ thể ta có
22k+1 − (−1)2k+1
3

VT =
VP = 16.
=

2

=

4.24k + 4.22k + (−1)4k
,
9

22k − (−1)2k 22k−2 − (−1)2k−2
22k − (−1)2k
.
+ 8.
+1
3
3
3

16
. 24k−2 − 22k .(−1)2k−2 − (−1)2k .22k−2 + (−1)4k−2 .
9

Đặt M = 2k và P = (−1)k . Khi đó sự khác nhau giữa vế trái và vế phải là

(P − 1)(P + 1)
8M 2 − 5P 2 + 3 .
3

Vì P = (−1)k nên ta có P − 1 = 0 hoặc P + 1 = 0. Do đó sự khác nhau giữa hai
vế của đẳng thức luôn bằng 0.
Bổ đề 2.2.2. Với mọi k

0, ta có

2
2
J2k+1
+ J2k+3
= 10 + 8J2k (34J2k−2 + 15) .

(2.6)

Chứng minh. Tương tự như cách chứng minh bổ đề trước, để chứng minh bổ đề
này ta cần khai triển hai vế của đẳng thức bằng cách sử dựng công thức Binet
đồng thời đặt M = 2k và P = (−1)k . Khi đó sự khác nhau giữa VT và VP là
10(P − 1)(P + 1) 4M 2 − 3P 2 + 1 .

Do đó sự khác nhau giữa 2 vế của đẳng thức luôn bằng 0 và bổ đề được chứng
minh.
Đặt πn =

24n+1 − 1
= J4n+1 , với n = 0, 1, 2, ... Ta có bổ đề tiếp theo.
3

Bổ đề 2.2.3. Với mọi m

0 và k

0, ta có

8J2k [2 (βn+1 γn+1 − βn γn ) J2k−2 + βn+1 πn+1 − βn πn ]
2
2
2
2
= J2k+4n+5
+ J2k+4n+3
− J4n+5
− J4n+3
.

(2.7)

Chứng minh. Trong chứng minh này ta khai triển hai vế tương tự các bước trong
chứng minh của Bổ đề 2.1.1 và ta vẫn sử dụng các ký hiệu A, B, C . Sau đó ta