DẤU TAM THỨC bậc HAI bất PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI

§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax2 + bx + c . Trong đó a,b,c là những số cho
trước với a ¹ 0.
Nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai
f ( x ) = ax2 + bx + c ; D = b2 - 4ac và D ' = b'2- ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt
thức thu gọn của tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c .
2. Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau
f ( x ) = ax2 + bx + c, ( a ¹ 0)
a.f ( x ) > 0, " x Ỵ ¡

D <0

D =0
D>0

ïì b ïü
ïý
a.f ( x ) > 0, " x ẻ Ă \ ùớ ùợù 2a ùỵ
ù
a.f ( x ) > 0, " x ẻ ( - Ơ ;x1 ) È ( x2; +¥
a.f ( x ) < 0, " x Ỵ

( x1;

)

x2 )

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c
ìï a > 0
• ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R ùớ
ùù D < 0
ợ
ỡù a > 0
ã ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ùớ
ùù D Ê 0
ợ
ỡù a < 0
ã ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí
ïï D < 0
ợ
ỡù a < 0
ã ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí
ïï D £ 0
ỵ
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.
1. Phương pháp giải.
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó.
* Đối với đa thức bậc cao P (x) ta làm như sau
• Phân tích đa thức P ( x ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)
• Lập bảng xét dấu của P ( x ) . Từ đó suy ra dấu của nó .
* Đối với phân thức

P (x)
(trong đó P ( x ) , Q ( x ) là các đa thức) ta làm như sau
Q(x)

• Phân tích đa thức P ( x ) , Q ( x ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc
nhất)
• Lập bảng xét dấu của

P (x)
. Từ đó suy ra dấu của nó.
Q(x)

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau
a) 3x2 - 2x + 1
b) - x2 + 4x + 5
c) - 4x2 + 12x - 9
d) 3x2 - 2x - 8
e) 25x2 + 10x + 1
f) - 2x2 + 6x - 5
Lời giải
2
a) Ta có D ' = - 2 < 0, a = 3 > 0 suy ra 3x - 2x + 1 > 0, " x Ỵ ¡
éx = - 1
2
b) Ta có - x + 4x + 5 = 0 Û ê
êx = 5
ê
ë
Bảng xét dấu

- ¥
x
- 1
2
0
- x + 4x + 5

5
+

|

+¥

-

1;5) và - x2 + 4x + 5 < 0 Û x Ỵ
ìï 3ü
ï
2
c) Ta có D ' = 0, a < 0 suy ra - 4x + 12x - 9 < 0 " x Ỵ ¡ \ ïí ùý
ùợù 2ùỵ
ù
Suy ra - x2 + 4x + 5 > 0 Û x Ỵ

(-

éx = 2
ê
d) Ta có 3x - 2x - 8 = 0 Û ê

êx = - 4
ê
ë
3
Bảng xột du
x
4
- Ơ
3
2
0
+
3x - 2x - 8
ổ
4ử
2
- Ơ ;- ữ
ữ
Suy ra 3x - 2x - 8 > 0 Û x ẻ ỗ
ỗ
ữẩ ( 2; +Ơ
ỗ
3ứ
ố

(-

Ơ ;- 1) ẩ ( 5; +Ơ

)

2

+Ơ

2
|

+

ổ4 ử
2
- ;2ữ
ữ
v 3x - 2x - 8 < 0 x ẻ ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố 3 ứ
ỡù 1ỹ
ù
2
e) Ta cú D ' = 0, a > 0 suy ra 25x + 10x + 1 > 0 " x Ỵ ¡ \ ùớ - ùý
ùợù 5ùỵ
ù

)

2
f) Ta cú D ' = - 1 < 0, a < 0 suy ra - 2x + 6x - 5 < 0 " x Ỵ ¡

Nhận xét:
Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c . Xét nghiệm của tam thức, nếu:
* Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c cùng dấu với a với mọi x
* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c cùng dấu với a với mọi x ¹ * Có hai nghiệm f ( x ) cùng dấu với a khi v ch khi x ẻ

b
2a

( - Ơ ;x1 ) È ( x2;+¥ ) (ngồi hai
( x1;x2 ) (trong hai nghiệm)(ta có thể nhớ câu

nghiệm) và f ( x ) trái dấu với a khi và chỉ khi x Ỵ
là trong trái ngồi cùng)
Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức
f (x) = x2 + 2mx + 3m - 2
Lời giải
Tam thức f (x) có a = 1 > 0 và D ' = m2 - 3m + 2.
* Nếu 1 < m < 2 Þ D ' < 0 Þ f (x) > 0 " x Ỵ R .

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


ém = 1
* Nếu ê
êm = 2 Þ D ' = 0 ị f (x) 0 " x ẻ R và f (x) = 0 Û x = - m
ê
ë
ém > 2

* Nếu ê
êm < 1 Þ D ' > 0 Þ f (x) có hai nghiệm
ê
ë
x1 = - m - m2 - 3m + 2 và x2 = - m + m2 - 3m + 2 . Khi ú:
+) f (x) > 0 x ẻ (- Ơ ;x1) È (x2; +¥ )
+) f (x) < 0 Û x Ỵ (x1;x2) .
Ví dụ 3: Xét dấu của các biểu thức sau
x2 - x - 2
- x2 + 3x + 4

2
2
a) ( - x + x - 1) ( 6x - 5x + 1)

b)

c) x - 5x + 2

x2 - x + 6
d) x - x2 + 3x + 4

3

Lời giải
a) Ta có - x2 + x - 1 = 0 vô nghiệm, 6x2 - 5x + 1 = 0 Û x =
Bảng xét dấu

x

- ¥
-

- x2 + x - 1
6x2 - 5x + 1
( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1)

+
-

1
3
0
|
0

1
1
hoặc x =
2
3
2
3
|
0
0

+

æ1 1ư

2
2
; ÷
÷
Suy ra ( - x + x - 1) ( 6x - 5x + 1) dương khi và chỉ khi x ẻ ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố3 2ứ
ổ
1ử ổ
1
ẩỗ
; +Ơ
ữ
( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) âm khi v ch khi x ẻ ỗỗỗ- Ơ ; ữ
ỗ
ữ
ỗ2
3ứ è
è
éx = - 1
2
2
b) Ta có x - x - 2 = 0 Û ê
êx = 2 , - x + 3x + 4 = 0 Û
ê
ë
Bảng xét dấu
- ¥

x
- 1
2
2
+
0
0
x - x- 2
2
0
+
|
- x + 3x + 4
x2 - x - 2
- x2 + 3x + 4

-

||

x2 - x - 2
dương khi và chỉ khi x Ỵ
- x2 + 3x + 4
x ẻ ( - Ơ ;- 1) ẩ ( - 1;2) È ( 4; +¥ ) .

Suy ra

3
2
c) Ta có x - 5x + 2 = ( x - 2) ( x + 2x - 1)

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

-

( 2;4) ,

0

+Ơ
+
-

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

ộx = - 1
ờ
ờx = 4
ờ
ở
+Ơ

+
+

4
|
0

+
-

+

||

-

x2 - x - 2
âm khi và chỉ khi
- x2 + 3x + 4


Ta có x2 + 2x - 1 = 0 Û x = - 1 ± 2
Bảng xét dấu
x
- ¥
- 10
x- 2
2
+
0
x + 2x - 1
0
x3 - 5x + 2

( - ¥ ;- 1 -

+

( - 12) È ( - 1 + 2;2) .

Suy ra x3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x Ỵ
khi và chỉ khi x Î

2

- 1+ 2
0
|
+
0

+¥

2
|
0
0

+
+
+

)

2;- 1 + 2 È ( 2; +¥ ) , x3 - 5x + 2 âm

2
x2 - x + 6
- x3 + 2x2 + 5x - 6 ( x - 1) ( - x + x + 6)
d) Ta có x =
=
- x2 + 3x + 4
- x2 + 3x + 4
- x2 + 3x + 4
éx = - 2
éx = - 1
2
2
ê
,
x
+
3
x
+
4
=
0
Û
Ta có - x + x + 6 = 0 Û ê
êx = 3
êx = 4
ê

ê
ë
ë
Bảng xét dấu
x
- ¥
1
3
4
- 2
- 1
+¥
|
|
0
+ |
+
|
x- 1
2
0
+
|
+
|
+
0
|
- x +x +6
|

0 +
|
+
|
+
0
- x2 + 3x + 4

x2 - x + 6
0
+ || 0
+
0 ||
- x2 + 3x + 4
x2 - x + 6
Suy ra x dương khi và chỉ khi x Î ( - 2;- 1) È ( 1;3) È ( 4; +¥ ) ,
- x2 + 3x + 4
x2 - x + 6
xâm khi và chỉ khi x Ỵ ( - ¥ ;- 2) È ( - 1;1) È ( 3;4) .
- x2 + 3x + 4
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau
1
a) f (x) = - 2x2 + 3x - 1 b) g(x) = x2 - x + 1 c) h(x) = - 2x2 + x - 1.
4
Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau
8
a) f (x) = (x2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x2) b) f (x) = x2 - 3x - 2 - 2
.
x - 3x

Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau
1
1 1
a)
b) x4 - 4x + 1.
x +9 x 2
3x + 7
c) 2
d) x3 - 3x + 2
+5
x - x- 2
Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của biểu thức
g(x) = (m - 1)x2 + 2(m - 1) + m - 3
x-

+
+

 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC
HAI LN MANG MỘT DẤU.
1. Các ví dụ minh họa.
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
a) Phương trình mx2 - ( 3m + 2) x + 1 = 0 ln có nghiệm
2
2
b) Phương trình ( m + 5) x -

(

)

3m - 2 x + 1 = 0 luôn vô nghiệm

Lời giải
a) Với m = 0 phương trình trở thành - 2x + 1 = 0 Û x =

1
suy ra phương trình có nghiệm
2

2

Với m ¹ 0, ta có D = ( 3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + 4
Vì tam thức 9m2 + 8m + 4 có am = 9 > 0, D 'm = - 20 < 0 nên 9m2 + 8m + 4 > 0 với mọi
m
Do đó phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m .
b) Ta có D =

(

)

2

3m - 2 - 4( m2 + 5) = - m2 - 4 3m - 16

Vì tam thức - m2 - 4 3m - 8 có am = - 1 < 0, D 'm = - 4 < 0 nên - m2 - 4 3m - 8 < 0
với mọi m
Do đó phương trình đã cho ln vơ nghiệm với mọi m .
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm
a) f ( x ) = mx2 - x - 1
b) g( x ) = ( m - 4) x2 + ( 2m - 8) x + m - 5
Lời giải
a) Với m = 0 thì f ( x ) = - x - 1 lấy cả giá trị dương(chẳng hạn f ( - 2) = 1) nên m = 0 khơng
thỏa mãn u cầu bài tốn
Với m ¹ 0 thì f ( x ) = mx2 - x - 1 là tam thức bậc hai dó đó
ïì a = m < 0
f ( x ) < 0, " x Û ïí
Û
ïï D = 1 + 4m < 0
ỵ

ìï m < 0
ïï
1
Û - í
ïï m > - 1
4
ïỵ
4

1
< m < 0 thì biểu thức f ( x ) ln âm.
4
b) Với m = 4 thì g( x ) = - 1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy với -

Với m ¹ 4 thì g( x ) = ( m - 4) x2 + ( 2m - 8) x + m - 5 là tam thức bậc hai dó đó
ìï
a = m- 4 < 0
ï
g( x ) < 0, " x Û í
ïï D ' = ( m - 4) 2 - ( m - 4) ( m - 5) < 0
ïỵ
ïì m < 4
Û ïí
Û m<4
ïï m - 4 < 0
ỵ
Vậy với m £ 4 thì biểu thức g( x ) ln âm.
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương
- x2 + 4( m + 1) x + 1 - 4m2
a) h ( x ) =
b) k ( x ) = x2 - x + m - 1
2
- 4x + 5x - 2
Lời giải
2
a) Tam thức - 4x2 + 5x - 2 có a = - 4 < 0, D = - 7 < 0 suy ra - 4x + 5x - 2 < 0 " x
Do đó h ( x ) luôn dương khi và chỉ khi h '( x ) = - x2 + 4( m + 1) x + 1- 4m2 luôn âm
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


ìï

a = - 1< 0
5
Û ïí
Û 8m + 5 < 0 Û m < ïï D ' = 4( m + 1) 2 + ( 1 - 4m2 ) < 0
8
ïỵ
5
Vậy với m < thì biểu thức h ( x ) luôn dương.
8
2
b) Biểu thức k ( x ) luôn dương Û x - x + m - 1 > 0, " x
Û

x2 - x + m > 1, " x Û x2 - x + m > 0, " x

ìï
a = 1> 0
1
Û ïí
Û m>
ïï D = 1- 4m < 0
4
ỵ
1
Vậy với m > thì biểu thức k ( x ) ln dương.
4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m .
mx
2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1
a) y =

b)
y
=
( 2m2 + 1) x2 - 4mx + 2
m2x2 - 2mx + m2 + 2
Lời giải
2
2
a) ĐKXĐ: ( 2m + 1) x - 4mx + 2 ¹ 0
2
2
Xét tam thức bậc hai f ( x ) = ( 2m + 1) x - 4mx + 2
2
2
2
Ta có a = 2m + 1 > 0, D ' = 4m - 2( 2m + 1) = - 2 < 0
2
2
Suy ra với mọi m ta có f ( x ) = ( 2m + 1) x - 4mx + 2 > 0 " x Ỵ ¡
2
2
Do đó với mọi m ta có ( 2m + 1) x - 4mx + 2 ạ 0, " x ẻ ¡

Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡
2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1
b) ĐKXĐ:
³ 0 và m2x2 - 2mx + m2 + 2 ¹ 0
2 2
2
m x - 2mx + m + 2

Xét tam thức bậc hai f ( x ) = 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1 và
2

2

Ta có af = 2 > 0, D ' = ( m + 1) - 2( m2 + 1) = - m2 + 2m - 1 = - ( m - 1) £ 0
2
2
Suy ra với mọi m ta có f ( x ) = 2x - 2( m + 1) x + m + 1 ³ 0, " x Ỵ ¡ (1)

Xét tam thức bậc hai g( x ) = m2x2 - 2mx + m2 + 2
Với m = 0 ta có g( x ) = 2 > 0, xét với m ¹ 0 ta có
ag = m2 > 0, D g ' = m2 - m2 ( m2 + 2) = - m2 ( m2 + 1) < 0
2 2
2
Suy ra với mọi m ta có g( x ) = m x - 2mx + m + 2 > 0, " x Ỵ ¡ (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì

2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1

³ 0 và
m2x2 - 2mx + m2 + 2
m2x2 - 2mx + m2 + 2 ¹ 0 đúng với mọi giá trị của x
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
a) Phương trình x2 - 2( m + 2) x - ( m + 3) = 0 ln có nghiệm
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

(

)

2
2
b) Phương trình ( m + 1) x + 3m - 2 x + 2 = 0 luôn vô nghiệm
Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm
a) f ( x ) = - x2 - 2x - m
b) g( x ) = 4mx2 - 4( m - 1) x + m - 3
Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m .
2x + 3m
a) y = m2x2 - 4mx + m2 - 2m + 5 b) y =
2
x + 2( 1 - m) x + 2m2 + 3
Bài 4.91: Tìm m để
a) 3x2 - 2(m + 1)x - 2m2 + 3m - 2 ³ 0 " x Ỵ R

b) Hàm số y = (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 có nghĩa với mọi x.
c)

x +m
£1
x +x +1
2

"x Ỵ R

§7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa và cách giải
Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng
f ( x ) > 0, f (x) < 0, f (x) ³ 0, f (x) £ 0 , trong đó f (x) là một tam thức bậc hai.
Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
2. Ứng dụng
Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng
 DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) - 3x2 + 2x + 1 < 0
b) x2 + x - 12 < 0
c) 5x2 - 6 5x + 9 > 0
d) - 36x2 + 12x - 1 ³ 0
Lời giải
a) Tam thức f (x) = - 3x2 + 2x + 1 có a = - 3 < 0 và có hai nghiệm x1 = ( f (x) cùng dấu với hệ số a ).

1
; x2 = 1
3

1
hoặc x > 1
3
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S = (- ¥ ;- ) È (1; +¥ ) .
3
2
b) Tam thức f ( x ) = x + x - 12 có a = 1 > 0 và có hai nghiệm x1 = - 4; x2 = 3

( f (x) trái dấu với hệ số a ).
Suy ra x2 + x - 12 < 0 Û - 4 < x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( - 4;3)
Suy ra - 3x2 + 2x + 1 < 0 Û x < -

c) Tam thức f ( x ) = 5x2 - 6 5x + 9 có a = 5 > 0 và D = 0
( f (x) cùng dấu với hệ số a ).
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


Suy ra 5x2 - 6 5x + 9 > 0 Û x ¹

3 5
5

ïì 3 5 ïü
ïý
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ¡ \ ïí
ïï 5 ùù
ợ
ỵ
2
d) Tam thc f ( x ) = - 36x + 12x - 1 có a = - 36 < 0 và D = 0
ỉ1ư
1
÷
f (x) trái dấu với hệ số a nên f ( x ) âm với " x ạ
ữ
v f ỗ

ỗ
ữ= 0
ỗ
ố6ứ
6
Suy ra - 36x2 + 12x - 1 ³ 0 Û x =

1
6

ìï 1ü
ï
Vậy tập nghiệm ca bt phng trỡnh l S = ùớ ùý
ùợù 6ùỵ
ù
Vớ dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a) x2 - mx + m + 3 = 0
b) (1 + m)x2 - 2mx + 2m = 0
Lời giải
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0
ém ³ 6
Û m2 - 4( m + 3) ³ 0 Û m2 - 4m - 12 ³ 0 Û ê
êm Ê - 2
ờ
ở
Vy vi m ẻ (- Ơ ;- 2] È [6; +¥ ) thì phương trình có nghiệm
b) Với m = - 1 phương trình trở thành 2x - 2 = 0 Û x = 1 suy ra m = - 1 thỏa mãn u cầu
bài tốn
Với m ¹ - 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0
Û m2 - 2m( 1 + m) ³ 0 Û m2 + 2m £ 0 Û - 2 £ m £ 0

Vậy với - 2 £ m £ 0 thì phương trình có nghiệm
ù
Ví dụ 3: Tìm m để mọi x Ỵ é
ë- 1;1û đều là nghiệm của bất phương trình
3x2 - 2( m + 5) x - m2 + 2m + 8 £ 0 (1)
Lời giải

Ta có 3x2 - 2( m + 5) x - m2 + 2m + 8 = 0 Û x = m + 2 hoặc x =
4- m
1
Û 3m + 6 > 4 - m Û m > - ta có
3
2
4- m
Bất phương trình (1) Û
£ x £ m+2
3
é4 - m
ù
;m + 2ú
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là ê
ê
ú
ë 3
û
ù
Suy ra mọi x Ỵ é
ë- 1;1û đều là nghiệm của bất phương trình (1)
ì
é4 - m

ù ïïï - 1 ³ 4 - m
ù ê
ú
khi và chỉ khi é
3
ë- 1;1ûÌ ê 3 ;m + 2úÛ íï
ë
û ïï 1 £ m + 2
ỵ
ïì m ³ 7
Û ïí
Û m³ 7
ïï m ³ - 1
ỵ
* Với m + 2 >

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

4- m
3


1
ta có m ³ 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
4- m
1
* Với m + 2 <
Û m < - ta có

3
2
4- m
Bất phương trình (1) Û m + 2 £ x £
3
é
4 - mù
ú
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là êm + 2;
ê
3 ú
ë
û
Kết hợp với điều kiện m > -

ù
Suy ra mọi x Ỵ é
ë- 1;1û đều là nghiệm của bất phương trình (1)
ì
é
ù ïïï - 1 ³ m + 2
4
m
ù ê
ú
khi và chỉ khi é
ë- 1;1ûÌ êm + 2; 3 úÛ íï 1 £ 4 - m
ë
û ïï
ỵ

3
ïì m £ - 3
Û ïí
Û m£ - 3
ïï m £ 1
ỵ
1
Kết hợp với điều kiện m < - ta có m £ - 3 thỏa mãn yêu cầu bài tốn
2
1
3
1
* Với m = ta có bất phương trình (1) Û x =
nên m = khơng thỏa mãn yờu cu bi
2
2
2
toỏn.
Vy m ẻ (- Ơ ;- 3] ẩ [7; +¥ ) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4:Giải và biện luận bất phương trình (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 4m + 2 < 0
Lời giải
Với m = - 1: bất phương trình trở thành 6x + 6 < 0 Û x < - 1
Với m ¹ - 1 ta có g(x) = (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 4m + 2 là tam thức bậc hai có :
a = m + 1; D ' = 8m2 - 2m - 1.
Bảng xét dấu
m
- ¥

- 1

-

1
4
|
0

1
2
|
0

+Ơ

m+1
0
+
+
+
2
+
0
+
+
8m - 2m - 1
ùỡ a > 0
1
1
ị g(x) 0 " x ẻ R ị bt phng trỡnh vụ nghiệm.
* - £ m £ Þ ïí

ïï D ' £ 0
4
2
ợ
ộ
1
ờm >
ỡù a > 0
ờ
ùớ
2
ị
ị S = (x1;x2) , vi
* ê
ïï D ' > 0
1
ê- 1 < m < ỵ
ê
ë
4
2m - 1 - (2m - 1)(m + 1)
2m - 1 + (2m - 1)(m + 1)
.
x1 =
;x2 =
m+1
m+1
ìï a < 0
ị S = (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +Ơ )
* m < - 1 ị ùớ

ùù D ' > 0
ợ
Kt luận
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


m = - 1 bất phương trình có tập nghiệm là S = ( - ¥ ;- 1)
1
1
£ m £ bất phương trình có tập nghiệm là S = Ỉ
4
2
é
1
êm >
ê
2
bất phương trình có tập nghiệm là S = (x1; x2)
ê
ê- 1 < m < - 1
ê
ë
4
m < - 1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ;x1) È (x2; +¥ )
2. Bài tập luyện tập.
Bài 4.92: Giải các bất phương trình sau:
1
a) - 2x2 + 3x - 1 ³ 0
b) x2 - x + 1 £ 0 c) - 2x2 + x - 1 £ 0 .

4
-

d) 7x > 2x2 - 6
e) x2 - 22x + 51 < 0
Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
a) x2 - 2mx + m + 3 = 0
b) (m - 1)x2 -

f) x2 + 5x + 6 ³ 0

( 2m - 2) x + 2m = 0

Bài 4.94: Giải và biện luận bất phương trình mx2 - 2mx + m - 1 > 0
Bài 4.95: Tìm m mi x ẻ ộ
ở0; +Ơ ) u l nghiệm của bất phương trình

( m2 - 1) x2 -

8mx + 9 - m2 ³ 0

ỉ 7ư
3, ÷
÷. Giải bất phương trình f(
Bài 4.96: Cho hàm số f ( x ) = x2 + bx + 1 với b Ỵ ç
ç
÷
ç
è 2ø

 DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các hệ bất phương trình sau:
ìï 2x2 + 9x + 7 > 0
ìï 2x2 + x - 6 > 0
ï
a) í 2
b) ïí 2
ïï x + x - 6 < 0
ïï 3x - 10x + 3 ³ 0
ỵ
ỵ
ìï x2 + 4x + 3 ³ 0
ïï
ìï - x2 + 5x - 4 ³ 0
2
ï
c) í 2
d) ïí 2x - x - 10 £ 0
ïï x + x - 13 £ 0
ïï 2
ỵ
ïïỵ 2x - 5x + 3 > 0
Lời giải
ïìï éx ³ - 1
ïï ê
ìï 2x2 + 9x + 7 > 0
ê
ï
ï

Û í êx £ - 7 Û - 1 < x < 2
a) Ta có í 2
ïï x + x - 6 < 0
ïï ê
ë
2
ỵ
ïï - 3 < x < 2
ïỵ
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ( - 1;2) .

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

( x) )

>x .


ìï
ïï
ïï
ïï
ìï 2x2 + x - 6 ³ 0
Û ïí
b) Ta có ïí 2
ïï 3x - 10x + 3 > 0
ïï
ỵ
ïï

ïï
ïïỵ

é
3
êx ³
ê
2
êx £ - 2
ê
ë
Û
éx > 3
ê
ê
êx < 1
ê
ë
3

éx > 3
ê
êx £ - 2
ê
ë

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = (- ¥ ;- 2] È (3; +¥ ) .
1£ x £ 4
ïìï
ìï - x2 + 5x - 4 ³ 0

ï
ï
Û í - 1- 53
c) Ta có í 2
- 1 + 53
ïï x + x - 13 £ 0
ïï
£ x£
ỵ
ïỵ
2
2
- 1 + 53
Û 1£ x £
2
é - 1 + 53 ù
ú.
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê
ê1;
ú
2
ê
ú
ë
û
ïìï éx ³ - 1
ïï ê
2
ïï ê
êx £ - 3

ìï x + 4x + 3 ³ 0
ë
ïï
ïï
5
3
2
d) Ta có ïí 2x - x - 10 £ 0 Û ïí - 2 £ x £ Û 1 £ x £
ïï
ïï 2
2
2
ïï
ïïỵ 2x - 5x + 3 £ 0
3
ïï 1 £ x £
2
ïï
ïỵ
é 3ù
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê1; ú.
ê
ë 2ú
û

ìï
mx2 - x - 5 £ 0
ï
Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình í
ïï ( 1 - m) x2 + 2mx + m + 2 ³ 0

ỵ
a) Giải hệ bất phương trình khi m = 1
b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
a) Khi m = 1 hệ bất phương trình trở thành
ìï 1 - 21
1 + 21
ïï
£ x£
ìï x2 - x - 5 £ 0
1 - 21
1 + 21
ïí
ï
2
2
Û í
Û
£ x£
ïï 2x + 3 ³ 0
ïï
3
2
2
ỵ
x³ ïï
ïỵ
2
é1 - 21 1 + 21ù
ú

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê
ê 2 ;
ú
2
ê
ú
ë
û
ìï - x - 5 £ 0
b) Khi m = 0 hệ bất phương trình trở thành ïí 2
(vơ nghiệm) do đó m = 0 khơng thỏa
ïï x + 2 ³ 0
ỵ
mãn u cầu bài toán
Khi m = 1 theo câu a ta thấy cũng khơng thỏa mãn u cầu bài tốn

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


ìï m ¹ 0
Khi ïí
ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi các bt phng trỡnh
ùù m ạ 1
ợ
trong h bt phng trỡnh nghiệm đúng với mọi x
ïìï m < 0
m<0
ïìï
ïìï

ïï
ïï
í
ïï m £ - 1
ï
D
=
1
+
20
m
£
0
ï
ỵï 1
Û ïí
Û ïí
ïï ïìï
ïï m < 1 20
1- m > 0
ïï í
ïï
2
ïïỵ ỵïï D '2 = m - ( 1 - m) ( m + 2) £ 0
ïï 2m2 + m - 2 £ 0
ïỵ
ïìï m < 0
ïï
ïï m £ - 1
ï

- 1- 17
1
20
Û ïí
Û
£ m£ ïï m < 1
4
20
ïï
- 1 + 17
ïï - 1 - 17
£ m£
ïïỵ
4
4
- 1 - 17
1
Vậy
là giá trị cần tìm.
£ m£ 4
20
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm
ìï x2 - 3x + 2 £ 0
ïí
.
ïï mx2 - 2( 2m + 1) x + 5m + 3 ³ 0
ỵ
Lời giải
Ta có bất phương trình x2 - 3x + 2 £ 0 Û 1 £ x £ 2.
Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:

ù
mx2 – 2( 2m + 1) x + 5m + 3 £ 0 (1) có nghiệm x Ỵ S = é
ë1;2û.
Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vơ nghiệm trên S
Tức là bất phương trình f ( x ) = mx2 - 2( 2m + 1) x + 5m + 3 < 0 (2) đúng với mọi x Ỵ S .
• m = 0 ta có (2) Û - 2x + 3 < 0 Û x >

3
nên (2) không đúng vi " x ẻ S
2

ã m ạ 0 tam thc f ( x ) có hệ số a = m , biệt thức ∆ ' = - m2 + m + 1
Bảng xét dấu
m
1- 5
1+ 5
- ¥
+¥
0
2
2
m
|
0
+
|
+
2
0
+

|
+
0
- m +m+1
ìï a > 0
1+ 5
1+ 5
+) m ³
ta có: ïí
nên f ( x ) ³ 0, " x Ỵ ¡ , suy ra m ³
khơng thỏa mãn
ïï ∆ ' £ 0
2
2
ỵ
ìï a < 0
ổ3 - 5 ử
ữ
1- 5
ỗ
ù
ữ
f
x
Ê
0
,
"
x
ẻ

Ă
f
= 0 , suy ra m £ 1 - 5
+) m £
ta có: í
nên ( )
v ỗ
ữ
ỗ
ữ
ù
D
'
Ê
0
ỗ 2 ứ
ố
2
2
ùợ
tha món.
GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


+)

1-

5

2

< m < 0 ta có: a < 0 và f ( x ) có hai nghiệm phân biệt

2m + 1 + ∆ '
2m + 1 - ∆ ' x < x
( 1
, x2 =
2)
m
m
éx < x1
éx1 > 2
ê
Û
"
x
Ỵ
S
Do đó: f ( x ) < 0 Û ê
,
suy
ra
(2)
đúng
với
êx > x
êx < 1 (*)
2
ê

ê
ë
ë2
x1 =

1+ ∆ '
<2
m
ìï 1 - 5
ï
x2 < 1 Û ∆ ' < m + 1 Û ïí
2
ïï
2
ïỵ ∆ ' < m + 2m + 1
ìï 1 - 5
ïï
ìï 1 - 5
ïï
2
ï
1- 5
1
Û ïí
Û íï é m > 0
Û

2
ïï
ïï ê
2
2
2
ïï ê
1
ïỵ 2m + m > 0
ê
ïï êm < ỵë
2

Ta có x1 = 2 +

1-

Suy ra (*) Û

2

+) 0 < m <
x1 =

5


1
2

1+ 5
ta có: a < 0 và f ( x ) có hai nghiệm phân biệt
2

2m + 1 + ∆ '
2m + 1 , x2 =
m
m

Suy ra f ( x ) < 0 Û x Ỵ

∆' x > x
( 1
2)

( x2;x1 )

ìï x2 < 1
Û
Do đó (2) đúng với " x Ỵ S Û ïí
ïï x1 > 2
ỵ
Vì m > 0 nên (**) vơ nghiệm.

ïìï
í
ïï
ïỵ

Từ đó, ta thấy (2) đúng với " x Ỵ S Û m < Vậy m ³ -

∆' +m +1< 0
∆' +1> 0

(**)

1
.
2

1
là những giá trị cần tìm.
2

3. Bài tập luyện tập
Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau:
ìï - x2 + 4x - 7 < 0
ìï x2 + x + 5 < 0
ï
a) í 2
b) ïí 2
ïï x - 2x - 1 ³ 0
ïï x - 6x + 1 > 0
ỵ
ỵ
2
x - 2x - 7
1
x2 - 2x - 2

4
£
£
1
£
£1
c)
d)
13 x2 - 5x + 7
x2 + 1
Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m2x + m(x + 1) - 2(x - 1) > 0 nghiệm đúng với mọi
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


ù
xỴ é
ë- 2;1û

ìï x2 - ( 1 + 2m) x + 2m £ 0
Bài 4.99: Giải và biện luận hệ bất phương trình ïí 2
ïï x + ( 2 + m) x + 2m £ 0
ỵ
Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình 2x2 é1 ù
mọi x Ỵ ê ;2ú.
ê
ë2 ú
û

( 2m + 1) x + m2 -

2m + 2 £ 0 nghiệm đúng với

Bài 4.101: Cho phương trình: x2 - 2mx + m2 - m + 1 = 0( 1)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ³ 1.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x £ 1.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < 1 < x2 .
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < x2 < 1.
 DẠNG TỐN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình :
2
a) ( 1 - 2x ) ( x - x - 1) > 0
b) x4 - 5x2 + 2x + 3 £ 0
Lời giải
a) Bảng xét dấu
x
1
1- 5
1+ 5
- ¥
+¥
2
2
2
|
0
+
|

+
1 - 2x
2
+
0
–
|
–
0
+
x - x- 1
VT
0
+
0
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
ỉ1 - 5 1ử
ổ1 + 5
ử
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
S=ỗ
;
ẩ
;

+Ơ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2
2
2
ố
ứ ố
ứ
b) Bt phng trỡnh (x4 - 4x2 + 4) - (x2 - 2x + 1) £ 0
Û (x2 - 2)2 - (x - 1)2 £ 0 Û (x2 + x - 3)(x2 - x - 1) £ 0 .
Bảng xét dấu
x
- 1 - 13 1 - 5 - 1 + 13 1 + 5
- ¥
2
2
2
2
2
+
0

–
|
–
0
+
|
+
x +x- 3
+
|
+
0
–
|
–
0
+
x2 - x - 1
VT
+
0
–
0
+
0
–
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
é- 1 - 13 1 - 5 ù é- 1 + 13 1 + 5 ù

úÈ ê
ú.
S=ê
;
;
ê
ú ê
ú
2
2
2
2
ê
ú
ê
ú
ë
û ë
û
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình :

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Tốn Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

+¥


x2 - 1
>0
a) 2

( x - 3) ( - 3x2 + 2x + 8)
Lời giải
a) Bảng xét dấu
x

b) x2 + 10 £

2x2 + 1
x2 - 8

4
- 1
1
3
+
|
+
|
+
0
0 +
x2 - 1
2
+
0
|
|
| x - 3
|
0

+
0
+
| +
- 3x2 + 2x + 8
||
+
||
0
+ 0 VT
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bt phng trỡnh ó cho l:
ổ
4ử
S =ỗ
- 3;- ữ
ữ
ỗ
ữẩ ( - 1;1) ẩ 3;2
ỗ
3ứ
ố
- Ơ

-

-

3

(

+Ơ

2

3
|

+ |
0 + |
|
+ 0
||
+ ||

+
+
-

)

2x2 + 1
2x2 + 1
Û
- ( x2 + 10) ³ 0
x2 - 8
x2 - 8
2x2 + 1 - ( x2 - 8) ( x2 + 10)
81 - x4
Û

³
0
Û
³ 0
x2 - 8
x2 - 8
( 9 - x2 ) ( 9 + x2 )
9 - x2
Û
³ 0Û 2
³ 0
x2 - 8
x - 8
Bảng xét dấu
x
- ¥
- 3
3
- 2 2
2 2
0
+
|
+
|
+
0
9 - x2
+
|

+
0
|
+
|
x2 - 8
VT
0
+
||
||
+
0
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S = [ - 3;- 2 2) È (2 2;3]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau
x2 - x - 2
x2 + 1 - x + 1
£ 0
a) 2
b)
³ 0
x - x- 1
x2 + 3x - 6
Lời giải
2
a) Vì x - x + 2 > 0 nên
b) Ta có x2 + 10 £

x2 - x - 2

x2 - x - 1
Bảng xét dấu

³ 0Û

(

x2 - x - 2) ( x2 - x + 2)

x

x2 - x - 2
x2 - x + 2
x2 - x - 1
( x2 - x - 2) ( x2 - x + 2)

x2 - x - 1
- ¥

³ 0Û
1-

- 1
+
+
+

0
|
|

+
+

( x2 -

Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

+
-

x - 2) ( x2 - x + 2)

1+ 5
2
|
+
|
||

+
0
||
+
||
x2 - x - 1
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655

-

x2 - x - 1
5

2
|
|
||

+¥

³ 0

+¥

2
+
+

0
|
0

+
+
+

-

0

+


ổ1 - 5 1 + 5 ử
ữ
ữ
S = (- Ơ ;- 1] ẩ ỗ
;
ẩ [2; +Ơ )
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2 ứ
ố 2
ỡù x ³ - 1
ïï
x +1³ 0
ïìï
ïì x ³ - 1
Û íï x ¹ 3
Û íï
b) ĐKXĐ: í 2
ïï x + 3x - 6 ạ 0
ùù
ùù x ạ 3
ợ
ợ

ùù x ạ - 2 3
ỵ
Vì x2 + 1 + x + 1 > 0 nên
x2 + 1 Û

x +1

x2 + 3x - 6
x2 - x

x2 + 3x - 6
Bảng xét dấu
x

£ 0Û

(

)(

x2 + 1 -

x +1

)£0

x2 + 1 + x + 1

x2 + 3x - 6

£ 0
- ¥
+
+

x2 - x
x2 + 3x - 6
x2 - x

- 2 3
0
0

+

x2 + 3x - 6

||

+
-

0
0
|

-

0

-

1
0
|

+

0

+¥

+
-

3
|
0

+
+

-

||

+

Dựa vào bảng xét dấu và đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
ù

S=é
ë- 1;0ûÈ [1; 3)

Nhận xét: Ở câu b chúng ta phải đặt điều kiện thì khi đó các phép biến đổi trên mới đảm bảo là
phép biến đổi tương đươc.
ỉ
ư
x +1
2
÷
3- 3
÷
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình x - m - m ỗ
ỗ
2
ữ< 0 (*) cú nghim .
ỗ
ố
x - x - 3x + 3ø
Lời giải
x +1
ïìï
3- 3
>0
ï
Û
Ta có ( * ) Û í
x - x2 - 3x + 3
ïï
2

x > m +m
ïỵ
Bảng xét dấu
x
x- 1
x- 2
2
3x + 3x - 4
x2 - 3

( x - 2) ( 3x + 3x - 4)
( x - 1) ( x2 - 3)

- ¥ - 3+
+

57
6

0

-

ìï ( x - 2) ( 3x2 + 3x - 4)
ïï
<0
x - 1) ( x2 - 3)
(**)
íï
(

ïï
2
x > m +m
ùùợ
- 3 + 57
6

3

+

0

-

-

||

+

1
-

0

+
-

0

2

3
+
+
-

0

+
+
+

||

-

0

+Ơ
+
+
+
+

2

+

0

0

( x - 2) ( 3x2 + 3x - 4)
Tập nghiệm của bất phương trình
( x - 1) ( x2 - 3)

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

-

||

< 0 là

+

0

+


ổ- 3 - 57
ử
ổ- 3 + 57 ử
ữ
ỗ
ữ

ữ
S =ỗ
;
3
ẩ
;1ữ
ẩ 3;2
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ
6
6
ố
ứ
ứ
Do ú bt phng trỡnh (*) cú nghim khi v chỉ khi hệ bất phương trình (**) có nghiệm
Û m2 + m < 2 Û m2 + m - 2 < 0 Û - 2 < m < 1
Vậy - 2 < m < 1 là giá trị cần tìm.
2. Bài tập luyện tập.
Bài 4.102: Giải các bất phương trình sau
3
£ 0
a) (4 - 3x)(- 2x2 + 3x - 1) £ 0

b) x2 + x - 2
x +x- 2
( x2 - 4) ( - 3x2 + 2x + 8)
c) x4 - x2 - 2x - 1 > 0
d)
<0
x2 - 2x
1 - x2 - 2x
x2 + 1 - x3 + 1
e) 2
f)
³ 0
£ 0
x +x- 2
x2 + x

(

)

ìï x3 + 2x + 3 > 0
ìï
x>- 1
ï
ï
bpt
Û
Û
Bài 4.103: Ta có
í 2

í
ïï m - 3m - x > 0
ïï x < m2 - 3m
ỵ
ỵ
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
3- 5
3+ 5
m2 - 3m < - 1 Û m2 - 3m + 1 < 0 Û
2
2
 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT.
1. Phương pháp giải.
• Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c ³ 0 ,
ïìï a > 0
ax2 + bx + c < 0 hoặc ax2 + bx + c £ 0 rồi đi chứng minh(theo thứ tự) íï D < 0 ,
ïỵ
ïìï a > 0 ïìï a < 0
ïì a < 0
,í
hoặc ïí
.
í
ïï D £ 0 ïï D < 0
ïï D Ê 0
ợ
ợ

ợ
ã Nu BT cn chng minh cú dng: A 2 £ 4BC (hoặc A2 £ BC ) ta có thể
chứng minh tam thức f (x) = Bx2 + Ax + C (hoặc f (x) = Bx2 + 2Ax + C )
ln cùng dấu với B. Khi đó ta sẽ có D £ 0.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y . Chứng minh rằng 3x2 + 5y2 - 2x - 2xy + 1 > 0
Lời giải
Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 > 0
Đặt f (x) = 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 xem y là tham số khi đó f ( x ) là tam thức bậc hai ẩn x
có hệ số ax = 3 > 0 và
D x ' = (y + 1)2 - 3(5y2 + 1) = - 14y2 + 2y - 2
Xét tam thức g( y ) = - 14y2 + 2y - 2 có hệ số ay = - 14 < 0 và D 'y = - 27 < 0
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu


Suy ra D 'x < 0
Do đó f ( x ) < 0 với mọi x, y .
Nhận xét: * Khi gặp bài tốn chứng minh BĐT có dạng: f (a1,a2,...,an ) ³ 0
" a1,a2,...,an mà f (a1,a2,...,an ) = g(ai ) là một tam thức bậc hai với ẩn ai có hệ số a > 0 , ta có
thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đó g(ai ) ³ 0 Û D ai £ 0.
Ví dụ 2: Cho x, y, z là số thực. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 + x2y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + 1 ³ 0.
Lời giải
2 2
2
2
2
2 2
Bất đẳng thức viết lại ( 1 + y z ) x - 4xyz + y + z + y z - 2yz + 1 ³ 0

2 2
2
2
2
2 2
Đặt f ( x ) = ( 1 + y z ) x - 4xyz + y + z + y z - 2yz + 1, khi đó f ( x ) là một tam thức bậc
2 2
hai ẩn x có hệ số a = 1 + y2z2 > 0 và D 'x = 4y z -

( 1 + y2z2 ) ( y2 + z2 + y2z2 -

Þ D 'x = - (1 + y2 - 2yz + z2 - 2y2z2 + y4z2 - 2y3z3 + y2z4 + y4z4)
Áp dụng BĐT a2 + b2 ³ 2ab ta có
y4z2 + y2z4 ³ 2y3z3 , y4z4 + 1 ³ 2y2z2 và y2 + z2 ³ 2yz
Cộng vế với vế lại suy ra D 'x £ 0
Do đó f ( x ) ³ 0, " x, y, z . ĐPCM.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, z thỏa mãn:
a2x + b2y + c2z = 0.Chứng minh rằng: xy + yz + zx £ 0 .
Lời giải
* Nếu trong ba số x,y,z có một số bằng 0, chẳng hạn x = 0 Þ b2y = - c2z .
c2 2
Þ xy + yz + zx = yz = - 2 z £ 0 .
b
b2y + c2z
* x, y, z ¹ 0.Do a2x + b2y + c2z = 0 Þ x = a2
2
2
Þ xy + yz + zx £ 0 Û - (y + z) b y + c z + yz £ 0
a2
Û f (y) = b2y2 + (b2 + c2 - a2)yz + c2z2 ³ 0 .

2
2
2 2
2 2ù 2
Tam thức f (y) có D y = é
ë(b + c - a ) - 4b c ûz .
ìï | b - c |< a
Þ - 2bc < b2 + c2 - a2 < 2bc
Vì ïí
ïï b + c > a
ợ
ị (b2 + c2 - a2)2 < 4c2b2 ị D y £ 0, " z Þ f (y) ³ 0 " y, z .
Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1,a2,..,an ,b1,b2,...,bn . Chứng minh rằng :
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 £ (a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2) .
Lời giải
* Nếu a12 + a22 + ... + an2 = 0 Þ BĐT hiển nhiên đúng.
* Nếu a12 + a22 + ... + an2 > 0. Xét tam thức :
f (x) = ( a12 + a22 + ... + an2 ) x2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn )x +b12 + b22 + ... + bn2
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

2yz + 1)


= (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + ... + (anx - bn )2 ³ 0 " x
Þ D = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 - (a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2) £ 0.
Û (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 £ (a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2)
a1 a2
a
=

= ... = n .
b1
b2
bn
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.104: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với " x, z Ỵ R .
x2 + 9y2 + 5z2 + 6xy - 4xz - 12yz - 2z + 1 ³ 0 .
Bài 4.105: Cho x, y,z ³ 0thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = 4.
Chứng minh rằng : x + y + z ³ xy + yz + zx .
Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
xzy + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ³ 5(x + y + z) (THTT).
Bài 4.107: Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x2 + 5y2 - 5x - 15y + 8 £ 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y.
Bài 4.108: Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 = 4a - 3b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức P = 2a + 3b.
Bài 4.109: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 5 và x - y + z = 3 . Tìm giá trị lớn
Đẳng thức có Û

x +y - 2
z +2
Bài 4.110: Cho a,b,c là số thực. Chứng minh rằng
2(a + b + c - ab - bc - ca + 1)2 + (ab + bc + ca - 2)2 ³ 3
nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 9a2 + 8ab + 7b2 £ 6. Chứng minh rằng
7a + 5b + 12ab £ 9 .
Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất
của: P = 9xy + 10yz + 11zx .

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655

Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu