Tiet 39-40 Mặt cầu - khối cầu

TIẾT: 39-40
NS:……..
NG:……..

CHỦ ĐỀ: MẶT CẦU – KHỐI CẦU

I. Mục tiêu bài dạy
1. Kiến thức: HS nhớ lại được
- Sự hình thành
- Các khái niệm, các tính chất
- Các công thức diện tích, thể tích liên quan.
2. Kỹ năng:
2.1. HS xét TN.
- Xác định được mặt cầu, tâm, bán kính trong các trường hợp đơn giản
- Tính được diện tích của mặt cầu
-Tính đúng thể tích khối cầu khi cho trước các yếu tố
2.2. HS xét ĐH.
- Xác định được tâm, bán kính khối cầu ngoại tiếp khối đa diện cho trước.
- Áp dụng công thức tính diện tích hình cầu thể tích các khối tròn xoay vào các bài toán thực tế.
3.Tư duy và thái độ:
- Biết quy lạ về quen, biết tự đánh giá bài làm của bạn và của mình.
- Rèn kỹ năng tư duy hình học không gian
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Chẩn bị phiếu học tập phát cho học sinh trước 1 tuần.
2. Học sinh: Ôn tập trước theo phiếu đã phát của giáo viên, chuẩn bị các nội dung cần hỏi và trao đổi
trong tiết ôn tập.
III. Phương pháp chủ yếu:
- Đàm thoại, gợi mở vấn đáp, kết hợp luyện tập rèn kỹ năng.
- Sử dung máy chiếu H hỗ trợ quá trình giảng dạy và chữa bài cho học sinh.
IV. Tiến trình lên lớp.
1. Ổn định tổ chức.

2. Kiểm tra đầu giờ - khởi động vào bài
- GV kiểm tra kết quả chuẩn bị và làm bài tập của học sinh
3. Nội dung ôn tập.
Hoạt động 1: Ôn tập các kiến thức cơ bản (20’)
Mục tiêu: Học sinh nhớ được sự hình thành, các khái niệm liên quan, các tính chất, các công thức
diện tích, thể tích liên quan đến mặt cầu, khối cầu.
Cách thức thực hiện: Phát vấn HS trả lời tổng hợp các kiến thức trọng tâm.
I. Công thức diện tích và thể tích mặt cầu
• Diện tích mặt cầu: SC  4 R 2 .

• Thể tích mặt cầu: VC 

4
 R3 .
3

II. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1/ Các khái niệm cơ bản
 Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và
vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
� Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
 Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó.
� Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.


 Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc
với đoạn thẳng đó.
� Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách
khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên hình chóp.
 Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
� Tâm là I , là trung điểm của AC ' .
- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
AC '
A
B
A
� Bán kính: R 
.
2

D

C

A
’

I

C
D
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội ’tiếp đường tròn.’
'

1

'
2

'
3

B
’

'
n

Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 ... An . A A A ... A , trong đó có 2 đáy
A1 A2 A3 ... An và A A A ... A nội tiếp đường tròn  O  và  O '  . Lúc đó,
'
1

'
2

'
3

'
n

mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
- Tâm: I với I là trung điểm của OO ' .

'
- Bán kính: R  IA1  IA2  ...  IAn .

I

A
1

C
’

A
O

A

A
I

2

A
’1

A
’2

c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
�  SBC
�  900 .

- Hình chóp S . ABC có SAC
S
S
+ Tâm: I là trung điểm của SC .
SC
 IA  IB  IC .
+ Bán kính: R 
2
I
S
.
ABCD
- Hình chóp
có
I
0
�  SBC
�  SDC
�  90 .
SAC
A
A
C
+ Tâm: I là trung điểm của SC .
SC
B
B
 IA  IB  IC  ID .
+ Bán kính: R 
S

2
d/ Hình chóp đều.
∆
Cho hình chóp đều S . ABC...
M
- Gọi O là tâm của đáy � SO là trục của đáy.
- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên,
I
chẳng hạn như mp  SAO  , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA A
là  cắt SA tại M và cắt SO tại I � I là tâm của mặt cầu.
- Bán kính:
SM SI

� Bán kính là:
Ta có: SMI : SOA �
SO SA

n

3

A
’n

O
’ A
’3

D
C

D

O
B
C


SM .SA SA2

 IA  IB  IC  ...
SO
2 SO
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp S . ABC ... có cạnh bên SA  đáy  ABC...  và đáy ABC... nội tiếp được trong
R  IS 

đường tròn tâm O . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC... được xác định như
sau:
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp  ABC... 
tại O .
- Trong mp  d , SA , ta dựng đường trung trực  của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I .
S
� I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính R  IA  IB  IC  IS  ...
d
- Tìm bán kính:
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
M
∆

I
Xét MAI vuông tại M có:
2

R  AI  MI  MA 
2

2

�SA �
AO  � �.
�2 �
2

f/ Hình chóp kháC.
- Dựng trục  của đáy.

B

- Dựng mặt phẳng trung trực    của một cạnh bên bất kì.
-

   �  I � I

O

A

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định
tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

O

O

O

Hình vuông: O là
giao điểm 2 đường
chéo.

Hình chữ nhật: O là
giao điểm của hai
đường chéo.

∆ đều: O là giao điểm
của 2 đường trung tuyến
(trọng tâm).

O

∆ vuông: O là trung
điểm của cạnh huyền.

O

∆ thường: O là giao điểm
của hai đường trung trực
của hai cạnh ∆.

C


III. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S . A1 A2 ... An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác
định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại
S
tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên.

I

- Tâm O của mặt cầu:  �mp( )   O

Lúc đó :

O

- Bán kính: R  SA   SO  . Tuỳ vào từng trường hợp.

D
A

C

H

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
B
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và
vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính chất: M � : MA  MB  MC
M
Suy ra: MA  MB  MC � M �
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.
A
VD: Một số trường hợp đặc biệt
C
H
A. Tam giác vuông
B. Tam giác đều
B
 giác bất kì
C. Tam


B

H

C

B

B

C
H

A

H
A

A

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
SMO đồng dạng với SIA �

S

SO SM

.
SA
SI

M
O

4. Nhận xét quan trọng:

�MA  MB  MC
M , S : �
� SM là trục
�SA  SB  SC

I

A

đường tròn ngoại tiếp ABC .
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
�SA   ABC 
Ví dụ: Cho S . ABC : �
. Theo đề bài:
�ABC  B

�
�BC  AB  gt 
�
�BC  SA  SA   ABC  

 BC  (SAB)  BC  SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
 nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi I là trung điểm SC � I là tâm MCNT khối chóp S . ABC và bán
kính R  SI .
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.

C

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC .
+ Vẽ SG   ABC  thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
+ Trên mặt phẳng  SGC  , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt SG tại I thì I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp S . ABC và bán kính R  IS .
+ Ta có SGC : SKI  g  g  �

SG SC
SC.SK SC 2

� R

SK SI
SG
2 SG

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên  SAB    ABC  và

SAB đều. Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, AC .
Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do MA  MB  MC ).
Dựng d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ABC ( d1 qua M và song song SH ).
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và d 2 là trục đường tròn ngoại
tiếp SAB , d 2 cắt d1 tại I � I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC
� Bán kính R  SI . Xét SGI � SI  GI 2  SG 2 .
Hoạt động 2: Luyện tập (55’)
Mục tiêu: Học sinh nhớ được sự hình thành, các khái niệm liên quan, các tính chất, các công thức
diện tích, thể tích liên quan đến mặt cầu, khối cầu. HS xét TN hoàn thành các bài mức độ NB-TH,
HS xét ĐH hoàn thành thêm các câu mức độ VDT

Cách thức thực hiện: HS thảo luận theo nhóm trên cơ sở đã chuẩn bị ở nhà và lên bảng trình bày.
Câu 1: [2H2-2.7-1] (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Diện tích của mặt cầu bán kính R
bằng:
4
2
A.  R
B. 2 R 2
C. 4 R 2
D.  R 2
3
Câu 2:
[2H2-2.7-1] (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu bán
kính a bằng

Câu 3:

Câu 4:

4 a 3
 a3
3
A.
.
B. 4 a .
C.
.
D. 2 a 3 .
3
3
[2H2-2.1-1] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Cho mặt cầu có diện tích

bằng 36a 2 . Thể tích khối cầu là:
A. 18a 3
B. 12a 3
C. 36a 3
D. 9a 3
[2H2-2.2-1] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019)
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước 1 , 2 , 3 là
9
9
7 14
A. 36 .
B.
.
C.
.
D.
.
2
8
3
Lời giải

Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.


Ta có R 

1
1 2
14

BD�

1  22  32 
.
2
2
2
3

Câu 5:

4 3 4 � 14 � 7 14
Vậy thể tích khối cầu là: V   R   �
.
�
�
3
3 �
3
�2 �
[2H2-2.6-1] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cắt mặt

cầu  S  bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm được thiết diện là một hình

Câu 6:

Câu 7:

tròn có diện tích 9 cm 2 . Tính thể tích khối cầu  S  .
250

2500
25
500
A.
B.
C.
D.
cm3 .
cm3 .
cm3 .
cm3 .
3
3
3
3
[2H2-2.2-1] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các lăng
trụ sau, lăng trụ nào nội tiếp được trong một mặt cầu?
A. Lăng trụ có đáy là hình chữ nhật.
B. Lăng trụ có đáy là hình vuông.
C. Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi.
D. Lăng trụ đứng có đáy là hình thang
cân.
Lời giải
Lăng trụ nội tiếp được trong một mặt cầu khi nó là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác nội
tiếp Vì hình thang cân nội tiếp được trong một đường tròn nên lăng trụ đứng có đáy là hình
thang cân nội tiếp được trong một mặt cầu.
[2H2-2.2-2] Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a, a 3, 2a là
A. 8a 2 .

B. 4 a 2 .

Bán kính của mặt cầu là: R 

C. 16 a 2 .
Lời giải



1 2
a  a 3
2



2

  2a   a 2
2



Vậy diện tích của mặt cầu là: S  4 R 2  4 a 2

Câu 8:

D. 8 a 2 .



2

 8 a 2 .

1
1a 2
a3 2
Vậy: V  SH .S ABCD 
.2a 2 
.
3
3 2
3
[2H2-2.2-2] (ĐỀ THỬ NGHIỆM BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A����
B C D có AB  a , AD  2a và AA�
 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại
C .
tiếp tứ diện ABB��

A. R  3a

B. R 

3a
4

C. R 

3a
2

D. R  2a

Lời giải

Ta có �
C có đường kính AC �
.
AB��
C �
ABC �
 90�nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB��

1 2
3a
2
2
a   2a    2a   .
2
2
[2H2-2.2-2] (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại
tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a .
Do đó bán kính là R 

Câu 9:


A. R 

3a

3

B. R  a

C. R  2 3a

D. R  3a

Lời giải.
B C D � O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD. A����
hình lập phương, R = OA





2
1
1
1
2
AC�

AC2  C�
C2 
2 2a   2a  3a
2
2
2

Câu 10: [2H2-2.2-2] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho hình chóp đều
S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAC vuông. Bán kính mặt cầu

R  OA 

ngoại tiếp tứ diện SABC bằng
a
A.
.
B. a .
2

C. a 2 .

D. 2a .

Lời giải

+) Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do S . ABCD là hình chóp đều nên ta có

SO   ABCD  .
AC
 a 2 (1).
2
AC
 a 2 (2).
+) Tam giác SAC vuông tại S , có SO là đường trung tuyến � SO 
2
Từ (1) và (2) ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC .

+) Hình vuông ABCD có cạnh 2a � AC  2 2a � OA  OB  OC 

Khi đó bán kính mặt cầu là R  a 2 .
Câu 11: [2H2-2.1-2] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01)
Nếu tăng bán kính của một hình cầu lên gấp đôi thì thể tích của khối cầu đó sẽ thay đổi thế
nào?
A. Tăng lên 2 lần.
B. Không thay đổi.
C. Tăng lên 8 lần.
D. Tăng lên 4 lần.
Lời giải
4 3
Ta có thể tích khối cầu là: V   R
3
4
4
4
3
3
 2R � V �
  R�
   2 R   8.  R 3  8V
Khi tăng bán kính lên gấp đôi thì R�
3
3
3
Vậy thể tích sẽ tăng lên 8 lần.
Câu 12: [2H2-2.2-2] (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 04) Tính diện tích
mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a .
2 2

1 2
A.  a .
B.  a .
C.  a 2 .
D. 2 a 2 .
3
3
Lời giải


Tâm O của bát diện đều SABCDS �là tâm của hình vuông ABCD cạnh a .
AC a 2 �
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp bát diện đều R  OA 

2
2
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a là:
2

�a 2 �
2.
S  4 R  4 �
�2 �
�  2 a
�
�
Câu 13: [2H2-2.2-2] (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong
không gian, cho hình chóp S . ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau và
SA  a, AB  b, BC  c. Mặt cầu đi qua S , A, B, C có bán kính bằng
2

A.

2(a  b  c)
.
3

B.

a 2  b2  c2 .

C. 2 a 2  b 2  c 2 .

D.

1 2
a  b2  c2 .
2

Lời giải

�SA  AB
� SA   ABC  � SA  AC.
Ta có: �
�SA  BC
�BC  SA
� BC   SAB  � BC  SB.
Ta có: �
�BC  AB
Gọi O là trung điểm SC , ta có tam giác SAC , SBC vuông lần lượt tại A và B nên:

SC
OA  OB  OC  OS 
. Do đó mặt cầu đi qua S , A, B, C có tâm O và bán kính
2
R

SC
.
2

Ta có: SC 2  SB 2  BC 2  SA2  AB 2  BC 2  a 2  b2  c 2 . suy ra R 

1 2
a  b2  c2 .
2


Câu 14:

[2H2-2.2-3] (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Cho hình chóp tứ giác
đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a, cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD.
25a
A. R  3a .
B. R  2a .
C. R 
.
D. R  2a .
8
Lời giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD , G là trung điểm SD , GI  SD, I �SO .
Ta có cạnh đáy bằng 3 2a nên BD  3 2a. 2  6a , OD  3a .
Xét SOD vuông tại O ta có: SO  SD 2  OD 2  4a
SO SD
1
25a
2

� 4a.R   5a  � R 
Ta có SOD : SGI , suy ra
SG SI
2
8
Câu 15:

[2H2-2.6-3] (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Cho mặt cầu  S  có bán kính bằng

4 , hình trụ  H  có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên  S  . Gọi V1 là thể
tích của khối trụ  H  và V2 là thể tích của khối cầu  S  . Tính tỉ số
A.

V1 9

V2 16

B.

V1 1


V2 3

C.

V1 3

V2 16

V1
V2

D.

V1 2

V2 3

Lời giải

2
Ta có r  42  22  2 3 . Thể tích của khối trụ  H  là V1   r h   .12.4  48 .
V1 9
4 3 4
256
3
 .
Thể tích của khối cầu  S  là V2   R   .4 
. Vậy
V2 16
3

3
3

Câu 16:

[2H2-2.2-3] (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác

BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng

 BCD  ,

AB  5a , BC  3a và

CD  4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
A. R 

5a 2
.
3

B. R 

5a 3
.
3

C. R 
Lời giải

5a 2

.
2

D. R 

5a 3
.
2


Tam giác BCD vuông tại C nên BD  5a . Tam giác ABD vuông tại B nên AD  5a 2.
Ta có: B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

AD 5a 2

.
2
2
Câu 17: [2H2-2.2-3] (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình
chữ nhật với AB  3a , BC  4a , SA  12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
5a
17 a
13a
A. R 
.
B. R 
.
C. R 
.

D. R  6a .
2
2
2
Lời giải

ABCD là trung điểm I của AD . Bán kính mặt cấu này là: R 

Ta có: AC  AB 2  BC 2  5a
Vì SA  AC nên SC  SA2  AC 2  13a
�BC  AB
� BC  SB .Tương tự: CD  SD
Nhận thấy: �
�BC  SA
Do các điểm A, B, D đều nhìn đoạn thẳng SC dưới một góc vuông nên gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng SC thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
SC 13a

Vậy R 
.
2
2
4. Củng cố. (2’)
- GV giao phiếu trắc nghiệm củng cố ( 15 câu)
5. Hướng dẫn học bài : (3’)
- Chuẩn bị tiết sau luyện đề( hoặc thi thử)
Bổ sung – Rút kinh nghiệm.
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
Duyệt của tổ chuyên môn

-----------------------------------------------------------------------