Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen Macaulay (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

NGUYỄN KHÁNH LY

MỘT SỐ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH
COHEN-MACAULAY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

NGUYỄN KHÁNH LY

MỘT SỐ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH
COHEN-MACAULAY
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Kiều Nga

THÁI NGUYÊN - 2019

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không bị trùng lặp với các đề tài khác. Mọi sự trích dẫn để hoàn
thành luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Nếu có gì sai sót tôi xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Khánh Ly

Xác nhận

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

của cán bộ hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Thị Kiều Nga

iii

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của

TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin được gửi đến cô sự kính trọng và
lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân trong suốt thời
gian làm luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán và
các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
em rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các quý thầy cô và các bạn
để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã
giúp đỡ và hỗ trợ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa luận
của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Khánh Ly

ii


Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Lời cam đoan

iii

Lời nói đầu

1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Vành catenary, catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng .

10

Chương 2 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 14
2.1 Tập giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2 Tập giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3 Quỹ tích giả Cohen- Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . .

26

2.5 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc . . . . .

31

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

iviii


Lời nói đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy
nhất m, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Ta luôn

có bất đẳng thức depth M

dim M . Nếu depth M = dim M thì môđun M
gọi là môđun Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay có vai trò rất
quan trọng trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của Toán học như: Đại số đồng điều, Hình học đại số, Lý thuyết tổ
hợp, Lý thuyết bất biến,...
Nhiều mở rộng của môđun Cohen-Macaulay được các nhà khoa học
trong và ngoài nước giới thiệu, quan tâm nghiên cứu như môđun CohenMacaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay
suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay, giả Cohen-Macaulay suy rộng,
môđun Cohen-Macaulay chính tắc, môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính
tắc,... Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M kí hiệu là nCM(M ) là tập
gồm các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là Cohen-Macaulay.
Quỹ tích không Cohen-Macaulay đã được R. Hartshorne nghiên cứu từ năm
1966. Ông chỉ ra rằng, trong trường hợp vành cơ sở R là thương của vành
Gorenstein thì nCM(M ) là tập đóng theo tôpô Zariski. Một số kết quả về
chiều của nCM(M ) được đưa ra bởi N. T. Cường trong [6].
Năm 2002, M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] đã giới thiệu khái niệm giả
giá khi nghiên cứu về chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương.
Cho i
0 là một số nguyên, giả giá thứ i của M , kí hiệu là PsuppiR (M )
được cho bởi công thức
i−dim(R/p)

PsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) | HpRp

(Mp ) = 0 .

Năm 2010, N. T. Cường, L. T. Nhàn và N. T. K. Nga [12] đã sử dụng
1

tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M là

(PsuppiR (M )

nCM(M ) =

PsuppjR (M )).

0≤i
Hơn nữa, nếu R là catenary và M đẳng chiều thì
d−1

PsuppiR (M ).

nCM(M ) =
i=0

Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M kí hiệu nGCM(M )
là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là

Cohen-Macaulay suy rộng. Để nghiên cứu quỹ tích này, L. T. Nhàn, N.
T. K. Nga và P. H. Khánh [20] đã giới thiệu khái niệm giá suy rộng. Giá
suy rộng thứ i của M , kí hiệu là LsuppiR (M ) được cho bởi công thức
LsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) |

i−dim(R/p)
)(Mp )

Rp (HpRp

=∞ .

Sử dụng giá suy rộng, họ đã mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M
là

(LsuppiR (M )

nGCM(M ) =

LsuppjR (M )).

1≤i
Đặc biệt, nếu M đẳng chiều và R là catenary thì

LsuppiR (M ).

nGCM(M ) =
1≤i
Tính đóng của các quỹ tích nCM(M ), nGCM(M ), mối quan hệ của các
quỹ tích này với tính không trộn lẫn của vành, kiểu đa thức của M ,...cũng
được các tác giả nghiên cứu. Trong những năm gần đây vấn đề quỹ tích của
các môđun liên quan đến tính Cohen-Macaulay vẫn được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu như N. T. Cường, Đ. T. Cường, L. T. Nhàn, T.
N. An, C. Rotthaus, L. M. Sega,...
Mục tiêu của luận văn này là trình bày lại các kết quả gần đây của L.
T. Nhàn, N. T. K. Nga, P. H. Khánh trong các bài báo [20], [21] về tập giả

giá, giá suy rộng và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay
như: quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng,
2


quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Ngoài phần mở đầu,
kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày trong hai
chương:
Chương 1: Trình bày các kết quả về môđun đối đồng điều địa phương, tính
catenary của vành, biểu diễn thứ cấp của môđun, môđun Cohen-Macaulay
và môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Chương 2: Là chương chính của luận văn. Trình bày và chứng minh chi
tiết lại một số kết quả về tập giả giá, giá suy rộng và một số quỹ tích
liên quan đến tính Cohen-Macaulay như: quỹ tích giả Cohen-Macaulay,
giả Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
chính tắc. Các quỹ tích trên được mô tả qua các tập giả giá, giá suy rộng
của các môđun thương [Định lý 2.3.7], [Định lý 2.4.5], [Mệnh đề 2.5.6]. Đồng
thời tính ổn định với phép tổng quát hóa, tính đóng của các quỹ tích cũng
được quan tâm nghiên cứu.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết nhằm
thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau như: môđun đối đồng điều
địa phương, tính catenary của vành, biểu diễn thứ cấp của môđun, môđun
Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Trong suốt chương
này, ta luôn kí hiệu (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan

cực đại duy nhất m, I là iđêan của R và Var(I) là tập các iđêan nguyên tố
của R chứa I.

1.1

Môđun đối đồng điều địa phương

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A.
Grothendieck vào những năm 1960 (xem [13]), sau đó được quan tâm nghiên
cứu bởi rất nhiều nhà toán học trên thế giới như R. Hartshorne, M. Brodmann, J. Rotman, C. Huneke... Lý thuyết đối đồng điều địa phương đã có
những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Ngày
nay nó trở thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình học
Giải tích, Hình học- Đại số,... Trong mục này, chúng tôi nhắc lại định nghĩa
và một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo [3].
Định nghĩa 1.1.1. Cho M là R-môđun. Môđun đối đồng điều địa phương
thứ i của M ứng với iđêan I , ký hiệu HIi (M ), được định nghĩa là môđun
dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI (−), tức là

HIi (M ) = Ri (ΓI (M )),
4


trong đó ΓI (M ) = ∪n 0 (0 :N I n ) và được gọi là môđun con I -xoắn của M .
Chú ý rằng, nếu f : R → R là một đồng cấu vành và N là R -môđun
thì N có cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi f , trong đó phép nhân vô hướng
của phần tử r ∈ R với phần tử m ∈ N là f (r)m.
Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa
phương thường được dùng trong các chứng minh về sau. Định lý sau đây
chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không phụ thuộc vào vành cơ
sở.

Định lý 1.1.2. (Xem [3], Định lý 4.2.1) (Tính độc lập với vành cơ sở). Cho

R là R- đại số và N là R -môđun. Cho I là iđêan của R. Khi đó với mỗi
i
(N ) ∼
i ≥ 0 ta có đẳng cấu HIR
= HIi (N ).
Khi R là R- đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [3], Định lý 4.3.2).
Định lý 1.1.3. (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho R là R-đại số phẳng.
i
(M ⊗R R ) với mọi i ≥ 0.
Khi đó ta có R - đẳng cấu HIi (M ) ⊗R R ∼
= HIR
Một trong các tính chất quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết
đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun
đối đồng điều địa phương (xem [3, 6.12, 6.14]).
Định lý 1.1.4. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck)
Các khẳng định sau là tương đương:
(i) Nếu M = 0 thì dim(M ) = max i | HIi (M ) = 0 .
(ii) HIi (M ) = 0 với mọi i > dim(M ).
(iii) Nếu M = 0 thì depth(I, M ) = min i | HIi (M ) = 0 .
(iv) Nếu dim M = d và M = 0 thì Hmd (M ) = 0.
Mặc dù M là môđun hữu hạn sinh nhưng nhìn chung môđun đối đồng
điều địa phương không là môđun hữu hạn sinh và cũng không là môđun
Artin. Định lý sau (xem [3], Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6) chỉ ra rằng đối
đồng điều địa phương và giá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin.
Định lý 1.1.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu
hạn sinh. Khi đó
(i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số tự nhiên i.
(ii) Nếu dim M = d thì HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R.

5


1.2

Vành catenary, catenary phổ dụng

Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về tính
catenary và catenary phổ dụng của vành sẽ được dùng trong luận văn.
Định nghĩa 1.2.1. Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của R. Mỗi dãy các
iđêan nguyên tố q = p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p sao cho pi = pi+1 , với mọi

i = 0, ..., n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hoà giữa p và
q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố q nào thoả mãn
pi ⊂ q ⊂ pi+1 và pi = q = pi+1 . Khi đó n được gọi là độ dài của dãy iđêan
nguyên tố bão hoà giữa p và q. Ta nói vành R là catenary nếu với mỗi cặp
iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan nguyên tố bão hoà
giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa q và p đều có chung
độ dài.
Nhận xét 1.2.2. Nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞. Do
đó, với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan
nguyên tố bão hoà giữa q và p. Trong trường hợp này, vành R là catenary
khi và chỉ khi mọi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa q và p đều có chung
độ dài.
Rõ ràng, nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary. Nếu R là vành catenary thì Rp
là catenary với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa, vành thương của vành catenary
là catenary. Vì thế hầu hết các vành được biết đến trong Hình học Đại số
đều là catenary.
Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary thường sử dụng trong
các chứng minh ở chương sau.

Mệnh đề 1.2.3. (Xem [22]) Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether.
Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là catenary.
(ii) dim R/q = dim R/p + ht p/q với mọi q ⊆ p, p, q ∈ Spec(R).
(iii) ht p3 /p1 = ht p3 /p2 + ht p2 /p1 với mọi p1 ⊆ p2 ⊆ p3 , p1 , p2 , p3 ∈

Spec(R).

6


Nhận xét rằng nếu R là miền nguyên địa phương catenary thì nó thỏa
mãn công thức chiều

ht p + dim R/p = dim R
với mọi iđêan nguyên tố p của R. Kết quả sau đây của Ratliff năm 1972 chỉ
ra rằng điều ngược lại cũng đúng.
Mệnh đề 1.2.4. [22, Định lý 2.2] Một miền nguyên địa phương Noether R
là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có:

ht p + dim R/p = dim R.
Chú ý rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim R với mọi
iđêan nguyên tố tối tiểu p của R. Trong trường hợp vành R là đẳng chiều,
ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.5. (xem [18]) Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều.
Khi đó R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

ht p + dim R/p = dim R.
Một trường hợp đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng
được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.2.6 (Xem [17]). Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng
nếu mỗi R- đại số hữu hạn sinh là catenary.
Giả sử S là R- đại số hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a1 , ..., at ∈ S sao
cho S = R[a1 , ..., at ]. Do đó có một toàn cấu ϕ : R[x1 , ..., xt ] → S với

ϕ(xi ) = ai , ∀i = 1, t. Vì thế S đẳng cấu với một vành thương của vành đa
thức R[x1 , ..., xt ]. Vì vành thương của vành catenary là vành catenary nên
vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa thức hữu hạn biến
trên R là catenary.
Trước khi đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng, chúng
ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộn lẫn theo thuật
ngữ của M. Nagata [19].

7


Định nghĩa 1.2.7. Vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu R đẳng
chiều tức là dim R/p = dim R với mọi p ∈ min Ass R. Vành R được gọi là
không trộn lẫn nếu dim R/p = dim R với mọi p ∈ Ass R.
Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa tính tựa không trộn lẫn với tính
catenary phổ dụng của R.
Định lý 1.2.8. [17, Định lý 31.6] Giả sử vành R là tựa không trộn lẫn. Khi
đó
(i) R là catenary phổ dụng.
(ii) Rp là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).
(iii) Nếu I là iđêan của R thì R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là
tựa không trộn lẫn.
Định lý sau cho chúng ta đặc trưng của vành catenary phổ dụng.
Định lý 1.2.9. [17, Định lý 31. 7] Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng;

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary;
(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).
Vì mọi vành có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 là catenary nên nếu dim R ≤ 1
thì dim R[x] = dim R + 1 ≤ 2, do đó R[x] là catenary. Vì vậy, R là vành
catenary phổ dụng nếu dim R ≤ 1.

1.3

Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G.
Macdonald [15] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ.
Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp.
Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun N được goị là thứ cấp nếu N = 0 và
với mỗi r ∈ R ta có rN = N hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rn N = 0. Trong
trường hợp này tập các phần tử r ∈ R sao cho phép nhân bởi r ∈ R trên

N là luỹ linh làm thành một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p và ta gọi N
là p- thứ cấp.
8


(ii) Cho N là R-môđun. Biểu diễn N = N1 + ... + Nn , trong đó mỗi Ni
là môđun con pi thứ cấp của môđun N , được gọi một biểu diễn thứ cấp của

N . Nếu N = 0 hoặc N có biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được.
Biểu diễn này gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác
nhau và mỗi Ni là không thừa với mọi i = 1, ..., n.
Chú ý rằng, nếu N1 , N2 là các môđun con p- thứ cấp của N thì N1 + N2
cũng là môđun con p- thứ cấp của N . Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của N

đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách ghép chúng thành những
thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố và bỏ đi những thành
phần thừa. Tập hợp {p1 , ..., pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp
tối tiểu của N và đươc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N , kí
hiệu là AttR N . Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR N thì pi được gọi là iđêan
nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi thành phần thứ cấp cô lập
của N .
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử N là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó các
khẳng định sau là đúng.
(i) AttR N = ∅ khi và chỉ khi N = 0.
(ii) min AttR A = min Var(AnnR A).
iii) Cho 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn
được. Khi đó

AttR N ⊆ AttR N ⊆ AttR N ∪ AttR N .
Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được.
Định lý 1.3.3. [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.

ˆ - môđun.
Cho A là R-môđun Artin. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R
Với cấu trúc này, một môđun con của A xét như R- môđun khi và chỉ khi
ˆ - môđun. Do đó A là R
ˆ - môđun Artin và
nó là môđun con của A xét như R
ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết như sau.
Bổ đề 1.3.4. [3, 8.2.4 và 8.2.5]

AttR (A) = ˆp ∩ R | ˆp ∈ AttRˆ (A) .
9

Tính chất sau đây gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu của tập
các iđêan nguyên tố gắn kết.
Định lý 1.3.5. [24, Định lý 4.8] Giả sử M = 0 và p ∈ SuppR (M ) sao cho

dim R/p = t. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với
i+t
q ⊆ p sao cho qRp ∈ AttRp (HpiRp (Mp )). Khi đó q ∈ AttR (Hm
(M )).
Từ Định lý 1.3.5 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.6. [24, Hệ quả 4.9] Giả sử M = 0 và p ∈ AssR (M ) với

dim R/p = t. Khi đó Hmt (M ) = 0 và p ∈ AttR Hmt (M ).
Đối với môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại, I.
G. Macdonald và R. Y. Sharp đã đưa ra công thức của tập các iđêan nguyên
tố gắn kết cho lớp môđun này.
Định lý 1.3.7. [16, Định lý 2.2] Giả sử M = 0 và dim M = d. Khi đó

Hmd (M ) = 0 và AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}.

1.4

Môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay
suy rộng

Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy và độ sâu của
môđun.
Định nghĩa 1.4.1. (i) Dãy các phần tử x1 , ..., xn của vành giao hoán R gọi
là dãy chính quy của R-môđun M (hay M -dãy) nếu (x1 , ..., xn )M = M và

xi không là ước của không trong M/(x1 , ..., xi−1 )M với mọi i = 1, n.
(ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M nếu nó không
là ước của không trong M , tức là (0 :M x) = 0.
(iii) Cho I là iđêan của vành R. Một dãy các phần tử x1 , ..., xi ∈ I được
gọi là dãy chính quy cực đại của M trong I nếu không tồn tại b ∈ I để
x1 , ..., xn , b là dãy chính quy của M .
Chú ý 1.4.2. Cho (R, m) là vành địa phương. Khi đó:

10


+) Nếu x1 , ..., xn ∈ m thì hiển nhiên (x1 , ..., xn )M = M (theo Bổ đề
Nakayama).
+) Mọi hoán vị của một dãy M chính quy là một dãy M chính quy.
Phần tử x ∈ m là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi x ∈ p, với mọi
p ∈ AssR M .
+) Nếu R- vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh thì
mọi dãy chính quy cực đại của M trong iđêan I đều có chung độ dài.
+) Một dãy chính quy là một phần của hệ tham số.
Định nghĩa 1.4.3. Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđean cực
đại duy nhất m, I là iđêan của R. Độ dài của một dãy M - chính quy cực
đại trong I được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I , kí hiệu là depthI M .
Nếu I = m thì depthm M được gọi là độ sâu của M và viết tắt là depth M .
Chú ý rằng ta luôn có depth M ≤ dim M . Từ đó ta có định nghĩa vành
và môđun Cohen-Macaulay như sau.
Định nghĩa 1.4.4. [17, Trang 134] M là môđun Cohen-Macaulay nếu M =

0 hoặc M = 0 và depthM = dim M . Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên
chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay.
Ví dụ 1.4.5. * Nếu K là trường thì K là môđun Cohen-Macaulay.

* Nếu K là trường thì vành đa thức K[x1 , x2 , .., xn ] là vành Cohen-Macaulay
và vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1 , x2 , .., xn ]] cũng là vành CohenMacaulay.
Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay [17, Định lý
17.3], [17, Trang 137].
Mệnh đề 1.4.6. Các khẳng định sau là đúng.
(i) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay. Khi đó dim R/p = dim M , với
mọi p ∈ AssR M .
(ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì Mp là Rp - môđun CohenMacaulay với mọi p ∈ Spec R.
(iii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M
đều là M - dãy.
11


(iv) R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành các chuỗi lũy thừa
hình thức R[[x1 , ..., xn ]] là vành Cohen-Macaulay.
Trước khi đưa ra một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay, chúng
ta nhắc lại khái niệm số bội (xem [26, Trang 24]). Một hệ các phần tử

x = (x1 , ..., xt ) của R sao cho (M/(x1 , ..., xt )M ) < ∞ được gọi là hệ bội
của M . Khi đó kí hiệu số bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩa
quy nạp theo t như sau: Với t = 0, tức là (M ) < ∞ ta đặt e(∅; M ) = (M ).
Giả sử t ≥ 1. Đặt (0 :M x1 ) = {y ∈ M | yx1 = 0}. Khi đó (x2 , ..., xt ) là hệ
bội của M/x1 M và (0 :M x1 ). Vì thế ta có định nghĩa
e(x; M ) = e(x2 , ..., xt ; M/x1 M ) − e(x2 , ..., xt ; 0 :M x1 ).
Ta luôn có 0 ≤ e(x; M ) ≤ (M/xM ) (xem [26, Bổ đề 3.3]).
Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thường sử dụng
trong luận văn (xem[17, Định lý 1.7.3, Định lý 17.5]).
Mệnh đề 1.4.7. Các điều kiện sau đây là tương đương
(i) M là môđun Cohen-Macaulay.
(ii) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = (M/xM ).

(iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = (M/xM ).
(iv) M là môđun Cohen-Macaulay.
(v) M/xM là môđun Cohen-Macaulay với mọi phần tử M - chính quy

x ∈ m.
i
(M ) = 0 với mọi i = 0, ..., d − 1.
vi) Hm
Với mỗi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = (M/xM ) − e(x, M ). Khi
đó I(x; M ) ≥ 0 với hệ tham số x. Chú ý rằng nếu M là môđun CohenMacaulay thì I(x; M ) = 0 với mọi hệ tham số x của M . Năm 1965, D.A.
Buchsbaum [5] đã đưa ra giả thuyết là: I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc
vào hệ tham số x của M . Năm 1973, W. Vogel và J. Stiickrad [16] đã đưa
ra một loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết của D. A. Buchsbaum không đúng. Vì
thế dẫn đến việc nghiên cứu một lớp môđun mở rộng của lớp môđun CohenMacaulay. Cụ thể, W. Vogel và J. Stiickrad đã giới thiệu lý thuyết môđun
Buchsbaum (xem [26]). M được gọi là môđun Buchsbaum nếu I(x; M ) là
12


hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Ngay sau đó, N. T.
Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [28] đã nghiên cứu lớp môđun có tính
chất sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo tất cả các hệ tham số

x của M và gọi lớp môđun đó là lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Như vậy, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của lớp môđun
Cohen-Macaulay và môđun Buchsbaum.
Sau đây là một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng
có thể xem trong [24, Bổ đề 1.2; Bổ đề 1.6; Bổ đề 1.7].
Mệnh đề 1.4.8. (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi

M/Hm0 (M ) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

(ii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và x là phần tử tham
số của M . Khi đó M/xM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
(iii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó Mp là môđun
Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêan nguyên tố p ∈
SuppR (M )\{m}, hơn nữa SuppR (M ) là catenary. Điều ngược lại cũng đúng
nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay.
Mệnh đề sau đưa ra một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy
rộng (xem [27]).
Mệnh đề 1.4.9. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) (Hmi (M )) < ∞ với mọi i = 0, ..., d − 1.
(iii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
(iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x1 , ..., xd ) của M sao cho

I(x, M ) = (M/(x21 , ..., x2d )M ) − e(x21 , ..., x2d ; M ).

13


Chương 2
Một số quỹ tích liên quan đến tính
Cohen-Macaulay
Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương
Noether với iđêan cực đại duy nhất m và M là R-môđun hữu hạn sinh với
dim M = d.
Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là các
môđun có vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và của nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực khác của Toán học như Đại số đồng điều, Hình
học đại số và Tổ hợp. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M kí hiệu
nCM(M ), là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của M sao cho Mp không

là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M kí
hiệu là nGCM(M ) là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho
Mp không là Cohen-Macaulay suy rộng. Sử dụng các tập giả giá định nghĩa
bởi M. Brodmann and R. Y. Sharp [4] và tập giả suy rộng định nghĩa bởi
L. T. Nhàn, N. T. K. Nga, P. H. Khánh [20], nCM(M ) và nGCM(M ) được
mô tả lần lượt qua các tập giả giá [12] và giá suy rộng [20].
Mục tiêu của chương này là trình bày lại một số kết quả trong bài báo [4],
[20] về các tập giả giá, giá suy rộng và trình bày chi tiết lại các kết quả trong
bài báo [21] về một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ
tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Các quỹ tích trên được mô tả
qua quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng.

14


2.1

Tập giả giá

Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả về tập giả giá được
định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] và tập giá suy rộng được
định nghĩa bởi L. T. Nhàn, N. T. K. Nga, P. H. Khánh [20]. Trước hết chúng
tôi nhắc lại định nghĩa tập giả giá của môđun hữu hạn sinh.
Định nghĩa 2.1.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của M , kí
hiệu là PsuppiR (M ) được cho bởi công thức
i−dim(R/p)

PsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) | HpRp

(Mp ) = 0 .

Chú ý rằng một tập con T của Spec(R) gọi là tập ổn định với phép đặc
biệt hóa nếu mọi p, q ∈ Spec(R), p ⊂ q, p ∈ T thì q ∈ T .
Sau đây là một số tính chất của tập giả giá.
Bổ đề 2.1.2. [4, Bổ đề 2.2] Giả sử R là vành catenary và i là số nguyên
không âm. Khi đó, PsuppiR (M ) là ổn định với phép đặc biệt hóa.
Chứng minh. Cho p, q ∈ Spec(R) với p ⊆ q và p ∈ PsuppiR (M ). Suy ra
i−dim(R/p)
HpRp
(Mp ) = 0. Mặt khác, ta luôn có đẳng cấu Rp ∼
= (Rq )pRq .
i−dim(R/p)

(Mp ) = 0. Do đó, theo Mệnh đề 1.3.2
Vì p ∈ PsuppiR (M ) nên HpRp
ta có
i−dim(R/p)
AttRp (HpRp
(Mp )) = ∅ .
Vì dim(Rq /p Rq ) = ht(q/p) nên suy ra
i−dim(R/p)+ht(q/p)

AttRq (HqRp

(Mq )) = ∅.

i−dim(R/p)+ht(q/p)

Do đó HqRp
(Mq ) = 0 (theo Mệnh đề 1.3.2). Vì R là vành
catenary nên theo mệnh đề 1.3.2 ta có

dim(R/p) − ht(q/p) = dim(R/q).
i−dim(R/q)

Suy ra HqRp

(Mq ) = 0. Do đó, q ∈ PsuppiR (M ).

Với mỗi tập con T của Spec(R) và mỗi só tự nhiên i ≥ 0, kí hiệu (T )i =
{p ∈ T | dim(R/p) = i}. Khi đó, ta có ngay bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.3. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Các khẳng định sau là đúng.
(i) dim(R/p) ≤ i, với mọi p ∈ PsuppiR (M ).
(ii) (PsuppiR (M ))i = (AssR M )i .
15


i−dim(R/p)

Chứng minh. i) Với mọi p ∈ PsuppiR (M ). Suy ra HpRp
(Mp ) = 0. Do
đó i ≥ dim(R/p).
ii) Ta có p ∈ PsuppiR (M ) khi và chỉ khi Hp0Rp (Mp ) = 0 và
dim(R/p) = i. Vì Hp0Rp (Mp ) = 0 nên depthpRp (Mp ) = 0 khi và chỉ khi
pRp ∈ AssRp (Mp ). Chú ý rằng AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p} .
Vì thế, p ∈ (PsuppiR (M ))i khi và chỉ khi pRp ∈ AssRp (Mp ), dim(R/p) = i.
Do đó p ∈ (PsuppiR (M ))i khi và chỉ khi p ∈ Ass(M ), dim(R/p) = i. Bổ đề
được chứng minh.

Nhắc lại rằng với mỗi iđêan I của R, Var(I) = {p ∈ Spec | p ⊃ I}. Bổ
đề sau cho ta một quan hệ giữa PsuppiR (M ) và Var(AnnR (Hmi (M ))).
Bổ đề 2.1.4. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó

PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR (Hmi (M ))).
i−dim(R/p)

Chứng minh. Lấy p ∈ PsuppiR (M ). Suy ra HpRp
Vì

i−dim(R/p)
HpRp
(Mp )

(Mp ) = 0.

là Rp - môđun Artin nên theo Mệnh đề 1.3.2 i),
i−dim(R/q)

(Mp )) với iđêan
tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp (HpRp
nguyên tố q ⊆ p. Do đó q ∈ AttR (Hmi (M )) theo Định lý 1.3.5. Vì thế
q ⊇ AnnR (Hmi (M )) (theo Mệnh đề 1.3.2(ii)). Do đó p ⊇ AnnR (Hmi (M )).
Suy ra PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hmi (M )).
Kết quả sau đây cho ta điều kiện để PsuppiR (M ) đóng với không gian
tôpô Zariski (xem [4, Mệnh đề 2.5]).
Bổ đề 2.1.5. Giả sử vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức
là Cohen-Macaulay. Khi đó PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) với mọi số
nguyên i. Đặc biệt PsuppiR (M ) là đóng.

2.2

Tập giá suy rộng

Trong tiết này, chúng tôi trình bày về giá suy rộng và một số tính chất
của nó. Các kết quả phần này được trình bày trong bài báo [20].
Định nghĩa 2.2.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giá suy rộng thứ i của
M , kí hiệu LsuppiR (M ), được cho bởi công thức

LsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) |
16

i−dim(R/p)
(Mp ))
Rp (HpRp

=∞ .


Sau đây là mối quan hệ giữa tập giả giá và tập giá suy rộng.
Bổ đề 2.2.2. Nếu R là catenary thì

PsuppiR (M ) \ min PsuppiR (M ) ⊆ LsuppiR (M ).
Đặc biệt, LsuppiR (M ) ổn định với phép đặc biệt hóa.
Chứng minh. Với mọi p ∈ PsuppiR (M ) \ min PsuppiR (M ). Suy ra
p ∈ PsuppiR (M ) và p ∈
/ min PsuppiR (M ). Do đó tồn tại q ∈ min PsuppiR (M )
i−dim(R/q)
sao cho q ⊂ p và q = p. Vì q ∈ PsuppiR (M ) nên HqRq
(Mq ) = 0. Do

R là vành catenary nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta có

dim R/q = dim R/p + ht p/q = dim R/p + dim(Rp /qRp ).
Ta luôn có (Mp )qRp ∼
= Mq và q(Rp )qRp ∼
= qRq . Do đó
i−dim(R/q)

HqRq
i−dim(R/q)

Do HqRq

i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp)
(Mp )qRp .
(Mq ) ∼
= Hq(Rp)qR
p

i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp)

(Mq ) = 0. Suy ra Hq(Rp)qR

p

i−dim(R/p)

qRp ∈ PsuppRp

(Mp )qRp = 0. Do đó

(Mp ). Theo Bổ đề 2.1.4 ta có
i−dim(R/p)

qRp ⊇ AnnRp HpRp

i−dim(R/p)

Do q = p nên dim(Rp / AnnRp HpRp

(Mp ).

(Mp )) > 0. Vì vậy, theo [10, Mệnh

i−dim(R/p)

đề 2.4] ta có Rp (HpRp
(Mp )) = ∞, tức là p ∈ LsuppiR (M ).
Lấy q ⊆ p, q = p là các iđêan ngyên tố sao cho q ∈ LsuppiR (M ). Khi
đó q ∈ PsuppiR (M ). Vì R là catenary nên theo Mệnh đề 2.1.2, PsuppiR (M )
đóng với phép đặc biệt hóa. Do đó p ∈ PsuppiR (M ) và vì thế p ∈ PsuppiR (M )\
min PsuppiR (M ). Do đó p ∈ LsuppiR (M ). Suy ra LsuppiR (M ) ổn định với
phép đặc biệt hóa.
Bổ đề sau cho ta mối quan hệ giữa các tập giả giá và tập iđêan nguyên
tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương.
Bổ đề 2.2.3. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó

LsuppiR (M ) ⊆ PsuppiR (M ) \ min AttR Hmi (M ).
Hơn nữa, nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là CohenMacaulay thì

PsuppiR (M ) \ min PsuppiR (M ) = LsuppiR (M )
= PsuppiR (M ) \ Att Hmi (M ).
17


Chứng minh. Với mọi p ∈ LsuppiR (M ). Suy ra p ∈ PsuppiR (M ).
i−dim(R/p)
Vì Rp (HpRp
(Mp )) = ∞ nên theo [10, Mệnh đề 2.4] ta có
i−dim(R/p)

dim(Rp / AnnRp HpRp

(Mp )) > 0.

i−dim(R/p)

Suy ra tồn tại qRp ∈ AttRp HpRp
(Mp ) thỏa mãn dim(Rp /qRp ) > 0 và
q ⊂ p, q = p. Do đó q ∈ AttR Hmi (M ) (theo Định lý 1.3.5) và vì thế p ∈
/
min AttR Hmi (M ). Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là CohenMacaulay nên theo Bổ đề 2.1.5 ta có PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi (M )).
Mặt khác, min Var(AnnR Hmi (M )) = min AttR Hmi (M ). Theo Mệnh đề 1.3.2(ii)
ta có

min PsuppiR (M ) = min Var(AnnR Hmi (M )) = min AttR Hmi (M ).
Do đó, theo Bổ đề 2.2.2 ta có

PsuppiR (M ) \ min PsuppiR (M ) = LsuppiR (M )
= PsuppiR (M ) \ min AttR Hmi (M ).

Vậy bổ đề được chứng minh.
Mối quan hệ giữa giá suy rộng và giá suy rộng của địa phương hóa được
cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.4. Cho R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay. Khi đó, với mọi p ∈ SuppR (M ) ta có
i−dim(R/p)

LsuppRp

(Mp ) = qRp | q ∈ LsuppiR (M ), q ⊆ p .

Chứng minh. Vì R là vành catenary nên theo [2, Bổ đề 2.1] ta có:
i−dim(R/p)

PsuppRp

(Mp ) = qRp | q ∈ PsuppiR (M ), q ⊆ p

(2.1)

Do R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
nên theo [2, Định lý 1.2 (i)] ta có
i−dim(R/p)

min AttRp (HpRp

(Mp )) = qRp | q ∈ min AttR Hmi (M ), q ⊆ p

i−dim(R/p)

(2.2)

Với mọi qRp ∈ PsuppRp
(Mp ). Vì R là vành catenary phổ dụng và
mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.2.3, ta có
i−dim(R/p)

qRp ∈ PsuppRp

i−dim(R/p)

(Mp ) \ min AttRp HpRp
18

(Mp ).


i−dim(R/p)

Vì qRp ∈ PsuppRp

(Mp ) nên theo (2.1) ta có q ∈ PsuppiR (M ). Vì

i−dim(R/p)

qRp ∈
/ min AttRp (HpRp
(M ) nên theo (2.2) ta có q ∈
/ min AttR Hmi (M ).
Do đó theo Bổ đề 2.2.3 ta có q ∈ LsuppiR (M ).

Ngược lại, lấy q ∈ LsuppiR (M ) và q ⊆ p. Khi đó theo Bổ đề 2.2.3 ta có
q ∈ PsuppiR (M ) \ min AttR Hmi (M ).
i−dim(R/p)

Suy ra qRp ∈ PsuppRp

(Mp ) theo (2.1). Do đó

i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp )

Hq(Rp )qR

p

(Mp )qRp = 0.

Do R là vành catenary nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta có

dim R/q = dim R/p + ht p/q = dim R/p + dim Rp /qRp .
Mặt khác, ta luôn có (Mp )qRp ∼
= Mq và (qRp )qRp ∼
= qRp . Suy ra
i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp )

Hq(Rp )qRp
i−dim(R/q)

Do đó HqRp

i−dim(R/q)

(Mq ).
(Mp )qRp ∼
= HqRp

(Mq ) = 0.
i−dim(R/q)

Ta có qRq ∈
/ min AttRq HqRq
i−dim(R/q)

thế HqRp

(Mq ) có độ dài vô hạn theo [3, Hệ quả 7.2.12] và do đó

i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp )

Hq(Rp )qR

p

i−dim(R/p)

LsuppRp

2.3

(Mq ) vì q ∈
/ min AttR Hmi (M ). Vì

(Mq )qRp có độ dài vô hạn. Điều này suy ra qRp ∈

(Mp ). Vậy mệnh đề được chứng minh.

Quỹ tích giả Cohen- Macaulay

Mục tiêu của mục này là trình bày về quỹ tích giả Cohen-Macaulay của
môđun hữu hạn sinh. Quỹ tích này được mô tả qua các tập giả giá. Trước
hết chúng tôi nhắc lại khái niệm môđun giả Cohen-Macaulay được giới
thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [11].
Cho x = (x1 , ..., xd ) là hệ tham số của M . Đặt

QM (x) :=

t
t
t+1
((xt+1
1 , ..., xd )M :M x1 ...xd ).
t>0

Do R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh nên M là
R-môđun Noether, do đó QM (x) cũng là R-môđun Noether. Vì vậy dãy
19


tăng các R-môđun sau là dừng

(x21 , ..., x2d )M :M x1 ...xd ⊆ (x31 , ..., x3d )M :M x21 ...x2d ⊆ ....
Suy ra, tồn tại số tự nhiên t0 đủ lớn (kí hiệu t0

0) sao cho

QM (x) = (xt10 +1 , ..., xtd0 +1 )M :M xt10 ...xtd0 .
Ta có QM (x) là môđun con của M và dễ thấy xM ⊆ QM (x).
Cho n = (n1 , ..., nd ) là bộ gồm d số nguyên dương, kí hiệu x(n) =
(xn1 1 , ..., xnd d ). Khi đó, x(n) là một hệ tham số của M . Khi đó, ta có
n (t0 +1)

QM (x(n)) = (x1 1

n (t0 +1)

, ..., xd d

) :M xn1 1 t0 ...xnd d t0 .

Đặt JM,x (n) := n1 ...nd e(x; M ) − (M/QM (x(n))). Khi đó theo [9], ta có
JM,x (n) không phải là đa thức theo n khi n
0 nhưng nó luôn có giá trị
không âm và bị chặn trên bởi các đa thức. Bậc bé nhất của tất cả các đa
thức theo n chặn trên hàm JM,x (n) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham
số x của M và bậc bé nhất này kí hiệu là pf (M )(theo [8]).
Chúng ta quy ước bậc của đa thức 0 là −∞. Khi đó ta có định nghĩa
sau.
Định nghĩa 2.3.1. [11, Định nghĩa 2.2] Môđun M được gọi là môđun giả
Cohen-Macaulay nếu pf (M ) = −∞.
Nếu dim M ≤ 1 thì M là R-môđun giả Cohen-Macaulay. Theo R.
Harshorne, nếu x là M -dãy thì xM = QM (x). Do đó nếu M là CohenMacaulay thì M là giả Cohen-Macaulay. Tuy nhiên, phát biểu ngược lại
là không đúng. Có nhiều môđun giả Cohen-Macaulay nhưng không phải là

môđun Cohen-Macaulay. Giả sử M là tựa không trộn lẫn. Nếu M là giả
Cohen-Macaulay thì Mp là giả Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR (M ).
Từ bây giờ trở đi, ta kí hiệu R và M lần lượt là m-adic đầy đủ của R và
M , UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d.
N (p) là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0
Đặt 0 =
p∈AssR M

của môđun M . Suy ra UM (0) =
sau.

N (p). Khi đó, ta có ngay kết quả
p∈AssR M

Bổ đề 2.3.2. (i) AssR UM (0) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) < d}.
(ii) AssR (M/UM (0)) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}.
20