Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ÁNH

TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ÁNH

TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng

THÁI NGUYÊN - 2019

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự
giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Thị Ánh

Xác nhận
của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận
của cán bộ hướng dẫn khoa học

i

ii


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành vào tháng 04/2018 dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Nguyễn Văn Hoàng. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
sâu sắc tới thầy, những bài học quý giá từ trang giấy và cả những bài học trong

cuộc sống thầy dạy giúp tôi tự tin hơn và trưởng thành hơn nhiều.
Tôi xin cảm ơn Phòng Đào Tạo - Đại học Sư Phạm Thái nguyên đã tạo
điều kiện để tôi hoàn thành sớm khóa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô ở Đại học Thái Nguyên
và các thầy ở Viện toán với những bài giảng đầy nhiệt thành và tâm huyết,
xin cảm ơn các thầy cô đã luôn quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập, tạo điều kiện cho tôi tham gia các buổi seminar và các lớp học ngoài
chương trình.
Tôi xin cảm ơn tất cả các anh, em và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi
nhiệt tình trong quá trình học và làm luận văn.
Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạo điều
kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

iiiii


Mục lục
Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mở đầu

1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Môđun Ext và môđun Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul . . . . . . . . . .

10

Chương 2 Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun
đối đồng điều địa phương

12

2.1 Điều kiện cho tính chất minimax của môđun . . . . . . . . . . . .

13

2.2 Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor . . . . . . . . .

18

2.3 Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax

. . . . . . . .

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận

iiiiv


Mở đầu
Năm 1986, H. Zoschinger (trong [6], [7]) đã giới thiệu một lớp môđun
minimax khá thú vị: Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại một
môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là R-môđun Artin; cũng trong
[6], ông đã đưa ra một số điều kiện tương đương với tính chất minimax. Các khái

niệm môđun a-minimax và môđun a-cominimax đưa ra bởi R. Naghipour và
các đồng nghiệp ở bài báo [1] là một sự khái quát hóa của các môđun minimax
và môđun a-cofinite. Một R-môđun M là a-minimax nếu chiều Goldie a-tương
quan của bất kỳ môđun thương của M là hữu hạn. Nhắc lại rằng một R-môđun

M được gọi là có chiều Goldie hữu hạn (Gdim M ≤ ∞) nếu M không chứa
một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không của M , hay nói cách
khác, bao nội xạ E(M ) của M phân tích được thành một tổng trực tiếp của
hữu hạn các môđun con không phân tích được. Ngoài ra, một R-môđun M
được coi là có chiều Goldie a-tương quan hữu hạn nếu chiều Goldie của môđun
con a-xoắn Γa (M ) là hữu hạn. Ta đã biết rằng nếu M là môđun a-xoắn, thì

M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax. Ngoài ra, ta nói rằng một Rmôđun M là a-cominimax nếu giá của M chứa trong V (a) và ExtiR (R/a, M )
là môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. Năm 2015, M. Sedghi-L. Abdi (trong bài
báo [10]) đã chứng minh được rằng nếu ExtiR (R/a, M ) là a-minimax với mọi

i ≥ 0 thì M/an M là a-minimax với mọi n ≥ 0. Và khá nhiều áp dụng của kết
quả này được nghiên cứu đưa ra. Một trong số đó là chứng minh được sự tương
đương giữa tính a-minimax của các R-môđun ExtiR (R/a, M ), TorR
i (R/a, M )
và H i (x1 , . . . , xt ; M ) với mọi i ≥ 0 với x1 , . . . , xt là hệ sinh của iđêan a. Sử
dụng kết quả đó, họ đã chỉ ra rằng nếu b ⊇ a sao cho M là b-minimax và
1


cd(b, M ) = 1, thì các R-môđun ExtjR (L, Hai (M )) là b-minimax với mọi i ≥ 0
và mọi j ≥ 0 (trong đó L là R-môđun hữu hạn sinh có giá nằm trong V (b)).
Do đó Hai (M )/bn Hai (M ) là b-minimax với mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ 0.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và trình bày chứng minh chi tiết
lại các kết quả trong bài báo [10] M. Sedghi and L. Abdi (2015), Minimaxness

properties of extension functors of local cohomology modules, Inter. Electronic
J. of Albegra, Vol 17, 94-104; và một phần bài báo [1] Azami J., Naghipour
R. and Vakili B. (2009), Finiteness properties of local cohomology modules for
a - minimax modules, Proc. Amer. Math. Soc. 137, 439-448. Các bài này nói
về môđun minimax đối với một iđêan cho trước. Luận văn có bố cục gồm hai
chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết về tập Ass,
tập Supp, môđun Ext, Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul.
Chương 2 dành để trình bày kết quả chính của luận văn về tính chất minimax
cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương. Cụ thể, Mục 2.1
trình bày về một số khái niệm minimax, cominimax, chiều Goldie, chiều Goldie
tương quan, sau đó trình bày một số bổ đề phụ trợ dẫn đến một kết quả chính
ở mục này về điều kiện cho tính chất minimax của môđun (xem Định lý 2.1.9).
Mục 2.2 dành để trình bày một áp dụng hiệu quả của định lý chính ở mục
trước, cụ thể ta sẽ chứng minh chi tiết Định lý 2.2.1 về sự tương đương khi
khảo sát tính chất a-minimax của các môđun ExtiR (R/a, M ), Tor(R/a, M ) và
môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , . . . , xt ; M ) với mọi i ≥ 0. Tiếp đến ta
trình bày một kết quả mở rộng nữa cho kết quả vừa nêu, cụ thể ta thu được
Định lý 2.2.2. Mục cuối cùng trình bày kết quả nghiên cứu về sự thay đổi của
tính chất a-cominimax của môđun khi ta chuyển vành cơ sở, cụ thể ta chứng
minh chi tiết về nguyên lý chuyển vành cơ sở đối với tính chất minimax (xem
Định lý 2.3.2). Sau đó ta trình bày nhiều hệ quả áp dụng của tính chất này.
2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Ở chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether có đơn vị.
Các kiến thức ở chương này được trình bày dựa vào các cuốn sách [9], [2], [12].

1.1

Môđun Noether và môđun Artin
Môđun Noether là một trong những lớp môđun cơ bản nhất của Đại số

giao hoán. Sau đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của nó.
Bổ đề 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun. Khi đó
các mệnh đề sau tương đương.
i) (Điều kiện hữu hạn sinh) Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh.
ii) (Điều kiện dãy tăng) Nếu N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ . . . ⊆ Ni ⊆ . . . là dãy các
môđun con của M , thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n;
iii) (Điều kiện tối đại) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần
tử tối đại.
Định nghĩa 1.1.2. Một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện tương
đương ở Bổ đề 1.1.1 gọi là môđun Noether. Một vành giao hoán R được gọi là
3


vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.
Mệnh đề 1.1.3. i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

0 → M → M → M ” → 0.
Khi đó M là R-môđun Noether nếu và chỉ nếu M và M ” là các R-môđun
Noether.
ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R là một R-môđun Noether.
iii) Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R thì

S −1 M là một S −1 R-môđun Noether.
Tiếp theo ta xét khái niệm môđun Artin đó là một khái niệm đối ngẫu
của môđun Noether.

Bổ đề 1.1.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
i) (Điều kiện dãy giảm) Nếu N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ . . . ⊇ Ni ⊇ . . . là dãy các
môđun con của M , thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n;
ii) (Điều kiện cực tiểu) Mọi tập con khác rỗng các môđun con của M luôn có
phần tử cực tiểu.
Định nghĩa 1.1.5. Một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện tương
đương ở Bổ đề 1.1.4 gọi là môđun Artin. Một vành giao hoán R được gọi là
vành Artin nếu nó là R-môđun Artin.
Ta xét một số tính chất của môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.6. i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

0 → M → M → M ” → 0.
Khi đó M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu M và M ” là các R-môđun Artin.
4


ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R là một R-môđun Artin.
iii) Mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là một iđêan cực đại.

1.2

Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R-môđun và p ∈ Spec R. Khi đó p được gọi
là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 = x ∈ M sao cho

(0 :R x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là
Ass M hoặc AssR M .
Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V (a) là tập được xác định bởi

V (a) = {p ∈ Spec R | a ⊆ p}.
Sau đây là một vài tính chất của tập Ass.
Mệnh đề 1.2.2. Cho M là R-môđun, N là môđun con của M , p ∈ Spec R,
và a là một iđêan của R. Khi đó ta có
i) Ass(0 :M a) = Ass M ∩ V (a).
ii) Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass M/N .
iii) p ∈ Ass M nếu và chỉ nếu R/ p đẳng cấu với môđun con nào đó của M .
Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một R-môđun. Tập giá của M , kí hiệu là

SuppR M hoặc Supp M , được xác định bởi
SuppR M = {p ∈ Spec R | Mp = 0}.
Mệnh đề 1.2.4. i) Cho dãy khớp môđun 0 → M → M → M ” → 0. Khi đó

Supp M = Supp M ∪ Supp M ”.
5


ii) Ass M ⊆ Supp M ⊆ V (Ann M ). Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành
Noether thì Supp M = V (Ann M ) và Ass M là tập hữu hạn.

1.3

Môđun Ext và môđun Tor

Định nghĩa 1.3.1. i) Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi toàn
cấu f : M → N và mỗi đồng cấu g : P → N , luôn tồn tại đồng cấu h : P → M
sao cho g = f ◦ h.
ii) Cho M là một R-môđun. Một giải xạ ảnh của R-môđun M là một dãy khớp
f2

f1

f0

ϕ

... −
→ P2 −
→ P1 −
→ P0 →
− M →0
trong đó Pi là các R-môđun xạ ảnh với mọi i ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2. i) Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn
cấu f : N → M và đồng cấu g : N → E , luôn tồn tại đồng cấu h : M → E
sao cho g = h ◦ f .
ii) Một giải nội xạ của R-môđun M là một dãy khớp
ϕ

f0

f1

f2

0→M →
− E0 −
→ E1 −
→ E2 −
→ ...
trong đó Ei là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.

Định nghĩa 1.3.3. i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một

R-môđun không tầm thường M nếu M ⊆ E và với mỗi môđun con khác không
N của E ta luôn có N ∩ M = 0.
ii) Một R-môđun E được gọi là bao nội xạ của M nếu E là R-môđun nội xạ
và là một mở rộng cốt yếu của M .
iii) Một R-môđun M = 0 gọi là không phân tích được nếu nó không là tổng
trực tiếp của hai môđun con thực sự của nó.
6


Lưu ý rằng một R-môđun nội xạ E luôn biểu diễn được thành tổng trực
tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được (xem [9, Định lý 18.5]).
Định nghĩa 1.3.4. Cho N là R-môđun. Xét hàm tử phản biến, khớp trái

Hom(−, N ). Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
f2

f1

f0

ϕ

... −
→ P2 −
→ P1 −
→ P0 →
− M → 0.
Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có đối phức

f∗

f∗

f∗

0
1
2
0 → Hom(P0 , N ) −
→
Hom(P1 , N ) −
→
Hom(P2 , N ) −
→
...

∗
Khi đó ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1
được gọi là môđun mở rộng thứ i của

M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M .
Ta xét một số tính chất của môđun Ext.
Mệnh đề 1.3.5. Cho M, N là các R-môđun. Khi đó
i) Ext0R (M, N ) ∼
= Hom(M, N ).
ii) Nếu M , N là hữu hạn sinh thì ExtiR (M, N ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
iv) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N ” → 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài

0 → Hom(N , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N , M ) → Ext1R (N , M ) →

→ Ext1R (N, M ) → Ext1R (N , M ) → Ext2R (N , M ) → . . .
trong đó ExtnR (N , M ) → Extn+1
R (N ”, M ) là đồng cấu nối với mọi n ≥ 0.
v) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N ” → 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài

0 → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ”) → Ext1R (M, N ”) →
→ Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ”) → Ext2R (M, N ) → . . .
7


trong đó ExtnR (M, N ”) → Extn+1
R (M, N ) là đồng cấu nối với mọi n ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.6. Cho N là R-môđun. Xét hàm tử phản biến, khớp phải

− ⊗R N . Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
f2

f1

f0

ϕ

... −
→ P2 −
→ P1 −
→ P0 →
− M → 0.
Tác động hàm tử − ⊗R N vào dãy khớp trên ta có phức
f2∗

f1∗

f0∗

... −
→ P2 ⊗ R N −
→ P1 ⊗R N −
→ P0 ⊗R N → 0.
∗
∗
Khi đó TorR
i (M, N ) = Ker fi−1 / Im fi được gọi là môđun xoắn thứ i của M

và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M .
Mệnh đề 1.3.7. Cho M là một R-môđun. Khi đó
i) ToriR (M, N ) = M ⊗R N .
ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N → 0 các R-môđun. Khi đó ta có
dãy khớp dài
R
R
R
. . . → TorR
i (M, N ) → Tori (M, N ) → Tori (M, N ) → Tori−1 (M, N )

R
→ TorR
i−1 (M, N ) → Tori−1 (M, N ) → . . .

R

R
→ TorR
1 (M, N ) → Tor1 (M, N ) → Tor1 (M, N )

→ M ⊗R N → M ⊗R N → M ⊗R N → 0.

1.4

Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.4.1. Cho a là iđêan của R, và M là một R-môđun. Khi
đó môđun con a-xoắn của M , kí hiệu Γa (M ), được xác định bởi Γa (M ) =
8


n≥1 (0 :M

an ). Cho h : M → N là đồng cấu các R-môđun, khi đó ta có đồng

cấu cảm sinh Γa (h) : Γa (M ) → Γa (N ), m → h(m). Khi đó Γa (−) là một hàm
tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù
các R-môđun. Hàm tử Γa (−) gọi là hàm tử a-xoắn.
Sau đây là một số tính chất của Γa (M ).
Mệnh đề 1.4.2. i) Γ0 (M ) = M và ΓR (M ) = 0.
ii) Nếu a ⊆ b thì Γb (M ) ⊆ Γa (M ).
iii) Γa+b (M ) = Γa (M ) ∩ Γb (M ).
iv) AssR (Γa (M )) = AssR (M ) ∩ V (a) với M là R-môđun Noether.
v) Nếu R là Noether thì AssR (M/Γa (M )) = AssR (M ) \ V (a).
Định nghĩa 1.4.3. Cho M là R-môđun, khi đó tồn tại giải nội xạ của M có
dạng

d0

φ

d1

d2

di−1

di

0→M →
− E0 −
→ E1 −
→ E2 −
→ . . . −−→ E i −
→ ....
Tác động hàm tử Γa (−) vào dãy khớp trên ta được phức sau
d0

d1

di−1

d2

di

di+1

∗
∗
∗
∗
∗
∗
→ ....
→
Γa (E i+1 ) −−
→ Γa (E i ) −
→
. . . −−
→
Γa (E 2 ) −
0 → Γa (E 0 ) −
→
Γa (E 1 ) −

Khi đó Hai (M ) = Ker di∗ / Im di−1
được gọi là môđun đối đồng điều địa phương
∗
thứ i của M đối với iđêan a.
Mệnh đề 1.4.4. Cho a là iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó
i) Ha0 (M ) ∼
= Γa (M ).
ii) Nếu 0 → M → M → M ” → 0 là dãy khớp ngắn khi đó với mọi n ≥ 0
luôn tồn tại đồng cấu nối Hai (M ”) → Hai+1 (M ) sao cho dãy sau là khớp

0 → Γa (M ) → Γa (M ) → Γa (M ”) → Ha1 (M ) → Ha1 (M )

→ Ha1 (M ”) → Ha2 (M ) → . . .
9


1.5

Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức căn bản về phức Koszul (theo [2,

5.2] và [12, Mục 1.6]). Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a
là iđêan của R và M là R−môđun.
Chú ý 1.5.1. Cho dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Lấy Rn là R−môđun
tự do có cơ sở {e1 , . . . , en }. Phức Koszul của R ứng với dãy x, kí hiệu là

K• (x1 , . . . , xn ; R) (hoặc K• (x; R)) được xác định như sau:
dn−1

d

d

d

n
2
1
0 → Kn (x; R) −→
Kn−1 (x; R) −−→ . . . −
→
K1 (x; R) −

→
K0 (x; R) → 0,

trong đó







K0 (x; R) = R






Kr (x; R) = 0 với mọi r < 0 hoặc r > n,
và mỗi khi 1 ≤ r ≤ n ta có Kr (x; R) =
là

n
r

Rei1 i2 ...ir là R-môđun tự do có hạng

với cơ sở là {ei1 i2 ...ir | 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ir ≤ n}. Với mỗi 1 ≤ r ≤ n

và 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ir ≤ n, ta có vi phân dr xác định bởi

r

(−1)h−1 xh ei1 ...ih ...ir .

dr (ei1 i2 ...ir ) =
h=1

(ii) Với một R−môđun M ta kí hiệu H i (x1 , . . . , xn ; M ) hoặc H i (x; M ) (với

i = 0, . . . , n) là môđun đối đồng điều của đối phức
Hom(K• (x; R), M ) : · · · → Hom(Ki−1 (x; R),M ) → Hom(Ki (x; R), M )
→ Hom(Ki+1 (x; R), M ) → . . . .
Ta gọi H i (x; M ) là môđun đối đồng điều Koszul thứ i của M đối với dãy x.
10


(iii) Với một R−môđun M ta kí hiệu Hi (x1 , . . . , xn ; M ) hoặc Hi (x; M ) (với

i = 0, . . . , n) là môđun đồng điều của phức
K• (x; R) ⊗R M : . . . → Ki+1 (x; R) ⊗R M → Ki (x; R) ⊗R M
→ Ki−1 (x; R) ⊗R M → . . . .
Ta gọi Hi (x; M ) là môđun đồng điều Koszul thứ i của M ứng với dãy x.
(iv) ([12, Mệnh đề 1.6.10]) Ta luôn có đẳng cấu

H i (x; M ) ∼
= Hn−i (x; M )
với mọi i = 0, . . . , n.
Chú ý 1.5.2. (i) Cho phức các đồng cấu môđun
di+1

d

di−1

i
C : . . . → Ci+1 −−→ Ci −
→
Ci−1 −−→ . . .

Với mỗi i ta kí hiệu Zi = Ker(di ) và Bi = Im(di+1 ) và gọi chúng lần lượt là
môđun bờ thứ i và môđun xích thứ i của phức C . Môđun Hi = Zi /Bi gọi là
môđun đồng điều thứ i của phức C .
(ii) Cho đối phức các đồng cấu môđun
di−1

di

di+1

T : . . . → T i−1 −−→ T i −
→ T i+1 −−→ . . .
Với mỗi i ta kí hiệu Z i = Ker(di ) và B i = Im(di−1 ) và gọi chúng lần lượt
là môđun đối bờ thứ i và môđun đối xích thứ i của đối phức T . Môđun

H i = Z i /B i gọi là môđun đối đồng điều thứ i của phức T .

11


Chương 2

Tính chất minimax cho môđun mở
rộng của môđun đối đồng điều địa
phương
Trong suốt chương này, R sẽ luôn giả thiết là vành giao hoán Noether
có đơn vị khác không, và a là một iđêan của R.
Chương này nhằm trình bày lại một cách chi tiết lại những kết quả nghiên
cứu về môđun minimax đối với một iđêan a của một vành giao hoán Noether

R; đó là các kết quả chủ yếu được tham khảo từ hai bài báo [10] M. Sedghi
and L. Abdi (2015), “Minimaxness properties of extension functors of local
cohomology modules”, Inter. Electronic J. of Albegra, Vol 17, 94-104; và bài
báo [1] Azami J., Naghipour R. and Vakili B. (2009), "Finiteness properties of
local cohomology modules for a - minimax modules", Proc. Amer. Math. Soc.
137, 439-448.

12


2.1

Điều kiện cho tính chất minimax của môđun
Mục đích của phần này là để chứng minh nếu a là một iđêan của vành

giao hoán Noether R và M là một môđun a-cominimax trên R, thì R-môđun

M/aM là a-minimax với mọi n ∈ N (xem Định lý 2.1.9). Ngoài ra một số ứng
dụng của kết quả này cũng được đưa ra xem xét.
Trước hết ta nhắc lại các khái niệm chiều Goldie.
Định nghĩa 2.1.1. (Xem [1]) Cho M là một R-môđun. Chiều Goldie của M ,

kí hiệu Gdim M , được định nghĩa là lực lượng của tập các môđun con không
phân tích được của bao nội xạ E(M ) xuất hiện trong một phân tích của E(M )
thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được.
Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với
p, kí hiệu là µ0 (p, M ), được xác định bởi µ0 (p, M ) = dimk(p) (HomRp (k(p), Mp )).
Ta biết rằng µ0 (p, M ) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ AssR M . Ta cũng dễ thấy

Gdim M =

p∈AssR M

µ0 (p, M ).

Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều Goldie a-tương đối của M .
Định nghĩa 2.1.2. (tham khảo trong [1], [3]) Cho a là iđêan của R và M là
một R-môđun. Chiều Goldie a-tương quan của M , kí hiệu Gdima M , được xác
định bởi công thức

µ0 (p, M ).

Gdima M =
p∈V (a)

H. Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau.
Định nghĩa 2.1.3. (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimax
nếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđun
Artin.
13

Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu và
chỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong
[6], [7]). Từ đó dẫn đến khái niệm môđun minimax đối với một iđêan a như
sau.
Định nghĩa 2.1.4. (xem [1]) Cho a là một iđêan của R. Một R-môđun M
được gọi là a-minimax (hoặc minimax đối với iđêan a) nếu chiều Goldie a-tương
quan của mọi môđun thương của M là hữu hạn, tức là Gdima (M/N ) < ∞
với mọi môđun con N của M .
Chú ý 2.1.5. Cho a là iđêan của R và M là R-môđun.
(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax.
(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem
[3, Bổ đề 2.6]).
(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax.
(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là bminimax. Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax.
Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau
Bổ đề 2.1.6. ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R. Cho 0 → M → M →

M → 0 là dãy khớp của các R-môđun. Khi đó M là a-minimax nếu và chỉ
nếu M , M là a-minimax.
Chứng minh. Ta có thể giả thiết rằng M là môđun con của M và M = M/M .
Nếu M là a-minimax thì từ định nghĩa ta thấy rằng cả M và M/M là aminimax. Bây giờ giả sử M và M/M là a-minimax. Lấy N là môđun con của

14


M và p ∈ Ass(M/N ) ∩ V (a). Khi đó dãy khớp
0→

M +N
M

M
→
→
→0
N
N
M +N

cảm sinh dãy khớp

0 → (HomR (R/p,

M
M
M
))p → (HomR (R/p, )p → (HomR (R/p,
)p .
M ∩N
N
M +N

Vì AssR (M/N ) ⊆ AssR M N+N ∪ AssR MM+N và các tập AssR M N+N ∩ V (a) và

AssR MM+N ∩ V (a) là hữu hạn, nên ta suy ra rằng Gdima (M/N ) < ∞; và do
đó M là a-minimax.
Các bổ đề sau là những tính chất về điều kiện cho tính chất minimax.
Bổ đề 2.1.7. Cho M là một R-môđun sao cho HomR (R/a, M ) là một Rmôđun a-minimax. Khi đó HomR (R/an , M ) là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Ta sử dụng quy nạp theo n. Khi n = 0 hoặc n = 1, đó là hiển
nhiên theo giả thiết. Cho n > 1 và giả sử rằng kết quả đã được chứng minh
cho n − 1. Xét dãy khớp sau

f

0 → (0 :M a) → (0 :M an ) →
− a1 (0 :M an ) ⊕ . . . ⊕ at (0 :M an ),
trong đó a = (a1 , . . . , at ) và f (x) = (a1 x, . . . , at x). Vì ai (0 :M an ) là môđun
con của (0 :M an ), nên từ Bổ đề 2.1.6 ta suy ra rằng ai (0 :M an ) là aminimax với mọi i = 1, . . . , t. Bây giờ ta lại áp dụng Bổ 2.1.6 lần nữa ta
suy ra HomR (R/an , M ) là a-minimax.
Bổ đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun sao cho M/aM là a-minimax. Khi đó

M/an M là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Ta dùng quy nạp theo n. Trường hợp n = 0 hoặc n = 1 là đúng
theo giả thiết. Cho n > 1 và giả sử kết quả đã được chứng minh cho n − 1.
15


Theo [1, Hệ quả 2.4] và giả thiết quy nạp, ta có (M/an−1 M )k là a-minimax,
với mọi số nguyên k ≥ 0. Xét dãy khớp
f

g

(M/an−1 M )t →
− M/an M →
− M/aM → 0,
trong đó a = (a1 , . . . , at ) và

f (m1 + an−1 M, . . . , mt + an−1 M ) = a1 m1 + . . . + at mt + an M.
Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra M/an M là R-môđun
a-minimax.
Tiếp theo ta trình bày kết quả chính ở mục này.

Định lý 2.1.9. Cho M là một R-môđun sao cho ExtiR (R/a, M ) là một Rmôđun a-minimax với mọi i ≥ 0. Khi đó M/an M là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.8, ta chỉ cần chỉ ra rằng M/aM là a-minimax.
Cho a = (x1 , . . . , xn ). Khi đó, ta biết rằng

M/aM

H n (x1 , . . . , xn ; M ),

trong đó H n (x1 , . . . , xn ; M ) là kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n.
Ta xét đối phức Koszul K • (x, M ) = HomR (K• (x), M ) như sau:

0 → HomR (K0 (x), M ) → HomR (K1 (x), M ) → . . . → HomR (Kn (x), M ) → 0
trong đó

K• (x) : 0 → Kn (x) → . . . → K2 (x) → K1 (x) → K0 (x) → 0
là phức Koszul của R ứng với dãy x = x1 , . . . , xn . Khi đó H i (x1 , . . . , xn ; M ) =

Z i /B i trong đó B i và Z i lần lượt là kí hiệu cho các môđun đối bờ và đối xích
của phức K • (x, M ). Đặt

C = {N | ExtiR (R/a, N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
16


Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết. Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng B j ∈ C
với mọi j ≥ 0. Ta có

B 0 = Im(0 → HomR (K0 (x), M )) = 0 ∈ C.
Bây giờ, cho B t ∈ C với t ≥ 0 nào đó. Đặt C i = HomR (Ki (x), M )/B i . Vì Kt (x)
là một R-môđun tự do hữu hạn sinh và M ∈ C , nên ta suy ra được từ Bổ đề

2.1.6 rằng HomR (Kt (x), M ) ∈ C . Bây giờ, vì B t ∈ C và HomR (Kt (x), M ) ∈ C ,
nên ta có C t ∈ C theo Bổ đề 2.1.6. Do đó ExtiR (R/a, C t ) là a-minimax với mọi

i ≥ 0; đặc biệt với i = 0 ta suy ra (0 :C t a) ∼
= HomR (R/a, C t ) là a-minimax.
Theo tính chất của phức Koszul ta có aH t (x1 , . . . , xn ; M ) = 0, và vì thế

H t (x1 , . . . , xn ; M ) ⊆ (0 :C t a).
Do đó H t (x1 , . . . , xn ; M ) là a-minimax. Kết quả là, từ dãy khớp ngắn

0 → H t (x1 , . . . , xn ; M ) → C t → B t+1 → 0
và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra rằng B t+1 ∈ C . Do đó ta đã chứng minh được rằng

B j ∈ C với mọi j ≥ 0.
Bây giờ vì B n ∈ C và HomR (Kn (x), M ) ∈ C , nên được C n ∈ C
theo Bổ đề 2.1.6. Do đó (0 :C n a) ∼
= HomR (R/a, C n ) = Ext0R (R/a, C n ) là
a−minimax. Vì vậy H n (x1 , . . . , xn ; M ) là a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý

H n (x1 , . . . , xn ; M ) ⊆ (0 :C n a)). Mặt khác, vì M/aM = H n (x1 , . . . , xn ; M ),
nên ta suy ra rằng M/aM là R-môđun a-minimax.
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun cominimax đối với một iđêan
được định nghĩa bởi R. Naghipour và đồng nghiệp trong bài báo [1], đó là một
sự tổng quát hóa của môđun minimax và môđun cofinite.
Định nghĩa 2.1.10. Cho a là một iđêan của vành giao hoán Noether R,
17


và cho M là một R-môđun. Ta nói rằng M là R-môđun a-cominimax nếu

SuppR M ⊆ V (a) và ExtiR (R/a, M ) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chú ý 2.1.11. Nếu dim R = 0, thì mỗi R-môđun a-cominimax M là aminimax. Thật vậy, vì Supp M ⊆ V (a) và R là Artin, nên ta suy ra rằng

M = (0 :M an ), và do đó M là a-minimax theo Bổ đề 2.1.7.
Trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.12. Cho M là một R-môđun a-cominimax. Khi đó M/an M là
a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Khẳng định được suy ra từ định nghĩa và Định lý 2.1.9.
Hệ quả 2.1.13. Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun sao cho

Hai (M ) là a-cominimax với mọi i. Khi đó M/an M là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Vì Hai (M ) là a-cominimax với mọi i, nên theo [1, Mệnh đề 3.7]
ta có R-môđun ExtiR (R/a, M ) là a-minimax với mọii. Do đó kết quả của hệ
quả này được suy ra từ áp dụng Định lý 2.1.9.

2.2

Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
Như một áp dụng hiệu quả của Định lý 2.1.9 ở mục trước, ở mục này ta

sẽ chứng minh một kết quả về sự tương đương của tính chất a-minimax của các
i
R-môđun ExtiR (R/a, M ), TorR
i (R/a, M ) và H (x1 , . . . , xt ; M ), với mọi i ≥ 0;

cụ thể là định lý sau.
Định lý 2.2.1. Cho a = (x1 , . . . , xt ) là một iđêan của R, và cho M là một

R-môđun. Khi đó những khẳng định sau là tương đương:
i) ExtiR (R/a, M ) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.

18


ii) TorR
i (R/a, M ) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , . . . , xt ; M ) là R-môđun a-minimax
với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. (i)⇒(ii) Cho
d

d

d

3
2
1
F• : . . . −
→
F2 −
→
F1 −
→
F0 → R/a → 0

là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a. Ta xét
phức sau đây:
d∗

d∗

d∗

d∗

3
2
1
0
F• ⊗R M : . . . −
→
F2 ⊗R M −
→
F1 ⊗R M −
→
F0 ⊗R M −
→
0.

∗
∼
Khi đó TorR
i (R/a) = Zi /Bi trong đó Zi = Ker(di ) là môđun xích, Bi =

Im(d∗i+1 ) là môđun bờ của phức F• ⊗R M . Đặt
C = {N | ExtiR (R/a, N ) là a − minimax với mọi i ≥ 0}.
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0. Vì

M ∈ C (theo giả thiết) và F0 là R-môđun tự do hữu hạn sinh, nên ta có
Z0 = F0 ⊗R M ∈ C . Bây giờ giả sử Zt ∈ C với t ≥ 0 nào đó. Xét dãy khớp sau

0 → Ci+1 → Zi → TorR
i (R/a) → 0,

(2.1)

trong đó Ci = (Fi ⊗R M )/Zi . Do đó ta nhận được dãy khớp

Zi /aZi → TorR
i (R/a, M ) → 0.
Do đó TorR
t (R/a, M ) là ảnh đồng cấu của Zt /aZt . Vì Zt ∈ C , nên từ Định lý
2.1.9 ta suy ra Zt /aZt là a-minimax, và do đó TorR
t (R/a, M ) là a-minimax.
Do đó từ (2.1) ta suy ra rằng Ct+1 ∈ C , vì vậy Ct+1 ∈ C . Theo quy nạp ta đã
chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0. Từ đó áp dụng Định lý 2.1.9
ta suy ra rằng Zi /aZi là a-minimax với mọi i ≥ 0, và do đó TorR
i (R/a, M ) là
a-minimax với mọi i ≥ 0.
19


(ii)⇒(iii). Vì

H i (x1 , . . . , xt ; M )

Hn−i (x1 , . . . , xt ; M ),

nên để chứng minh kết quả của (iii), ta chỉ cần chỉ ra rằng Hi (x1 , . . . , xt ; M )
là a-minimax với mọi i ≥ 0. Đặt x = x1 , . . . , xn . Xét dãy phức Koszul
d

dn−1

dn−1

d

d

n
1
0
K• (x) : 0 → Kn (x) −→
Kn−1 (x) −−→ . . . −−→ K1 (x) −
→
K0 (x) −
→
0.

Khi đó Hi (x1 , . . . , xt ; M ) = Zi /Bi , với Bi và Zi lần lượt là các môđun bờ và
xích của phức K• (x) ⊗R M . Đặt

C = {N | ToriR (R/a, N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
Xét dãy khớp sau

0 → Ci+1 → Zi → Hi (x1 , . . . , xt ; M ) → 0,
với Ci = (Ki (x) ⊗R M )/Zi . Do đó ta nhận được dãy khớp

Zi /aZi → Hi (x1 , . . . , xt ; M ) → 0.
Bây giờ lập luận tương tự chứng minh của (i)⇒(ii), ta suy ra Zi ∈ C với mọi

i ≥ 0. Do đó Zi /aZi = TorR
0 (R/a, Zi ) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế
Hi (x1 , . . . , xt ; M ) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
(iii)⇒(i). Cho
F• : . . . → F2 → F1 → F0 → R/a → 0
là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a. Khi đó
ta suy ra ExtiR (R/a, M ) = Z i /B i , với B i và Z i lần lượt là các môđun đối bờ
và đối xích của phức HomR (F• , M ). Đặt

C = {N | H i (x1 , . . . , xt ; N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
Xét dãy khớp ngắn

0 → ExtiR (R/a, M ) → C i → B i+1 → 0,
20