mot vai kinh nghiem toan lop 8 THẢO THCS hung cuong2019 2020

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ HƯNG YÊN

Trường THCS Hùng Cường

MỘT VÀI KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TOÁN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Họ và tên: Trần Thị Thảo
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trường THCS Hùng Cường

Năm học 2019 - 2020


LỜI NÓI ĐẦU
Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là
một dạng toán hay và khó trong chương trình môn
Toán lớp 8. Trong thực tế khi giải loại toán này không
những học sinh đại trà mà nhiều em học sinh khá,
giỏi cũng còn nhiều lúng túng và vấp phải những sai
sót. Đã có nhiều bài viết với mục đích giúp học sinh
làm tốt loại toán này, mở rộng bài toán đề xuất các
bài toán tương tự, từ đó phát triển tư duy lô gic, tư
duy sáng tạo và tính chính xác trong giải toán. Tuy
nhiên các bài viết này thường đề cập đến chủ yếu là
các học sinh khá giỏi. Ở đây tôi chỉ dám đề cập đến
một vài phương pháp nhỏ trong việc dậy các em học
sinh lớp 8 diện đại trà, tiếp thu các kỹ năng cơ bản
trong giải toán về phân tích đa thức thành nhân tử
Nhân đây tôi xin chân thành cám ơn ban lãnh
đạo và các thày cô trường THCS Hùng cường đã tạo
điều kiện , và có nhiều đóng góp ý kiến quý báu giúp

tôi thực hiện đề tài. Đặc biệt tôi cũng xin chân thành
cám ơn cô Bùi Thị Dịu giáo viên chủ nhiệm lớp 8a và
dạy môn toán 8a, 8b các em học sinh lớp 8a, 8b năm
học 2018-2019 đã tích cực hợp tác giúp tôi thực
nghiệm đề tài.
Vì trình độ bản thân có hạn nên bản đề tài này
chắc còn nhiều thiếu sót, mong quý thày cô và các
bạn góp ý giúp tôi hoàn thiện đề tài này ngày một tốt
hơn.
Xin chân thành cảm ơn !!!
Ngày 15 tháng 02 năm
2020
Người viết


* MỤC LỤC

Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………1
I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI........................................................................ 1
II./ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU...............................................................3
III./GIỚI HẠN ĐỀ TÀI............................................................................ 3
B./NỘI DUNG……………………………….……………………………6
I./KIẾN THỨC CƠ BẢN...........................................................................6
II./CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI..................................................6
III/ KHẢO SÁT SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI..................................27
C./KẾT LUẬN …………………………………………………................29


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

A . MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Tôi là một giáo viên mới giảng dạy được 13 năm nên còn nhiều hạn chế về
chuyên môn, nghiệp vụ vì vậyviệc học hỏi trau dồi kinh nghiệm là điều rất cần
thiết. Trong giai đoạn chưa ổn định về mặt phương pháp như hiện nay, bản thân tôi
luôn phải thể nghiệm các phương pháp, nhóm phương pháp để đúc rút kinh nghiệm
cho mình từ đó nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân.
Học sinh trường THCS Hùng Cường ít có điều kiện và khả năng tự học. Các em
còn yếu và còn thiếu về kiến thức cơ bản cũng như về kỹ năng nhìn nhận tìm
hướng đi cho một bài toán.
Sáng kiến "Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân
tử" được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được
ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở
các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các
phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
là vấn đề rất quan trọng. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán
lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp Một vài kinh
nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu. Góp
phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong
SGK đã trình bày các phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích
đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các
hạng tử, dùng hằng đẳng thức ... Trong sáng kiến này tôi giới thiệu thêm các
phương pháp như: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành
nhân tử bằng phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương
pháp đặt ẩn phụ,phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... Đồng thời vận dụng các
phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
để làm một số dạng bài tập.
4

Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Khi nghiên cứu sáng kiến này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa
dạng, có nhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc
các phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành
nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó.
2. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nội dung rất hay
và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc tư duy linh hoạt cho học sinh. Đây là
những kiến thức cơ bản làm nền móng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp trên.
Việc giải quyết tốt bài toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình sau này.
Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới phương pháp giảng dạy đối với bộ môn toán
8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức hướng dẫn để các
em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của người thầy.
Mặt khác, kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ sung kiến thức, tìm
tòi các phương pháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là điều cần thiết, nó
tạo cho các em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” và hình thành thói quen tự
học.
Hơn thế nữa, toán 8 là một mắt xích quan trọng trong trục chương trình, không
những nó giúp các em học toán tốt hơn ở những năm học sau này, mà còn giúp các
em học tốt hơn cả những môn học tự nhiên khác.
Khi giải quyết được vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyết được nhiều
mặt khác như :
+ Củng cố kiến thức
+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp, ...
+ Phát triển tư duy

+ Tạo ra một lưng vốn kiến thức cho những năm học sau này.
Từ những tâm huyết và trăn trở nêu trên, tôi đã xây dựng một đề tài mang tên
"Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử" và chia
thành 7 dạng sau
5
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

DẠNG 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “tách một số hạng tử thành nhiều hạng tử”
DẠNG 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “thêm và bớt cùng một số hạng”
DẠNG 3: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “đổi biến số’’ CƠ SỞ.
DẠNG 4: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “hệ số bất định”
DẠNG 5: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “xét giá trị riêng”
DẠNG 6: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “tìm nghiệm của đa thức”
DẠNG 7: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
II./MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Để giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải có
sự tư duy và khả năng phán đoán cao. Mặt các đây là kiến được áp dụng để giải
các bài toán có liên quan như tìm x, rút gọn biểu thức,…
- Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của mình vào
việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và rèn kỹ năng Một vài kinh

nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng theo phương châm
“lấy kết quả đạt được trong thực tế làm thước đo cho chất lượng giảng dạy”.
III./GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
Giải toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
chỉ được đề cập ở THCS phần đại số 8. Vả lại đây là một ôn học khó đòi hỏi cao sự
tư duy của người dạy và người học.
Mặt khác do thời gian nghiên cứu ngắn nên đề tài chỉ đề cập tới vấn đề rèn kỹ
năng Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thông
qua các tiết luyện tập và ôn tập bằng các bài tập cụ thể.
1.Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài
6
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Thời gian
Năm học 2018 – 2019.
Phạm vi thực hiện
Lớp 8A, 8B Trường THCS Hùng Cường
2. Khảo sát trước khi thực hiện đề tài
Các em chỉ hiểu và làm được các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến
đổi thuần tuý, chưa có khả năng phán đoán, định hướng đúng cho việc giải bài
toán.
Về mặt phương pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu, các phương pháp đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử. Việc vận dụng các
phương pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và không hệ thống.
Trước khi thực hiện đề tài này tôi cho các em làm bài kiểm tra khảo sát chất lượng
như sau :
Lần 1: (15phút)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = 8x3 + 1
B = x + y + xy + y2
* Kết quả như sau
* Kết quả lớp chưa áp dụng sáng kiến.
Lớp/Sĩ số.
8B (33)

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

0

0%

7

21,2%

13

39,4%

11

33,3%

2

6,1%

* Kết quả lớp chưa áp dụng sáng kiến.
Lớp/Sĩ số.

8A (30)

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

4

13,3%

8

26,7%

13

43,3%

5

16,7%

0

0%

Lần 2: (15phút)
7
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

A = (x+2)2 - 6(x+2) + 9
B = x3 - 2x2 - x+2
* Kết quả như sau
* Kết quả lớp chưa áp dụng sáng kiến.
Lớp/Sĩ số.
8B (33)

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

0

%

7

21,2%

15

45,5%

10

30,3%

1

3%

* Kết quả lớp chưa áp dụng sáng kiến.
Lớp/Sĩ số.
8A (30)

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

4

13,3%

8

26,7%

14

46,7%

4

13,3%

0

0%

Qua hai bài kiểm tra tôi thấy chất lượng có đi lên nhưng rất chậm, chưa đáp ứng
được yêu cầu ngày càng cao về chất lượng của các môn học thay sách. Từ thực
trạng trên tôi đưa ra giải pháp sau.


8
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường

Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

B. NỘI DUNG
I /.KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết sẽ giúp các em giải
quyết bài toán một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Kiến thức cơ bản là xương sống
để từ đó phát triển mở rộng các phương pháp giải bài tập.
Từ những quan điểm trên tôi trang bị cho học sinh những kiến thức sau đây.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ
Các phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân
tử (SKG toán 8 - tập 1)
- Phương pháp đặt nhân tử chung
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Nghiệm của đa thức
Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
Đồng nhất hệ số
Nếu anxn + an-1xn-1 + ...+ a1 = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1
an = bn
a = b
 n−1
n −1
thì 
...........
a1 = b1
Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2

.... mà A(x1,x2,....,xn)=0 thì A(x1,x2,....,xn)

( x1 − a1 ), ( x2 − a2 ),.....
Vậy A(x1,x2,....,xn) = K(x1-a1)(x2-a2).....
Tam thức bậc hai
Tam thức ax2+bx+c phân tích được thành nhân tử khi b 2-4ac ≥ 0 (thừa nhận dấu
hiệu này)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁCH GIẢI

9
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

DẠNG 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “tách một số hạng tử thành nhiều hạng tử”
* CƠ SỞ :
Nếu f(a) = 0 thì f(x) = (x-a)g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức
Quy tắc: tách một số hạng tử thành một số hạng tử khác làm xuất hiện nhân tử
chung hoặc hằng đẳng thức từ đó bài toán được giải quyết.
1. Các bài toán
Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
A = x2 - 4x+3
Phân tích tìm lời giải:
Ta phải tách một trong ba hạng tử thành các hạng tử mới để gộp với hai hạng tử
còn lại trở thành các nhóm, mỗi nhóm xuất hiện nhân tử chung giống nhau, nhờ thế
bài toán được giải quyết.
Lời giải
Cách 1: (Tách hạng tử giữa)
A = x2 - x - 3x +3
= x(x-1)-3(x-1)

=(x-1)(x-3)
Cách 2: (Tách hạng tử cuối)
A =x2-4x-1+4
=x2-1-4x+4
=(x-1)(x+1)-4(x-1)
=(x-1)(x+1-4)
=(x-1)(x-3)
Cách 3: (Tách hạng tử cuối)
A =x2-4x+4-1
=(x-2)2-1
=(x-2+1)(x-2-1)
=(x-1)(x-3)
Cách 4: (Tách hạng tử cuối)
10
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

A = x2-4x-9+12
= x2-9-4x+12
= (x-3)(x+3)-4(x-3)
= (x-3)(x+3-4)
=(x-3)(x-1)
Cách 5: (Tách hạng tử giữa và hạng tử cuối)
A = x2-2x-2x+3
= x2-2x+1-2x+2
= (x-1)2-2(x-1)
= (x-1)(x-1-2)
= (x-1)(x-3)

Bài toán trên không phức tạp các em có thể dễ dàng tiếp thu. Tôi muốn đưa ra bài
toán này để giúp các em có học lực yếu cũng có thể nhận thức được. Việc giải bài
toán theo nhiều cách giúp các em biết xem xét bài toán ở nhiều góc cạnh từ đó các
em có cái nhìn phong phú hơn.
Bài toán 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
B = 4x2 - 4x-3
Lời giải
Cách 1 :(Tách hạng tử thứ hai)
B = 4x2+2x-6x-3
= 2x(2x+1)-3(2x+1)
= (2x+1)(2x-3)
Cách 2 :(Tách hạng tử thứ ba)
B= 4x2-4x+1-4
= (2x-1)2-4
= (2x-1-2)(2x-1+2)
= (2x+1)(2x-3)
Nhận xét :
Việc tách hạng tử với mục đích tạo ra các hệ số tỷ lệ từ đó xuất hiện các thừa số
chung, nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.
11
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

2. Bài tập tự luyện
Bài 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
x2-6x+8
9x2+6x-8
Bài 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

-c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b-c)
Gợi ý: tách a-c=(a-b)+(b-c)
(x-y)-x3(1-y)+y3(1-x)
Gợi ý: tách 1-y=(x-y)+(1-x)
DẠNG 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “thêm và bớt cùng một số hạng”
*CƠ SỞ : thêm và bớt cùng một hạng tử vào đa thức làm xuất hiện nhân tử hoặc
hằng đẳng thức từ đó cho ra kết quả.
1.Các bài toán
Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
4x4+81
Phân tích tìm lời giải:
Ở bài toán này chúng ta chưa thể sử dụng được bất kỳ hằng đẳng thức nào, mặt
khác cũng chưa có nhân tử chung vì thế cần thêm bớt như thế nào đó để có hằng
đẳng thức . Đến đây, tôi đặt câu hỏi cho học sinh : “Nếu sử dụng hằng đẳng thức a
2

+2ab+b2 thì thiếu bộ phận nào”.

Lời giải:
4x4+81 = 4x4+36x2+81-36x2
= (2x2+9)2-(6x)2
= (2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
= (2x2-6x+9)(2x2+6x+9).
Việc giải bài toán là một phép thêm bớt đơn giản và dễ dàng cho kết quả nhưng
chưa được hướng dẫn thì quả là một vấn đề khó đối với các em. Qua bài toán này
các em sẽ có những kiến thức và kinh nghiệm mới cho việc giải bài toán Một vài
kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử .
12
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường

Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
x6-1
Phân tích tìm lời giải :
Ta thấy x6-1 có thể phân tích thành (x3)2 - 1 hoặc (x2)3-1 để sử dụng ngay hằng đẳng
thức mặt khác ta cũng có thể thêm bớt để xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc để
nhóm.
Lời giải :
Cách 1: (Nối từ x6 đến 1)
x6-1 =x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1
=x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1)
=(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)]
=(x-1)(x+1)(x4+x2+1)
=(x-1)(x+1)[x4+2x2+1-x2]
= (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2]
= (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 2:
x6-1 =x6+x3-x3-1
=x3(x3+1)-(x3+1)
=(x3+1)(x3-1)
=(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1)
Cách 3:
x6-1 =x6+x4+x2-x4-x2-1
=x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1)
=(x4+x2+1)(x2-1)

=( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1)
13
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

= (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1)
Cách 4:
x6-1 =(x3)2-1
=(x3-1)(x3+1)
= (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1)
Cách 5:
x6-1 =(x2)3-1
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 6:
x6-1 =x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2
=(x2-1)3+3x2(x2-1)
=(x2-1)[(x2-1)2+3x2]
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 7:
x6-1 =x6-x2+x2-1
=[(x3)2-x2]+(x2-1)
=(x3-x)(x3+x)+(x2-1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 8:
x6-1 =x6-x2+x2-1

=x2(x4-1)+(x2-1)
=x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1)
=(x2-1)[x2(x2+1)+1]
= (x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 9:
x6-1 =x6-x4+x4-1
14
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

=x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Ví dụ 3:

x2 + 6x + 8

Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng hằng
đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số hạng thành hai
số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện
nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có nhiều khả năng biến
đổi đa thức đã cho thành tích.
Cách 1: x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8
= x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 2: x2 + 6x + 9 - 1 = (x+3)2 - 1
= (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4)
Cách 3: x2 - 4 + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + 6 (x+2)

= (x+2) (x+4)
Cách 4:

x2 + 6x + 8 = x2 - 16 + 6x + 24
= (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) = (x + 4) (x - 4 + 6) = (x+2) (x+4).

Ví dụ 4:

x3 - 7x - 6

Ta có thể tách như sau:
Cách 1:

x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6
= x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
= x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
= (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)

Cách 2:

x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6
= x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
15

Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường

Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2)
= (x + 2) (x2 - 2x - 3)
= (x + 2) (x2 - 3x + x - 3)
= (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3:

x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21
= (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2)
= (x - 3) (x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)

Cách 4:

x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7
= (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x + 1 - 7)
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)

Cách 5:

x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14
= (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x2- 2x - 3)
= (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
= (x + 2) (x + 1) (x - 3)

Cách 6:

x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6
= x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2)
= (x - 3) (x + 1) (x + 2).

Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết quả
cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính chất
tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích không triệt
để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có một kết quả
khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6).
16
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:
- Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập hợp Q
khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ ’ )là một số chính phương (trong đó
∆ = b2-4ac

( ∆ ’ = b’2 - ac)

- Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được khi : ∆
(hoặc ∆ ’ )là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của

A 2 +2AB +B2

hoặc A2 - 2AB +B2
Ví dụ 5:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) . Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1

nhân tử là b + c hoặc c - a hoặc a + b.
Ta có các cách phân tích như sau:
Cách 1:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2.
= bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b)
= bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b)
= (b + c) (bc + ac - ab - a2)
= (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)]
= (b + c) (b + a) (c -a)

Cách 2:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2
= ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2)
= ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a)
= (c - a) (ac + b2 + bc + ab)

= (c - a) (a +b) (c+ b)

Cách 3:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b)
= c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b)
17

Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

= c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)
= (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)]
= (a + b) (b + c) (c - a)
Cách 4:

Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
= c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b)
= (b + c) (a + b) (c - a)

Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b)
Ta có:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b)
= bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b).

= c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b).

Cách 6:

Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a)
= b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
= (c - a) (c + c) (b + a).

Ví dụ 6:

a5 + a + 1.

Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số mũ trung
gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
Cách 1:

a5 + a + 1
= a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1
= a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1)

Cách 2:

a5 + a + 1

= a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
Các cách làm trên có những cách rất đơn giản nhưng cũng có những cách phức tạp

song tôi muốn dẫn dắt các em theo nhiều hướng khác nhau với mục đích để các em
18
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

sẽ có cái nhìn phong phú hơn, khi đứng trước một bài toán các em có kỹ năng nhận
biết cách nào đơn giản nhất, từ đó có định hướng đúng cho việc giả bài tập.
Mặt khác, việc đưa ra nhiều cách làm là tạo cho các em có một “lưng vốn kiến
thức” để khi gặp một bài toán có thể “làm cách này không được thì làm cách
khác”.
2. Bài tập tự luyện
Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử :
x5+x4+1
x8+x+1
4x4+1
x8+98x2+1
DẠNG 3: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “đổi biến số’’ CƠ SỞ.
Khi gặp một bài toán có một số biểu thức lặp đi lặp lại trong các hạng tử nhưng luỹ
thừa khác nhau để đơn giản hoá bài toán ta có thể đặt biểu thức đó thành một biến
mới rồi giải quyết bình thường. Sau khi giải bài toán với biến mới, ta phải thay về
biến ban đầu.
1.Các bài toán
Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
(x2+x)2+4(x2+x)-12
(x2+x+1)(x2+x+2)-12
Phân tích tìm lời giải:
Dễ dàng nhận thấy, x2+x lặp đi lặp lại

x2+x+2 = (x2+x+1)+1
Lời giải
Đặt x2+x=y
(x2+x)2+4(x2+x)-12

=y2+4y+12

=y2-2y+6y-12
=y(y-2)+6(y-2)
19
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

=(y-2)(y+6)
Thay y = x2+x
= (x2+x-2)(x2+x+6)
=(x-1)(x+2)(x2+x+6)
Đặt x2+x+1=t
(x2+x+1)(x2+x+2)-12 = t(t+1)-12
=t2+t-12
=t2-9+t-3
=(t-3)(t+3)+(t-3)
=(t-3)(t+4)
Thay t=x2+x+1
= (x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)
c)

(x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12

Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân đa thức
với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 với
năm số hạng này thường rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đề bài:
Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó nếu ta
đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x 2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai sẽ đơn
giản hơn nhiều.
Đặt y = x2 + x + 1.
Ta có:

(x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12
= y2 + y - 12
= y2 + 4y - 3x - 12
= (y +4 ) (y - 3)
= (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3)
= (x2 + x + 5) (x2 + x - 2)
= (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2)
= (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1)
= (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
20

Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x + 1 với x +7 và x
+ 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau.

(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
= (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15
= (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15.
Đặt x2 + 8x + 7 = y ta được:
y (y + 8) + 15
= y2 + 8 y + 15
= y2 + 3 y + 5 y + 15
= (y + 3) (y + 5)
=(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5)
= (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12)
= (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10)
= (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10)
Bài toán 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
A=x4+6x3+7x2-6x+1
Lời giải :
6 1
1
1
2
2
A = x2(x2+6x+7- + 2 ) = x [( x + 2 ) + 6( x − ) + 7]
x x
x
x
Đặt x −

1
=y ⇒
x

y2 = x2 − 2 +

1
x2

⇒

y2 + 2 = x2 +

(*)
1
x2

Thay vào (*), ta có:
x2(y2+2+6y+7)

=x2(y2+6y+9)
=x2(y+3)2
=(xy+3x)2

Thay y = x −

1
x
1
= [ x ( x − ) + 3 x ]2
x
2
= ( x + 3 x − 1) 2
21

Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Cách 2:
x4+6x3+7x2-6x+1 =x4+6x3-2x2+9x2-6x+1
=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2
=(x2+3x-1)2
Nếu làm phép so sánh giữa cách 2 và cách 1 thì rõ ràng cách 2 đơn giản hơn rất
nhiều. Vậy phải chăng cách tôi đã làm phức tạp hoá vấn đề một cách không cần
thiết ?
Tôi muốn đưa ra bài toán trên cho học sinh không phải chỉ để làm phong phú cách
làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho các em kiến thức để sau này khi giải
phương trình bậc 4 dạng đối xứng các em có thể giải quyết nhanh gọn.
2. Bài tập tự luyện
Bài 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
x(x+1)(x+2)(x+3)+1
Gợi ý:
x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3)(x+1)(x+2)
=(x2+3x)(x2+3x+2)
Bài 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
(x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
Gợi ý:
Đặt x2+y2+z2=a
xy+yz+zx=b

DẠNG 4: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “hệ số bất định”

*CƠ SỞ
Nếu anxn + an-1xn-1 + ...+ a1 = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1
thì

22
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

an = bn
a = b
 n−1
n −1

...........
a1 = b1
1. Các bài toán
Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
x4-6x3+12x2-14x+3

(1)

Phân tích tìm lời giải:
Ta thấy, 3 có các ước ± 1, ± 3 nhưng không là nghiệm của 1, vậy việc tìm ra
nghiệm rất khó khăn và cũng có thể không có nghiệm, vì thế việc định hướng để
phân tích ra nhân tử bậc 1 rất khó khăn. Nếu (1) phân tích được thì sẽ có dạng
(x2+ax+b)(x2+cx+d)
Lời giải
Giả sử (1) phân tích được thành nhân tử, ta có

x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)
a + c = −6
ac + b + d = 12

⇒
ad + bc = −14
bd = 3
Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4.
Vậy ta có dạng đã phân tích của (1) là
(x2-2x+3)(x2-4x+1)
Đây là bài toán khó, dạng toán phức tạp chỉ có một số ít các em làm được. Mục
đích tôi đưa ra bài toán này là giúp học sinh khá giỏi giải quyết các bài toán tương
tự, từ đó mở ra một định hướng mới cho việc Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán
phân tích đa thức thành nhân tử. bài toán có ý nghĩa như một chìa khoá cho việc
giải các bài toán khó phân tích. Mặt khác việc làm tốt phương pháp này, tạo thuận
lợi cho các em học tốt hơn ở các lớp học tiếp theo.

23
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Vì đây là dạng toán khó, nên đại bộ phận học sinh trong lớp không làm được, nếu
tiếp tục đưa vào các bài tập dạng này sẽ gây tâm lý hoang mang, choáng váng cho
học sinh có lực học trung bình và yếu. Vì thế tôi nhanh chóng chuyển sang dạng
toán khác.
2. Bài tập tự luyện
Dùng phương pháp hệ số bất định, Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích
đa thức thành nhân tử

4x4+4x3+5x2+2x+1
3x2+22xy+11x+37y+7y2+10
DẠNG 5: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “xét giá trị riêng”
CƠ SỞ:
Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2

.... mà A(x1,x2,....,xn)=0 thì A(x1,x2,....,xn)

( x1 − a1 ), ( x2 − a2 ),.....
Vậy A(x1,x2,....,xn) = K(x1-a1)(x2-a2).....
1. Các bài toán
Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)

(1)

Lời giải
a = b

Nếu thay b = c vào (1) thì P = 0 -> a-b, b-c, c-a là những nhân tử của P. Mặt khác
c = a
P có bậc 3. Vậy P = K(a-b)(b-c)(c-a)

(2)

với K là hằng số
Nếu thay a = 1, b = 2, c = 0 và biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= K(a-b)(b-c)(ca), ta có K = 1.
Ví dụ :

a5 + a + 1.

Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số mũ trung
gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
24
Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường


Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

Cách 1:

a5 + a + 1
= a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1
= a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1)

Cách 2:

a5 + a + 1

= a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
Đây là dạng toán phức tạp nhưng tôi cố gắng chọn ra bài toán thật đơn giản vì đặc
thù học sinh ở trường tôi, các em nhận thức chậm, nếu đưa bài toán phức tạp thì
vừa mất thời gian lại không hiệu quả.
2. Bài tập tự luyện
Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
DẠNG 6: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp “tìm nghiệm của đa thức”
*CƠ SỞ:
Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm a', b' thì phân tích được thành a(x-a')(x-b').
1. Các bài toán
Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
x3+3x2-4
Phân tích tìm lời giải:
Dễ nhẩm thấy x=1 là nghiệm của đa thức -> đa thức chứa nhân tử x-1, vậy ta phải
biến đổi đa thức làm xuất hiện nhân tử x-1.
Lời giải
x3+3x2-4

=x3-1+3x2-3
25

Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường