THỂ TÍCH HÌNH ĐA DIỆN

Trần Thị Thanh Thư
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH
I. Tính trực tiếp
1. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp SABC.
2. Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của BC.
a. CMR: SA ⊥ BC
b. Tính thể tích khối chóp SABI theo a.
3. Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC = 120
0
. Tính thể tích khối chóp SABC
theo a.
4. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác vuông cân tại C. SC = a. SA vuông
góc với mặt phẳng ABC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tích
khối chóp SABC lớn nhất.
5. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB
= AD = 2a, CD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 60
0
. Gọi I là
trung điểm AD biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD.
6. Cho tứ diện SABC biết các mặt bên (SAB), (SAC), (SBC) từng đôi một
vuông góc và lần lượt có thể tích là 24cm
2
, 40cm
2
, 30cm
2
. Tính thể tích khối chóp.

7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có khoảng cách giữa AB và
A
1
D là 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5.
a. Hạ AK ⊥ A
1
D (K ∈ A
1
D). CMR: AK = 2
b. Tính thể tích lăng trụ
8. Đáy của khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
là tam giác đều. Mặt
A
1
BC tạo với đáy một góc 30
0
và tam giác A

1
BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích
lăng trụ.
9. Tính thể tích khối chóp tam giác đều trong các trường hợp sau:
a. Cạnh bên bằng a√2, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45
0
.
b. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 60
0
.
10. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều trong các trường hợp sau:
a. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 45
0
b. Cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
11. Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. BC = a, SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
0
.
Tính thể tích hình chóp.
1
Trần Thị Thanh Thư
12. Khối chóp SABC có hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau.
SB = SC = 1,ASB = BSC = CSA = 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
13. Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC) bằng 2a. Tính góc giữa mặt bên và đáy để thể tích hình chóp nhỏ nhất.
14. Hình chóp tứ giác đều SABCD có đường cao SO = h và ASB = 2α. Tính

thể tích hình chóp.
15. Cho hình chóp tam giác SABC có SA = x, các cạnh còn lại bằng 1. Tính
thể tích hình chóp.
16. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB,
SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.
17. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5, BAC =
120
0
. M là trung điểm CC’.
a. CM: MB ⊥ MA’
b. Tính khoảng cách từ A đến (A’BM)
18. Cho lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a√3. Hình chiếu vuông góc của A
1
trên (ABC) là
trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp A’ABC và cos(AA′,B′C′)
19. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD
= a√2, SA = a. SA vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trùng điểm của
AD và SC. I là giao điểm của BM và AC.
a. CM: (SAC) ⊥ (SBM)
b. Tính thể tích khối chóp ANIB.
20. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1

B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a, góc
tạo bới cạnh bên và mặt phẳng đáy là 60
0
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng (A
1
B
1
C
1
) là trung điểm H của B
1
C
1
.
a. Tính khoảng cách giữa hai đáy
b. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC
1
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB
1
A
1
) và đáy
d. Tính thể tích lăng trụ.
21. Cho lăng trụ đứng ABC.A
1

B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AC = b,ACB = 60
0
. Đường chéo BC
1
của mặt bên BB
1
C
1
C tạo với mặt phẳng
(AA
1
C
1
C) một góc 30
0
. Tính AC và thể tích lăng trụ.
22. Cho lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
vá đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A
1

lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. ChoBAA
1
= 45
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
23. Cho lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và
đáy bằng 60
0
và A
1
cách đều A, B, C. Tính thể tích và diện tích xung quanh cảu
lăng trụ.
2
Trần Thị Thanh Thư
24. Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy là hình thoi cạnh a và BAD = 60

0
.
Hình chiếu vuông góc của B
1
lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm hai
đường chéo của đáy. Cho BB
1
= a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
25. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. BA = BC
= 2a hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. I,
J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia đối BA sao cho
ECM = α (0<α<90
0
). H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích hình
chóp EHIJ theo a và α. Xác định α để hình chóp có thể tích lớn nhất.
26. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông. AB =
BC = a, AA’ = a√2. Gọi M là trung điểm BC. Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách
giữa AM và B’C.
II. Tính gián tiếp bằng cách phân chia
1. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Các nửa đường thẳng Bm, Dn vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bm lấy
M, trên Dn lấy N. Đặt BM = x, DN = y.
a. Tính thể tích khối chóp ACMN theo a, x, y.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y để hai mặt phẳng (CAM) và (ANC)
vuông góc.
2. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác AOB cân có OA = OB = 2a. AOB =
120
0

. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O và ở về hai phía của O lấy hai
điểm C, D sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính diện tích
toàn phần và thể tích khối chóp ABCD.
3. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O. SA vuông góc
với đáy và SA = a√2. Cho AB = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,
SD. CM: SA ⊥ (AHK). Tính thể tích hình chóp OAHK.
4. Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và C thuộc
nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy
S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60
0
. Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu của A trên SB, SC. CM: tam giác AHK vuông. Tính thể tích khối chóp
SABC.
5. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có hình chóp A
1
ABC là hình chóp tam
giác đều cạnh đáy AB = a, AA
1
= b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A
1
BC). Tính tanα và thể tích hình chóp A
1
BB

1
C
1
C.
III. Tính gián tiếp bằng cách dùng tỉ số
1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông
góc với đáy và SA = a√2. α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, α cắt SB,
3
Trần Thị Thanh Thư
SC, SD lần lượt tại H, I, K. CM: AH ⊥ SB, AK ⊥ SD. Tính thể tích khối chóp
AHIKBCD.
2. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. B’, D’ lần lượt là
trung điểm SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a. CM: SC = 3SC’
b. Gọi V là thể tích khối chóp SABCD. Tính thể tích khối chóp
SAB’C’D’ theo V.
3. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB. SC. Tính thể
tích khối chóp ABCNM.
4. Trên các cạnh SA và SB của tứ diện SABC lấy các điểm N, M sao cho
MA = 2SM, SN = 2NB. α là mặt phẳng qua M, N và song song với SC. α chia
khối chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
5. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a√3, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. M, N lần lượt là trung điểm AB, BC.
Tính thể tích khối chóp SBMDN và cos (SM,DN).
6. Cho khối chóp SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một
và SA = SB = SC = a. Giáo viênọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của AD và mặt phẳng (SMN). CM:
AD ⊥ SI. Tính thể tích hình chóp MSBI.
7. Cho khối chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB =

BC = a AD = 2a. SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Giáo viênọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a. Tính khoảng cách AD’ và B’C’
b. Tính thể tích hình chóp AB’C’D’.

4