Chuyên đề hình học KGTĐ

Chun û đề 3: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. ĐƯỜNG THẲNG- ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
 . ĐƯỜNG THẲNG
1. Véc tơ pháp tuyến – Véc tơ chỉ phương : Cho các vectơ
→
u
và
→
n
khác vectơ
→
0
.
+)
→
u
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi
→
u
nằm trên 1 đường thẳng
song song hoặc trùng với ∆. Mọi vectơ chỉ phương của ∆ đều có dạng k.
→
u
( k ≠
0).
+)
→
n
là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi
→

n
nằm trên 1 đường thẳng
vuông góc với ∆. Mọi vectơ pháp tuyến của ∆ đều có dạng k.
→
n
( k ≠ 0).
Một đường thẳng ∆ hoàn toàn xác đònh khi biết M
0
∈∆ và 1 vectơ chỉ phương
→
u

hoặc 1 vectơ pháp tuyến
→
n
của ∆.
2. Phương trình đường thẳng
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
+) Đònh lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng:
Ax+By+C = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
+) Chú ý: ∆ có vectơ pháp tuyến
→
n
= (A;B) và có vectơ chỉ phương
→
u

= (B; -A)
hoặc
→
u
= (- B; A)
+) Hệ quả: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
; y
0
) và có vectơ pháp
tuyến
→
n
= (A;B) là:
A(x-x
0
) + B(y-y
0
) = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
b) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng:
+) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng
∆ đi qua M
0
(x

0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương
→
u
=(a; b) là





+=
+=
btyy
atxx
0
0
với a
2
+b
2
≠ 0,
t∈R
+) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường
thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
; y

0
) và có vectơ chỉ phương
→
u
=(a; b) là:
b
yy
a
xx
00
−
=
−

(a

≠ 0 và b ≠ 0)
c) Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng (
∆
) đi qua 2 điểm A(a;0) và B(0;b)
(a

≠ 0 và b ≠ 0) có phương trình là:
1
x y
a b
+ =
d) Phương trình theo theo hệ số góc: Đường thẳng (
∆
) đi qua M

0
(x
0
; y
0
) và có hệ số
góc k, phương trình là: y = k( x – x
0
) +y
0
3. Vò trí tương đối của hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0 (1) và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0 (2) (
2
1

2
1
BA
+
≠0 và
2
2
2
2
BA
+
≠ 0).
+) A
1
B
2
−A
2
B
1
≠0 ⇔ ∆
1
và ∆
2
cắt nhau.
+) A
1
B
2
−A

2
B
1
=0 và B
1
C
2
−B
2
C
1
≠0 ⇔ ∆
1
//ø ∆
2
.
+) A
1
B
2
−A
2
B
1
=B
1
C
2
−B
2

C
1
=C
1
A
2
−C
2
A
1
= 0 ⇔ ∆
1
≡ ∆
2
.
Hay: +)
( )
1
∆
cắt
( )
1
∆

1 1
2 2
A

A
B

B
⇔ ≠
( với
2 2
0A B ≠
)
+)
( )
1
∆
//
( )
1
∆

1 1 1
2 2 2
A

A
B C
B C
⇔ = ≠
( với
2 2 2
0A B C ≠
)
+)
( )
1

∆

≡

( )
1
∆

1 1 1
2 2 2
A

A
B C
B C
⇔ = =
( với
2 2 2
0A B C ≠
)
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng cắt nhau: ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆

2
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0. Nếu gọi ϕ
(0
0
≤ ϕ ≤ 90
0
) là góc giữa ∆
1
và ∆
2
thì:

2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BA.BA
BBAA
cos

++
+
=ϕ
Hệ quả: ∆
1
⊥ ∆
2
⇔ A
1
A
2
+ B
1
B
2
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
+) Công thức: Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến ∆:Ax+By+C=0 là:

22
00
BA
CByAx
),M(d
+
++
=∆

(A
2
+B
2
≠0)
+) Hệ quả: Nếu ∆
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
= 0 cắt nhau tại I (A
1
B
2
≠A
2
B
1
) thì phương trình các phân giác tạo bởi (∆

1
) và (∆
2
) là:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
6. Vò trí tương đối của hai điểm đối với 1 đường thẳng:
Cho đường thẳng (d): ax + by + c = 0 và 2 điểm M(x
M
; y
M
), N(x
N

: y
N
) không thuộc
(d). Khi đó:
+) Nếu (ax
M
+ by
M
+ c)(ax
N
+ by
N
+ c)< 0 thì M và N nằm khác phía đối với (d)
+) Nếu (ax
M
+ by
M
+ c)(ax
N
+ by
N
+ c)> 0 thì M và N nằm cùng phía đối với (d)
ĐƯỜNG TRÒN :
1.Phương trình của đường tròn:
a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
(x−a)
2
+(y−b)
2
=R

2
* Đặc biệt: Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :
x
2
+y
2
= R
2
b) Phương trình x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0 với A
2
+B
2
−C>0 là phương trình của
một đường tròn (C) có tâm I(−A;−B) và bán kính R=
CBA
22
−+
.
c) Phương trình Ax
2
+Ay
2
+2Bx+2Cy+D = 0 với A
≠
0, B
2

+C
2
−AD > 0 là phương
trình của một đường tròn (C) có tâm I(−
B
A
;−
C
A
) và bán kính R=
2 2
1
B C AD
A
+ −
.
2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Cho (C) : F(x,y) = x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một điểm M(x
0
; y
0
)
đối với (C) là:
P M/(C)= F(x
0
,y

0
) =
C2By2Axyx
00
2
0
2
0
++++
3. Tiếp tuyến của 1 đường tròn :
+) Tiếp tuyến với đường tròn tại 1 điểm
+) Tiếp tuyến với đường tròn, biết tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước
+) Tiếp tuyến với đường tròn, biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho
trước
+) Tiếp tuyến với đường tròn, biết tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho
trước
II. BÀI TOÁN ÁP DỤNG:
1. § êng th¼ng vµ c¸c bµi to¸n liªn quan
1.1. Lập phương trình đường thẳng:
Bài 1:Cho 3 ®iĨm A(2;1), B(3;5) vµ C(-1;2) và (d): x+ 2y – 5 = 0
a, Chøng minh r»ng A, B, C lµ 3 ®Ønh cđa mét tam gi¸c
b, LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng cao cđa tam gi¸c ABC
c, LËp ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC
d, LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tun cđa tam gi¸c ABC
e, LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c ABC
f) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (
∆
) ®i qua A vµ song song víi (d)
k) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (
∆

) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d)
h) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (
∆
) ®i qua A vµ c¾t trơc hoµnh t¹i M, trơc tung t¹i
N sao cho 0M = 20N. ( M, N kh¸c 0)
I) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (
∆
) ®i qua A vµ c¾t tia 0x t¹i P, tia 0y t¹i Q sao cho
diƯn tÝch tam gi¸c 0PQ b»ng 2
(Còn nhiều nữa)