Về các bài toán không elliptic của phương trình đạo hàm riêng

??

iil
ti

BO BAI HOC VA TRUNG HOC CHUIEK NGHIEP
!rirU?oT3g Dpi hgc TÌn^ hg^ Ha n p i

u

11
II
"H
II
11
U
11
II
H

II

\

II
II
M

;

a

11
II
II
M
11
il
11
t(
[)

\

/

VL GAG BAI 'TCAI^ iJIONG KC^ItTIC
QUA IHTJOMÌ IRINH DAO HAM Rl£Jì(}
( L u ^ van

Ihó t i e n s i

Toen - l y )

+++
•i

•|V*ii'>i

*. ,

*--^W-*!^

ti

iP^^^arHA NOI 1981

11
11
It
II
II
11
11
ti
II
11
II
11
11
II
11
ti
11
II
II
il
il
II
11
11
11

ti
il
H
1)
;i
11
11
li
!f
li
U
il
II
li
ti
11
ti
II
11
li
11
il
II
11
11
ti
U
11
II
11

11

il11
II


MUC

LUC

sS^trong
Mo» dau
Chu?c*n;_4 I :

B e i i:OGn b i é n t r o n g mien
gio'i han.
i l . EhiPn^^ Isf h i ^ u va Iret qua can
thiet.
'I • llt) mien phv thugr t h a ^ s6
2.
Toan tu»
At
5 . Toan ti ma rgng
4 . Mài toan b i e n t r o n , hg mien
bien thién»
i":* B a i t o a n b i e n t r o n ^ mil^^n ^ió'i hpn :
lj>. B a i t o a n b i e n v o i ve p h a i cua
phcPon^ t-rlnli khóng tro^.«
1 • y&t b à i t o a n
2 . Ahong ciia^- H ' (G^)

3 . B à i t o a n b i é n troni^: mien g i ó i
hgn.

Chu?o^2; I I ,

B a i t o a n b i e n d S i vó'à ptoo'ng t r l n l i
e l l i p t i c G!^^/ o i e n t r e n Dien cua mien

15
15
15
17
18
19
22
36
36
56
39

47

Si •

ihU'Cng t r i i i h e l l i p t i c B\:':y b i c n «

%2*

Dang d i ^ u cua hàm C ( t ) v ó i t e g^n 0

49

H3.

v i dii.

67

ChLJo'i^ I I I »

'+7

Cac b à i to6n khong e l l i p t i c d 8 i vó'i

hg phiJo^^ t r l n h B i x c t s o
§ 1 . D^t b ò i t o a n .
2 . ijieu j.;ièn e l l i p o i c cua b a i t o a n
§3« B à i t o a n khong e l l i p t i c thiì rihatÈ^^0 B a i t o a n Idiong e l l i p t i c thiJ h a i .
Tei l i S u them Idiao :

73
73
75
85
94
109


ÌSAN__MO_DAU

M-^ic d l c h cue b a n l u ^ vèn này g i à n h cho v i ^ c n g h i é n
cu'u càc b à i t o a n b i é n khòng e l l i p t i c d o i v ó i xxxgt v à i l&p
phupoìig t r l n h va hg pbiTomg t r l n h d«io hàm r i e n g t i ^ e n t l n h .
TyU?ó'c h e t chung t o i x i n t r l n h bay mpt càch v a n t a t
qua t r l n h n g h i e n ci5u va du?a vào nhlkLg djjih n g h i a va k h a i
ni§m t o a n hgc ca b a n ma chung t a s e su? djuig v e sau»
Gria sii Qt l à m§t mien k l n , g i o ì ngi t r o n g khong g i a n
O c l i t R^, v ó i b i é n T l à m§t da t « p du tro'n ( n - l ) c h i e u .
Ky h i § u X = ( x ^ , . . . , x ^ ) l à tga dg cua cac diem t r o n g R ,
x ' l à t ^ a dg céc diem t r é n r
Troni^ Or t a x é t pbuio^ t r l n h dgo hàm r i e n g t ^ y e n
t i n h cap 2m v ó i e s c h$ so t r o ^ v6 h^n t

UCx.D)

-

Z

^^Cx) D^uu) X foc;

Tpén t i é n T cho m. d i e u icl§n b i é n t u y e n t i n h

CO-I)


-

4 -

Ti-ong do B-(2:,D) l à càc b i e u thiic v i phan tvyen t i n h cap
m.. ( 4 2nt-l) v ó i h^ s8 du t r o ^ t r é n b i é n P
J

Phifcmg t r l n h ( o - l ) d\ig>c goi l à thu§c lo«ii e l l i p
tsii diSm X é R^ neu ;
L^(z, n
v ó i m^i vócto^

= 5.

a^(x) i"^ ^ 0

(0-3)

I = ( ^ ^ , . . . , 1^) khàc khong, trong dò

Già sur pbLfoìig t r l n h ( o - l ) thugc l o ^ i e l l i p t$ii
diéms^thuSc b i é n ^ # Ta thyPc h i j n l i è n t i e p cac phóp b i e n
dSi tpa do : chiiyln g8c t^a d§ deix diemS-.^^ sau dò q u ^
0

•

*

•

cac t r u c tO|i dg de sao cho t r u c x^ hupoìig theo phteotig cua
Vécto» phép tuyen trong dSi vói P t s i diem S-. Ta chu y

rèng t l n h e l l i p t i c cua h^ phiro^ t r l n h ( o - l ) khong thay
d o i sau cac phep bien doi tg>a d9 t r é n day. Sau day de don
giàn C8C Isy hi§u t a co the già t h i e t ngay ràng phu»o?ng t r l n h
( o - l ) va càc d i e u ki§n b i é n (o-2) duep^c v i e t trong h? tpa d §
d i a phuotog tfii diemS^
BUy gicf trong niia khong gian

R^ =

^ x-

^^ ^ ^

Ta xet b à i toan b i é n sau day t

T. a,^o) D%&) = o

,

^,^0

(0-4)


-

5-

Te ky hi^u X» = (x^ , . . . ,Xj^_^) , S i C^^^-w^n-W
là

céc t^a dy cua càc dilm t r é n s i e u phang x^ = o . Sau khi
thj^c hi§n phep b i e n doi J o u r i e r theo cac b i e n x* = ( x q f , X j j ^ ^
(x* —> $ ) t ^^^ cBch hlnh thu'c t a dim b à i toan b i é n (o-4) (o-3) ve b à i toan t r é n n&a dufoìig thang x^» o :

I- ^.w^," Cr'J5/^c5',x„) = D

ip

(0-6)

CJ -- ^y-^'^)

trong do -u-C^'/^n) l à b i e n d o i Jourier cua hàm u(x» ,x^)
theo b i e n x* x C ^ * " * ' ^ - ' 1 ^
Ky hi§u j làkhéng gian càc nghi§m cua phifoìig t r l n h
(o-6) g i o ì n$i k h i x ^ — > co (vói 5^ ^ o)« T^ong tru?òiig
h^ n ^ 3 t h l tu? d i e u ki§n e l l i p t i c cua phu?oìag tr\xih ( o - l )
suy *a chieu cu© ^ bang m (xem ^17] chu»o:ng X). Con d o i
v ó i triPÒ'ng hg^ n si 2 t h l phai già t h i e t bo sung thém d i e u
ki^n l à j chieu cua é phai bang m (ti5c l à bang so càc d i e u


''il'WBKrlt",

- 6 -

kifn bién)
Ta n ó i r i n g b à i t o a n ( o - l ) - ( o - 2 ) t h o e man d i e u
k i § n Sopirò - L o p a t i n s k i t » ! diems 6 ^
9 neu b à i t o a n

(o-&) - ( 0 - 7 ) v ó i m©i
S 9^ 0 va v ó i m9i v é c t o '
a(^)
^ C^')
co nghi$m dny n h a t trorjg ^ .
Tpon^ nhutig truoìng h^'p khàc n h a u , d i ^ u kzi^n
S a p i r o - L o p a t i n s k i co t h e duyc aio t » éxjhrx ixkiTk^ à^^
tuo>ng du'o'ng kh&c nliau. Dieu k i § n này dgic t r u n g cho mgt
loTp cac b à i t o a n b i é n d S i v ó i ph^o^ig t r l n h (ho^c h§ phu?olig
t r l n h ) l o t i e l l i p du?«>X5 g p i l à ; " b à i t d à n e l l i p t i c " (xem

[16J

, 117J )

§ÌSÈ-SSèiÌ_Si:l « ^ ^ ^ "^^^^ ( 0 - 1 ) - ( 0 - 2 ) du?j)^c g p i
l à b à i t o a n e l l i p t i c t r o n g mien Oc neu tìaoa man cac d i e u
k i ^ n s a u day j
0

i)
dièmx € a

*

Tlsn tu' v i phan L(x,I)) l à e l l i p t i c d e u t ^ i mpi

l i ) B e i t o a n ( o - l ) - ( o - 2 ) thoa man d i e u k i g n
S e p i r o - L o p a t i n s k i t u i m©i diem s^é r.
*^

0

•

lìbu?ng VI du dcm g i a n v e Ifcài t o a n e l l i p t i c i a c e e
b à i t o a n Dirichfee va IJoi man d o i v ó i pbu?oìig t r l n h l o ó t - x o n g
B à i t o a n d^o hàm nghiéng d S i v ó i phu?o^ t r l n h này
t r o n g R^ X

l!i

- 6

U^

r'


- 7 -

v ó i M>^ , v à ^ ' l à hu?ó'ng t i e p xuc v ó i b i é n P, khong thóe
man dieukién Sapiré - Lopatinski t e i m^i diem b i é n
,
neu n » 2 t h l b à i toàn nay luon luon l à b à i toan e l l i p t i c
(xem chLfo^tlO, [17] ) •
Bài toan ( o - l ) - (o-2) siiilx r a mpt toan tiJ r
U = (L, B^ , . . . , B ^ )
làmSt tdàn tu? ti^ren t i n h g i o ì n § i :
^.

C®(G)

vào

c^C^)^C!C^^^^C^Cr)
tri

S80 cho : vó'i m»i

wct) 6 C^U^)

thl

B5ng thol toan tu? Ucó the mó rpng thành m^t toan
ti tuyen tinh gioì n§i tJ khong ^isn Sololep H^(G) vào
tich tn^c tiep càc khong gian Sélciàp t

trong dò

S> S^ ::: max(2m, m ^ + i , . . . , m^ + 1)

Ngu b à i toan ( o - l ) - (o-2) l à e l l i p t i c t h l U dxXffc
g p i l à toan tu' e l l i p t i c *
£ g t qua co» ban cua 1;^ tliuyet b à i toan b i é n e l l i p t i c


- e l à v i ^ c chu'ng minh sy? tu?o'ng du?o^- cua càc k e t lulin s a u
day (xem chUloTig 10 [173 > va Li 5] )
I . U s CL)6i,.--. B^^)

II.

l à t o a n ttf e l l i p t i c .

U - co t h è mo' rpng t h à n h mpt t o a n tiS? Kéte

tb H^^(Cì) vlo%^^\a,
III.
nghi^m :

V )

,

B à i t o a n ( o - l ) - ( o - 2 ) co u»&c ltf^:ng t r é n

«•^«»-^(.) ' ^ l«^"^c.) 4. "%"»„—.-; irj "-("<^;r^
v ó i mpi

\K ^ W

i
,

C - l à bang 38 khong phy. t h u p c

Vige su? dyng càc phu?otig phàp g i e i t i c h hàm de
n g h i é n ciiu 3^ t h u y e t phi^oiig t r l n h e l l i p t i c co t h e xem
nhuP du?9'c b a t dau vào nhiing nam thii b a mu?Gl, s a u sy? r a dc?i

cua l y t h u y e t càc klioiig g i a n S o l ò l é p ^^^
• le t h i y e t
do dà uib va khà narig àp dyiig cac p h u ' o ^ phàp cua t o a n h9c
h i é n d e i de g i e i quyet càc b à i t o a n du?9"'c d è t r a cua phifoìig
t r l n h deo hàm r i é n g n o i chung va cua l y thi;oret phiroìig t r i n i
v a h§ phLfong t r l n h l o e i e l l i p n ó i r i é n g .
K&a 1937» I»^* P è t r o p s k i dà diia r a d^nh n g h i à tóxig quàt
cua h$ phu?oiig t r l n h l o g i e l l i p va da chiing minh du'p'c
0

*

f

*

•

#

t i n h g i a i t i c h cua ngtii§m t r o ^ cua n o .


- 9 N&m 1 9 4 8 , A.V. Bixaze da xay dycng
hg e l l i p t i c t h e o iigbia I è t r 8 p s k i ,
t o a n B i r i c h l é khong co t i n h N é t e .
Miai t h a c thém y n g h i a cua van de
s i a Sac.R.S
^ ^ - ^^^^
^^ ^v^^

du?9'c mgt v i dji j
nhu'ng d S i v ó i nò
Ve s a u nhàm m^^c
do B i x a t s e de r a ,
^^^ ^^ 3 ^ ^ ^ ^Ì3^gjji

m§t
bài
dlch
tao
nhu'ng

d i e u k i ^ n nào dò d 8 i v ó i cac he s8 cua dgo hàm b^c thSp
cua hg pbu'o'ng t r l n h t h l b à i t o a n D i r i c h l é co t i n h Néte
( [KP] ) .
Dóng góp n h i e u cong l a o t r o n g v i # c p h à t t r i é n l y
t h t ^ e t b à i t o a n v i phan e l l i p t i c h a i c h i e u dò l à nhupng
nhà t o a n hpc I.N.VéKua, B.V. B o i e c s k i , A.I« V o n p e c . . .
Vi$c n ^ i i é n cu'u b à i t o a n e l l i p t i c n h i e u c h i e u
t o n g quSt b i t dau tìs càc cong t r l n h cua S a p i r ò , Lopa
t i u s k i # Coi^ l a o cua càc t à c g i à này l à da du?a r a d i e u
k i g n du de b à i t o a n co t i n h K é t e , ma s a u này ngieol t e
da iSy d i e u k i | n dò làm dàc t r i m g cho m$t ló'p b à i t o a n
b i S n d&i v ó i pbu?o^ t r l n h va hg pbu?oìag t r l n h l o g i e l l i p
- dò l à b à i t o a n b i é n e l l i p t i c da duVc Tiep s a u nhu'ng cong t r l n l i cua S a p i r o - L o p a t i n s k i ,
n h i e u t a o g i à iciiàc (chang hgn Hof man d e r . . . ) da t i e p
t^ic d i s a u n g h i é n cu?u cac t i n h c h a t cua càc b à i t o a n t o n g
q u à t . Ket qua dàng lu?u y l à hp da du?a r a nhlJng tPo^c lu?gìig

d S i v ó i nghi^m cua b à i t o a n , t r o n g dò dàng ke n h a t l à
u?ó'c lLC9ìig t r é n nghigm d S i v ó i b à i t o a n e l l i p t i c t r o n g h |
khong g i a n S o l o l e p d^ng ( o - 6 ) . (Xem [17J , [16J , [15] )
UÓ'c lu?©Tig ( 0 - 8 ) cho phép xàc dj.nh du?p'c t i n b t r o ^ cua
nghiém cue b à i t o a n theo v e phftl cua pb^ong t r l n h v a

,


- 10 -

d i e u k i ^ n b i é n , dong t b ò l cung suy r a da?9'c t i n h hUu ben
c h i e u cua KerD, t i n h dóng cua LaU.

Cho d%n bay giò» v i g e n g b i è n cu'u càc b à i t o a n
b i é n e l l i p t i c co the xem nhu? hoàn hao v ó i nhling k S t qua
dep de khong nhu?ng d S i v ó i b à i t o é n v i phan iaà ca d S i
v ó i b à i t o a n g i à v i phan. (Xem Agqpanoliy-ic DSJ , p 7 J » ^l^^j
Hièn n a y , vSn de dang du'9'c nghién cu?u n h i e u l à c à c
b à i t o a n khong e l l i p t i c . Viéc nghién cu!u càc b à i t o à n
khong e l l i p t i c này ngu?òl t e thteoi}g x é t t h e o h a i xu hu?óìag 1
Xu huióìog thii nhSt l à x é t càc b à i t o à n b i é n d o i
v c i cac phi^oìig t r l n h hoàc he pbu?ong t r l i i h l o « i e l l i p
t r o n g mien G, suy b i e n t r é n ràpt da t a p con nào dò cua
383aien, hoèc t r é n mvt phan nào dò cua b i é n cua mien. Ve
càc b à i t o à n b i e n d o i v ó i phu?oiig t r l n h l o c i e l l i p cap
h a i s\jy b i e n co t b é xem t r o n g cu8n sàch cua M.M.SmirnSp
8 • Nhu'ng dàc b i é t lu?u y l à nhijng k e t qiia n g h i é n ciiu
cua O . A . D l e i n h i e , R a t s k è v i c h ve phiJ?o^ng t r l n h dgo hàm
r i é n g cSp h a i v ó i deng d^c tru?ng khong àm (xem r 7 j )

Càc phu?o^ t r l n h e l l i p t i c cap cao sxjy b i e n mol
diTp'c chu y t r o n g nhiing nam s à u mu?ol tró^ l e i d a y , t r o n g
do co càc k e t qua cua M . I . V i s i o va V . V . a r u s i n [^] ,
A.V. l u S c x i k o p [5) • càc t à c g i à này da x é t m^t v à i l ó p
phtJ?oìig t r l n h e l l i p t i c cap 2m si-^^ b i e n t2?én b i é n cua mien
t h e o pbu'o'ng phàp phap t i ^ e n , t r o n g dò da c h i r a nhu'ng


- 11 -

d i e u k i § n cp t h e de cho t o à n tiJS cua b à i t o à n co t i n h
Néte . t r o n g nh^ng khong g i a n hàm 4u?ong uiig - dò l à nhSng
khéng g i a n S o l o l e p - S l o b o d e t s k i co t r 9 n g liCpng du?9'c
ch©n mst càch t h i c h hpp thy thu9c vào dang pbLSo'ng t r l n h .
Ngoài r a t a cung chu y den còxig tx'lnh cua a.Greyioonat v a
1 . i r i s v e r d (xem [ 6 ] ) , x é t b à i t o à n b i é n d S i v&i phu?o^
t r i n h e l l i p t i c Buy olin. vod phmi chiìih CVB pbiioiig ti*lnh
chiia thJpa s8 ^%) , 0 < 6 < 1 , ffe:) - l à hàm du t r o n ,
t r i f t t i é u cap 1 t r é n b i é n
cua u à e n .
Xu hu'óìig thii h a i t a thu»oìig t h a y l à x é t càc b à i
t o à n b i é n d 5 i v ó i phiroìag t r l n h h0e.c h9 Jiitoo^ng t r l n h
l o p i e l i p libu'ng khong t h o à man diBu k i | n S a p i r o - L o p a t i n s k i tgx nhiJng diém b i é n nào d ò , hogc t o à n hg b i é n cua
m i e n . Nhu'ng k e t qua t r o n g l i n h vg'c này dàng chu y n h a t
l à càc cong t r l n h cua B.R.V'eibesa - Y»T. Grltosin n g h i é n
cu?u l ó ^ càc " b à i t o à n khong B l i p t l c deu" t r o n g khong
g i a n S é b o l é p , (xem) ^14] ) , cua N.L.TSpmaxian [11] ,
Ll2] , P 5 ] )» cua R.S.Sac ( [lOj ) , . . . . n g h i é n ci5u
càc he pbL?o'ng t r l n h e l l i p t i c cap h a i t r o n g l ó p hàm du
t r o t o . Phu'o^g phàp cua càc t à c g i à nìxy n ó i chung l à duPa

b à i t o à n dang x é t ve càc i^bupcng t r l n h i'redliCihyi , càc
phu?C/tig t r l n h t i c h phan ky d i , hogc pbu'o*ng t r l n h v i ^ksK
t i c h phan Isy d i t r é n b i é n cua m i e n .
Nhln chung t r o n g càc l i n l i vgCc dufp^c n g h i é n ciiu
v e càc b à i t o à n khòng e l l i p t i c con libieu v§n de càn p h a i
g i e i quyet.
Niilm góp phan vào v i ^ c g i a i quyet càc v a n d e
t r é n , t r o r ^ b a n l u à n àn này t r l n h bay càc k e t qua nhèn
du'p'c v e v i § c n g h i é n cu'u mgt v à i l ó p b à i t o é n khòng e l l i p -

tich.


- 12 N9Ì diing cong t r l n h gonibe chuPo^ j
Tpong chu'oìig I , xét b à i toàn ( o - l ) - ( o - 2 ) trong
mien g i o ì n e i G, v ó i g i à t h i e t nhui sau :
Ti^ong mien g i o ì n e i G, chu'a m^b n h9 mien \Gf^}
v ó i b i e n \^^] php thugc tro^i vào tham so t e Co,lJ theo
nghie S.G.Krein [1] sao cho G^ n G ngbia l à Mii t —• 0
t h l G. —•- G. B^ng t b ò l trong moi mien"G^, t É- (o,1] t a
SÌ51 su? b à i toàn
L(x,D)u

= f (x)

B.(x,D)u = g^(x)
(j =

^^

^t

2c e r^

^°"^^

(0-10)

1,2,...,m)

l à e l l i p t i c va doìa t r j . (vói m€>i t € (05I3 chi trù? t§ti
t = o t h l b à i toàn khòng du'p^c già tìiiet l à e l i p t i c .
Nhu? v§y t a co thè xét b à i toén ( o - l ) - ( o - 2 ) ( t i c l à b à i
toàn (0-9) • (0-10) tio*»^ G^)nha' l à " g i o ì ben" cua mpt hp
càc b à i toan e l l i p t i c ( o - 9 ) ( o - l 0 ) phy thu^c vào tham s8
t t (0,1] k h i t —^ 0. Ta cmig chu'ng miiili du'p'c ràng v ó i
g i à t h i e t nhu' t r è n dSi vói b à i toàn ( o - 9 ) . ( o - l 0 ) t h l b à i
todwn ( o - l ) . ( o - ^ ) cung se g i a i du'p'c dcìi t r i va trong
trijòìig hpp ve phai ì ( « ) va g^C^) (Ò = 1 | 2 f ; . . , m ) thupc
trong nhiing khòng gian Sòbòlep xàc dinh nào dò t h l nghi^m
CUE b à i toàn cung du'9'c tini trong mgt kliòng gian Sòbòlép
tuPoìig ling. à day t a cujig chu y rang t i n h chSt nghiSm cua
hp càc b à i toàn ( o - 9 ) - ( o - i e ) v ó i t€- (0,1] da du'g'c nghién
ciiu do càc t à c già S.G.Jirein, L.A.Kotko, L.A.IvanSp (xem
LU • [2} va [3j
).
N§i dung chu?o^g I I , t a xét b à i toan b i é n dSi v ó i
m§t laj) pbu'oiig t r l n h e l l i p t i c clip 2m djmg ( o - l ) , svy

%

•

- 13 -

b i e n t r è n b i é n Cua mien. Ts co t h e xem b à i t o à n x é t t r o n ^
chifoìig nsy nhuP m$t v i du u'ng dwng l y thiQret nh^n du'p'c t r o r
chuPo^ I ,
'
"
"

NSi dunj cbuPo'ng I I I , x é t mgt l ó p càc " b à i t o à n
khòng e l l i p t i c deu" d o i v ó i h^ phueSng t r l n h B i x a t z e ma
càc t à c g i à t r o n g [9] , L10J d i tù'ng n g h i é n ctfu. Bang
pbuyo'Tig phàp du'a b à i toàii dang x é t ve càc b à i t o à n e l l i p t i c
s a u do su' dving l y thiqyet e l l i p t i c co d i è n t a s e du?a r a
nhSng d i e u k i ^ n du dam beo cho b à i t o é n co tlxih. Néte t r o n g
nhjjng khòng g i a n Sòbòlép tieo'ng ling. Khàc v ó i nhj^ng d i e u
k i f n du ma càc t à c g i à tru?ó^c day du?e r a , ó' day t è n h ^
dufp'c mpt h§ thiic day du mò t a oy? l i é n h^ giu'a t a t cà càc
h$ s8 (ke cà càc h§ s8 cua càc deo hàm "b^c t h a p ) cua pìxxjsa
t r l n h va càc d i e u k i é n b i ò n dàm bao cho b à i t o à n khong
e l l i p t i c co t i n l i Nòte* B à i toaii du'a r e a day co t h e xép
vào l ó p càc " b à i t o é n khòng e l l i p t i c deu ma Veibegg - irà
^ruBin de x é t troiog L143 •
N§i dun^* chu?o>ng I I I co t h è x e t t e c h r ò l vo'i
chufoiig I va I I , ti:^ n h i é n pbu?a'ng phàp b e o trùm t r o n g t o à n
bp ca ba chu'omg l à "Phu?oìig phàp e l l i p t i c h o à " , sJ? dyiig

k S t qua cua l y t h u y e t e l l i p t i c co d i e n v i cac k e t qua
mó'i nh$n du?9^c co t h e xem nlite l à càc h§ qua cua l y t h i y e t

này.
NSi dung 00^ b a n cua chu?ouag I du'p'c cong bS t r o n g
càc cong t r l n h 1 2 0 ] va [ 2 2 ] , cua cbuiovig I I I du'9'c còr^g
bS t r o n g [21] va
[23] . cua t à c g i à .
De k e t l u è n phan me* d a u eoa b e n l u g n v a n n à y ,
t à c g i à b e n l u ^ n vèn chàn thànli cam cu nhu'ng t h a y hpc
cu cuCi mliih da tù'ng g i à n g dH> e' khoe Toàn tru'òlig B e i
hpc ifeng hpp ì l à - n p i . Dee b i § t l à m$t ngifòl h9c t r ò ,
t à c g i à vò cung b i e t oìri thay hpc cu cua minh, Phò g i à o BUS


- 14 -

Ngiyen TtiU?a Hpp dà dpy cho minh nh'ìing b à i hpc dau t i e n
cua l y t h u y e t pbu?o^ t r l n h deo hàm r i é n g va nhu'ng b à i
t o à n cO' ben cua n o , dò l à co' so- de t à c g i à hoàn thàrih n p l
•

*

*

M

0

00

dung cue chii'oììg I I I cua b e n l u £ n v g n . Tac g i à b i e t oìi
s à u s à c thay h t c , phò g i à o su' l'h^ui Ng93 E'Lao ngu'c;i da day
cho minh càc pbu?oìag phàp h i $ n d p i cue l y t h u y e t e l l i p t i c ,
do l à cO' so- de t à c g i à hoàn t u à n h va s6*m cong b 8 càc k e t
qua t r i n h bay t r o n g cbtfo'ng I va I I I evia b a n l u £ n Van#
Tàc g i à càm on càc nhà t o à n hpc Lien 2tó, g i à o s(t toàii h^c
S.G. j i r e i n va L.A. iLotko do chSii t l n h g i u p d 5 , va cpng
t à c cong bt nhupng k e t qua ca ban cua t à c g i à ' t r o n g ly^
thtQret càc b à i t o à n e l l i p t i c t r o i ^ ìMen b i e n t h i é n .
CuSi cung t à c g i à t o l o n g cem o^ nhóm n g h i é n ciiu
phu?c^ng t r l n h deo hàm r i é n g khoa Toàn, tru'ò'ng D^i hoc t o n g
h9J) Hb. n p i , càc b à c thay h9c va bgn b e xa gan d a g i u p do'
uxig hp de t à c g i à som hoàn iiiành b à n lufija v è n n à y .

ìli+


-15-

Chu'o^
BAI

§1.

1

TOAN B I M TROl^G MILN
G i o ì lìAN

NHUNGKY Hn,U VA KLT QUA^CAII /ffULT j
1.

Hp mien php thu§c tham s8 j

Già su? G l à mien g i ó i n 9 i t r o n g khòng g i a n
R^, chu'a b e n t r o n g nò m§t hQ mien con dóng \ G^] ( o ^ t ^ l )
v ó i b i é n ^i, , sao cho G^ e G , ^Q - P • ^ i a t h i e t r à n g
v ó i moi t ^ [ o , l ] càc mèt P. phyi thugc t r c n vào thams8 t
t h e o i i ^ i a cv^ Krein t r o n g [1] :
G9Ì ( s . . j , . . . , s ^ _ . ) l a hft tofi d§ d i a phupoì-jg cua càc
diem s e f^ • T«ii mèi diem s € ^^ t a d i ^ g v é c t o ' phàp
t i y e n trox}g d o i v ó i m£t f^ , va t ^ a dg cua càc diem nam
t r é n t r u c này diep'c 'ky hlgn l à n . Nhu' v§y h^ thSng càc s8
(s^ f • • . , s ^ _ ^ , n ) , s = ( s ^ , . . . , c ^ _ ^ ^ )
tjl , l n | < n ^ , l ^ p n é n
he t 9 a dp t r o n g mSt l à n cén U nàodó cu.a mjjt Ho. % J)ìbng t h ò '
t a g i à t h i e t r a n g càc t p a dp nhy l à nlil^ni?; hàm du t r o n cua
C8C tc,a dg Dt- càc v ó i J a k o b i e n ttso^^ u?ng t h ^ a man b S t
dgng ttiiic :
o< CK4

JC^.^)

-^ A < i - ^

(>,^^)

Già su^ A-t v ó i l4tl du b é seo cho m$t P^^At*^ ^

Ta g i à t h i e t r h n g l^pons; he tofi dp d i a pl^o^ig ( s , n ) , fiàlt
r^^^t
di^g^c xàc dt-un b o i pix^ogug t r l i x b :


- 16 -

»t = K(S.i>^t)

, \^\^C.\ùt\

(,^.2)

T^i^ong do KCs,t'j/\t)
l à hàm du ti^rrc tUcC càc b i e n s8
cue n ò , dong t h c l t o n t e i g i ó i han :

iC^

i >CC9jt,At) -

A\^0

^t

k%<:j

(^,3)

l à hàm du trO!n theo ( s , t ) , t h o a man uóc lu^pìig

ID^ U^it)\ ^ e t

deu v ó i moi

se n^

iS. « , i , 2 , . . . J

k h i t —^

(^^4)

0,

I t o n g nhu'ng k e t qua s a u diiy t a c h i can quan tam
den nhu'ng n i e n G^^ v ó i t du b é v a hàm
^CS;t,At) > 0
Ta Isy h i ^ u ,

, 5 t P ^ , At > 0

^6^ ^ (^ v (r^^^^

(1-5)
^ l^tl = S^.

Khi do t a co bo de s a u •
»

...

•

•

Bo_de_1_,1 : Gie su' ^C*) l a barn s8 tiiuOc l ó ^
C^C^&^) bàiig 0 cung v ó i mpi dpo hàm cua nò cho t ó l cSp
N t r é n T^ (hoge t r é n
^tt^t
) • % i ^ó co i:eóc I t e p ^
s a u day :
5> i

(-


- 17 -

v ó i moi

1 ^ s ^N,

C - l à bang BQ»

TblLt v § y , v ó i G nguyén t h l u'óc lu?piig ( 1 - 6 ) no
dufp'c do bo de 5 cbu'ong 1 [ 5 ] > con v ó i s b S t l y t h l ( 1 - 6 )
du'p'c suy r a tup d i n h l y n $ i s ^ / (xem d i n h l y n p i s i ^ §4
[163 ) .
Bo^de_1r2 :

Voi mei hàm fC?) tH^G^),

c%

^<\_

t a co :

t r o n g dò

^-^

>o

^

(Xem bo de 1 .

C-là h i n g s8
[2] )

22.2oàn tu' k% (A^t ) «

C^®^ ClJ ^ ^ cbu?o^ 1 [ 3 j )

Già s^' l'W l à hàm s8 thupc i&p C^C^) . Voi
m£i hàm toc) nhu' viy t a l $ p duVc m^t hp cac hàm A^t ^^-^
pi^i t h u ^ c vào thamso At ^ac d i n h t r e n V ( v ó i t e C o , l J
t h e o cóiig liiu'c s a u :

Nhu' Vfiy v ó i mòi Al c8 d i n h , A^^ nhu? mpt t o à n tu?
ành xa hàm so i'C*) xàc d i n h t r é n G vào lUiòng g i a n càc hàm
t r è n P^
Ta. co bò de s a u j

(Xe^bb de 2 c h u ' o ^ i
T'fctlRii

"rr'.iil'-^: I

u., V. L^//f^5

f

[5]

;•!. "
»

)•

)


- 18 -

5 £ _ 3 l - 1 ^ 2 • Toén tuP AAÌ CO t h è mo' r g n g t h à n h t o a n
t J l i è n tvLC tu H^^^CO "vào
H"^*^ Cr^) v ó i mp^.

5> ^
^^ ^ ^ ^
, va co u?ó^c l u ' 9 ^ :

l^'^-^^^H^-Ur,) ^^-^^'^'^^^H^^^^)

v ó i m9i

Tfc ^
f\

5* •

0

s^H

0^
'^

0-8)

, C-la hàn^; s 8 .
^

Togn_tyP_mo^_r§ng i

Cac hàm B8 tro^. xàc d i n h t r o n g M e n Gj^
tt
[ o , l ] co t h e mó" r ^ n g t h à n h mpt hamsS xàc djjih t r o n g

t o à n bS mien G bao toàn t i r ' h t r c h i . Ta ky h i ^ u Ra^, t e LOf1j
l à t o à n tu' mo' rpng co t i n h chSt n ó i t r é n .
T^iong [ 3 j , càc
t à c g i à de xcy difng du'fc t o à n tiJ R. bang cach mo- rpng so'
do x§y dti'ng t o a n tu' me- rgng cua i/i.R.Hestenes tru^o^c d a y ,
dSng -ttLol d a chiJng t o r?'ing l u o n l u o n co t h è chpn càc t o à n
t i R^ gió^i n p i deu ti> H^(Gj.) vào i f (G) v ó i mpi t é Co,1]
v a o i s ^ N, t r o n e dò N du ló*n nào d ò . N:^hià l à t o n t ^ i
bang s8 C kliòng phy thu^c t € [ 0 , 1 ] va 0 4 G « N sao choj

;3.

Bay già' t a g P i S^ làtoaxi tU' h§n che hàm s8 xàc
djjih t r è n G thành hàm s8 xàc d i n h t r é n G^^ v ó i t é [ 0 , 1 ] •
Ho r à n g S^. l à t o à n tu' g i ó i n $ i d e u theo t tu? H^(G) vào
H^(G^). Ho^Q n3a t a chu y l à " : ^+;H. = I l à t d à n t i doìi v i
t r o n g H^(G^). } ^ h i é u 3:^ = R^s^ , k h i dò i^ l à mSt t o à n
ti g i ó i n p i t r o n g H^(G)
tbic :

^ *^^'^

0 4 s ^ N , va co b a t dgng


- 19 -

K , , H - - ft-^.(^^ ^ c . u . \ ^ Il-«„,,.^^^
^
vói

o < n ^ 1 f ^^^

C-là hlmo sS

(1-9)
I ^^^

^ ^

t r o n g dò

(Xem d i i J i l y l va h% qua 1 Ì 3 ctootig 1 [ 3 j

Già sii L(x,j)) l à t o à n tiJ v i phén cSp 2m v ó i
he s8 tro^i t r o n g G, va ^ B . ( x , l O | (o = 1 , 2 , . . . , m ) l à c à v
b l è u thu'c v i phan cap m. t u o ^ li^ig» ^^^ ^2i-1 >(ft = 1 , 2 , . . . :
v ó i he s8 t r o ì i xàc diijh t r o n g G . Trong moi mien G^,
t € [ó,-i3 t a x é t b à i t o à n b i é n s a u day :
L(x,B)u
B^(x,B)u

=: i'(x) ,

^ ^ ^t

(1-1©)

=

X e r^^

(1-11)

g^Cx) ,

( j = 1 , 2 , . . • ,m)
Gpi u ( t , x ) l à ngbi^mcua b à i t o à n
K;f h i § u

(l-IO)-(l-ll)

:

il^Ct,x) =

H^ii(t,x)

l à hàm xtìc d i n h t r o n g G, t r o n g do ff. l à toàn tup nxa
r e n g d e nhàc den t r o n g 3£ . l^bu' v ^ >U^(t,x) ixhja mpt
hàm x é c d i n h t r o n g [ 0 , 1 ^ ^- ^«
Tjion^ càc cong t r l n i a

[1] , [PJ

va

[5J

vói

- 20 -

mpi tt [0,1] , b à i toàn ( l - l O ) - ( l - l l ) do-p^c già t h i e t l à
b à i toan e l l i p t i c , do"n t ^ i , dhiis t h à l trong u'ó'c l u ' p ^
t i e n nghi$m :

(1-12)
(vói $>.o ,
-M-e H^^'^^C^^^) ) , c ( t ) làhàm s8 php thugc
t € \P9']] , g i ó i npi deu theo t é [o,1] ; Céc tàc già
S.G.Li'eiìi, L.A.lvanop va L.A.E:8tku da nghién ctiu t i n h
l i e n t u e , t i n h kha v i the9 t , dang di^u cua hàm -Uj.(t,x)
tx'ong [0,1] ; dàng di^u cua pho cuo b à i toàn ( l - l O ) - ( l - l l )
ph^ thupc t é [0,1] . Khiing ket qua t r e n day JTRiitSg du?9'c
iìn^ dung d j n ^ i é n ctJu b à i toén hon bop cùa pbu'o^i^ t r l n h
lo%i larabòn trong mien kìiòn^*; phai hlnh t r ^ , b à i toàn
cbiJa dgio hàm ttieo b i e n " t h o l gian" ó' dieu kièn b i e n , . . .
Dèe b i i t brong i2] , v o i nbu'.Dg g i à t h i e t nhiP
t r é n , L.A.IvanSp da nghien ciJu trtforig h9p k h i v ó i mpi
già t r j . t t [o»1]*it^^J 1 b à i toan ( l - l O ) - » ( i - i l ) l à e l l i p t i c , don t r i , dong tho^i C(t) g i ó i n £ i d'eli theo t € Lo»1J-{t
Ifcatt èótà da chiìtig minh di^p^c ràng ngf^,> cs v ó i t = t b à i
toàn (1-10)-(1-11) cung ton t a i di^ lilxat nghiém

VÓI
f W e H^ù-) , 9jCt; e H^+^-'^i (e.;
. Tuy rjhièn
k e t qua này cbjj?a cho t a b i e t reng b à i toàn (1-10)-(1-11)
trong mien G co p h a i l à b à i toàn e l l i p t i c hay kliòng !

My.c dicli chL?o^ này x é t b à i toàn du'p'c d j t r a trong


- 21 -

[ 2 ] , nbu?ng khòng g i à t b i e t C ( t ) l à g i ó i n p i deu t h e o
t . B à i t o é n nay s e du?p^c iJng dvng dà n ^ i é n oJu càc l ó p
pbu?o'ng t r i n h e l l i p t i c si\y b i e n n ó i chux.ig.
Tjiong S 2 , g i à t h i e t r a n g k h i t —*• o
C ( t ) co u'ó'c lu'pTij : (o dyy xemt^ = o ! ) .
CQc) . o a-"" )

, o i X< ^

dang d i ^ u cua

(1-13)

-iihi dò b à i t o a n t r o n g mien Q du'p'c x é t r^hu' l à " g i o ì ben"
ci.'B hp cfcc b à i t o à n e l l i p t i c ( l - 1 0 ) - C l " 1 l ) k h i t — ^ o ,
nò cuiig t o n t e i , duy r h a t nghi§n t r o n g khòng g i a n Sòbòlép
x à c diiih v ó i càc hàm ^ ( x ) va 4 (:it) (^ = 1 , . . . , m ) cung
"•

^

0

^

S

0

*

thupc nhjfjug n.hoi4^ ^1HÌ> Sooolep nao du t r e n G,
Tronti Ì 3 i t a x é t b à i t o à n tx'ong ^uien G t r o n g
truò'ng bpi' ve p h a i f (x) cua pbu?ong t r l n h thu§c khòng
g i a n H^'^'^i-nG) (du?p'c xsy (5y?ng s a u day !) ch5a khòng g i a n
H ^ ( G ) va ca nìijng hàm khòng tro'n t r o n g l a n c$n b i é n
cua
G.
Tom l ^ i nóJi dun^ chu'oTìg I n g h i é n cu'u sgf t o n t e i ,
dii^r n h a t va t i n l i tro'n cue nghijm cua b à i t o à n ( o - l ) ( o - 2 )
(ùfc l à b à i t o à n ( 1 - 1 0 ) - ( 1 - 1 1 ) t r o n g mien G ) . Vói nhiJng
g i à t h i e t du?a r a s a u dèy ^ l ó p b à à t o à n này bao hàiìirapt l&p
càc b à i t o à n khòng e l l i p t i c . Vl vsy nhu'ng k e t qu© me
chung t e ixhèn du?p-c cho phép t a n g h i é n c i u b à i t o à n b i é n
d o i v ó i mpt l ó p nào dò càc phufo^ng t r l n h lo^ii e l i p sxxy
b i e n t r è n b i é n cua mien ma t r o n g chu'o'ng I I cua b e n l u | i n
Van t a s e d e cap d e n .


-

82.

22 -

B*a i. t.o a'n b i é n ^tron(^ ^mien^^^iol han j

Ta iihàc l e i : T^^ong muc lil^ s e x é t b à i t o à n
t r o n g m i t n G = G s s u
L(X,JL>)

U(x)

B^(x,D) u(x)

sr

Ì
=

g^(x)

^

^ %

3C e r;

(2-1)

(2-2)

(à = 1 , 2 , . . . , H i )

. • v i phoji v ó i hS s8
VÓI L(x,I)) va B . ( x , D ) l à càc t o a/ n tu'

tro^n v6 han ta'ong G, cap 2m va m^- ( j = l , 2 , . . . , m )
d
31-4 2ii-1 nhu' da n ó i t r o n g i l .
J

Chng v ó i b à i t o a n ( p . - i ) ( 2 - 2 )
( t é (0,1] ) , ta xét b à i toén :

, t r o n g moi mien G^

L(x,I))u(x)

a

f (x)

2: e G^

(2-3)

B^(x,Ei)u(x)

s.

g^(:^)

s: é r^

(2-4)

Ta t^ia t h i e t r t n g v ó i nioi t é - ( o , l ] b à i t o à n
( 2 - 3 ) - ( 2 - 4 ) l à b à i t o à n b i é n e l l i p t i c , do'n t r i va co
U'óc lu'p'ng t i e n nghipm (1-12) v ó i C ( t ) l à hàm sS php thupc
vào t , o < t 4 1 , dZzìQ thc-i -HjTii t —» o t h l hà^i s 3 C ( t )
dt^n r a vò hgn t h o a m^n u'o'c lu'p'ng:
C(t)

=

0(t'"' )

(2-3)


- 23 -

t r o n g dò ^ l à heng s3 ;

0 4 *< < 1

(2-6)

Già SL^ f ( x ) va g (x) ( j = 1 , 2 , . . . , m ) l à n h l n g
hàm t.bu$c khòng j i a n C® ( 5 Q ) » ^ h i dò v ó i m«i fi o ,
f ( x ) e H ^ ( G . ) , g . ( x ) € H^^^^-"''^(G.) VÓI moi t e L o , 1 } .
!^a ky h i ^ u u ( t , x ) l à nghiSm (duy n h S t ) cua b à i
t o é n ( 2 - 3 ) - ( 2 - 4 ) t r o n g mien G,^ ilng v ó i càc hàm so f (x)

v a g-;(3c) ( j s 1 , 2 , . . . , m ) n ó i t r é n .
J

Vl f ( x ) t H^(G^) , g j ( x ) e
nén n g h i § m u ( t , x ) e
Biit :

H ^ ^ ^ " ^ d ( G ^ ) (ò = 1 , 2 , . . . , m )

H^^^(G^)

u^(t,x)

=;

( v ó i s ^ o)
Kx.u(t;,x5

Tx.ong dò R.^ l à toSn tti mó^ rpng hàm so ti5? I-i'^*®(G+.)
l é n H'^^^^(G) , g i o ì n S i deu t h e o t e [ o , i j
(Xem § 1 ) .

Ho^t ulti t a ^ o i

:

kjii dò tx'oij^^ Go. t e co :

Te iqf 2 i i | u

:

____

va o i s 4 N


-

Ta t h a y v i
F A ^ W trH'^G:^)

il^

.

24 -

^(x) t H^(i^) , u^^^^ t H'*^*^ CG)

nén

Bang t h o l t a co i

F^t^^ = ^

VÓI mei

r é 6^

(2-8)

At-^O

i'èSìì-ìiS^ilJ J

^^^ -^"^^ s :> 1

t a co igóc lifp^ig s a u

day :

t r o n g dò C ( t ) i l k|jR$ hàm cua t ó' ti'cng ifó'c liff^ng

(1-12)

ChiJng minh :
HàmS F^^Cx) cìiZig v o i t a t ca càc d«o
hàm cua nò barjg 0 t r e n ^L..^^ t v i v^y £p à^io^ bò de 1-1
v ó i mei s :^ 1 t£i co ?

' . •

-; j

1-H

'

1

'

É

.

-

*

. *

#

*JLf tinJri g i o ì nQi deu cua cac t o a n tu' R^ va tu' u'o'c
IÌJSQTXÌ; t i e n nghipm (1-12) suy r a :


25 -

^

Ct^)

H CG-^) C)='

'^^V ->

(2-10)

Ko*n nufa ;

t

^

't

Cho xién :

^.(fl)\ - i n«%- ^t»,V.tì
Khi dò VÓI 3 >1 , 2mrf3-m_;
(xem 1-8) t a co ;

1
"^

1 > o , tu' bò de ^^^

TP d ò , nbiàr u'o'c lu?p'ng t i é u nghiim (1-12) suy r a

IIB^^t 11

^cCH40|«fll^

-,111^,1

:

J(2-11)