TOAN 9 DE VA DAP AN KS THANG 2 THCS NGUYEN TRAI 2018 2019

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG 2

Năm học 2018 – 2019

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)


Câu I. (2 điểm) Cho biểu thức P = 

x

3
 x 1



x 1
1 
 ; Q =
x  x 1
x 1 

x ≥ 0; x ≠ 1

a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 81
b) Tìm biểu thức A sao cho A = P : Q
c) Với x > 1. So sánh A và A
Câu II. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm 330 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Nhưng khi thực hiện do tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 10%, tổ II làm
giảm 15% so với kế hoạch nên cả hai tổ làm được 318 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm
được giao theo kế hoạch của mỗi tổ là bao nhiêu.
Câu III. (2 điểm)
1
 2
| x  y |  x  2  2
1) Giải hệ phương trình 
 6  2 1
 | x  y |
x2

2) Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 4x - 3
a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Câu IV. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O).
Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm của BC.
a)
b)
c)
d)

Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp
Vẽ dây cung AD vuông góc với SO tại H. Chứng minh SD = SA
Gọi giao điểm của AD và BC là K. Chứng minh SK.SI = SB.SC
Vẽ đường kính PQ qua điểm I (Q thuộc cung CD), SP cắt đường tròn (O) tại
M. Chứng minh 3 điểm M, K, Q thẳng hàng.

Câu V (0,5 điểm). Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn: a + 2b ≤3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a  3  2 b  3


ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG 2
Năm học: 2018 – 2019
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu
I.
I.a
0,5đ

Đáp án
a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 81
Thay x = 81 (tmđk) vào biểu thức Q ta có:
Q=

81  1
10

81  81  1 91

Điểm
0,25
0,25

Vậy….
I.b
1đ
I.c
0,5đ



x

b) A = 

3
 x 1





x 1
1 
đk: x ≥ 0; x ≠ 1
 :
x 1  x  x 1

x  x 1
x 1
 :
3
3
x 1  x  x 1
 x 1
 x  2 x 1 
x 1
A = 

 :
3
x 1  x  x 1


 x  x 1
( x  1) 2
A = 
 .
(
x

1)(
x

x

1)
x 1


x

A = 

A=

0,25



0,25

0,25
0,25

x 1
x 1

c) Ta có x > 1  x  1 ⇔ x  1  0
Mà x  1  0 Nên A > 0 (1)
Xét A2 – A = A.(A – 1)
A–1=

2
mà
x 1

x  1  0 với ∀x > 1 => A – 1 > 0 (2)

Từ (1) và (2) => A2 > A  A >
II
2đ

A

Gọi số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch là x (sản phẩm,
x ∈ N, 0 < x < 330)
Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là y (sản phẩm,
y ∈ N, 0 < y < 330)

Ta có PT: x + y = 330 (1)
Số sản phẩm thực tế của tổ I là: 1,1x (sản phẩm)
Số sản phẩm thực tế của tổ II là 0,85y (sản phẩm)
Vì số sản phẩm thực tế của hai tổ là 318 sản phẩm ta có pt
1,1x + 0,85y = 318 (2)

0,25

0,25

0,25
0,25


Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ….
Giải HPT ta được x = 150 (TMĐK), y = 180 (TMĐK)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 150 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 180 (sản phẩm)
III.1
0,75đ

III.2
1,25đ
2a)
0,75đ
b)
0,5đ

IV.
0,25đ

0,5
0,75
0,25

ĐK: x > 2; x ≠ y
x  3
x  3
(TMDK ) hoặc 
(TMDK )
y 1
y  5

…… ⇔ 

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x,y) ∈
{(3;1);(3;5)}
Vẽ đúng Parabol (P) và đường thẳng (d)

0,5
0,25

0,75

Hoành độ giao điểm là nghiệm PT:
x2 = 4x – 3  x2 – 4x + 3 = 0
 (x – 1)(x – 3) = 0
Suy ra: x1 = 1; x2 = 3
Suy ra y1 = 1; y2 = 9
Vậy tọa độ giao điểm (P) và (d) là (1;1); (3;9)

0,25
0,25

+ Vẽ hình
A

P

M
H

0,25

O

S
B

K

I

C

D Q

a
0,75đ

b

+ Giải thích: SIO = 900 và SAO = 900
+ Suy ra: SIO + SAO = 1800
+ Xét tứ giác SAOI có: SIO + SAO = 1800
2 góc SIO; SAO là 2 góc đối
Suy ra: tứ giác SAOI nội tiếp (dấu hiệu NB)
+ Chứng minh góc AOS = góc DOS

0,25
0,25
0,25
0,25


1đ
c
1đ

d
0,5đ

+ Chứng minh: ∆OAS = ∆ODS (c.g.c)
+ Suy ra SD = SA (cặp cạnh tương ứng)
+ Chứng minh: ∆SHK
∆SIO (g.g)
+ Suy ra: SH.SO = SI.SK
+ C/m được: SH.SO = SA2. Suy ra: SI.SK = SA2
+ C/m: SA2 = SB.SC
+ Suy ra: SB.SC = SI.SK

+Ta có: PMQ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên MQ ⊥ MP (1)
Chứng minh tương tự câu c: SM.SP = SA2
Nên SM.SP = SK.SI. Từ đó suy ra:

SM SK
và PSI chung

SI
SP

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0

V.
0,5đ

+ Suy ra ∆SMK = ∆SIP (c.g.c) nên SMK = SIP = 90
Hay MK ⊥ SP (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra M, K, Q thẳng hàng.

0,25

a 2  b2
Từ 0 ≤ (a – b)  2ab ≤ a + b  ab ≤
2
2

2

2

Dấu = xảy ra khi a = b

4a3
8  2b  6
và 4 b  3  2 2. 2b  6 
2
2
a  7  2b  14
Do đó 2S 
 12 ⇔ S  6
2
2  a  3

a  1
Dấu = xảy ra ⇔ 2 2  2b  6 ⇔ 
(tmđk).
b  1
a  2b  3


Nên 2 a  3 

Vậy maxS = 6

0,25

0,25