Chuyên đề Bất đẳng thức Cô - si

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.03 KB, 6 trang )

DẠY HỌC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN
Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà
Khoa Tự nhiên trường CĐSP Hà Nam
Bất đẳng thức là một chuyên đề rất lí thú đối với các em học sinh khá
giỏi. Nhưng, trong thực tế học tập, phần lớn các em học sinh thường
tỏ ra lúng túng khi áp dụng các bất đẳng thức đã học vào các bài toán
cụ thể. Bất đẳng thức Cô si đã được các em học sinh làm quen từ
chương trình THCS song hầu hết các em chưa khai thác tốt vai trò của
BĐT này trong quá trình giải toán.Bài viết này của tôi với mong muốn
giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi có cái nhìn
sâu sắc hơn nữa về BĐT Cô si. Đồng thời giúp các em rèn luyện kĩ
năng sử dụng thành thạo BĐT Cô si trong quá trình giải toán chứng
minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Trong khuôn khổ bài viết, tôi chỉ
nêu một phương pháp sử dụng BĐT Cô si, đó là phương pháp “Cân
bằng đều”.
Trước hết, ta nhắc lại BĐT Cô si:
BĐT Cô si với 2 số: cho a,b
≥
0 :
ab
ba
≥
+
2
BĐT Cô si với 3 số: a,b,c
0
≥
:
abc
cba

≥
++
3
Tổng quát với n (
3
≥
n
) số:
0
≥
a
i
, i=
n,1
n
n
n
aaa
aaa
n
...
...
21
21
≥
+++
Dấu = xảy ra khi
aaa
n
===

...
21
Phương pháp chứng minh sử dụng bất đẳng thức Cô si:
Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Bước 2: Với dự đoán trên sử dụng kĩ thuật cân bằng đều ghép các
hạng tử của bài toán với các hạng tử thích hợp.
Bước 3: Áp dụng BĐT Cô si.
Bài toán 1: Cho
4
≥
a
, chứng minh rằng:
4
171
≥+
a
a
B1: Dự đoán:
4
4
171
=⇔=+
a
a
a
.
Khi
4
11
4

=⇒=
a
a
nên không thể sử dụng BĐT Cô si cho 2 số
a
và
a
1
vì dấu = không xảy ra.
B2: Vậy phải sử dụng BĐT Cô si cho 2 số
a
α
và
a
1
.Vấn đề đặt ra là
chọn
α
như thế nào cho hợp lí? Theo dự đoán trên, dấu = xảy ra khi
4
=
a
nên ta có:






=

=
4
1
a
a
a
α

16
1
=⇒
α
Lời giải:
Ta có:
16
151
16
11 a
a
a
a
a
++=+
Theo BĐT Cô si:
2
1
.16
1.
2
1

16
=≥+
a
a
a
a
Cho
4
≥
a

⇒

4
15
16
15
≥
a
.
Vậy
4
17
4
15
2
11
=+≥+
a
a

. Dấu = xảy ra khi
4
=
a
.
Nhận xét: Từ bài toán trên, ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn với
cách làm tương tự như sau: cho
na
≥
(
1
≥
n
).Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
a
a
1
+=Α
hoặc
a
a
β
α
1
+=Β
với
βα
,
là các số thực dương.

Bài toán 2: Trước hết, ta sẽ có một bài toán đơn giản sau:
1) Cho
0,,
≥
cba
và
3
=++
cba
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
cba
333
++=Α
.
Nhận xét: với giả thiết
0,,
≥
cba
và vai trò của
cba ,,
bình đẳng như
nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi
1=== cba
.Từ đó ta có lời giải
của bài toán như sau:
Ta có:
( ) ( ) ( )
6111111
333333
−++++++++=++=Α

cbacba
Theo BĐT Cô si:
a
a
311
3
≥++

b
b
311
3
≥++

c
c
311
3
≥++
suy ra
( )
363
333
=−++≥++=Α
cba
cba
(1)
Đẳng thức xảy ra khi
1=== cba
.

Nhận xét: việc làm xuất hiện
cba
++
đảm bảo cho vế phải của (1) là
hằng số. Nếu trong biểu thức A, vai trò của
cba ,,
không bình đẳng
thì ta phải chọn các số như thế nào để vế phải của biểu thức mới cũng
vẫn là hằng số, nghĩa là ta vẫn làm xuất hiện các thừa số
cba ,,
với
các hệ số bằng nhau?
Ta sẽ trình bày phương pháp này với một ví dụ cụ thể sau và từ đó độc
giả có thể tự đưa ra lời giải tổng quát cho các bài toán tương tự khác.
2) Vẫn giả thiết như bài toán trước,tìm GTNN
cba
B
333
64
++=
.
Phân tích: trong biểu thức B, vai trò của
ca,
như nhau, ta đưa vào
các tham số
βα
,
để biến đổi:
( ) ( )
β

ααα
ββ
αα
2
46464
3
3333
33
3333333
−−+++






+++++=++=Β
cbacba
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số hạng trong ngoặc, ta có:
cba
333
64
++=Β

β
αα
β
α
2
43

4
3
3
32
2
2
3
−−+×+≥
cba

(*)
Đẳng thúc xảy ra khi







=++
=
==
3
4
cba
b
ca
β
α

3
4
2
=+⇒
β
α
Hơn nữa, để biểu diễn vế phải của (*) theo
cba ++
thì các hệ số
α
β
α
3
4
3
2
2
2
,3,
×
phải bằng nhau, do đó ta có:





=+
×=
3
4

2
3
4
3
2
2
β
α
β
α
Giải hệ này ta được







=
=
17
12
17
24
β
α
Từ sự phân tích trên ta có lời giải của bài toán như sau:









+++








+++








++=++
17
24
17
24
17
12

17
12
64
17
24
17
24
64
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3333
cbacba
17
12
17
24
3
3
3

3
24
×−×−
Theo BĐT Cô si:
17
24
17
24
3
3
3
3
3
++
a

≥

a
××
17
24
2
2
3

(2)
17
12
17

12
64
3
3
3
3
3
++
b

≥

b43
17
12
2
2
××

(3)
17
24
17
24
3
3
3
3
3
++

c

≥

c
××
17
24
2
2
3

(4)
⇒

cba
333
64
++

≥

( )
17
12
17
12
17
24
2

3
2
3
2
2
23
=×−++××
cba

(5)
Đẳng thức ở (5) xảy ra khi







==
=
17
24
17
3
ca
b
Vậy GTNN
( )
cba
333

64
++=Β

17
12
2
3
=
.
Bài toán3: Trước hết, ta cũng có ví dụ đơn giản sau:
1) Cho
0,,
≥
cba
và
3
=++
cba
.Tìm GTLN
( )
.
333
bcacab
++
Phân tích:Việc có mặt căn bậc 3 mà chỉ có 2 thừa số trong căn làm ta
nghĩ đến sự xuất hiện của số 1 và biến đổi hợp lí để xuất hiện giả
thiết:
Lời giải:
Theo Cô si:
1..

333
baab
=

≤

3
1
++
ba

1..
333
caac
=

≤

3
1
++
ca

1..
333
cbbc
=

≤

3
1
++
cb
⇒

333
bcacab ++

≤

( )
3
3
32
=
+++
cba
Đẳng thức xảy ra khi
1
===
cba
.
Vậy GTLN
( )
3
333
=++
bcacab
.

Nhận xét: Ở bài toán trên do các hệ số của
333
,, bcacab
bằng nhau
nên ta dễ dàng đưa ra lời giải của bài toán. Vậy trong trường hợp các
hệ số này không bằng nhau thì sao? Ta có bài toán :
2) Cũng với giả thiết như trên, tìm GTLN
bcacab
++
2
.
Phân tích: do vai trò của
ca,
như nhau nên ta đưa vào các tham số
dương
βα
,
và bién đổi:
bcacab
++
2
=
β
β
α
α
c
bca
b
a