Đề cương toán 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (355.25 KB, 28 trang )
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung phụ nhau:
2
x
π
−
và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
− = − =
÷ ÷
− = − =
÷ ÷
4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x
π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x
x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
7. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công thức nhân ba:
3 3
sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin
2 2 2 2
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
+ − + −
+ = − = −
+ − + −
+ = − =
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
Bài 1: Cho
3 3
sin < < .Tính cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
æ ö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 2: Tính
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=
-
biết
1
sinx = .
3
Tính
2sin x 3cosx
B
3sin x 2cosx
+
=
-
biết tanx = -2
Bài 3: Chứng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
2 2
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y
Bài 5: Tính:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
p p
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p
p b p a
p a b
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
= -
æ ö
÷
ç
+ -
÷
ç
÷
ç
è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
+ + - +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
= - + -
æ ö
- -
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 6: Đơn giản biểu thức:
( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan ;
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= + - - + - + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - + - - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + - - - + - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
÷
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:
A B C
a /sin(A B) sin A; b / cosA cos(B C) 0; c /sin cos ;
2 2
3A B C
d / cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
Bài 8: Tính
cos x
3
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p=-
Bài 9: Tính
tan x
4
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
40
sin x
41
=-
và
3
< x <
2
p
p
Bài 10: Chứng minh:
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sin a cosa sin bcosb
d /sin a sin a 2 sin a
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 11: Cho tam giác ABC.Chứng minh:
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
æ ö
÷
ç
¹
÷
ç
÷
ç
è ø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =
( học thuộc kết quả )
Bài 12: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
Bài 13: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sin x
d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tan a; f / tan 2a tan a
+ - +
+ - - + + -
Bài 14: Chứng minh
ABCD
vuông nếu:
2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cosA cos B; c / sin A sin B sin C 2
cosB cosC
+
= = + + + =
+
Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[ ]
2
sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
− = →
− = − →
− ≠ ± →
0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =
1
2
tan
2
x 5) y = sin
x
+ x
2
6) y = cos
3x
III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a ;
a ;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b= =
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn
;
2 3
π π
− −
2) y = cosx trên đoạn
;
2 2
π π
−
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
−
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
4
Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
3
2
−
- 1
tan x
0
1
3
1
3
||
3−
- 1
1
3
−
0
cot x
||
3
1
1
3
0
1
3
−
-1
3−
||
2. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
.2
sin sin
.2
x k
x
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔
= − +
sin 0x x k
π
= ⇔ =
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − +
.2
cos cos
.2
x k
x
x k
α π
α
α π
= +
= ⇔
=− +
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
cos 1 2x x k
π
= ⇔ =
cos 1 2x x k
π π
= − ⇔ = +
tan tanx x k
α α π
= ⇔= +
cot cotx x k
α α π
= ⇔= +
3. BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =
2
2 os2 1c x +
b) y = tan(x +
4
π
)
c) y = cot(2x -
)
3
π
d) y =
tan 2
sinx
x
e)
1 tan
cos 2
3
x
y
x
π
+
=
−
÷
f)
2 2
tan
4
sin cos
x
y
x x
π
−
÷
=
−
g)
1
tan
y
x
=
h)
cot 2 tan
2sin 1
x x
y
x
+
=
−
Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a)
( ) sin 2 .cosf x x x=
b)
( ) tan .cos3f x x x=
c)
( ) 3 sin 3 sinf x x x= − + +
d)
( ) sinf x x=
Câu 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 5
2
y x
π
= + −
÷
b)
2
2sin 3
3
y x
π
= − − −
÷
c)
2
cos 4cos 1y x x= − +
d)
2
sin sin 3y x x= − + −
Câu 4. Giải các phương trình sau:
5
Trng THPT Hựng Vng GV: Nguyn Hu Hiu
a)
2
sin
2
x =
b)
3
sin 2
2
x =
c)
2
sin
2 3
x
=
d)
5
sin 2
4
x =
e)
sin 2 sin
5 5
x
=
ữ
f)
3
sin 3
6 2
x
=
ữ
g)
5
sin sin
3 6
x
=
ữ
h)
sin3 0x =
i)
sin 2 1
2
x
=
ữ
j)
3 2sin3 0x =
k)
2sin 4 1
3
x
=
ữ
l)
sin3
0
sin
x
x
=
Cõu 5. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
2
cos
2
x =
b)
3
cos2
2
x =
c)
2
cos
2 3
x
=
d)
5
cos2
4
x =
e)
cos 2 cos
5 5
x
=
ữ
f)
cos5 cos
0
cos
x x
x
=
g)
3
cos 3
6 2
x
=
ữ
h)
5
cos cos
3 6
x
=
ữ
i)
cos3 0x
=
j)
cos 2 1
2
x
=
ữ
k)
3 2cos3 0x =
l)
2cos 4 1
3
x
=
ữ
Cõu 6. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a/
sin3 cos2x x=
b/
3
cos 2 sin
4 4
x x
+ = +
ữ ữ
c/
cos2 cos 0x x+ =
c/
2
sin 3 cos 0
3 3
x x
+ + =
ữ ữ
d/
(1 2cos2 )( 3 2sin ) 0x x+ + =
e/
3
8cos 1 0x =
f/
( )
sin 2cos 2 .tan 2 0
4
x x x
+ =
ữ
g/
2sin 3
3 4
x
+ =
ữ
Cõu 7. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
tan 1x =
b)
tan 4
3
x
=
c)
tan 3
6
x
=
ữ
d)
3
tan3 tan
5
x
=
e)
tan 2 tan
4 3
x
=
ữ
f)
3 cot 2 1 0x =
g)
cot 1
4
x
+ =
ữ
h)
tan 2 tan 2 0
3
x x
+ =
ữ
i)
tan .tan5 1x x
=
Cõu 8. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
2
2 cos 7 cos7 0x x =
b)
2sin tan 0x x+ =
c)
4 4
2
cos sin
2
x x =
d)
2 2
sin 2 cos 3 1x x+ =
e)
sin 6 .sin 2 sin 5 .sin 3x x x x=
Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi sinx vaứ cosx
!
6
Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
"⇔
)cos(.
22
ϕ
−+
xba
#
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
#
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
"
$%#π&π'&∈(
)≠π&π*
2
x
+%
, ,!
"-.* %+/⇔
0
≥!
1+23-
2sincos3
=−
xx
'
1sin3cos
−=−
xx
4
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
'5
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
6
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
'7
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +
8
3(1 cos2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
9
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =
:Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác
;</+/=>>?@-A!
#-.-.-.-
B*-?!
1+23-
6,5!' ,96!
4 45
5
5
,
6
5
5
, 57
x
x
2
cos
3
4
cos
=
8
2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
960 04!
C
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
!
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
IV. Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx
:;D=+
!
"
• $%!Eế-ả>ấ.ệ/
• $%
cos 0x ≠
#%=-3
F*
" G.
2
1
, '
2
1
'
2
1
+=% #
:;D=+H-*I--&
J%!.
2
π
&π'&∈(
1+
1.
,6,
0
2. 4
99
3
0C
!
3. 5
4
3
,
5
4. 7,
4
6
6
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
7
Trng THPT Hựng Vng GV: Nguyn Hu Hiu
V. /Phửụng trỡnh daùng a( cosx
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
B*'%F-&%+
22
t
&
2
1
2
t
GJ#%F+%
"-.%=-0!
B*0'%F-&%+
22
t
&
2
1
2
t
1+23-
4 4!
, ,0
4 5
5 , !
6 ,, ,!
VI. Caực phửụng trỡnh lửụùng giaực khaực.
123-
: 4 !' : 06'4:7,5
,C!'
5: '6:
4
xcos
3
'7:5
5
8
1 23-
:54, 6,KH*
:
x
x
2
cos
3
4
cos
=
BL&4'
4
&4'
4
5
&4
4:
2
x
0
2
x
4
2
x
BL#
2
x
5:4 KH*'BL0
4
&
6: ,98
xcos
1
BL& '
3
&
7: 5
BL!'
2
1
8:
5
9:4,
C:5 4KH*
2
x
!: 4
:
44
KH*
:
4
0
4
0BL&#
4
&
4: , 4, KHB#%F;G+%
5: BL
4
&
6:4, !
D. I S TO HễẽP
Túm tt giỏo khoa
I. Quy tc m
8
Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B.
Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi
đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈ ¥
mà
1 k n≤ ≤
. Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 ... n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈ ¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 ... n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+
∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤
¥
III. Khai triển nhị thức Newton
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b .. C a b .. C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
–
0 1 2 n n
n n n n
C C C ... C 2
+ + + + =
–
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C ... 1 C ... 1 C 0
− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
–
( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng toán: Bài toán về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm.
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
9
Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P
n
= n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 ... n k 1
n k !
= − − + =
−
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−
Baøi 1. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Baøi 2. Cho tập
{ }
A 0;1;2;3;4=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?
Baøi 3. Từ tập
{ }
A 1,2,3,4,5=
hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số
1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Baøi 4. Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó.
Baøi 5. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi toán, 14 em giỏi văn và 10 em
không giỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả văn và toán.
Baøi 6. Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách
xếp đặt?
Baøi 7. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Baøi 8. Từ tập
{ }
A 0,1, 2,3,4,5=
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Baøi 9. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể
lập được bao nhiêu tam giác?
Baøi 10. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên (chữ số đầu tiên khác 0)
ⓐ Gồm có năm chữ số.
ⓑ Gồm năm chữ số khác nhau.
ⓒ Gồm năm chữ số khác nhau và là số lẻ.
ⓓ Gồm năm chữ số khác nhau và là số chẵn.
ⓔ Gồm năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 2.
ⓖ Gồm năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 23.
ⓗGồm năm chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3.
ⓘGồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt
đúng một lần.
ⓚ Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu ⓑ.
Baøi 11. Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên
muốn chon bốn học sinh để trực lớp. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm
trực, biết rằng:
ⓐ Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý.
ⓑ Trong nhóm phải có hai nam và hai nữ.
ⓒ Trong nhóm phải có ít nhất một nữ.
Baøi 12. Cho đa giác lồi 12 cạnh. Hỏi:
10
Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
ⓐ Đa giác có bao nhiêu bao nhiêu đường chéo?
ⓑ Có bao nhiêu véctơ khác véctơ–không được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
ⓒ Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
ⓓ Biết rằng ba đường chéo cùng không đi qua một đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính
số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo của đa giác.
Baøi 13. Có năm tem thư khác nhau và sáu bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ
đó ra ba tem thư, ba bì thư và dán ba tem thư ấy lên ba bì thư đã chọn, mỗi bì thư
chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?
Baøi 14. Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp tổ học sinh thành một hàng ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phải
đứng kề nhau?
Baøi 15. Có năm quyển sách toán khác nhau, bốn quyển sách lý khác nhau và hai quyển
sách hoá khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách đó lên kệ sách sao
cho các quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?
Dạng 5: Tìm
*
n
∈
¥
trong phương trình chứa
k k
n n n
P ,A ,C
Phương pháp giải: Dùng các công thức:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
k k
n n n
n! n!
P n! n 1 ; A n n 1 ... n k 1 1 k n ; C 0 k n
n k ! k! n k !
= ≥ = − − + = ≤ ≤ = ≤ ≤
− −
Baøi 16. Tìm
*
n
∈
¥
, nếu có:
( )
3
n
n
n 1
2P
A 1
P
−
=
.
Baøi 17. Tìm
*
n
∈
¥
, nếu có:
( )
3 3
n n 1
6n 6 C C . 2
+
− + ≥
Baøi 18. Giải các phương trình sau:
ⓐ P
2
.x
2
– P
3
.x = 8. ⓑ
2 1
. 42
x
x x
A C x
−
=
ⓒ
2 2
2
2 50
x x
A A+ =
ⓓ
4
x
3 4
x+1
A
24
A 23
x
x
C
−
=
−
Baøi 19. Giải các bất phương trình:
ⓐ
3 4
3 1 1
14 .
x
x x
P C A
−
− +
<
ⓑ
3 2
4 5( 1)
x x
A C x− ≤ −
ⓒ
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −
− − < ⓓ
1
105 105
8 3
x x
C C
+
<
Baøi 20. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
− =
ⓑ
1 1
1
: : 6 : 5 : 3
y y y
x x x
C C C
+ −
+
=
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b .. C a b .. C b
− − − −
=
+ = = + + + + + +
∑
(khai triển theo lũy thừa của a
tăng, b giảm). (Chú ý:
( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng
dần)
Baøi 21. Tìm số hạng chứa x
3
trong khai triển (11 + x)
11
.
Baøi 22. Trong khai triển
10
3
3
2 x
x
−
÷
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
Baøi 23. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
( )
8
2
1 x 1 x
+ −
Baøi 24. Bài 13: Cho khai triển:
( )
10
2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x .. a x+ = + + + +
, có các hệ số
0 1 2 10
a ,a ,a ,.., a
.
Tìm hệ số lớn nhất
Baøi 25. Tìm số hạng trong các khai triển sau
11
