Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (542.21 KB, 51 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------
NGUYỄN THỊ KIM OANH
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM- ĐIỆN PHI
TUYẾNTRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------
NGUYỄN THỊ KIM OANH
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM- ĐIỆN PHI
TUYẾNTRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã Số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội – 2013
Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân đã tận
tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi trong quá trình làm luận văn.
Tiếp đến tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Quang BáuTrưởng bộ môn Vật lý –Khoa Vật lý- trường ĐHKHTN- ĐHQGHN đã tận tình chỉ bảo
và tạo mọi điều kiện giúp tôi trong quá trình tham gia làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn tới TS Nguyễn Văn Nghĩa giảng viện trường ĐH
Thuỷ Lợi, cùng các thầy, cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết - Vật lý toán của trường
ĐHKHTN- ĐHQGHN, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, tạo đều kiện cho tôi rất nhiều trong
suốt thời gian vừa qua.
Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED
( N0 103.01 – 2011.18 )
Hà Nội, ngày
tháng
năm 2013
Học viên
Nguyễn Thị Kim Oanh
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số của
sóng âm cho trường hợp giá trị của nồng độ pha tạp nD thay đổi nD =
1.1023 m-3, nD = 1,2.1023 m-3, nD = 1,4.1023 m-3 nhiệt độ của hệ là
Trang 37
T=290 K
Hình 3.2. Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng rộng
pha tạp khi tần số sóng âm thay đổi cho trường hợp giá trị của tần số
sóng
âm
thay
đổi
q 3.1011 s 1
q 3.2.1011 s 1 nhiệt độ của hệ là T=290 K
, q 3.1.1011 s 1
,
Trang 38
Mục lục
Mở đầu……………………………………………………………………………..1
Chương I. Siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn
khối ………………………………………………………………………………...3
1.1. Siêu mạng pha tạp………………………………………………………………… ... 3
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp …………………………………………………..3
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp ……3
1.2. Tính toán dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối bằng phương pháp động
lượng tử ………………………………………………………………………………………… . 5
Chương II. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng
pha tạp…………………………………………………………………………… 8
2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp..............................8
2.2. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp...............25
Chương III. Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp.
Vẽ đồ thị, bàn luận.................................................................................................36
3.1 tính toán số và vẽ đồ thị...............................................................................................36
3.2 Thảo luận về kết quả....................................................................................................39
Kết luận chung.......................................................................................................40
Tài liệu tham khảo.................................................................................................41
Phụ lục tính toán số...............................................................................................43
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hai thập liên vừa qua, tiến bộ của Vật Lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm
được đặc trừng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn
khối sang các cấu trúc tinh thể nano như màng mỏng và các cấu trúc tinh thể thấp chiều.
Các cấu trúc tinh thể thấp chiều như cấu trúc siêu mạng, dây lượng tử, hố lượng tử......
trong hệ cấu trúc này chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt theo một hướng
toạ độ ở một vùng kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng DeBroglie, tính chất vật lý của
điện tử thay đổi đáng kể và xuất hiện một số tính chất mới lạ, các quy luật của cơ học
lượng tử bắt đầu có hiệu lực, đặc trưng cơ bản nhất là phổ năng lượng biến đổi. Phổ năng
lượng bị gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn. Do tính chất quang, điện của hệ biến
đổi mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện và tạo ra cuộc cách mạng trong lĩnh vực
khoa học, kỹ thuật như: pin mặt trời, các loại vi mạch, .......
Cấu trúc thấp chiều là một cấu trúc hoàn toàn mới, khác hẳn với những vật liệu trước
đây, nó được chia làm 3 loại: hệ không chiều, hệ một chiều, hệ hai chiều.
Hệ hai chiều trong đó có siêu mạng pha tạp với phổ năng lượng của điện tử gián đoạn
theo một chiều và điện tử chỉ chyển động tự do theo hai chiều còn một chiều hạn chế.
Chính sự gián đoạn của phổ năng lượng và hạn chế chuyển động của điện tử theo một
chiều này đã làm ảnh hưởng lên các tính chất phi tuyến của hệ.
Trong hệ thấp chiều cấu trúc siêu mạng thu hút sự quan tâm của rất nhiều các nhà vật lý
lý thuyết và thực nghiệm vì nó đã góp phần tạo ra linh kiện và các thiết bị điện tử hiện
đại, công nghệ cao và là cơ sở của các thiết bị điện tử siêu nhỏ đa năng. Chính vì vậy có
rất nhiều các công trình nghiên cứu về các hiệu ứng trong siêu mạng. theo chân thế hệ
trước em chọn đề tài nghiên cứu của mình là “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện
phi tuyến trong siêu mạng pha tạp “
2. Phương pháp nghiên cứu:
Có rất nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau như phương trình động Bolzman; lý
thuyết hàm Geen; lý thuyết nhiễu loạn…. mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm
riêng tuỳ từng bài toán mà ta chọn phương pháp giải. Để tính “Lý thuyết lượng tử về hiệu
ứng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp “ theo quan điểm hiện đại chọn phương
pháp phương trình động lượng tử là tối ưu.
Kết quả thu được từ luận văn đã được báo cáo ở Hội nghị vật lý sinh viên trường Đại
Học Khoa Học Tự Nhiên năm 2013.
3. Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn của em gồm 3
chương:
Chương I. Siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn khối
Chương II. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp
Chương III. Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp. Vẽ đồ thị,
bàn luận
Trong đó chứa đựng kết quả chính của khoá luận nằm ở chương II, chương III.
Phần cuối của khoá luận có đưa ra phụ lục với chương trình Matlab tính số.
Chương I
SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG BÁN
DẪN KHỐI
1.1. Siêu mạng pha tạp
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc
hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán
dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế
tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ
được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu
mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên
qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ
xung vào thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn
siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng
được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau. Siêu mạng
pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số của siêu mạng nhờ thay đổi
nồng độ pha tạp.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Giả sử thế của siêu mạng được tạo theo chiều z. Với giả thiết hố thế có thành cao
vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu
được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử như sau:
n,p
z
S0
r eipz jz n z jd
j 1
Phổ năng lượng:
1
n ,p p n
2
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng
(x,y) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng:
n,p
r ei p r U n r
S0
e
ipz jz
n z jd
j 1
Và phổ năng lượng:
n , p
2 p2
1
p n
*
2m
2
Trong đó :
n = 1, 2, 3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
p p pz vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện tử).
Với n z là hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập
m* khối lượng hiệu dụng của điện tử
S0 là số chu kì siêu mạng
p hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y)
r hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y)
1
2
4 n D
p
là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất với nồng độ pha tạp nD .
0m
Ta nhận thấy rằng phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha
tạp chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng
lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra
những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong siêu mạng pha tạp so với
bán dẫn khối.
1.2. Tính toán dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối bằng phương pháp động
lượng tử
Bán dẫn khối: là tinh thể mà về mặt cấu trúc năng lượng có một vùng hóa trị bị
chiếm đầy và trên nó là một vùng trống (gọi là vùng dẫn), vùng cấm nằm giữa hai vùng
này có giá trị không lớn lắm (dưới vài eV).
Hiệu ứng âm – điện trong bán dẫn khối [4 – 6] đã được nghiên cứu nhiều trong
những năm gần đây. Và sự quan tâm càng tăng lên khi quan sát hiệu ứng này trong cấu
trúc nhiều lớp. Đặc biệt, hiệu ứng âm điện được nghiên cứu trong ống một chiều và độ
sâu hữu hạn của hố thế [6, 17,24]. Hiệu ứng âm – điện cũng được đo bằng phương pháp
thực nghiệm, ví dụ: trong các ống hiển thị cacbon [18] và trong một giếng lượng tử
InGaAs [25].
Giả sử có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trường E và có sóng âm truyền qua
khối bán dẫn đó, khi đó sẽ xuất hiện một dòng điện nếu mạch điện kín và một hiệu điện
thế nếu mạch điện hở.
Vậy: hiệu ứng âm – điện là sự truyền xung lượng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết
quả là có thể tạo ra dòng âm – điện
nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trường
không đổi nếu mạch điện hở.
* Dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối
Trước hết, chúng ta sẽ xem xét một bán dẫn với sự có mặt của cả điện tử và lỗ trống.
Tương tác âm – điện của siêu âm với các hạt mang điện có thể được mô tả bởi phương
trình chuyển động của mạng tinh thể, phương trình trạng thái của kim loại, phương trình
Maxwell và một phương trình cho dòng âm – điện được tạo ra bởi siêu âm. Cùng với sự
có mặt của liên kết thế biến dạng và liên kết áp điện, tương tác đều được nghiên cứu khi
điện trường là dọc. Bởi vậy, chúng ta chỉ cần phương trình Poisson và phương trình liên
tục để xác định dòng điện dịch trong số các dòng điện tạo ra bởi sóng. Những phương
trình có liên quan là:
2i Tij
t 2 x j
Tij Cijkl Skl nCije pCijp ijk Ek
Di є Ei 4ijk S jk
1 j
Sij i
2 x j x j
D 4 e(n p )
e
(n p )
. j
t
Với
là độ dịch chuyển do sóng âm, Tij là tenxơ ứng xuất, Sij là tenxơ biến dạng,
Cijkl là hằng số đàn hồi.
và lỗ trống,
và
tương ứng là các hằng số liên kết biến dạng cho điện tử
là tenxơ áp điện, n và p tương ứng là mật độ điện tử và lỗ trống, E là điện
trường và D là độ điện dịch, є là hằng số tĩnh điện.
Dòng âm điện tìm ra là:
jix xx (i ) E1 Rxx (i )n1evs xx (3 , 1 3 ) xx (2 , 1 2 ) E2 E3
S xx (3 , 1 3 )evs n3 E2 S xx (2 , 1 2 )evs n2 E3
(1.3)
Trong đó:
ai2
a
ai
w i
2
qi l
(qi .l ) iqi l
xx (i )
2 0
qi l
Rxx (i )
a
v0
ai
i w i
1
vs iqi l iqi l
iqi l
xx (1 , 3 1 )
(1.5)
a1 a1 a3 a3
2 0
w
w
.v0 q1l (a3 31a1 ) iq1l iq1l iq3l iq3l
a13
a3
a1
a33
a32
2
a12
w
w
3
3
(a3 31a1 ) i (q1l ) iq1l i (q3l ) iq3l i (q1l ) 2 i (q3l ) 2
i31
(a3 31a1 )2
(1.4)
a12
a3
a1
a32
a3
a1
w
w
2
2
.q1l
.q3l
(q1l ) iq1l (q3l ) iq3l
2a1 a1
i
1
2a13 a1
2a12
w
w
a3 31a1 (q1l )2 iq1l
.q1l (q1l ) 4 iq1l (q1l )3
S xx (1 , 3 1 )
.vs
a12
a
a1
a32
a3
2
a1
w
w 3
2
2
.q1l
.q3l
q1l (a3 31a1 ) (q1l ) iq1l (q3l ) iq3l
(1.6)
a1 a1 a3 a3
w
w
q1l iq1l q3l iq3l
31
(a3 31a1 ) 2
1 a1 2a12 a1
2a1
w
w
a3 31a1 q1l iq1l (q1l )3 iq1l
(q1l ) 2
(1.7)
Vậy: đối với một bán dẫn khối, khi có một sóng âm với cường độ đủ lớn sẽ có
dòng âm – điện được tạo ra, và thời gian hồi phục của hạt mang điện phụ thuộc vào
năng lượng của điện tử.
Chương II
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM- ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp:
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng âm- điện
có dạng:
(2.1)
H H 0 H e ph
H 0 n , p an, p an , p
k bkbk
n , p
H e ph
(2.2)
k
n , n ' , p , q
CqU n ,n (q )an, p
'
q
an , p b q exp(iq t )
'
n , n ' , p , k
Ck I n ,n (k z )an, p
.3)
Trong đó:
an, p , an , p lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử.
'
k
an , p (bk bk )
'
(2
bq , bq lần lượt là các toán tử sinh, hủy phonon.
p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.
q là tần số của phonon ngoài.
k là tần số của phonon trong.
C q là hằng số tương tác điện tử - phonon ngoài.
Ck là hằng số tương tác điện tử - phonon trong.
U n , n' ( q ) là yếu tố ma trận của toán tử U exp(iqy l z )
I n, n ' k z là thừa số dạng điện tử được t:
L
2
I n, n ' k z sin k zn ' z sin k zn z eikz z dz
L0
Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử nn , p t an, p an , p có dạng:
t
i
nn, p t
t
an, p an, p , H .
t
(2.4)
Hay ta có thể viết:
i
nn , p t
t
an, p an, p , n' , p ' an', p ' an ', p '
n ' , p'
t
an, p an , p ,
k bk bk
k
an, p an , p , CqU n ', n1 ' q z an', p ' q an' , p ' b q exp( iq t )
1
n ', n1 ', p ' , q
an, p an , p , Ck I n ', n' k z an', p ' q an' , p ' bk bk
1
1
n ', n1 ', p' , k
t
t
(2.5)
t
Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson:
a
n , p
, an', p ' an , p an', p ' an , p an', p ' n ,n ' p , p ' ; an , p , an ', p ' an, p , an', p ' 0
bq , bq' bq bq' bq'bq q ,q ' ; bq , bq ' bq , bq' 0
Ta có:
an, p an , p , a a an, p an , p a a a a an, p an , p
n ,p
n ,p
n ,p
n ,p
n ,p
n ,p
'
'
'
'
an, p ( n ,n p
'
an, p an , p n ,n p
'
'
'
'
'
'
'
'
'
an , p an , p )an , p an , p ( n ,n p
'
, p
'
'
'
p
'
'
'
'
'
'
'
'
, p
an, p an , p )an , p
'
an, p an , p ' an , p an ', p ' an', p ' an , p n ,n p
'
'
'
'
p
an', p ' an, p an ', p ' an , p
0
Suy ra: an, p an , p
,
n ', p '
n ', p '
an', p ' an ', p '
0
(2.6)
t
an, p an , p , b k bk an, p an , p b k bk b k bk an, p an , p 0
Suy ra : an, p an , p ,
k bk bk
k
an, p an , p , an', p '
q
an '
1,
an, p ( n , n ' p
an', p '
an, p an '
1,
p '
t
p '
bq an, p an , p an', p '
q
, p '
q
an', p '
( n ,n ' p
1
bq n ,n ' p
, p '
q
p '
q
(2.7)
0
q
an , p ) an '
1,
an '
1,
p '
1
1
,
an, p an ' p ' ) an , p bq
an', p '
q
bq an', p '
bq
q
,
an , p bq n ,n ' p
Suy ra:
a a ,
CqU n ',n ' (q) an', p '
n, p
n, p
n', n '
p' q
p '
an '
1,
p '
bq
t
1
p '
q
an '
1,
p '
bq an, p an , p
CU
q
n ', n '1
an, p an '
1,
p '
bq n ,n ' p
, p '
n', n '1
p ' , q
q
n ',q
an, p an , p , an', p '
k
n , p
an , p bq a
t
an', p '
q
an , p bq n ,n ' p
1
p '
an ', p
q
bq
t
t
(2.8)
an ' , p ' bk bk
1
an, p an , p an', p '
n ', p q
n ', n '1
n', n '1
p ' , q
t
CqU nn ' a
CU
q
k
an, p n ,n ' p
an ' , p ' bk bk an', p '
1
, p ' k
an', p '
k
an', p '
k
n ,n '1
k
an ' , p ' bk bk an, p an , p
1
an, p an '1 , p ' bk bk
p , p ' an, p an '1 , p ' an , p bk bk
an, p an '1, p ' (bk bk ) nn ' p
, p ' k
an', p
k
an , p (bk bk ) nn '1 p , p '
Suy ra:
an , p an , p , Ck I n ', n '1 k z an ', p ' k an '1 , p ' bk b k
n ', n '1 , p ' , k
n ', n '1, p ' , k
Ck I n ',n '1 an, p an '1, p ' (bk bk ) nn ' p
, p 'k
n ', n '1, p ' , k
Ck I n ',n '1 an', p
k
Ck I n ,n ' an, p an ', p k bk
n ', k
an', p
k
t
an, p (bk bk ) nn '1 p , p '
an, p an ', p
k
k
b
t
an , p bk an', p
t
k
t
an , p bk
t
(2.9)
Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8), (2.9) vào (2.5) và đặt :
Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q t an1 , p1 an2 , p 2 bq
Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q t an1 , p1 an2 , p2 bq
t
t
an2 , p2 an1 , p1bq
t
Ta thu được phương trình:
i
nn , p (t )
CqU nn ' ( Fn ', p q , n, p ,q Fn, p ,n ', p q ,q )
n ', q
t
Ck I nn ' Fn , p
n ', k
, n ', p k ,k
t Fn', p
k , n , p , k
t Fn ', p
k , n , p ,k
t F n, p
, n ', p k , k
t
(2.10)
Hay:
nn , p ( t )
t
i
C I Fn ', p k ,n , p ,k t F n , p n ', p k , k t Fn , p ,n ', p k ,k t
k nn '
,
n ',k
Fn', p
k , n , p , k
(t )
i
CqU nn '[Fn, p ,n ', p q ,q (t ) Fn', p q ,n , p ,q (t)]
n ',q
(2.11)
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p ' an ', p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p ' an ', p ' an', p ' an ', p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1
an1 , p1 n2 n ' p2 p ' an', p ' an2 , p2 an ', p ' bq1 an', p ' n2 n ' p1 p ' an1 , p1 an ', p ' an2 , p2 bq1
an1 , p1 an ', p ' bq1 n2 n ' p 2 p ' an1 , p1 an', p ' an2 , p 2 an ', p ' bq1
an', p ' an2 , p 2 bq1 n2 n ' p1 p ' an', p ' an1 , p1 an ', p ' an2 , p 2 bq1
an1 , p1 an ', p ' bq1 n2n ' p2 p ' an', p ' an2 , p2 bq1 n2 n ' p1 p '
n ',p' an', p ' an ', p '
an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,
n ',p'
Suy ra:
n ', p '
n ',p'
a
n1 , p1 n ', p ' q1
t
b n2 n ' p2 p ' an', p ' an2 , p2 bq1 n2 n ' p1 p '
a
n2 ,p 2 an1 , p1 an2 , p 2 bq1
t
t
n1 ,p1 an1 , p1 an2 , p 2 bq1
t
n1 ,p1 n2 ,p 2
an1 , p1 an2 , p2 bq1
t
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , b k bk an1 , p1 an2 , p2 bq1 b k bk b k bk an1 , p1 an2 , p2 bq1
an1 , p1 an2 , p2 b k bq1 bk an1 , p1 an2 , p2 b k bkbq1 an1 , p1 an2 , p2 b k q k bk bq1
1
an1 , p1 an2 , p2 b k bkbq1 an1 , p1 an2 , p2 b k q k
(2.12)
1
Suy ra:
k b k bk
an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,
k
k an1 , p1 an2 , p2 b k q k
1
k
t
q1 an1 , p1 an2 , p2 b q1
t
(2.13)
t
an , p an , p bq , a an ' , p ' b b an , p an , p bq a an ' , p ' b b
k
k
k
1 1
2 2
1 n ', p ' k
1
1 1 2 2 1 n ', p ' k 1 k
an', p '
k
an '1 , p ' bk bk an1 , p1 an2 , p2 bq1 an1 , p1 n2 n ' p , p '
an', p '
k
n '1 n1
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bk bk n2 n ' p
an', p '
k
p '
, p2
2 , p ' k
an', p '
k
k
k
an2 , p2 an1 , p1 bq1 bk bk
an1 , p1 an', p '
an', p '
k
an2 , p2 an '1 , p ' bq1 bk bk
an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 bk bk bq1
an2 , p2 bk bk bq1 n '1 n1 p ' , p2
k
2
an', p '
an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 bk bk bq1
an2 , p2 bk bk bq1 n '1 n1 p ' , p2 an', p '
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bk bk n2 n ' p , p '
k
2
k
an1 , p1 an2 , p2 an '1 , p ' bq1 bk bk bk bk bq1
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bk bk n2 n ' p , p '
2
k
an', p '
k
an2 , p2 bk bk bq1 n '1 n1 p ' , p2
an', p '
k
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bk bk n2 n ' p , p '
2
k
an', p '
an1 , p1 an', p '
k
k
an1 , p1 an2 , p2 an '1 , p ' q ,k
1
an2 , p2 bk bk bq1 n '1 n1 p ' , p2
an2 , p2 an '1 , p ' q ,k
1
Suy ra: an1 , p1 an2 , p 2 bq1 , Ck I n ' n '1 an', p ' k an '1 , p ' bk bk
n ', n '1 , p ' , k
Ck I n ' n '1 an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bk bk n2 n ' p
Ck I n ' n '1 an', p '
n ', n '1 , p ' , k
n ', n '1 , p ' , k
k
k
an2 , p2 an '1 , p ' q ,k
1
1
2
n ', n '1 , p '
t
t
t
2
n ', k
t
an1 , p1 an ' , p k bq1 bk bk
Ck I n ' n1 an', p k an2 , p2 bk bk bq1
an2 , p 2 bk bk bq1 n '1 n1 p ' , p2
Ck I n ' n '1 an1 , p1 an', p '
k n2 n '1
n '1 , k
t
2 , p ' k
n ', n '1 , p ' , k
C I
t
Cq1 I n ' n '1 an1 , p1 an', p ' q1 an2 , p2 an '1 , p '
t
(2.14)
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p ' q an '1 , p ' bq an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p ' q an '1 , p ' bq an', p ' q an '1 , p ' bq an1 , p1 an2 , p2 bq1
b b
an1 , p1 an2 , p2 an', p ' q an '1 , p ' bq1 bq an', p ' q an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p2 qq
q1 q
1
an1 , p1 n2 n ' p2 , p ' q an', p ' q an2 , p2 an '1 , p ' bq1 bq
b b
an', p ' q n1n '1 p1 p ' an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 qq
q1 q
1
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2n ' p 2 , p ' q an', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 bq1 bq
a
an', p ' q an2 , p2 n1n '1 p1 p ' qq
n ', p ' q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p '
1
a
an', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p 2 qq
n ', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq
1
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2 n ' p2 , p ' q an', p ' q n1n '1 p1 p ' an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq
a
an', p ' q an2 , p2 n1n '1 p1 p ' qq
n ', p ' q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p '
1
a
an', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 qq
n ', p ' q n1n '1 p1 p ' an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq
1
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2 n ' p 2 , p ' q an', p ' q an2 , p 2 bq1 bq n1n '1 p1 p '
an', p ' q an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p 2 bq1 bq an', p ' q an2 , p 2 n1n '1 p1 p ' qq
1
an', p ' q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p ' an', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 qq
1
b b
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2 n ' p2 , p ' q an', p ' q an2 , p2 qq
q1 q
n1n '1 p1 p '
1
an', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p 2 qq
1
Suy ra: an1 , p1 an2 , p2 bq1 , CqU n ' n '1 an', p ' q an '1 , p ' bq
n '1 , n ', p ' , q
n '1 , n ', p ' , q
t
CqU n ' n '1 an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2n ' p2 , p ' q
t
n '1 , n ', p ' , q
n '1 , n ', p ' , q
b b
CqU n ' n '1 an', p ' q an2 , p2 qq
q1 q
n1n '1 p1 p '
1
t
CqU n ' n '1 an', p ' q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 qq
1
t
CqU n2n '1 an1 , p1 an '1 , p2 q bq1 bq CqU n ' n1 an', p1 q an2 , p2 bqbq1
n '1 , q
t
n '1 , n ', p '
n ', q
t
Cq1U n ' n '1 an', p ' q1 an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2
(2.15)
t
Ta tìm biểu thức của Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 t bằng phương pháp phương trình động lượng
i
tử:
Fn1, p1 ,n2 , p2 ,q1 t
t
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , H
(2.16)
t
Ta có:
an1 , p1 an2 , p 2 bq1 , an', p ' an ', p ' an1 , p1 an ', p ' bq1 n2 ,n ' p 2 , p ' an', p ' an2 , p2 bq1 n1 ,n ' p1 , p '
Suy ra:
n ', p ' an', p ' an ', p '
an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,
n ', p '
t
n2 , p2 an1 , p1 an2 , p2 bq1 n1 , p1 an1 , p1 an2 , p2 bq1
t
( n1 , p1 n2 , p2 ) an1 , p1 an2 , p2 bq1
t
t
( n1 , p1 n2 , p2 ) Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q1 t
(2.17)
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , bk bk an1 ,p1 an2 , p 2 bk q ,k
1
Suy ra:
b b
an1 , p1 an2 , p 2 b q1 ,
k k k
k
q1 an1 , p1 an2 , p2 bq1
t
q1 Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 t (2.18)
t
an1 , p1 an2 , p 2 bq1 , an', p ' q an '1 , p ' bq
an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p ' q an '1 , p ' bq an', p ' q an '1 , p ' bq an1 , p1 an2 , p 2 bq1
an1 , p1 ( n2n ' p2 , p ' q an', p ' q an2 , p2 ) an1 , p ' bq1 bq
an', p ' q ( n '1 n1 p ' , p2 an1 , p1 an '1 , p ' )an2 , p2 bq bq1
an1 , p1 an1 , p ' bq1 bq n2n ' p2 , p ' q an', p ' q an2 , p2 bqbq1 n '1 n1 p ' , p2
an1 , p1 an', p ' q an2 , p 2 an '1 , p ' q1 ,q
Suy ra:
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , CqU n ',n '1 an ', p ' q an '1 , p ' bq
n ', n '1 , p ' , q
n ', n '1 , p ' , q
t
CqU n ',n '1 an1 , p1 an1 , p ' bq1 bq n2n ' p2 , p ' q
CqU n ',n '1 an', p ' q an2 , p2 bq bq1 n '1 n1 p ' , p2
CqU n ',n '1 an1 , p1 an', p ' q an2 , p2 an '1 , p ' q1 ,q
n ',n '1 , p ' , q
n ', n '1 , p ' , q
an1 , p1 an1 , p2 q bq1 bq CqU n ' n1 an', p 2 q an2 , p 2 bq bq1
CqU n n '
2 1
n '1 , q
n ', q
t
n ', n '1 , p '
t
Cq1U n ',n '1 an1 , p1 an', p ' q1 an2 , p2 an '1 , p '
(2.19)
an , p an , p bq , a an ' , p ' (b b )
k
1 1 2 2 1 n ', p ' k 1 k
an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p '
a
n '1 , p '
k
(bk bk ) an', p '
a
n '1 , p '
k
an1 , p1 an '1 , p ' bq1 (bk bk ) n2n ' p
2 , p ' k
an1 , p1 an', p '
k
an', p '
k
(bk bk )an1 , p1 an2 , p2 bq1
an2 , p2 (bk bk )bq1 n1n '1 p1 , p '
an2 , p2 an '1 , p ' q , k
1
Suy ra:
an1 , p1 an2 , p2 bq1 , Ck I n ' n '1 an ', p ' k an '1 , p ' (bk b k )
n ',n '1 , p ' ,k
n ', n '1 , p ' , k
Ck I n ' n '1 an', p '
Ck I n ' n '1 an1 , p1 an', p '
n ',n '1 , p ' , k
n ', n '1 , p ' , k
1
an1 , p1 an ' , p
n '1 , k
k
2 k
1
n ',k
n ', n '1 , p '
k
an2 , p 2 an '1 , p ' q , k
2 k
n ', k
n ', n '1 , p '
1
t
t
bq1 (bk bk ) t
t
C q1 I n2 ,n '1 an1 , p1 an', p ' q1 an2 , p2 an '1 , p '
Ck I n2n ' an1 , p1 an ', p
t
an2 , p 2 (bk bk )bq1 n1n '1 p1 , p '
Ck I n1n ' an', p k an2 , p2 (bk bk ) b q1
1
2 , p ' k
2
t
Ck I n ' n '1 an1 , p1 an '1 , p ' bq1 (bk bk ) n2n ' p
Ck I n n '
t
bq1 (bk bk ) t I n1n ' an', p k an2 , p2 (bk bk ) b q1
1
t
C q1 I n2 ,n '1 an1 , p1 an', p ' q1 an2 , p2 an '1 , p '
t
(2.20)
Do an1 , p1 an', p ' q1 an2 , p 2 an '1 , p ' , n 2p 1 nên ta có thể bỏ qua số hạng này.
t
Thay (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) vào (2.16) ta được:
i
Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q1 t
t
( n1 , p1 n2 , p2 ) q1 Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 t
CqU n2n '1 an1 , p1 an1 , p2 q bq1 bq CqU n ' n1 an', p 2 q an2 , p 2 bq bq1
n '1 , q
n ', q
t
t
Ck I n2 n1 ' an1 , p1 an ', p k bq1 (bk bk ) t I n1n1 ' an ', p k an2 , p2 (bk bk ) b q1
1
2
1
1
t
n ', k
1
(2.21)
Để giải (2.21), ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng sau:
i
Fn01 , p1 ,n2 , p2 ,q t
1
t
( n1 , p1 n2 , p2 ) q1 Fn01 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 t
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q1 t
t
0 , ta có nghiệm của phương
trình thuần nhất:
0
n1 , p1 ,n2 , p2 , q1
F
i t
t exp n1 , p1 n2 , p2 q1 dt1
(2.22)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất (2.21) ta dùng phương pháp biến
thiên hằng số. Đặt
Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q1 t (t ) Fn01 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 t
(2.23)
Thay (2.23) vào (2.21) ta được:
(t )
i
CqU n2 n '1 an1 , p1 an1 , p2 q bq1 bq CqU n ' n1 an', p2 q an2 , p2 bq bq1
t
t
t
n '1 ,q
n ', q
i t
exp n1 , p1 n2 , p2 q1 q dt1
Ck I n2 n '1 an1 , p1 an ' , p k bq1 (bk bk ) t I n1n '1 an' , p k an2 , p 2 (bk bk ) b q1
1 2
1 1
t
n '1 , k
i t
exp n1 , p1 n2 , p2 q dt1
Suy ra:
t
i 2
(t ) Cq U n2n1 ' an1 , p1 an1 , p2 q bq1 bq U n1 ' n1 an1 ', p2 q an2 , p2 bq bq1
t
t
n1 ',q
Ck I n2 n '1 an1 , p1 an ' , p k bq1 (bk bk ) t I n1n '1 an' , p k an2 , p 2 (bk bk ) b q1
1 2
1 1
t
n '1 , k
i t
exp n1 , p1 n2 , p2 q dt1 dt2
(2.24)
Thay (2.22), (2.24) vào (2.23) ta được:
t
i
Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q1 (t ) Ck I n1n '1 an' , p k an2 , p 2 (bk bk ) bq1
1 1
n '1 ,k
I n2n '1 an1 , p1 an ' , p
1
t1
i
b (bk bk ) t exp ( n1 , p1 n2 , p2 q1 )(t t1 ) dt1
1
q1
2 k
t
i
C
q dt1 U n1 ' n1 an1 ', p1 q an2 , p2 bq bq1
n1 ',q
t1
U n2 n1 ' an1 , p1 an1 , p 2 q bq1 bq
i
exp ( n1 , p1 n2 , p2 q1 q )(t t1 )
t1
(2.25)
Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình số điện tử nn , p t an, p an , p
t
và
trung bình số phonon N q bq bq , lấy n '1 n2 , q1 k ở số hạng thứ nhất chứa Ck và
t
lấy n '1 n1 , q1 k ở số hạng thứ hai chứa Ck , ta được:
Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 (t )
i t
C q1 I n1n2 an2 , p1 q1 an2 , p2 bq1 bq1
I n2n1 an1 , p1 an1 , p 2 q1 bq1 bq1
t1
t1
i
exp ( n1 , p1 n2 , p 2 q1 )(t t1 ) dt1
(2.26)
Tính toán tương tự với F n1 , p1 ,n2 , p2 ,q1 (t) ta có:
Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1 (t)
t
i
I
C
n1n1 ' an1 ', p1 k an2 , p2 bk bq1
k
n1 ',k
I n2n1 ' an1 , p1 an ', p
1
t1
i
b (bk bk ) t exp ( n1 , p1 n2 , p 2 q1 )(t t1 ) dt1
1
q1
k
2
t
i
Cq dt1 U n1 ' n1 an1 ', p1 q an2 , p2 bq bq1
n1 ',q
t1
U n2 n1 ' an1 , p1 an1 , p 2 q bq1 bq
t1
i
exp ( n1 , p1 n2 , p 2 q1 q )(t t1 )
(2.27)
Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình số điện tử nn , p t an, p an , p
t
và trung bình
số phonon N q bq bq , đổi chỉ số n '1 n2 , q1 k ở số hạng thứ nhất chứa Ck và lấy
t
n '1 n1 , q1 k ở số hạng thứ hai chứa Ck , n '1 n2 , q1 q ở số hạng thứ nhất chứa Cq ,
n '1 n1 , q1 q ở số hạng thứ hai chứa Cq ta được:
n1 , p1 ,n2 , p2 , q1
F
i t
(t) C q1 I n1n2 an2 , p1 q1 an2 , p2 b q1 bq1
I n2n1 an1 , p1 an1 , p 2 q1 bq1 b q1
t1
i
exp ( n1 , p1 n2 , p2 q1 )(t t1 ) dt1
t1
i t
dt1Cq1 U n2n1 an2 , p1 q1 an2 , p 2 bq1 bq1
t1
U n2n1 an1 , p1 an1 , p2 q1 bq1 bq1
i
exp ( n1 , p1 n2 , p 2 q1 q )(t t1 )
t1
(2.28)
Từ (2.26), (2.28), thay vào (2.11), ta được:
nn , p ( t )
t
t
1
1
I
C
dt1 C k I n ' n (an, p an, p b k bk an', p k an ', p k bk b k )
2 k nn '
n ',k
i
exp n ', p k n , p k i
1
i
b b an, p an , p bk bk exp n , p n ',p k k i t t1
i
an', p k an ', p k bk bk an, p an , p bk bk exp n , p n ',p k k i t t1
Ck I nn ' an', p
C k I nn '
t t
k n ', p k k k
a
Ck I nn ' an, p an , p bk bk an', p
i
b b exp n ',p k n, p k i
k
n
',
p
k
k k
a
t t
1
t
1
1
2 CqU nn ' dt1 CqU nn ' an', p q an ', p q bq bq an, p an , p bq bq
n ',q
i
exp ( n , p n ', p q k q i )(t t1 )
i
CqU nn ' an, p an , p bqbq an', p q an ', p q bq bq exp ( n ', p q n, p k q i )(t t1 )
1
C
2 n ',k k
2
I nn '
2
t1
dt a
1
n , p
an , p bk bk an', p
k
an ', p
i
exp n ', p k n , p k i
b b
k k
k
t t
1
i
an, p an , p bkbk an', p k an ', p k bk bk exp n ',p k n , p k i
t t
1
i
an', p k an ', p k bkbk an, p an, p bk bk exp n, p n ',p k k i t t1
i
an', p k an ', p k bkbk an, p an, p bk bk exp n, p n ',p k k i
t t
1
t
1
2
1
2
2 Cq U nn ' dt1 an, p an , p bqbq an', p q an ', p q bq bq
n ',q
i
exp ( n , p n ', p q k q i )(t t1 )
i
an', p q an ', p q bqbq an, p an, p bqbq exp ( n , p n ', p q k q i )(t t1 )
