Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - Năm 2013

Mục lục
1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân thường . . . . .

4

1.1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên . . .
Khái niệm về bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
7

1.2
2

3

Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

8

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Toán tử input-output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3
2.4

Tính chất của bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cực đại hóa bán kính ổn định bởi thông tin phản hồi đầu ra . . . . . . . . .

17
28

Bán kính ổn định của hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục

31

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2
3.3

Toán tử input-output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các tính chất của bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
35

Tài liệu tham khảo

38

i


Lời nói đầu
Vào cuối thế kỉ XIX khi mà Lyapunov công bố công trình "Bài toán tổng quát về tính ổn
định của chuyển động" (The General Problem of Stability of Motion in 1892) đánh dấu sự
nghiên cứu một cách có hệ thống về lý thuyết ổn định và trở thành một bộ phận quan trọng
trong lý thuyết nghiên cứu về định tính của phương trình vi phân. Đến nay, đã hơn một thế
kỷ trôi qua, bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân vẫn là một lĩnh vực toán học được
nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ về cả lý thuyết lẫn áp dụng trong
các lĩnh vực khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, y học... Trong các bài toán liên quan

đến tính ổn định thì bài toán về nghiên cứu ổn định vững đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì
nó cho phép ta nghiên cứu tính ổn định cấu trúc. Vì thế, bắt đầu từ năm 1986, D.Hinrichsen
và A.J.Pritchard đưa khái niệm goi là bán kính ổn định. Khái niệm này đã hình thành một
hướng nghiên cứu mớivà đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học vì tính thời sự của nó
cũng như những ứng dụng trong các bài toán kinh tế- kỹ thuật.
Tuy nhiên phần lớn các công trình này nghiên cứu dựa trên giả thiết là các hệ phát triển
trong môi trường không biến đổi, tức các hệ số tham gia vào phương trình là những hàm tất
định. Điều đó rõ ràng là không phù hợp với hiện thực vì môi trường đang xét luôn luôn biến
động. Do đó việc tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tham gia vào sự phát triển của mô hình này
là hết sức quan trọng và cần thiết.
Trên ý tưởng như vậy, trong Luận văn này, chúng tôi muốn nghiên cứu bán kính ổn định
của các hệ chịu tác động của các yếu tố ngẫu nhiên dưới dạng ồn trắng. Các công thức về
tính bán kính ổn định cũng được đưa ra trong các chương II và chương III.
Các nội dung chính của Luận văn được dựa trên các bài báo [1, 2].
Luận văn được chia làm 3 chương:
Chương I: Các kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về tính ổn định, bán kính
ổn định cũng như một số công thức tính bán kính ổn định phức của phương trình vi phân và
phương trình sai phân có chịu nhiễu chưa biết có cấu trúc đã biết.
Chương II: Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc.
Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [1]. Trong chương này, chúng tôi giải
bài toán bán kính ổn định của µ− phân tích ngẫu nhiên với hệ thời gian rời rạc bằng kĩ thuật
1


MỤC LỤC

định thang và kiểm tra bài toán tối ưu hóa bởi thông tin phản hồi đầu ra động học, cụ thể là
bài toán µ− tổng hợp.
Chương III: Bán kính ổn định của hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục.

Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [2]. Trong chương này, chúng tôi giải bài
toán bán kính ổn định của hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục.

2


Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS Nguyễn Hữu Dư. Thầy
đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá
trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao học
Toán khóa 2010- 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tình
trong suốt khóa học và thời gian làm luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh, chị, em học viên đồng khóa và các em sinh viên
năm cuối khoa Toán-Cơ-Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tôi hoàn thành bản luận
văn này.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên
cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Hà nội,ngày..... tháng .....năm 2013
Học viên

Nguyễn Thị Thu

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Chúng tôi dẫn vào trong mục này một vài khái niệm và định nghĩa chính cơ bản của lý thuyết
ổn định.

1.1.1

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân thường

Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên
dx(t) = f (x(t)), x(0) = x0 , t ∈ R

(1.1)

hoặc là hệ phương trình sai phân
xt+1 = f (xt ), x(0) = x0 ∈ Rd , t ∈ N
ở đây x(t) ∈ D ⊆ Rn ký hiệu véctơ trạng thái của hệ, D là tập mở bao chứa trạng thái ban
đầu x(0) và f : D → Rn là hàm liên tục trên D. Giả sử rằng với mỗi điều kiện ban đầu x(0),
nghiệm của hệ (1.1) tồn tại duy nhất và trên [0, ∞). Ngoài ra f có trạng thái cân bằng xe , tức
là f (xe ) = 0.
• Trạng thái cân bằng của hệ trên được gọi là ổn định Lyapunov, nếu với mọi ε > 0, tồn
tại δ = δ (ε) > 0 sao cho, nếu x(0) − xe < δ thì x(t) − xe < ε, với mọi t ≥ 0.
• Trạng thái cân bằng của hệ trên được gọi là ổn định tiệm cận nếu xe là ổn định Lyapunov
và tồn tại δ1 > 0 sao cho nếu x(0) − xe < δ1 thì lim x(t) − xe = 0.
t→∞

• Trạng thái cân bằng của hệ trên được gọi là ổn định mũ nếu xe là ổn định tiệm cận và
tồn tại α, β , δ > 0 sao cho nếu x(0) − xe < δ thì x(t) − xe ≤ α x(0) − xe e−βt ,
với t ≥ 0.

4


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ta có thể giải thích sơ bộ ý nghĩa của các định nghĩa ở trên như sau: Tính ổn định Lyapunov
của trạng thái cân bằng nghĩa là cho trước một khoảng cách ε > 0, nếu các nghiệm xuất phát
ở khoảng cách "đủ gần" với trạng thái cân bằng (trong khoảng δ từ điểm cân bằng) thì nghiệm
vẫn mãi mãi vẫn "đủ gần" với điểm cân bằng (trong khoảng cách đã định ε). Chú ý rằng điều
này đúng với ε > 0 tùy ý. Ổn định tiệm cận nghĩa là không chỉ ổn định Lyapunov mà nếu
xuất phát đủ gần thì nó còn phải hội tụ tới trạng thái cân bằng. Ổn định mũ nghĩa là nghiệm
không chỉ hội tụ, mà trên thực tế còn hội tụ nhanh hơn tốc độ đã được biết α x(0) − xe e−βt .
Trong trường hợp tổng quát nếu ta sử dụng phép đổi gốc tọa độ, ta hoàn toàn có thể giả
thiết rằng trạng thái cân bằng xe = 0.

1.1.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên

Chúng ta xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô:
dx(t) = a(x(t))dt + σ (x(t))dw(t),

(1.2)

trong đó thỏa thỏa mãn a(·, ·) : Rn → Rn và σ (·, ·) : Rn → Rn là các hàm liên tục còn W (t)
là quá trình Wiener một chiều. Chúng ta giả thiết rằng với điều kiện ban đầu x(0) đã cho, hệ
phương trình trên thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm x(t) và nghiệm có thể kéo
dài được trên khoảng [0, ∞). Chúng tôi không đưa ra cụ thể các điều kiện này ở đây. Độc giả
quan tâm có thể xem công thức (3.32) trong [7, Định lí 3.4].
Ngoài ra chúng ta giả thiết thêm a(0) = 0, σ (0) = 0, ∀t ≥ 0. Với giả thiết này, hệ (1.2)

có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0.
Tương tự, chúng ta cũng xét hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên
xn+1 = f (xn , ξn ),

(1.3)

với ξn là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric Y và f : Rd ×Y → Rd là
hàm đo được. .
Với mỗi điều kiện ban đầu x(0), nghiệm x(n) của hệ (1.3) tồn tại duy nhất trên N và có
thể giải được bằng phương pháp quy nạp. Chúng ta cũng giả thiết thêm fn (y) = 0 để cho hệ
(1.3) có nghiệm tầm thường x(n) ≡ 0.
Theo mục trên, các khái niệm ổn định thường gặp trong lý thuyết ổn định phương trình
vi phân ngẫu nhiên được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân ngẫu nhiên được
gọi là
• Ổn định theo xác suất (với t ≥ t0 ) nếu với mỗi ε > 0 và δ > 0 tồn tại một số r ≥ 0 sao
cho nếu t > t0 và |x0 | ≤ r:
P {|x(t, ω,t0 , x0 ))| > ε} < δ .
5

(1.4)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Ổn định tiệm cận theo xác suất nếu nó ổn định theo xác suất và với mỗi ε > 0 tồn tại
r = r(ε) sao cho, nếu |x0 | ≤ r thì
P {|x(t, ω,t0 , x0 ))s| > ε} → 0; khi t → ∞.
• p−ổn định (p > 0), nếu với mỗi ε > 0 tồn tại r > 0 sao cho:
E |x(t, ω,t0 , x0 )| p < ε
bất kì khi nào t ≥ t0 và |x0 | < r.

• p− ổn định tiệm cận, nếu nó p−ổn định với giá trị |x0 | đủ nhỏ:
E |x(t, ω,t0 , x0 )| p → 0 khi t → ∞.
• Ổn định theo nghĩa rộng nếu nó ổn định và hơn nữa với mọi x0 , ε > 0 và δ > 0, tồn
tại T = T (x0 , ε, δ ) sao cho:
P {|x(t, ω,t0 , x0 ))| > ε} < δ ; đúng với ∀t > T.
• p−ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số A > 0 và α > 0 sao cho:
E |x(t, ω,t0 , x0 )| p ≤ A |x0 | p .e−α(t−t0 ) .
• ổn định xác suất 1 (hay ổn định hầu chắc chắn) nếu
lim P {sup |x(t, x0 , x)| > δ } = 0

|x0 |→0

với mọi δ > 0.
• ổn định tiệm cận hầu chắc chắn nếu nó ổn định với xác suất 1 và với bất kì x0 ∈ Rn ta
có:
P lim |x(t, x0 , ω)| = 0 = 1
t→∞

Từ các định nghĩa trên chúng ta suy ra
Nhận xét 1.1.2.
i) Từ bất đẳng thức Chebyshev, ta có tính p − ổn định (tiệm cận) của nghiệm tầm thường
với bất kì giá trị nào của p > 0 suy ra nó q−ổn định (tiệm cận) với mọi giá trị 0 < q < p
và nó cũng ổn định theo xác suất.
ii) Chúng ta cũng có thể lấy được ví dụ chỉ ra rằng điều ngược lại không đúng, tức là
nghiệm của phương trình p − ổn định (tiệm cận) với giá trị p và không q − ổn định
(tiệm cận) với q > p.
iii) Tính chất p − ổn định tiệm cận với p = 2 được gọi là ổn định tiệm cận bình phương
trung bình.

6

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.2

Khái niệm về bán kính ổn định

Trong những năm gần đây khái niệm bán kính ổn định là một chủ đề được quan tâm đáng
kể. Bán kính ổn định, được giới thiệu bởi Hinrichsen và Pritchard. Chúng ta biết rằng hệ
phương trình vi phân
dx(t) = Bx(t)

(1.5)

ổn định tiệm cận khi và chỉ khi σ (B) ⊂ C− = {z ∈ C : Rez < 0}. Vì phổ của ma trận phụ
thuộc liên tục theo chuẩn của nó nên nếu ∆ có chuẩn khá nhỏ thì hệ dx(t) = (B + ∆)x(t) vẫn
còn ổn định tiệm cận. Câu hỏi đặt ra là ∆ khi nào thì phá vỡ tính ổn định của hệ. Ngưỡng
của chuẩn của các nhiễu thực hay phức ∆ sao cho tính ổn định của phương trình bị phá vỡ
được gọi là bán kính ổn định của hệ (1.5).
Chúng ta phát biểu chính xác bài toán. Giả sử chúng ta xét hệ (1.5). Cho D là ma trận cấp
n × l và E là ma trân cấp q × n. Xét phương trình chịu nhiễu có cấu trúc
dx = (B + DΣE)x,

(1.6)

ở đây Σ là một ma trận nhiễu chưa biết. Các ma trận D, E đã biết và chúng xác định "cấu
trúc" của nhiễu. Khi đó theo [5], bán kính ổn định phức được cho bởi
−1
−1

max E(tI − B) D

.

(1.7)

t∈iR

Nếu phương trình ban đầu là phương trình sai phân xn+1 = Bxn với nhiễu có cấu trúc dạng
xn+1 = (B + DΣE)xn ,

(1.8)

thì ta có công thức tính bán kính ổn định phức
−1

max

E(ωI − B)−1 D

ω∈C:|ω|=1

7

.

(1.9)

Chương 2
Bán kính ổn định của phương trình vi
phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
2.1

Giới thiệu

Ta xem xét hệ chịu nhiễu có dạng sau:
N

∑ : x(t + 1) = Ax(t) + ∑ D j ∆ j Fj x(t) β j (t), t ∈ N,
∆

ở đây β j (t)

t∈N

(2.1)

j=1

, j ∈ N = {1, 2, ..., N} là N quá trình ngẫu nhiên độc lập.

Chúng ta xem ∑∆ như là một hệ chịu nhiễu ngẫu nhiên tương ứng với hệ tuyến tính thời
gian rời rạc ∑0 : x(t + 1) = Ax(t). Họ các cặp ma trận D j , Fj j∈N mô tả cấu trúc của hữu
hạn các nhiễu phi tuyến chưa biết ∆ j , j ∈ N. Nếu các toán tử nhiễu ∆ j là tuyến tính, khi đó
∑∆ miêu tả một hệ tuyến tính với tham số nhiễu. Mô hình này quan trọng trong việc áp dụng
nơi mà các hệ động lực học hoạt động trong môi trường ngẫu nhiên. Một cách tổng quan về
các kết quả lý thuyết và thực nghiệm trên các hệ rung lắc với tham số ngẫu nhiên đã được
công bố bởi Ibrahim (1985). Cuốn sách này bao gồm nhiều tài liệu tham khảo và đã thảo luận

một số các ví dụ cơ học và các bài toán điều khiển với thời gian thực. Từ cuối năm 1960, có
rất nhiều các nghiên cứu tốt về tính ổn định của hệ với đa nhiễu, chẳng hạn Kushner (1967),
Curtain (1972), Kubrusly (1986) và Korin (1969). Hầu hết các bài báo xem xét thời gian liên
tục. Tiêu chuẩn ổn định miền tần suất của cả hệ bị kích thích với thời gian rời rạc và liên tục
đã được đưa ra bởi Willems và Blankenship (1971). Các hệ thời gian rời rạc với các tham số
ngẫu nhiên cũng đóng vai trò quan trọng trong phân tích sự hội tụ của các thuật toán lặp ngẫu
nhiên, có thể xem của Polyak(1977).
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán về tính ổn định vững và ổn định hóa

8


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
vững cho hệ thời gian rời rạc với nhiễu tham số ngẫu nhiên (N ≥ 1 bất kì) đường chéo khối,
cái mà trong trường hợp tuyến tính, có dạng A → A + ∑Nj=1 D j ∆ j Fj β j (t) (xem (2.1)). Do đó
nhiễu được xem xét trong chương này là một bản sao ngẫu nhiên (không tuyến tính) của
nhiễu tham số đường chéo khối, vấn đề này đã được nghiên cứu trong µ− phân tích tất định.
Số ρ ≥ 0 lớn nhất đảm bảo tính ổn định bình phương của tất cả hệ nhiễu ∑∆ , ∆ j < ρ được
gọi là bán kính ổn định của ∑0 .
Đối với hệ tất định với nhiễu tham số tất định khái niệm bán kính ổn định đã được đưa
ra vào năm 1986, với nghiên cứu chẳng hạn của Hinrichsen và Pritchard (1990) và phát triển
tổng quan hơn nữa trong trường hợp thời gian rời rạc, có thể xem của Hinrichsen và Son
(1991). Trong trường hợp đặc biệt ở đây với mọi E j đều bằng nhau, bán kính ổn định của hệ
thời gian liên tục với nhiễu ngẫu nhiên được nghiên cứu bởi El Bouhtouri và Pritchard (1992).
Phiên bản rời rạc của kết quả này có thể tìm thấy trong Morozan (1997). Trong chương này
chúng tôi khắc phục các giả thiết hạn chế rằng tất cả các E j bằng nhau, các yêu cầu chủ yếu
được đưa ra về phân tích toán học với trường hợp đơn nhiễu (N = 1). Do đó, trong bối cảnh
ngẫu nhiên, chương này ta làm bước chuyển từ nhiễu "không cấu trúc" sang nhiễu "cấu trúc"
(µ−phân tích) và từ lý thuyết H ∞ − sang µ−tổng hợp.
Nghiên cứu về đa nhiễu đòi hỏi sử dụng kỹ thuật đặc biệt-kỹ thuật định thang (nghĩa là

nhân E j với một số thực dương α j và D j bởi α −1
j , xem Doyle (1982), Hinrichsen và Pritchard
(1990)). Trong µ−phân tích tất định, kỹ thuật đã được sử dụng để có được các cận cho các
hàm µ, cái mà có thể thu được bằng tính toán. Nhưng nếu như có nhiều hơn ba khối j thì
nói chung các giới hạn này sẽ không chặt (Doyle, 1982). Trong trường hợp tất định vấn đề
xác định cận của bán kính ổn định cho cấu trúc ngẫu nhiên đường chéo khối tùy ý vẫn còn xa
với giá trị của bán kính ổn định. Điều này trái ngược với trường hợp ngẫu nhiên, ở đây chúng
ta sẽ chỉ ra rằng các đặc điểm đầy đủ của bán kính ổn định có thể thu được qua kỹ thuật định
thang. Đây là đóng góp chính của mục này. Nó đã giải bài toán bán kính ổn định của µ−
phân tích ngẫu nhiên với hệ thời gian rời rạc. Với trường hợp thời gian liên tục, có thể xem
trong Hinrichsen và Pritchard (1996).
Tiếp theo ta kiểm tra bài toán tối ưu hóa bán kính ổn định bởi thông tin phản hồi đầu ra
động học (feedback), trong khuôn khổ của chúng ta, là bài toán của µ−tổng hợp.
Xét hệ thời gian rời rạc có dạng:
N

N

∑ : x(t + 1) = Ax(t) + ∑ A0i x(t)wi(t) + ∑ D j ∆ j (Fj x(t))β j (t), t ∈ N,
∆

i=1

(2.2)

j=1

ở đây: (A, A0i , D j , Fj ) ∈ Kn×n × Kn×n × Kn×l j × Kq j ×n , i, j ∈ N, K = R; K = C cho trước.
Chúng ta giả sử rằng:
Giả thiết: wi (t), β j (t), t ∈ N, i, j ∈ N là dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị thực

9


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, µ) với:
E(wi (t)) = E(β j (t)) = 0, E (wi (s)w j (t) = λi δi j δst ,
E (βi (s)β j (t) = γ j δi j δst ,
E (wi (s)β j (t) = 0, ∀ s,t ∈ N, i, j ∈ N.
Ở đây δi j , δst là kí hiệu Kronecker. Giả thiết về w và β là độc lập với nhau loại trừ mất trường
hợp thú vị là wi = β j cái cho phép chúng ta nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu qua các thông
số phổ biến: A0j → A0j + D j ∆ j Fj . Nếu các giả thiết không được thỏa mãn, ta vẫn có thể sử
dụng được cận dưới của bán kính ổn định, nhưng chưa phải là đặc trưng hoàn toàn có thể thu
được của bán kính ổn định. Tuy nhiên kết quả của chúng tôi có thể áp dụng với hệ tất định
thời gian rời rạc bất kì với tham số ngẫu nhiên gây nhiễu như đã thảo luận trong phần giới
thiệu A0i = 0, i ∈ N.
Chúng tôi kí hiệu Ft là σ −đại số Ft = σ
β j (t), wi (t), i, j ∈ N là độc lập với Ft−1 .

β j (s), wi (s); 0 ≤ s ≤ t, i, j ∈ N

, khi đó

Với mỗi j ∈ N trên các không gian Kq j , Kl j ta trang bị chuẩn Euclide.
Chúng tôi kí hiệu: D j (K) là không gian vectơ của hữu hạn các ánh xạ đo được độc lập
với nhau ∆ j : Kq j → Kl j với ∆ j (0) = 0 và đặt: D(K) = N
1 D j (K). Theo định nghĩa thì mỗi
∆ j ∈ D j (K) thỏa mãn:
∆ j (y)

∆ j := sup

y

y=0

lj

K
qj

< ∞, j ∈ N.

(2.3)

K

Với họ ∆ j ∈ D j (K), j ∈ N cho trước bất kì, cho ∆ biểu thị nhiễu kết hợp (đường chéo khối):
N

∆ j : Kq → Kl

∆=
1

ở đây l = l1 + l2 + ... + lN , q = q1 + q2 + ... + qN , và
∆ = max ∆ j .

(2.4)

j∈N

Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử điều kiện ban đầu của (2.2): x(0) = x0 ∈ Kn là
xác định. Với mọi ∆ ∈ D(K) tồn tại nghiệm duy nhất của (2.2) với x(0) = x0 ∈ Kn , chúng
ta kí hiệu là x∆ (., x0 ). Chú ý rằng x∆ (t, x0 ) là Ft−1 −đo được với mọi t ∈ N (chúng ta đặt:
F−1 = {Ø, w}).
Định nghĩa 2.1.1. Trạng thái cân bằng không của (2.2) được gọi là l 2 −ổn định nếu tồn tại
một hằng số c > 0 sao cho:
∞

∑ E(

2

x∆ (t, x0 ) ) ≤ c x0

t=0

10

2

.


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

Hệ ban đầu là:



x(t + 1) = Ax(t) + ∑N A0 x(t)wi (t), t ∈ N,
i=1 i

(2.5)

∑:
∆

x(0) = x0 ∈ Kn .

Nếu Φ(t, s) là ma trận cơ bản liên kết với (2.5):
Φ(t,t) = In , Φ(t, s) = L(t − 1)L(t − 2)...L(s), s, t ∈ N; t

s + 1,

(2.6)

ở đây:
N

L(t) = A + ∑ A0i wi (t).
i=1

Khi đó: Φ(t, s) là Ft−1 − đo được với mọi s,t ∈ N, t ≥ s và nghiệm của (2.5) là
x(t, x0 ) = Φ(t, 0)x0 .
Chúng ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.1.2. Các mệnh đề sau tương đương:
i) Hệ (2.5) là l 2 −ổn định.
ii) Tồn tại các hằng số M ≥ 1, ω > 0 sao cho:

E Φ(t, s)
iii) Tồn tại P ∈ Hn (K), P

2

≤ Me−ω(t−s) , s,t ∈ N, t ≥ s.

0 sao cho:
N

0
A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi ≺ 0.

(2.7)

i=1

Hơn nữa, nếu M ∈ Kq×n và (i) được thỏa mãn, khi đó tồn tại một nghiệm duy nhất P

0

trong Hn (K) của phương trình Lyapunov thời gian rời rạc:
N

0
∗
A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi + M M = 0,

(2.8)

i=1

xác định bởi:
∞

P=

∑ E[Φ(t, 0)∗M∗MΦ(t, 0)]

(2.9)

t=0

Chứng minh bổ đề 2.1.2.

(i) ⇒ (ii) Với mỗi k ≥ 0 ta ký hiệu x(t, k; x),t ≥ k là nghiệm

của phương trình (2.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(k, k; x) = x. Nếu k = 0 ta viết đơn giản
x(t; x) thay cho x(t, 0; x). Rõ ràng x(t, k; x) = Φ(t, k)x. Trước hết ta chứng minh rằng với mọi
t > k ta có E x(t, k; x) 2 = E x(t − k; x) 2 . Xét khi t = k + 1 ta có
E x(k + 1, k; x)

2

= E L(k)x
11

2

= E L(0)x 2 ,


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

bởi vì E L(k)x

2

chỉ liên quan tới các mô men cấp 1 và cấp 2 của Wi (K). Tương tự như thế

ta thấy E x(t + k, k; x)

2

chỉ liên quan đến tổng của các tích có dạng
EWiα1 1 (t + k)Wiα2 2 (t + k − 1)...Wit (k)αt

trong đó αi chỉ lấy các giá trị 0, 1 hoặc 2. Dễ thấy
EWiα1 1 (t + k)Wiα2 2 (t + k − 1)...Wit (k)αt
không phụ thuộc vào k. Vì vậy: E x(t + k, k; x)

2

= E x(t, 0; x) 2 . Đó là điều phải chứng

minh.
Tiếp đến chúng ta nhận thấy rằng theo công thức (2.6) ta có Φ(t, k) độc lập với Φ(k, 0)
nên x(t, k; x) độc lập với x(k, 0; x). Vì thế từ quan hệ x(t, 0, x) = x(t, k; x(k, 0, x) ta suy ra :

E x(t, 0; x)

2

= E x(t, k; x(k, 0))

2

= E[E[ x(t, k; x(k, 0)) 2 |x(k, 0; x))]]
= E[E[ x(t, k; x) 2 ]|x=x(k,0;x) ]
= E[E[ x(t − k; x) 2 ]|x=x(k,0;x) ]
= E[ x(t − k; x(k, 0; x)] 2 .
Ta định nghĩa hàm V : Rd → [0, ∞) bởi:
∞

V (x) =

∑E

x(t, x)

2

.

t=0

Theo định lí Fubini thì V (x) là hàm đo được Borel. Hiển nhiên x

2

≤ V (x) ≤ c x

2

= ∑ E x(t, x)

2

, ∀k ≥

0, ∀x ∈ Rd .
Đặt gk (x) = EV (x(k, x)), k ≥ 0. Ta có
∞

gk (x) = EV (x(k, x)) =

∑ E x(t; x(k, x))

2

t=0

∞

=

∑ E x(t + k; x)

t=0

∞
t=k

Vì vậy,
gk+1 (x) = gk (x) − E x(k, x)

2

1
1
≤ EV ( x(k, x) 2 ) = gk (x) − gk (x) = qgk (x),
c
c

trong đó q = 1 − 1c < 1.
Bằng quy nạp chúng ta nhận được gk ≤ qk g0 . Vì vậy,
E x(k, x)

2

≤ EV (x(k, x)) = gk (x) ≤ c x 2 .

Đó là điều phải chứng minh.
12

2

.

Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
(ii) ⇒ (i) Giả sử tồn tại các hằng số M ≥ 1, ω > 0 sao cho:
2

E Φ(t, s)

≤ Me−ω(t−s) , s,t ∈ N,t ≥ s.

Suy ra:
E Φ(t, 0)

2

≤ Me−ωt ⇒ E Φ(t, 0)x0

∞

⇒

∑ E Φ(t, 0)x0

2

≤ M x0

2

≤ Me−ωt x0

∞

2

t=0

2

∑ e−ωt = Meω

x0

2

.

t=0

Vậy hệ (2.5) là l 2 − ổn định.
(i) ⇒ (iii) Ta dễ dàng kiểm tra được nếu hệ (2.5) là l 2 − ổn định và M ∈ Kq×n thì P =
∞
E[Φ(t, 0)∗ M ∗ MΦ(t, 0)] là nghiệm của phương trình
∑t=0
N

0
∗
A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi + M M = 0.
i=1

Vậy nếu (i) được thỏa mãn ta có tồn tại P ∈ Hn (K), P

0 sao cho:

N

0
∗
A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi + M M = 0
i=1

N

∗

0
∗
⇒ A PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi = −M M
i=1
N

0
⇒ A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi ≺ 0.
i=1

(iii) ⇒ (i) Nếu tồn tại P ∈ Hn (K), P

0∗
0
0 sao cho: A∗ PA − P + ∑N
i=1 λi Ai PAi ≺ 0. Thì

0∗
0
∗
phương trình: A∗ PA − P + ∑N
i=1 λi Ai PAi = −M M có nghiệm P xác định bởi:
∞

P=

∑ E[Φ(t, 0)∗M∗MΦ(t, 0)].

t=0

2

∞
Để P tồn tại thì ∑t=0
E( x∆ (t, x0 ) ) ≤ c x0

2

.

Định nghĩa 2.1.3. Bán kính ổn định của hệ (2.5) đối với cấu trúc đa nhiễu D j , Fj , β j (.)

j∈N

được định nghĩa là:
(β ,w)

rK = rK

A, (A0i )i∈N , D j , Fj

j∈N

N

= in f

∆ j ∈ D(K) và (2.2) không l 2 − ổn định .

∆ ;∆ =
i=1

Chú ý 2.1.4. (i) Bán kính ổn định đối với nhiễu tuyến tính có thể định nghĩa bởi sự hạn chế
các toán tử nhiễu ∆ j : Kq j → Kl j là toán tử tuyến tính. Tính chất của bán kính ổn định trong
13


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

trường hợp này là một vấn đề mở đối với hệ ngẫu nhiên.
(ii) Nếu dữ liệu A, A0i , D j , Fj , i, j ∈ N là thực, bán kính ổn định thu được phụ thuộc vào việc

chọn K = R (nhiễu thực) hay K = C (nhiễu phức) liệu là có bằng nhau hay không. Trong
trường hợp hệ tất định, nhìn chung bán kính ổn định thực và phức là khác nhau. Chúng ta sẽ
chỉ ra rằng trong trường hợp hệ ngẫu nhiên đang xét hai bán kính này bằng nhau.

2.2

Toán tử input-output

Nếu L2 (Ω, Kk ) là không gian các hàm bình phương khả tích nhận giá trị trong Kk trên
không gian xác suất (Ω, F , µ) với chuẩn . . Với số dương bất kì T ≤ ∞, chúng ta đặt
2 (N ; Kk ) của các quá
NT = {t ∈ N; t ≤ T } (do đó N∞ = N) và định nghĩa không gian lw,β
T
trình ngẫu nhiên bình phương khả tích không khả đoán k−chiều trên NT như là không gian
của mọi dãy y(.) = (y(t))t∈NT ∈ l 2 (NT ; L2 (Ω, Kk ) sao cho y(t) ∈ L2 (Ω, Kk ) là Ft−1 −đo được
2 (N ; Kk ) được thích nghi với dãy chuyển của σ −đại
với mọi t ∈ NT . Vì vậy mọi y(.) ∈ lw,β
T
2
k
số (Ft−1 )t∈NT . Không gian lw,β (NT ; K ) được trang bị chuẩn −l 2 :

y(.)

2
2 (N ;Kk )
lw,β
T

=E

∑

y(t)

2

=

t∈NT

∑

E

y(t)

2

.

(2.10)

t∈NT

Chúng ta liên kết với (2.2) hệ điều khiển ngẫu nhiên:


x(t + 1) = Ax(t) + ∑N A0 x(t)wi (t) + ∑N D j v j (t)β j (t)
i=1 i

j=1

,

(2.11)


x(0) = x0 ∈ Kn , z(t) = Fx(t)
ở đây: F = [F1T , F2T , ..., FNT ]T ∈ Kq×n .
Chú ý rằng hệ nhiễu (2.2) thu được từ (2.11) bởi thông tin phản hồi (feedback) đầu ra
không
tuyến
tính
v j (t) = ∆ j (z j (t)) = ∆ j (Fj x(t)), j ∈ N.
2 (N; Kl ) có tồn tại nghiệm duy nhất của (2.11) trong
Với hằng số tùy ý (x0 , v) ∈ Kn × lw,β
2 (N ; Kn )với mọi T ∈ N, chúng ta kí hiệu nghiệm đó là x(t, x0 , v).
lw,β
T
Bổ đề 2.2.1. Giả sử P ∈ Hn (K) thỏa mãn phương trình Lyapunov (2.8), khi đó với
2 (N; Kl ) và x(.) = x(., x0 , v), z(.) = Fx(.) chúng ta có:
(x0 , v) ∈ Kn × lw,β
T

T

∑ E(

2

0

z(t) ) + E x(T + 1), Px(T + 1) = x , Px

t=0

0

+∑

N

∑ γ jE

D∗j PD j v j (t), v j (t) .

t=0 j=1

(2.12)

14


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

Chứng minh. Ta có:
E x(t + 1), Px(t + 1) − E x(t), Px(t)
= E ( x(t + 1), Px(t + 1) − x(t), Px(t) )
N

=E

N

N

Ax(t) + ∑ A0i x(t)wi (t) + ∑ D j v j (t)β j (t), PAx(t) + ∑ PA0i x(t)wi (t)
i=1

j=1

i=1

N

+

∑ PD j v j (t)β j (t)

− x(t), Px(t)

j=1
N

= E Ax(t), PAx(t) + E ∑ A0i x(t), PA0i x(t) .E(w2j (t))
i=1

N

+E

∑

D j v j (t)β j (t), PD j v j (t)β j (t) .E(β j2 (t)) − E Px(t), x(t)

j=1
N

)

∗
= E A∗ P∗ Ax(t), x(t) + λi ∑ E A0∗
i P Ai x(t), x(t) +
j=1

N

E

∑ γj

D∗j P∗ D j v j (t), v j (t) − E Px(t), x(t)

j=1
N

0
= E (A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi )x(t), x(t) + E
i=1

N

∑ γj

D∗j P∗ D j v j (t), v j (t)

j=1

N

= E M ∗ Mx(t), x(t) + ∑ γ j E D∗j P∗ D j v j (t), v j (t)
j=1

N

= E( z(t) 2 ) + ∑ γ j E D∗j P∗ D j v j (t), v j (t) .
j=1

Vậy:
N

E x(t + 1), Px(t + 1) − E x(t), Px(t) = E( z(t) 2 ) + ∑ γ j E D∗j P∗ D j v j (t), v j (t) .
j=1

Cộng vế với vế t đẳng thức trên, ta được:
T

T

∑ E( z(t) )2 + E x(T + 1), Px(T + 1) = x0, Px0 + ∑

t=0

N

∑ γ jE

D∗j PD j v j (t), v j (t) .

t=0 j=1

Áp dụng bổ đề 2.1.2 và bổ đề 2.2.1 với M = In và T → ∞ ta có:
2 (N, Kl ) thì tồn tại c > 0,
Hệ quả 2.2.2. Giả sử hệ (2.5) là l 2 −ổn định. Nếu (x0 , v) ∈ Kn × lw,β

sao cho:

∞

∑ E(

x(t) )2 ≤ c

x0

t=0

15

2

+ v

2
2 (N,Kl )
lw,β

.


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
Do hệ (2.5) là l 2 −ổn định nên theo bổ đề 2.1.2 tồn tại duy nhất P thỏa mãn

Chứng minh.

phương trình Lyapunov (2.8), lại theo bổ đề 2.2.1 ta có:
T

T

N

∑ E( z(t) )2 + E x(T + 1), Px(T + 1) = x0, Px0 + ∑

t=0

∑ γ jE

D∗j PD j v j (t), v j (t) .

t=0 j=1

Với M = In và T → ∞ ta có:
∞

N

∞

∑ E( x(t) )2 ≤ x0, Px0 + ∑

t=0

D∗j PD j v j (t), v j (t) .

∑ γ jE

t=0 j=1

Suy ra:
∞

N

∞

∑ E( x(t) )2 ≤ x0, Px0 + ∑

t=0

D∗j PD j v j (t), v j (t)

∑ γ jE

t=0 j=1
N

∞

≤ P

x0 + ∑

∑ γj

D∗j PD j E v j (t)

2

t=0 j=1

x0

≤c
Với c = max

P , γ j D∗j PD j

2

+ v

2
2 (N,Kl )
lw,β

.

.

Từ bổ đề 2.2.1 và hệ quả 2.2.2 kéo theo bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.3. Giả sử hệ (2.5) là l 2 −ổn định và P
Lyapunov (2.8), khi đó với

0 trong Hn (K) thỏa mãn phương trình

2 (N; Kl ),
(x0 , v) ∈ Kn × lw,β

∞

N

∞

∑ E( z(t) 2) = x0, Px0 + ∑

t=0

chúng ta có:

∑ γ jE

D∗j PD j v j (t), v j (t) .

(2.13)

t=0 j=1

2 (N, Kq ),
Định nghĩa 2.2.4. Hệ (2.11) được gọi là l 2 −ổn định ngoài nếu: z(.) = Fx(., 0, v) ∈ lw,β
2 (N, Kl ), tồn tại c ≥ 0 sao cho:
với mọi v ∈ lw,β

z

2
2 (N,Kq )
lw,β

∞

=

∑ E(

z(t) 2 ) ≤ c2 v

t=0

2
2 (N,Kl ) .
lw,β

(2.14)

.
Theo hệ quả 2.2.2 nếu (2.5) là l 2 −ổn định thì (2.11) là l 2 −ổn định ngoài.
Định nghĩa 2.2.5. Giả sử hệ (2.11) là l 2 −ổn định ngoài. Toán tử:
2
2
L : lw,β
(N, Kl ) → lw,β
(N, Kq )

được định nghĩa bởi:
t−1 N

(Lv)(t) = Fx(t, 0, v) = F

∑ ∑ Φ(t, s + 1)D j v j (s)β j (s),

s=0 j=1

16

(2.15)

Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
2 (N, Kl ) được gọi là toán tử input-output của hệ (2.11).
t ∈ N, v ∈ lw,β

Chuẩn của toán tử input-output được định nghĩa là số c ≥ 0 nhỏ nhất sao cho (2.14) được
thỏa mãn.
Hệ quả 2.2.6. Giả sử hệ (2.5) là l 2 −ổn định và P

0 trong Hn (K) thỏa mãn phương trình

Lyapunov (2.8), khi đó toán tử input-output L có chuẩn:
2

L

2.3

= max γ j D∗j PD j .

(2.16)

j∈N

Tính chất của bán kính ổn định

Cho K hoặc là trường số thực R hoặc là trường số phức C. Hl (K) là không gian vectơ
thực của ma trận Hermintian trong Kl×l . Hl + (K) = {H ∈ Hl (K); H 0} là khối nón lồi
các ma trận nửa xác định dương trong Hl (K). Kí hiệu: ., . là tích trong thông thường trên
Kl , l ∈ N. H là chuẩn toán tử:
H =

max

v∈Kl , v =1

v, Hv , H ∈ Hl (K).

(K) là họ ma trận Hermintian l j × l j cho trước không
Giả sử cho trước N ∈ N và Hi j ∈ Hl +
j
âm, i, j ∈ N = {1, 2, ..., N}.
Với tập C bất kì, ta kí hiệu (0, ∞)C là tập tất cả các quỹ đạo từ C tới tập tất cả các số thực
dương (0, ∞).
Nếu C hữu hạn, các phần tử của (0, ∞)C được đại diện bởi họ hữu hạn α = (αc )c∈C . Đặc biệt
tập (0, ∞)N bao gồm cả N thành phần α = (α1 , α2 , ...αN ); với αi > 0, ∀i ∈ N
Trong các phân tích tiếp theo của chúng ta:
∞

Hi j := γ j ∑ E(D∗j Φ(t, 0)∗ Fi∗ Fi Φ(t, 0)D j )

0, i, j ∈ N

t=0

các αi là các tham số định thang tự do (tùy ý). Điều này được sử dụng để chứng minh chặn
dưới của bán kính ổn định. Thực tế ta sẽ thấy kĩ thuật định thang được áp dụng với các đa
nhiễu dẫn đến bài toán tối ưu hóa sau:
Tìm giá trị cực tiểu của
N

max
j∈N

∑

i=1

αi
αj

2

Hi j , α = (α1 , ..., αN ) ∈ (0, ∞)N .

Cho:
N

f (α) = max
j∈N

∑

i=1

αi
αj

17

(2.17)

2

Hi j , α ∈ (0, ∞)N

(2.18)


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

f j (α) = ∑N
i=1

αi
αj

2

Hi j , α ∈ (0, ∞)N .

Khi đó bài toán tối ưu hóa (2.17) tương đương với cực tiểu hóa hàm f (.) trên (0, ∞)N .
Giá trị nhỏ nhất của (2.17) kí hiệu:
µˆ =

f (α)

in f

(2.19)

α∈(0,∞)N

Kết quả của bài toán tối ưu hóa (2.17) phụ thuộc chính vào kiểu của mảng không của ma trận
hợp H = (Hi j )N
i, j=1 . Để làm được điều này ta kí hiệu G là đồ thị có hướng với tập các điểm
nút N = {0, 1, ...N} và tập các cung có hướng A = (i, j) ∈ N 2 , Hi j = 0 .
G được gọi là liên tục mạnh nếu mọi điểm nút của G đều được nối với mọi điểm nút kì
dị của G bởi một đồ thị có hướng trong G .
Giả sử rằng: α ∈ (0, ∞)N ; α = (α1 , α2 , ...αN ). Khi đó hệ chịu nhiễu không tuyến tính (2.2)
α

α

α

vẫn không thay đổi nếu chúng ta thay thế D j , Fj , ∆ j bởi D j j , Fj j , ∆ j j , ở đây:
j
j
−1
D j j = α −1
j D j , ∆ j = α j ∆ j (α j ), Fj = α j Fj .

α

α

α

(2.20)

Một cách chính xác hơn, mọi nghiệm của hệ (2.2) cũng là nghiệm của hệ định thang:
N

α

∑α : x(t + 1) = Ax(t) + ∑

N

A0i x(t)wi (t) +

i=1

∆

α

α

α

∑ D j j ∆ j j (Fj j x(t))β j (t),

t ∈ N,

(2.21)

j=1

và ngược lại.

Hệ điều khiển liên kết với (2.21) (so sánh (2.2) và (2.11)) là:


xα (t + 1) = Axα (t) + ∑N A0 xα (t)wi (t) + ∑N Dα vα β j (t)
i=1 i
j=1 j j

,

(2.22)


zα (t) = F(α)xα (t)
ở đây:



vα1 (t)


 .. 
α
v (t) =  .  ,


vαN (t)





F1α1


 .. 
F(α) =  .  ,


FNαN


x1α (t)


 .. 
α
x (t) =  .  ,


xNα (t)

αj
N
j=1 ∆ j . Hệ tỉ lệ (2.21) thu được từ (2.22)
tính vα (t) = ∆α (F(α)xα (t)). Do đó, nếu x(.)

Đặt: ∆α =
không tuyến



(2.23)

bởi thông tin phản hồi feedback
= x∆ (., x0 ) là nghiệm bất kì của

(2.2), hoặc tương đương với (2.21), khi đó: x∆ (t, x0 ) = xα (t, x0 , vα ), ở đây:
vα (t) = ∆α (F(α)x∆ (t, x0 ))

(2.24)

Mặc dù, nghiệm của (2.2) và (2.21) là giống nhau và không phụ thuộc vào α, nhưng toán
tử input-output của hệ tỉ lệ Lα thay đổi theo α. Chúng ta sử dụng điều này để thêm vào tính
chất của rK . Trước tiên, chúng ta thu được cận dưới.
18


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
Định lý 2.3.1. Giả sử hệ (2.5) là l 2 −ổn định. Nếu với σ > 0, tồn tại α ∈ (0, +∞)N và
P(α) ∈ Hn+ (K) thỏa mãn:
N

∗

N

A P(α)A − P(α) + ∑

0
λi A0∗
i P(α)Ai +

i=1

(2.25)

j=1

2

α
αj

Il j − γ j

∑ α 2j M∗j M j = 0

D∗j P(α)D j

0, j ∈ N,

(2.26)

khi đó: rK ≥ σ .
Giả sử P(α) thỏa mãn (2.25),(2.26) và cho ∆ < σ . Chúng ta chứng minh

Chứng minh.

l 2 −ổn

rằng (2.2) là

định. Cho x(t) = x∆ (t, x0 ) là nghiệm của (2.2). Do (2.24),

x(t) = x∆ (t, x0 ) trùng với quỹ đạo trạng thái của hệ tỉ lệ (2.22) tạo ra bởi dữ liệu vào
vα (t) = ∆α (F(α)x∆ (t, x0 )).
Theo bổ đề 2.2.1 (với P thay thế bởi P(α), F bởi F(α),...) với T > 0; tín hiệu đầu ra
tương ứng zα (t) của (2.22) thỏa mãn:
T

∑ E(

zα (t) 2 ) + E xα (T + 1), P(α)xα (T + 1) =

t=0

T

N

x0 , P(α)x0 + ∑

∑ γ jE

α
α
Dα∗
j P(α)D j v j (t), v j (t) .

t=0 j=1

Nhưng:
T

∑

vα (t)

2

T

≤

t=0

và từ P(α)

2

∆α

∑E

zα (t)

2

≤ ∆α

t=0

2

T

∑E

2

zα (t)

,

t=0

0, chúng ta có:

T

T

γi
Dα∗
j P(α)D j
j∈N α 2j

∑ E( zα (t) 2) ≤ x0, P(α)x0 + max

t=0

≤ x0 , P(α)x0 + σ −2 ∆α

∑E

vαj (t)

∑ ∑E

t=0 j=1

T

2

N

zα (t)

2

.

t=0
α

Bây giờ: ∆ j j = ∆ j , vì vậy: ∆α < σ và γ := σ −1 ∆α < 1.
Do đó:
T

∑E

zα (t)

2

≤ (1 − γ 2 )−1 x0 , P(α)x0 , T ∈ N.

t=0
α
2
Nên z (.) ∈ lw,β (N; Kq ) và tồn tại c1 > 0, sao cho
2 (N; Kl ) và vα
α
Suy ra: vα ∈ lw,β
2 (N;Kl ) ≤ ∆
lw,β

zα
zα

2 (N;Kq )
lw,β
2 (N;Kq )
lw,β

≤ c1 x0 .
≤ σ c1 x0 .

Vì vậy, từ hệ quả 2.2.2 tồn tại c > 0, sao cho:
∞

∑ E(

x∆ (t, x0 ) 2 ) ≤ c( x0

2

+ vα

t=0

2
2 2
2 (N;Kl ) ) ≤ c(1 + σ c1 )
lw,β

Điều này chỉ ra rằng (2.2) là l 2 −ổn định và kết luận được chứng minh.
19

x0

2

.

2


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

Từ định lí 2.3.1 ta suy ra:

rK ≥

γj
max 2 D∗j P(α)D j
j∈N α j

sup
α∈(0,∞)N

− 12

.

(2.27)

Ở đây, P(α) là nghiệm duy nhất của (2.25). Do việc xây dựng nhiễu bất ổn định, chuẩn của
nó bằng với biểu thức trên RHS của (2.27), chúng ta sẽ chỉ ra rằng đẳng thức đúng. Để làm
điều này chúng ta sử dụng kết quả của bài toán minimax cho dạng bậc hai đã được chứng
minh trong Hinrichsen và Pritchard (1996). Giả sử hệ ban đầu (2.5) là l 2 −ổn định. Cho:
∞

Hk j := γ j ∑ E(D∗j Φ(t, 0)∗ Fk∗ Fk Φ(t, 0)D j ), k, j ∈ N.

(2.28)

t=0

Với K ⊂ N bất kì, kí hiệu (0, ∞)K là tập tất cả các họ (αk )k∈K các số thực dương và với

α K = (αk )k∈K ∈ (0, ∞)K bất kì , đặt:
P(α K ) =

∞

∑ ∑ αk2E(Φ(t, 0)∗Fk∗Fk Φ(t, 0)).

(2.29)

k∈K t=0

Khi đó, P(α K ) ∈ Hn+ (K) là nghiệm duy nhất của phương trình:
N

0
A∗ PA − P + ∑ λi A0∗
i PAi +
i=1

∑ αk2Fk∗Fk = 0.

(2.30)

k∈K

Hơn nữa:

∞
γj ∗
γj ∗

K
D
P(α
)D
=
D
αk2 E(Φ(t, 0)∗ Fk∗ Fk Φ(t, 0))D j
j
∑
∑
j
j
2
2
αj
αj
k∈K t=0
∞
γj
= 2 ∑ ∑ αk2 E(D∗j Φ(t, 0)∗ Fk∗ Fk Φ(t, 0)D j )
α j k∈K t=0

αk 2 ∞
= ∑ ( ) γ j ∑ E(D∗j Φ(t, 0)∗ Fk∗ Fk Φ(t, 0)D j )
t=0
k∈K α j
αk 2
= ∑ ( ) Hk j , j ∈ N
k∈K α j
⇒

γj ∗
αk
D j P(α K )D j = ∑ ( )2 Hk j , j ∈ N.
2
αj
k∈K α j

Xét bài toán minimax: Tìm giá trị nhỏ nhất của
N

max
j∈N

αi

∑ ( α j )2Hi j

i=1

20

(2.31)


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc
với α ∈ (0, ∞)N . Đặt µˆ là giá trị nhỏ nhất:
N

µˆ =

in f

α

∑ ( αkj )2Hk j

max

α∈(0,∞)N j∈N

(2.32)

k=1

Bổ đề 2.3.11 tiếp theo là kết quả trực tiếp của định lí 2.3.2 trong Hinrichsen và Pritchard
(1996), sẽ được chứng minh chi tiết sau đây.
Định lý 2.3.2. Giả sử G là liên tục mạnh. Khi đó tồn tại tập con J ⊂ N và một vectơ αˆ ∈
ˆ = µˆ và:
(0, ∞)N thỏa mãn f (α)

2
2

αi

ˆ nếu j ∈ J
Hi j = ∑i∈J ααij Hi j = µ,
 ∑N
i=1 α j

(2.33)
2

αi
N

ˆ nếu j ∈ N \ J
 ∑i=1 α j Hi j < µ,
Định lí chỉ ra rằng trong trường hợp liên tục mạnh thì giá trị tối ưu của bài toán tìm giá
trị cực tiểu bằng với giá trị tối ưu của bài toán con: Tìm giá trị cực tiểu của
max

αi
αj

∑

j∈J

i∈J

2

Hi j , đưa ra vớiα ∈ (0, ∞)J

(2.34)

với chỉ dữ liệu Hi j , i, j ∈ J đóng vai trò quan trọng. Theo (2.33) thì vectơ αˆ J = (αˆi )i∈J
làm cực tiểu (2.34) và các chuẩn ∑i∈J

2

αi
αj

ˆ
Hi j , j ∈ J đều bằng với µ.

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là với các điều kiện nào thì tập con J = N.
Bây giờ ta đi chứng minh định lí 2.3.2.
Đầu tiên ta chú ý rằng các hàm f j , j ∈ N và f trong (2.18) là không thay đổi trên các
tia trong (0, ∞)N , tức là:
f (rα) = f (α), α ∈ (0, ∞)N , r > 0.
Bổ đề 2.3.3. Giả sử α k

k∈N

N = α ∈ (0, ∞)N ; α = 1 và f (α k )
là dãy trong S+

k∈N

bị

chặn. Nếu j ∈ N có thể tìm được từ i ∈ N qua phần có hướng trong G . Khi đó:
lim α kj = 0 ⇒ lim αik = 0

k→∞

k→∞

(2.35)

Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh (2.35) với trường hợp

Chứng minh.

(i, j) ∈ A . Nhưng trong trường hợp này Hi j = 0 và do đó (2.35) được suy ra từ tính bị chặn
của f (α k )

k∈N

:
k

k

f (α ) ≥ f j (α ) ≥

21

αi
αj

2

Hi j


Chương 2. Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

Áp dụng bổ đề 2.3.4 ta thu được kết quả về sự tồn tại.
N sao cho:
Bổ đề 2.3.4. Giả sử G là liên tục mạnh. Khi đó tồn tại αˆ ∈ S+

ˆ = µˆ
f (α)

(2.36)

N là đủ. Cho
Chứng minh. Do f không thay đổi trên các tia nên ta chỉ cần xem xét trên S+
N và dãy này hội tụ tới một giá trị hữu hạn α
ˆ nào đó
(α k ) là một dãy làm cực tiểu f trên S+
N
N
trong bao đóng của S+ . Ta phải chứng minh rằng: αˆ ∈ S+ , nghĩa là αˆi > 0, ∀i ∈ N.

Nhưng nếu αˆi = 0 với các j ∈ N, thì từ f (α k ) bị chặn và j có thể tìm được từ mọi i ∈ N
qua phần có hướng trong G ta phải có αˆi = 0 (theo bổ đề 2.3.3). Mặt khác αˆ = 0 bởi vì (α k )
N . Mâu thuẫn này chỉ ra rằng αˆ > 0, ∀i ∈ N.
là một dãy trong S+
i
Bổ đề 2.3.5. Giả sử H0 , H ∈ Hl + (K) và r1 < r2 sao cho:
H0 + r1 H = H0 + r2 H .
Khi đó: H0 + rH = H0 , 0 ≤ r ≤ r2 .
Chứng minh. Cho v ∈ Kl , v = 1 sao cho:
v, (H0 + r1 H)v = H0 + r1 H
Khi đó: v, (H0 + r1 H)v ≤ v, (H0 + r2 H)v ≤ H0 + r2 H = v, (H0 + r1 H)v

⇒ Hv = 0
⇒ H0 + r2 H = v, H0 v ≤ H0 .
Nhưng r → H0 + rH tăng nên ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh Định lí 2.3.2. Theo bổ đề 2.3.4 thì tồn tại vectơ z ∈ (0, ∞)N sao cho:
max
j∈N

2

zi
zj

∑

i∈N

Hi j = µˆ

Trong tất cả các vectơ làm cực tiểu f ta chọn ra một vectơ, kí hiệu là zˆ, với các số j ∈ N thỏa
mãn:

∑

i∈N

zˆi
zˆj

2

Hi j = µˆ

(2.37)

là nhỏ nhất. Gọi J là tập các j ∈ N thỏa mãn điều này.
Khi đó:

∑

i∈N

zˆi
zˆj

2

ˆ j ∈ N \J
Hi j < µ,

22

(2.38)