Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử phonon âm)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.84 MB, 69 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Phạm Văn Hảo
ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƯƠNG TỬ
HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Phạm Văn Hảo
ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƯƠNG TỬ
HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS. Nguyễn Quang
Báu - người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho em trong quá trình thực hiện
luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo
trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại
học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và hoàn thành
luận văn này một cách tốt nhất. Luâ ̣n văn đươ ̣c hoàn thành với sự tài
trơ ̣ của đề tài
NAFOSTED (N0.103.01 – 2015.22).
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên em
trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.
Hà nội, ngày
tháng
năm 2015
Học viên
Phạm Văn Hảo
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
RADIO - ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI ..........................................................................3
1.1. Dây lƣợng tử. ............................................................................................................... 3
1.1.1. Tổng quan về dây lƣợng tử. ................................................................................. 3
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình tru ̣ với hố thế cao vô
hạn. ................................................................................................................................... 3
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối ............................. 5
CHƢƠNG 2. ẢNH HƢỞNG CỦA PHO NON GIAM CẦM LÊN HI
ỆU ỨNG
RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ
HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM) .......................................................12
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong dây lƣợng tử hình tru ̣ với thế cao
vô hạn. ............................................................................................................................... 12
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử. .............................................................. 13
2.3. Biểu thức mật độ dòng toàn phần............................................................................ 30
2.4. Biểu thức giải tích cho cƣờng độ điện trƣờng. ...................................................... 44
CHƢƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO DÂY LƢỢNG TƢ̉ H ÌNH
TRỤ GAAS/GAASAL. .............................................................................................................48
3.1. Sự phụ thuộc của trƣờng radio-điện vào tần số của sóng điện từ phân cực
phẳng. ................................................................................................................................ 49
3.2. Sự phụ thuộc của trƣờng radio-điện vào tần số của bức xạ laser. ........................ 50
3.2. Sự phụ thuộc của trƣờng radio-điện vào nhiệt độ....................................................... 51
KẾT LUẬN .................................................................................................................................53
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................................54
PHỤ LỤC ....................................................................................................................................56
DANH MỤC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH VẼ
Bảng 3.1: Các tham số vật liệu......................................................................................51
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của trường radio điện vào tần số ω .........................................52
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của trường radio điện vào tần số Ω.........................................53
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của trường radio điện vào nhiệt độ..........................................54
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, vâ ̣t lý chấ t rắ n đã có sự phát triể n vươ ̣t bâ ̣c cả lý
thuyế t và thực nghiê ̣m đươ ̣c thể hiê ̣n qua viê ̣c chuyể n hướng đố i tươ ̣ng nghiên cứu
chính từ các khối tinh thể sang các cấu trúc thấp chiều . Những cấu trúc thấp chiều như
các hố lượng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lượng tử
(quantum wires) và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên nhờ sự phát
triển của công nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi kim loại hóa
hữu cơ (MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… khi số chiề u của vâ ̣t liê ̣u giảm
xuố ng đã làm xuấ t hiê ̣n những tính chấ t vâ ̣t lý mới khác biê ̣t so với trong vâ ̣t liê ̣u khố i .
Các tính chất khác biệt đó người ta gọi là hiệu ứng giảm kích thước [1,8,9 - 15].
Trong các vâ ̣t liê ̣u khố i , các điện tử có thể chuyển động theo 3 chiề u trong ma ̣ng
tinh thể . Với hê ̣ thấ p chiề u và cấ u trúc nano , chuyể n đô ̣ng của các điê ̣n tử bi ̣giới ha ̣n
nghiêm ngă ̣t theo mô ̣t chiề u (hai chiề u hay ba chiề u ). Khi đó, các quy luật lượng tử bắt
đầ u có hiê ̣u lực , đă ̣c trưng cơ bản nhấ t chin
́ h là sự thay đổ i phổ năng lươ ̣ng . Phổ năng
lươ ̣ng của các điê ̣n tử bi ̣gián đoa ̣n theo các chiề u bi ̣giới ha ̣n [1].
Như vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang 2D, 1D hay 0D đã làm thay đổi đáng kể
những đại lượng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương
tác điện tử - phonon… làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới mà hệ điện tử ba chiều không
có[1,2,6,9 - 12].
Ta đã biết bức xạ laser có thể ảnh hưởng đến độ dẫn điện và các hiệu ứng động
khác trong các chất bán dẫn khối. Trong số các hiệu ứng vật lý được nghiên cứu, ta
không thể không kể tới hiệu ứng radio điện. Nghiên cứu về hiệu ứng radio điện trong
bán dẫn khối với các cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm hay điện tử – phonon quang đã
được nghiên cứu trong những năm 80 của thế kỷ trước . Hiê ̣u ứng radio điê ̣n trong các
hê ̣ bán dẫn thấ p chiề u khi chưa kể đế n ảnh hưởng của phonon giam cầ m đã
1
đươ ̣c
nghiên cứu trong [7,13,14]. Tuy nhiên, hiệu ứng radio điện có tính đến ảnh hưởng của
phonon giam cầ m mới chỉ đươ ̣c nghiên cứu trong hê ̣ hai chiề u
[4,6,15], còn hiệu ứng
radio điê ̣n trong cấu trúc dây lươ ̣ng tử có tính đến ảnh hưởng của sự giam cầm phonon
vẫn còn là một vấn đề mở.
Do đó, trong luận văn của mình, tôi xin được trình bày các kết quả nghiên cứu
về đề tài: “Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây
lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm)”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Để giải bài toán “Ả nh hưởng của phono n giam cầ m lên hiê ̣u ứng radio
điê ̣n
trong dây lươ ̣ng tử hiǹ h tru ̣ với thế cao vô ha ̣n , tôi sử du ̣ng phương pháp phương trin
̀ h
đô ̣ng lươ ̣ng tử cho điê ̣n tử để thiết lập biểu thức giải tích của trườ ng radio điê ̣n. Ngoài
ra, tôi dùng chương triǹ h matlab để tin
́ h toán số và vẽ đồ thi ̣sự phu ̣ thuô ̣c của cường đô ̣
trường radio điê ̣n vào tần số bức xạ laser , tầ n số sóng điê ̣n từ phân cực phẳ ng và chỉ số
giam cầ m trong dây lươ ̣ng tử hình trụ GaAs/GaAs Al.
3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luầ n văn
gồm có 3 chương:
Chương 1: Dây lượng tử và và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong
bán dẫn khối.
Chương 2: Phương trin
̀ h đô ̣ng lươ ̣ng tử và h iệu ứng radio điện trong dây lươ ̣ng
tử hình tru ̣ với thế cao vô ha ̣n dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm (cơ chế tán xa ̣
điê ̣n tử – phonon âm).
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lươ ̣ng tử hình tru ̣ với thế cao vô
hạn GaAs/GaAsAl.
2
CHƢƠNG 1. DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Dây lƣợng tử.
1.1.1. Tổng quan về dây lƣợng tử.
Dây lượng tử là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển động của điện tử
bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có một chiều được chuyển động
tự do (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử
còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá
nhiều dây lượng tử có các tính chất vật lý khá tốt. Dây lượng tử có thể được chế tạo
nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách
chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách
này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình tru ̣ với thế cao vô
hạn.
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình tru ̣ cũng hay được đề cập
đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện
tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình Schrodinger
một điện tử cho hệ một chiều.
2 2
H
V(r) U(r) E
2m *
(1.1)
Trong đó: U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, : Hàm sóng; E: Năng
lượng; 2 : Toán tử laplace; V(r) là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thước
của dây lượng tử hình tru .̣ Ta luôn giả thiết z là chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có
thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giới hạn trong hai chiều còn lại (chiề u
x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của điện tử là m*.
3
Dây lươ ̣ng tử hình trụ là loại dây hay được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý
thuyế t . Trong phầ n này ta giả thiế t dây có bán kin
́ h R , thế giam giữ cao vô ha ̣n ở ng oài
dây và bằ ng không ở trong dây.
0 khi r R
V
khi r R
(1.2)
Khi đó hàm sóng có thể viết là:
1 in ikz
e e n ,l r
n,l ,k r , , z V0
0
r R
r R
và phổ năng lượng của điện tử:
2
2 k 2z
2 Bn,l
n,l (k)
2m* 2m * R 2
(1.3)
trong đó:
V0 R 2 Lz là thể tích dây lượng tử.
n = 0, 1, 2,… là các số lươ ̣ng tử phương vi .̣
l = 1, 2, … là các số lươ ̣ng tử xuyên tâm.
k = (0,0, k z ) là vector sóng của điện tử.
n,l r là hàm sóng xuyên tâm của điện tử chuyển động trong mặt phẳng
xOy, được cho bởi: n,l r
1
r
J n Bn ,l
R
J n 1 Bn,l
Bn,l là nghiệm thứ l của hàm Bessel cấp
J n Bn,l 0 .
4
n tương ứng với phương trin
̀ h
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối
Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang
theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó, các electron được
sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện một hiệu điện thế
trong điều kiện mạch hở.
- Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong:
+) Một trường sóng điện từ phân cực thẳng với vector:
E (t ) E (eit eit )
H (t ) [n, E (t )]
Với tần số ℏω ≪ (với là năng lượng trung bình của hạt tải) trong điện
trường không đổi E 0 (có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải theo E 0 )
Một trường bức xạ laser : F (t ) F sin t được xem như một trường sóng điện từ
cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1 (τ: thời gian hồi phục đặc trưng).
Dưới sự xuất hiện của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động
định hướng của hạt tải theo E 0 sẽ bị bất đẳng hướng. Kết quả là xuất hiện các cường
độ điện trường E0x, E0y, E0z là các thành phần của vector cường độ điện trường không
đổi E 0 theo các trục trong điều kiện phụ thuộc vào tham số của dây lượng tử: phổ năng
lượng và các giá trị: ω, Ω, E .
Đó chính là các hiệu ứng radio điện. Bây giờ ta thành lập biểu thức giải tích về
cường độ điện trường E0x, E0y, E0z.
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải f ( p, t ) trong bán dẫn khối:
f ( p, t )
f ( p, t )
eE 0 eE (t ) H [ p, h(t )],
t
p
5
= 2
M (q) J l2 (a, q)[f ( p q, t) f ( p, t )] ( p q p l )
(1.4)
l
q
+ Trong đó :
2
eH
H (t ) e.F p
H
; h(t )
;a
;
mc
H
m2 p 2m
(1.5)
+ Với p : xung lượng chính tắc của hạt
Jl (x) : hàm Bessel của đối số thực.
m : Khối lượng hiệu dụng của điện tử.
M(q) :được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải.
Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyến tính theo cường độ của nó nên ta
2
chỉ lấy các số hạng với l 0; 1 trong (1) và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với a, q trong
gần đúng khai triển hàm Besel. Tức là : J 02 1;J 2
a, q
4
2
(1.6)
Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối xứng
và phản đối xứng: f p (t ) f0 f1 ( p, t )
(1.7)
+) f 0 là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử
không suy biến thì ta có phân bố Boltzman
p
f 0 f 0 p n0* exp
k B
(1.8)
+) Phần phản đối xứng : f1 ( p, t ) P X (t )
Ta viết dạng khai triển theo thời gian:
6
f 0
p
(1.9)
f1 ( p, t ) f10 ( p) f1 ( p) eit f1* ( p) eit
(1.10)
f
f
(
p
)
PX 0
Với : 1
p
(1.11)
f
f10 ( p) P X 0 0
p
(1.12)
Từ các biểu thức (1.9) và (1.10) ta có :
X (t ) X 0 Xeit X * eit
- Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxo độ dẫn và cường độ điện trường:
J i (t ) jk Ek (t )
Ở thời điểm t=0 thì :
*
*
J (t 0) ( R R )d J 1 J 1
(1.13)
0
J 1 ( R( )d
( )
(Q( ) S ( ))d
1 iH ( )
0
0
(1.14)
Trong đó :
( R( )
( )
(Q( ) S ( ))
1 iH ( )
(1.15)
e2 n
Q
E ( F )
m
(1.16)
S en[ij ( F ) Aij ( F )]X j ( F )
X j ( F )
e
( )
E
m [1 iH ( )]
(1.17)
Trong đó :
7
n: Mật độ hạt tải
ε: Năng lượng hạt tải
εF : Năng lượng Fecmi
τ: Thời gian hồi phục khi không có mặt trường bức xạ laser
i;j=1,2,3
λ,A: Các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ.
ij
2
( ij ai0 a0j ); Aij
ij
()
3 ()
1
2
e2 F 2
( ) ( F ) ;
m3
F
Suy ra:
e
( ) e2 n
( )
E ( F ) en[ij ( F ) Aij ( F )]
E d
1 i ( ) m
m [1 i ( )]
0
J1
( F )
e2 n ( F )
()
A
1
E
m 1 i ( F )
1 i ()
1 i ( F )
(1.18)
* e2 n ( )
( F )
()
F
J1
1
A
E
m 1 i ( F )
1 i ()
1 i ( F )
(1.19)
*
Vậy ta được: J (t 0) J 1 J
1
() 1 i 2 () ( F )
( F ) 1 i 2 () ( F )
( F )
e2 n
A
1
2E
m 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Mặt khác ta có :
J (t 0) E (t 0) .2E
8
Suy ra:
() 1 i 2 () ( F )
( F ) 1 i 2 () ( F )
e2 n ( F )
ij ( )
A
1
m 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Lấy trung bình theo thời gian biểu thức mật độ dòng toàn phần:
J tot t J 0 t J (t ) J 0
Và xét trường hợp mạch hở theo tất cả các hướng, ta được:
J tot 0 suy ra J 0 0
Trong đó: J 0 R0 ( )d
2
(
)
Q
(
),
h
S , h
H
2
d ( )((Q0 ( ) S0 ( ))
H ( ) Re
2 2
1
(
)
1
i
(
)
e2 n
( F ) 1 () A ( F ) E0 .
m
2
2
2
Ew
[1
i
(
)
(
)]
(
)[1
i
(
)
(
)]
F
F
F
. ( F )1 2 ()
A
2 2
2 2
1 ( F )
1 ( F )
( F )
Ta có J 0 0
Suy ra: [1 () A ( F )]E0
2
2
2
Ew
[1
i
(
)
(
)]
(
)[1
i
(
)
(
)]
F
F
F
( F )1 2 ()
A
2 2
2 2
1 ( F )
1 ( F )
( F )
Suy ra
E 0 () A ( F ) E0
[1 i 2 () ( F )]
2 ( F )[1 i 2 () ( F )] Ew
2
( F )1 ()
A
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
( F )
9
Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp và gần đúng tuyến tính theo β với A,λ~β
E 0 ( F ) 1 () A ( F )
2
2
2
Ew
[1
i
(
)
(
)]
(
)[1
i
(
)
(
)]
F
F
F
+ 2 ()
A
2 2
2 2
1 ( F )
1 ( F )
( F )
1 () A ( F )
+
( F )[1 i 2 () ( F )]
2 () [1 i 2 () ( F )]
A
Ew
( F ) 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
(1.20)
W
Với: EW enc
Trong đó:
∝: là hệ số hấp thụ
: chỉ số khúc xạ
W:Năng thông trung bình của sóng điện từ
c:Vận tốc ánh sáng trong chân không
: Vector sóng của phonon
- Để đơn giản ta chọn trục: Oz // n; Ox // E; Oy / / H
Khi đó các vector thành phần của vector cường độ điện trường không đổi theo
các trục Ox, Oy, Oz được cho bởi :
2 ()[1 2 () ( F )]
( F )[1 2 ( F )]
E0 x Ew
zx
Azx
2 2
1 2 2 ( F )
( F )[1 ( F )]
(1.21)
E0 y Ew ()zy ( F ) Azy
(1.22)
10
E0 z Ew 1 ()zz ( F ) Azz
2 ()[1 2 () ( F )]
2 ( F )[1 2 ( F )] (1.23)
Axx
( F ) ( F )[1 2 2 ( F )] xx
1 2 2 ( F )
1
Như vậy các biểu thức (1.21), (1.22) và (1.23) cho thấy cường độ điện trường
phụ thuộc vào các thông số của dây trong bán dẫn khối dưới tác của trường điện từ và
sóng laser.
Các biể u thức (1.21) và (1.22) xác định hiệu ứng radio điện ngang.
Biể u thức (1.23) xác định hiệu ứng radio điện dọc.
11
CHƢƠNG 2. ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU ỨNG
RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ
HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong dây lƣợng tử hình tru ̣ với
thế cao vô hạn.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử khi có mặt sóng điện từ có
dạng:
H H0 U
H
,
n, ,l , p z
n ,l
,
, ,
pz
,
n, ,l , p z , n1, ,l1, , h , j , q
I
(2.1)
e
,
p
A(t ) a , , , a , , , h , j , q bh, j ,q bh , j ,q
z
c
n , l p z n ,l p z h , j , q
h, j
,
n, ,l , p z , n1, ,l1,
C
h , j ,q
a
,
n , ,l , p z q
a
,
n1, ,l1, p z
b
h , j ,q
h, j , q
b
Trong đó:
a ,
,
n ,l , p z
a,
,
n ,l , p z
a
n ,l , p z
a
n ,l
,
: toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, , l , p z
; a ,
, pz
,
n ,l p z
,
a
; a ,
,
n ,l , p z
,
n ,l p z
,
,
; a ,
,
n ,l , p z
,
n ,l ,n, ,l , p z
,
pz , p z
a ; a 0
n,l , p z n ',l , , p 'z
bh, j ,q ; bh, j ,q ,: toán tử sinh, hủy phonon ở trạng thái (h,j, q ).
b ; b b ; b
q q ' q ' q q ,q '
b ; b b ; b 0
q q' q q'
+ Thừa số dạng cho điện tử trong dây lượng tử (trường hợp dây lượng tử hình tru ̣):
R
I
h, j
n ,l ,n' ,l '
qh, j R22 J nn ' qh, j R n',l ' r n ',l ' r rdr
0
12
(2.3)
(2.2)
+ A(t ) : thế vector của trường sóng điện từ mạnh 𝐹 (𝑡) = 𝐹 𝑠𝑖𝑛Ω𝑡
+
n ',l ,p'
,
z
: năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn.
+ Hệ số tương tác điện tử- phonon âm có dạng:
2
Ch, j ,q
.qz
2V0 vs .
(2.4)
Trong đó:
V0: Thể tích chuẩn hóa (thường chọn V0= 1)
vs : vận tốc sóng âm.
: mật độ tinh thể.
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử.
Gọi nn,,l
(t ) an,l ,
a
p
p n ,l , p
z
z
z
t
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử :
i
Hay: i
nn,l ,
t
p
z
t
nn,l ,
t
p
z
t
an,l ,
a , H
pz n,l , pz
[6]
t
an,l ,
a , H U
pz n,l , pz 0
(2.5)
t
Ta lần lượt tính các số hạng trong (2.5)
' e
,
Số hạng thứ nhất: sh1 t an,l ,
a
p
A
t
a
a
n ',l ', p' n ',l ', p'
pz n ,l , pz
n ',l ' z
z
z
c
'
n
',
l
',
p
z
13
t
Ta có:
' e
,
an,l ,
a
p
A
t
a
a
' n ',l ' z c n ',l ', p'z n ',l ', p'z
pz n,l ', pz n ',l ',
pz
' e
n ',l ' pz A t an,l , p an,l , p , a ' a '
n ',l ', p z n ',l ', pz
z
z
c
n ',l ', p 'z
e
A t an,l , p an,l , p a ' a ' a ' a ' an,l ,
a
pz n ,l pz
z
n
',
l
',
p
n
',
l
',
p
n
',
l
',
p
z
z n ',l ', p
z
z
z
z
c
n ',l ' p'
n ',l ', pz'
e
A t an,l , p a ' n,n' ,l ,l ' ' a ' an,l ,p n,n' ,l ,l ' '
n ',l ', p z
pz , p z
n ',l ', p z
pz , p z
z
z
c
e
A t an,l , p a ' a ' an,l ,p n,n ',l ,l ' '
n ',l ', p z
n ',l ', p z
pz , pz
z
z
c
z
e
A t an,l , p , a ' n,n' ,l ,l ' ' 0
n ',l ' pz
pz , p z
z
c
n ',l ' pz'
n ',l ', p 'z
n ',l ' pz'
n ',l ', p 'z
n ',l ' p'
n ',l ', p 'z
Vậy: sh1
t
0
Số hạng thứ hai: sh2
(2.6)
t
,
b
b
an,l ,
a
pz n ,l , p z
h , j ,q h , j ,q h , j ,q
h , j ,q
0
(2.7)
t
Số hạng thứ ba:
sh3 t an,l ,
a , Ch, j ,q I nh1,,lj1 ,n2l2 a ' a ' bh , j ,q bh, j , q
pz n ,l , pz
n2 , l2 , pz q
n1 ,l1 pz
n1 , n2 ,l1 ,l2 , pz' h , j ,q
b
a , Ch, j ,q I nh1,,lj1 ,n2l2 a n ,l ,
Ta có: an,l ,
a
b
pz n ,l , pz
h , j ,q
h , j , q
'
2 2 p 'z q
n1 ,l1 , pz
' h , j ,q
n1 , n2 ,l1 ,l2 , p z
14
t
C
n1 ,l1 ,m ,q
a a , a
b b
a
p 'z q
'
n,l , pz n,l , pz n2 ,l2 ,
n1 ,l1 , pz
h , j ,q h , j , q
h, j
h , j ,q n1l1n2l2
n1 , n2 ,l1 ,l2 , p 'z h , j ,q
I
Cm,q I nm1n2l1l2 an,l ,
a p q bh, j ,q bh, j , q
p n ,l ,
z
1 1
z
n2 ,l2 ,h , j ,q
Ch, j ,q I nh1,l1jn2l2 a n ,l , p q an,l ,
bh , j ,q bh, j ,q
p
2 2
z
z
Chuyển các chỉ số : n2 n1; l2 l1; n1 n '; l1 l ' ta suy ra:
sh3 t
Ch, j ,q I nh,,l j,n ',l ' a n',l ', p q an,l ,
bh, j ,q bh, j , q
p
Ch, j ,q I nh,,l j,n ',l ' an,l ,
a p q bh, j ,q
pz n ',l ',
z
n ',l ', h , j , q
n ',l ', h , j ,q
z
z
z
z
a n',l ', p q an,l ,
b
p h , j ,q
z
z
Ch, j ,q I nh,,l j,n ',l ' an,l ,
a p q bh, j ,q bh, j , q
p n ',l ',
n ',l ', h , j , q
C I h, j
an,l ,
a p qbh , j ,q
pz n ',l ',
h , j ,q n ,l ,n ',l '
z
n ',l ', h , j ,q
z
z
t
t
an,l ,
a p q bh, j , q
p n ',l ',
z
t
t
z
a n',l ', p q an,l ,
b
pz h , j , q
z
t
t
a n',l ', p q an,l ,
b
p h , j ,q
t
a
n ', l ', pz q
t
z
t
t
*
a n,l , p a n ',l ', p q bh , j ,q
z
*
an,l ,
b
p h , j , q
z
(2.8)
Thay các biể u thức (2.6), (2.7), (2.8) vào biể u thức (2.5) ta được:
i
nn,l ,
(t )
p
z
t
Ch, j ,q I nh,,lj,n ',l ' an,l ,pz an ',l ',pzq bh, j ,q
n ',l ', h , j ,q
a n',l ', p q an,l ,
b
p h , j ,q
z
z
t
a
z
z
n ', l ', pz q
t
a n,l , p a n ',l ', p q bh , j ,q
*
an ,l ,
b
p h , j , q
z
t
*
h, j
*
F
I
t F
t
C
n
,
l
,
n
'
l
'
h
,
j
,
q
n
,
l
,
p
,
n
',
l
',
p
q
,
h
,
j
,
q
n
',l ', pz q , n ,l , pz , h , j , q
z
z
n ',l ', h , j , q
15
t
Fn*,l , p ,n ',l ', p q ,h, j ,q t Fn ',l ', p q ,n,l , p ,h, j ,q t
z
z
z
z
Với: Fn ,l ,p ,n ,l ,p
1 1
2 2
1
2 ,h, j ,q
n ',l ', h , j , q
Ch, j ,q I nh,,l j,n ',l ' Fn ',l ', p q ,n,l , p ,h, j , q t Fn*,l , p , n ',l ', p q , h , j ,q t
z
z
z
z
Fn,l , p ,n ',l ', p q ,h, j ,q t Fn*',l ', p q ,n,l , p ,h, j ,q t
z
z
z
z
(2.9)
t
(2.10)
an ,l ,p an ,l , p bh, j ,q
1 1
2 2
1
2
Xây dựng biểu thức tính Fn ,l ,p ,n ,l ,p
1 1
1
2 2
2 ,h , j ,q
t
t
Phương trình động lượng tử cho Fn ,l ,p ,n ,l ,p
1 1
i
Fn ,l ,p ,n ,l ,p
1 1
1
2 2
2 ,h , j ,q
t
t
2 2
1
2 ,h , j ,q
an ,l ,p an2 ,l2 , p2 bh, j ,q , H
11 1
t
t :
an1 ,l1 , p1 an2 ,l2 , p z bh, j ,q , H0 + U (2.11)
t
Ta lần lượt tính các số hạng của (2.11):
Số hạng thứ nhất:
e
,
sht1 t an ,l ,p an ,l ,
b
p
A t an ,l , p an ,l , p
n ,l z
1 1 1
2 2 p2 h , j , q
z
z
c
n ,l , pz
n ,l , pz
e
At
z c
a a b , a a
n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 h, j ,q n,l , p z n,l , p z
t
t
e
a a a
a
b
A t an ,l , p an ,l ,
b a an,l ,
pz
n ,l , p z n ,l , p z n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 h , j ,q
z
1 1 1
2 2 p2 h , j , q n ,l , p z
c
t
e
a a
b
A t an ,l , p an,l , p bh, j ,q n,n2 l ,l2
n ,l p z
p
,
p
n
,l , p z n2 ,l2 , p2 h , j ,q n ,n1 l ,l1 p1 , p z
1 1 1
2
z
z
c
t
n,l p
n ,l , pz
e
a
b , an,l ,
p z A t an1 ,l1 , p1 an2 ,l2 ,
p2 h , j ,q
p z n ,l , pz
c
n,l p
n ,l , pz
n ,l
t
n ,l , pz
16
e
e
n2 ,l2 p2 A t n1 ,l1 p1 A t an ,l ,p an ,l ,
b
1 1 1
2 2 p2 h , j ,q
c
c
Ta có : n ,l , p z
t
2
Bn2,l
pz
2m* 2m*
e
e
e
Do đó : n2 ,l2 p2 A t n1 ,l1 p1 A t n ,l ,
p2 p1 A t
n1 ,l1 p1
2 2 p2
c
c
mc
e
t
n ,l ,
p2 p1 A t Fn ,l ,p ,n ,l ,
p
n1 ,l1 , p1
p ,h , j ,q
mc
22 2
11 1 22 2
(2.12)
Số hạng thứ hai:
sh2
t
an ,l ,p an ,l ,
bh, j ,q , h, j ,q bh, j ,qbh , j ,q
p
1
1
1
1 1 1 2 2 2
h , j ,q1
h , j ,q1
h , j ,q1 n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2
a
a
t
b , b b
h , j ,q h , j ,q1 h , j ,q1
h , j ,q Fn ,l ,p ,n ,l
1 1
1
2 2 , p 2 , h , j ,q
t (2.13)
t
Số hạng thứ ba:
h, j
,
I
sh3 t an ,l ,p an ,l ,
b
C
a
a
b
b
h, j ,q1 n3l3n4l4 n4 ,l4 ,pz q n3 ,l3 ,pz h, j ,q1 h, j ,q1
1 1 1
2 2 p2 h , j , q
n3 ,l3 , n4 ,l4 , p z h , j , q1
C
n3 ,l3 ,n4 ,l4 , p z h , j ,q1
h, j
h , j q1 n3 ,l3n4l4
I
a a b , a a b b
n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 h, j ,q n4 ,l4 , p z q n3 ,l3 , p h , j ,q1 h , j , q1
Xét:
a a b , a a b b
n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 h, j ,q n4 ,l4 , pz q n3 ,l3 pz h, j ,q1 h, j , q1
17
t
t
a
an ,l ,p n2 ,l2 ,n4 ,l4
p , p q
n ,l
1 1
1
2
4 4 pz q
z
a
a n ,l , p q a n ,l
a
n
,l p n ,l
p
4 4
3 3
z
1 1 1
z
2
2 p2
b
h , j ,q1
b
b
an ,l ,
a n ,l
b
p
h , j ,q
h , j , q
p h , j ,q
2 2
2
3 3
z
1
1
bh, j , q bh , j ,q
1
an ,l p an ,l
b bh, j ,q bh, j , q n2 ,l2 ,n4 ,l4
p , p q
p h , j ,q
1 1 1
3 3
a n ,l
4 4 , pz q
z
an ,l
p2
2 2
b
h , j ,q1
1
1
2
z
bh, j , q bh, j ,q n2 ,l2 ,n4 ,l4 p
1
2 , p z q
an ,l ,p a n ,l
b bh, j ,q bh, j , q n2 ,l2 ,n4 ,l4
p , p q
p h , j ,q
1 1
1
a n ,l
4 4 pz q
3 3
an ,l
2 2
z
p2
Khi đó: sht3 t
b
h , j ,q1
1
2
z
bh, j , q bh, j ,q n1 ,l1 ,n3 ,l3 p ,q
1
n2 ,l2 ,n3 ,l3 ,h , j ,q1
1
n1 ,n4 ,l1 ,l4 ,h , j ,q1
1
b
b
Ch, j ,q I nh2,l2j n3l3 an ,l p a n ,l
b
h
,
j
,
q
h
,
j
,
q
h
, j , q
p q
1
1 1 1
Ch, j ,q I nh2,l2j n4l4 a n ,l
1
4 4 pz q
3 3
an ,l
2 2
2
p2
b
h , j ,q1
1
1
bh, j , q bh , j ,q
1
t
(2.14)
t
+ Thay các biể u thức (2.12), (2.13), (2.14) vào biể u thức (2.1) ta được:
Fn ,l p ,n ,l
1 1 1
2 2
t
p 2 ,h , j ,q
t
i
e
t
n ,l ,
p2 p1 A t h, j ,q Fn ,l p ,n ,l
n1 ,l1 , p1
p ,h , j ,q
2 2 p2
mc
111 22 2
i
b
b
C I h, j
an ,l p a n ,l
b
h , j ,q1
h , j , q1
h , j , q1 n2l2 n3l3
p2 q h , j ,q
1 1 1
3
3
n2 ,n3 ,l2 ,l3 ,h, j ,q1
i
C I h, j a n ,l , p q an ,l ,
bh, j ,q bh, j , q bh, j ,q
h , j , q1 n1l1n4l4
2 2 p2
1
1
4
4
z
n1 ,n4 ,l1 ,l4 ,h, j ,q1
t
(2.15)
t
Để giải phương trình vi phân (2.15), trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần
nhất:
Fn0,l , p , n ,l
1 1
1 2 2 p2 , h , j , q
t
t
i
e
n ,l ,
p2 p1 A t h , j ,q Fn0,l ,p ,n ,l p ,h , j ,q t
p
n
,
l
,
p
1 1 1
2 2 2
mc
11 1 22 2
18
(2.16)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln F 0
n ,l , p , n ,l
1 1
1 2 2 p2 , h , j , q
t t 0 ,
ta dễ dàng tính được
nghiệm của phương trình thuần nhất (2.16) trên có dạng:
i t
e
Fn ,l , p , n ,l p ,h , j ,q t exp n2 ,l2 p2 n1 ,l1 , p1 p2 p1 A t h, j ,q dt1
1 1 1 2 2 2
mc
0
(2.17)
Khi đó, nghiệm của phương trình vi phân (2.15) có dạng:
Fn ,l ,p ,n ,l
1 1
2 2
1
p 2 ,h , j ,q
t M t Fn0,l ,p ,n ,l p ,h, j ,q t
1 1
1
2 2
(2.18)
2
Suy ra:
i
Fn ,l ,p ,n ,l
1 1
1
2 2
p 2 ,h , j ,q
t
t
Fn ,l ,p ,n ,l p ,h, j ,q t
M t 0
i
Fn ,l , p ,n ,l p ,h, j ,q t i 1 1 1 2 2 2
M t
1 1 1 2 2 2
t
t
0
(2.19)
Thay các biể u thức (2.17), (2.18) và (2.19) vào biể u thức (2.15), rồi đồng nhất các hệ
số ta được kết quả sau:
i t
M (t ) i
e
dt
exp n ,l
p
p
A
t
2
1
1
n1 ,l1 p1
h , j ,q
2 2 p2
t
m
c
b
b
Ch, j ,q I nh2,l2j n3l3 an ,l p a n ,l
b
h , j ,q
h , j ,q1
h , j , q1
1
1 1 1
3 3 p2 q
n2 ,l2 ,n3 ,l3 q1
C I h, j
a n ,l
h , j ,q n1l1n4l4
n1 ,l1 ,n4 ,l4 ,h , j ,q1
1
4 4 pz q
an ,l
2
2 p2
b
Suy ra:
19
h , j ,q1
t
bh, j , q bh , j ,q
1
t
